TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x − m −1 ( 1) x−2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp điểm có tung độ y = c) Tìm giá trị m # để hàm số (1) đồng biến khoảng xác định Câu (1,0 điểm) a) Cho sin ( π + α ) = − π 7π −α ÷ với < α < π Tính tan b) Giải bất phương trình 8.3 x −x +9 x − x +1 ≥ 1( x ∈ R ) Câu 3(1,0 điểm) tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x + , trục hoành hai đường thẳng: x = ln 3, x = ln Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, · BAD = 600 AC ' = 2a Gọi O giao điểm AC BD, E giao điểm A ' C OC ' Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( EBD ) Câu (1,0 điểm) mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC, gọi E, F hình chiều đỉnh B, C lên cạnh AC, AB Các đưởng thẳng BC EF có phương trình BC : x − y − 12 = 0, EF : x + 49 y − = , trung điểm I EF nằm đường thẳng ∆ : x − 12 y = tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết BC = 17 đỉnh B có hoành độ âm Câu (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( −1; −2;0 ) , B ( −5; −3;1) , C ( −2; −3; ) đường thẳng ∆ : x +1 y z − = = 1 −1 a) Chứng minh tam giác ABC tính diện tích tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng ∆ cho thể tích tứ diện D.ABC Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình : 3x + + x + = x + 1( x ∈ R ) b) Từ tập E = { 1; 2;3; 4;5} , lập số tự nhiên có ba chữ số Lấy ngẫu nhiên hai số số vừa lập Tính xác suất để hai số lấy có số có hai chữ số phân biệt Câu (1,0 điểm) tìm số phức z biết: ( z + − i ) − ( z + − i ) + 13 = Câu (1,0 điểm) cho a, b, c ≥ số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn 2 của: P = ( a + ) ( b + ) ( c + ) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu (2 điểm) a.(1,0 điểm) + Tập xác định: D = R \ { 2} + Sự biến thiên: Đạo hàm y'= −2 ( x − 2) < 0, ∀x ∈ R Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; ) ; ( 2; +∞ ) (0,25 đ) Giới hạn: lim y = lim y = , nên đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thi ( C1 ) x →−∞ x →+∞ lim y = +∞; lim− y = −∞ , nên đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị ( C1 ) x→2 x → 2− (0,25 đ) Bảng biến thiên: (0,25 đ) Đồ thị: đồ thị hàm số giao nhận điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Điểm đặc biệt: (0,25 đ) b.(0,5 điểm) Ta có: y = ⇒ x = 4; y ' ( ) = − (0,25 đ) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(4;3); y=− 1 ( x − 4) + ⇔ y = − x + 2 (0,25 đ) c.(0,25 đ) Ta có: y ' = −3 + m ( x − 2) 2' ; tập xác định D = R \ { 2} (0,25 đ) Với m ⇔ , hàm số đồng biến khoản ( −∞; ) ( 2; +∞ ) y ' > 0, ∀x # ⇔ m > (0,25 đ) Câu 2(1,0 điểm) a.(0,5 điểm) 1 Ta có: sin ( π + α ) = − ⇒ sin α = 3 Do π 2 < α < π nên cos α < ⇒ cos α = − − = − π cos α 7π π tan − α ÷ = tan 3π + − α ÷ = tan − α ÷ = cot α = = −2 2 sin α 2 b.(0,25 điểm) Điều kiện: x ≥ (0,25 đ) (0,25 đ) x −x Bất phương trình tương đương với 8.3 Đặt t = x −x Do x −x ( + x −x ) −1 ≥ (0,25 đ) , t > , ta có: 9t + 8t − ≥ ≥ ⇔ x − x ≥ −2 ⇔ − x + x + ≥ ⇔0≤ x ≤2⇔0≤ x≤2 ⇔0≤ x≤4 (0,25 đ) Vậy tập nghiệm bất phương trình T = [ 0; 4] Câu (1,0 điểm) Diện tích hình phẳng cần tìm : S = ∫ ln8 ln dx = ∫ ln ln x x x Đặt t = e + ⇒ e = t − ⇒ e dx = 2tdt ⇒ dx = e x + 1dx 2t dt t −1 (0,25 đ) ó (0,25 đ) Đổi cận: x = ln ⇒ t = 2, x = ln ⇒ t = 3 Khi đó: S = ∫2 = 2t 3 2t 1 dt = ∫ + − ÷dt 2 t −1 t −1 t +1 t −1 3 + ln = + ln t +1 2 Câu (1,0 điểm) · ∆ABD có : AB = AD = a, BAD = 600 nên ∆ABD đều, (0,25 đ) (0,15 đ) Suy OA = S ABCD = a ⇒ AC = a 3; CC ' = a (0,25 đ) a2 a3 Do VABCD A ' B 'C ' D ' = CC '.S ABCD = AC.BD = 2 (0,25 đ) Vẽ CH ⊥ OC ' ( H ∈ OC ') ( 1) BD ⊥ OC ⇒ BD ⊥ ( OCC ') ⇒ BD ⊥ CH ( ) Ta có BD ⊥ CC ' 0,25 đ Từ (1) (2) ta có: CH ⊥ ( EBD ) nên d ( C , ( EBD ) ) = CH AC cắt (EBD) O O trung điểm AC Do d ( A, ( EBD ) ) = d ( C , ( EBD ) ) a a 21 = CH = = = CC '2 + OC 3a a2 + a CC '.OC Câu (1,0 điểm) Vì I thuộc ∆ nên I ( 12m; m ) , mà I thuộc EF nên ta có m = suy 145 72 I ; ÷ 145 145 Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với EF, ta có d : 49 x − y − 24 = Đường thẳng d cắt BC trung điểm M BC, M ( 0; −3) Ta có BM = 17, B ( 4b + 12; b ) , BM = ( 4b + 12 ) + ( b + 3) nên ta có phương trình: 0,25 đ ( 4b + 12 ) b = −2 ⇒ B ( 4; −2 ) + ( b + 3) = 17 ⇔ 17b + 102b + 136 = ⇔ b = −4 ⇒ B ( −4; ) 0.25 đ Chọn B ( −4; −4 ) ⇒ C ( 4; −2 ) − 8e 16 64 14 16 Lấy E e; ÷, ta có: BE.EC = , Do E ; − ÷ F − ; ÷ F ; − ÷ ; 49 5 5 5 29 29 64 14 E− ; ÷ 29 29 16 64 14 Với E ; − ÷ F − ; ÷ Ta có BE : x − y − = 0, CF : x + y + = 5 5 29 29 ( ) 16 10 Suy A ; − ÷ (loại AB AC < ⇒ cos AB AC < ⇒ µA > 90 9 9 0,25 đ 64 14 16 Với E − ; ÷và F ; − ÷ Ta có BE : x − y + 12 = 0; CF : x + y − = 5 29 29 Suy A(0;6) (thỏa mãn) Vậy A ( 0;6 ) , B ( −4; −4 ) , C ( 4; −2 ) 0,25 đ Câu (1,0 điểm) a.(0,5 điểm) ta có: AB = BC = AC = nên tam giác ABC đểu 0,25 đ 2) diện tích tam giác ABC : S = ( 0,25 đ = b.(0,5 điểm) 3v = ta có: VD ABC = d ( D, ( ABC ) ) S ABC = ⇒ d ( D, ( ABC ) ) = S AB = ( −4; −1;1) ; AC = ( −1; −1; ) ⇒ AB; AC = ( −3;15;3) 0,25 đ Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x − y − z − = Vì D ∈ ∆ nên D ( −1 + t ; t ; − t ) d ( D, ( ABC ) ) = −1 + t − 5t − + t − t = −2 2 ⇔ = ⇔ 3t + 12 = ⇔ 3 3 t = −6 0,25 đ Vậy có hai điểm D thỏa mãn điều kiện toán D ( −3; 2; ) D ( −6; −7;8 ) Câu 7(1,0 điểm) a.(0,5 điểm) Điều kiện: x ≥ 3x + + x + = x + Với điều kiện đó, ta có ( 2x + 1) ( ⇔ 3x + + x + = ⇔ ( 3x + + 3x + + x + )( 3x + − x + ) ) 3x + − x + − = ( ⇔ x + − x + = 3x + + x + > ) ⇔ 3x + = x + + ⇔ 3x + = x + + + 2 x + x≥0 ⇔ x − 8x − = ⇔ x = + (thỏa mãn điều kiện) 0,25 đ Vậy phương trình có nghiệm b.(0,5 điểm) ±2i Từ tập hợp E = { 1; 2;3; 4;5} ta lập 53 = 125 số có chữ số chọn số từ 125 số có C125 cách Gọi A biến cố “hai số chọn có số có hai chữ số phân biệt” Trong 125 số có C5 = 60 số có ba chữ số có hai sô phân biệt vật n ( Ω A ) = 60.65 + C602 Vậy xác suất cần tìm là: P = 0,25 đ 60.65.C602 567 = ≈ 0, 73 C125 775 Câu 8(1,0 điểm) Đặt t = z + − i , phương trình trở thành : t − 6t + 13 = 0,25 đ Ta có ∆ ' = −4 = 4i , ∆ ' có hai bậc hai ±2i 0,25 đ Phương trình có hai nghiệm phức t = − 2i t = + 2i 0,25 đ Do z + − i = − 2i z + − i = + 2i 0,25 đ Vật z = −i z = 3i Câu (1,0 điểm) Không tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c Suy = a + b + c ≥ c + c + c Suy c ≥ 2; a + b ≥ a + b 2 Ta chứng minh bất đẳng thức ( a + ) ( b + ) ≤ + 2÷ ÷ ÷ 2 0,25 đ Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với a b + 2a + 2b 2 2 ( a + b) ≤ 16 + ( a + b ) ⇔ 16 ( a + b ) ≤ ( a + b ) − 16a 2b 2 ⇔ 16 ( a − b ) ≤ ( a − b ) + 4ab ( a − b ) 2 0,25 đ 2 16 ( a − b ) ≤ ( a − b ) ( a + b ) + 4ab Bất đẳng thức cuối ( a + b ) ≥ 42 = 16 Đặt x = (a a+b ta có: + ) ( b2 + 2) ( c2 + 2) ≤ ( x2 + 2) (c Vì c ≥ nên ta có x + c = ⇒ x ≤ + 2) = ( x2 + ) ( ( − 2x ) +2 ) 5 Hơn x = a + b ≥ nên ta có x ∈ 2; 2 0,25 đ Ta cần tìm giá trị lớn của: 2 5 f ( x ) = ( x + ) ( − x ) + = x − 24 x + 54 x − 96 x + 168 x − 96 x + 152 2; 2 5 f ' ( x ) = 12 ( x + ) ( x − ) ( x − x + 1) f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ 2; ÷ 2 Nhưng f ( ) = 216 nên f ( x ) đạt GTLN 216, dấu xảy x=2 2 Vậy ta có ( a + ) ( b + ) ( c + ) ≤ 216 , hay P đạt GTLN 216, dấu xảy a = b = c = 0,25 đ