ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC CẦN NẮM Đạo hàm a Định nghĩa đạo hàm f (x) − f (x ) giới hạn đạo hàm hàm số y = f(x) x − x0 Nếu tồn giới hạn hữu hạn xlim →x x0 Kí hiệu f'(x0) (hoặc y'(x0)) f (x) − f (x ) Do f'(x0) = xlim →x x − x0 b Quy tắc tính đạo hàm Bước 1: Tính số gia hàm số ∆y = f (x + ∆ x ) − f (x ) f (x + ∆ x ) − f (x ) Bước 2: Tính ∆lim x →0 ∆x Bước 3: Kết luận c Áp dụng *) Hệ số góc tiếp tuyến Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; f(x0)) có hệ số góc k = f'(x0) *) Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Hình ảnh tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M(x0; f(x0)) có phương trình y = k(x − x ) + y Với +) y0 = f(x0) +) k = f'(x0) *) Ý nghĩa vật lý: v(t) = s'(t) vận tốc tức thời chuyển động s = s(t) thời điểm t Quy tắc tính đạo hàm a Cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm đặc biệt Đạo hàm hàm hợp + (c)' = 0, c số +) (xn)' = n.xn-1 (u n )' = n.u n −1.(u)' 1 ,x > u '= ( u) ', u > +) ( x )' = x u b Quy tắc tính đạo hàm (u + v)' = (u)'+ (v)' (uv)' = (u)'v + u.(v)' (Hệ quả: (c.u)' = c(u)') (v)' u v(u)'− u.(v)' 1 ÷' = (Hệ quả: ÷' = − ) v v v v Đạo hàm hàm lượng giác ( ) sin x =1 x →0 x a Giới hạn đặc biệt: lim b Đạo hàm Đạo hàm hàm lượng giác (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (tanx)' = tan x + ( ) (cot x)' = − cot x + Đạo hàm hàm hợp hàm lượng giác (sinu)' = (u)'.cosu (cosu)' = -(u)'.sinu (tan u)' = ( u ) ' tan u + ( ( ) ) (cot u)' = − ( u ) ' cot u + Vi phân Cho hàm y = f(x) Kí hiệu: dy = f'(x).dx – vi phân hàm số f(x) x Đạo hàm cấp a Định nghĩa: Hàm y = f(x) có đạo hàm f'(x), f'(x) lại có đạo hàm đạo hàm đạo hàm cấp y = f(x) Kí hiệu f''(x) = (f'(x))' Chú ý: f(n)(x) đạo hàm cấp n f(x) Khi f(n)(x) = (f(n-1)(x))' b Ý nghĩa vật lý: Gia tốc a(t) = s''(t) đạo hàm cấp chuyển động s = s(t) thời điểm t II BÀI TẬP Phần Tự luận Đạo hàm Bài Tính đạo hàm hàm số điểm x = x0 tương ứng a y = x2 – 4x + x = b y = x3 x = c y = x = x Hướng dẫn: Tính theo quy tắc tính đạo hàm x0 Bài Tính đạo hàm định nghĩa hàm số sau a y = 3x + b y = x + 3x − c y = d y = x x Bài Cho hàm số y = Chứng minh y'(1) = y'(-1) x Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm tương ứng a y = x2 + 3x M(1; 4) b y = x3 N(1; 1) c y = P(1; 1) x Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 tương ứng a y = x x0 = b y = 2x x0 = Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ y0 tương ứng a y = x + x , y0 = b y = x − 4x + y0 = Quy tắc tính đạo hàm Bài Tính đạo hàm hàm số sau a y = x − 4x + b y = x − 3x + c y = x − 2x + d y = −2x + 6x + 2x − e y = − x + 2x f y = x − 2x − 6x + Bài Tính đạo hàm hàm số sau 2x + 3x + a y = b y = c y = x x −1 x+2 x x − 4x + e y = f y = x +1 x−2 Bài Tính đạo hàm hàm số a y = (3x − 2)8 b y = (x − 3x + 2) c y = (x − 2x )6 d y = (x − 1)(x + 2) e y = (x + 1) (x + 2) Bài Tính đạo hàm hàm số a y = x b y = x + − x c y = 4x − x c y = − x d y = 2x + 3x + Bài Tính đạo hàm hàm số x −1 a y = x x + b y = (2x + 1)( x − 2) c y = x x +1 1 x + d y = e y = x 1− x − x2 Bài Cho hàm số y = 2x − 3x + 4x − a Tính y'(1) b Chứng minh y'(0) = y'(1) c Giải bất phương trình: y' ≥ 16 Bài Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) a Tại điểm có hồnh độ b Tại điểm có tung độ c Tiếp tuyến có hệ số góc Bài Cho hàm số y = x − 2x Viết phương trình tiếp tuyến (C) a Tại điểm có hồnh độ b Tại điểm có tung độ x −1 Bài Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) x +1 a Tại điểm có hồnh độ b Tại điềm có tung độ -1 c Tiếp tuyến có hệ số góc Bài 10 Cho chuyển động có phương trình S = t + 3t − t + (m) a Tính vận tốc chuyển động thời điểm t = giây? b Tính thời điểm để chuyển động có vận tốc m/s Đạo hàm hàm lượng giác Bài Tính đạo hàm hàm số sau a y = 2cos3x + 5sin2x b y = tan2x – 3x + c y = cot6x + 8x x x d y = tan + cot e y = tan x + tan x 2 Bài Tính đạo hàm hàm số 4 6 a y = sin x + cos x b y = sin x + cos x 3 c y = tan x + cot x d y = cos3x.cosx e y = sin x.cos 2x e y = cos 3x + cos x Bài Tính đạo hàm hàm số a y = x + sin x + cos x b y = tan x − x Bài Tính đạo hàm hàm số sin x + cos x sin x − cos x a y = b y = sin x − cos x sin x + cos x sin x + cos x cos x c y = d y = + sin x − sin x e y = sinx – x.cosx f y = cosx + x.sinx g y = sin x.sin 2x.sin 3x Bài Tính đạo hàm hàm số 2x + a y = sin(x − 3x + 2) b y = tan(x − 2x + 1) c y = cos ÷ x −1 Bài Đạo hàm cấp áp dụng Bài Tính đạo hàm cấp hàm số sau a y = x − 3x + 2x − b y = x − 2x + x +1 2x c y = d y = x −1 x −1 e y = − x Bài Tính đạo hàm cấp hàm số a y = sinx + cosx b y = tan x + cot x c y = x.cos2x Bài Cho chuyển động có phương trình S = 2t3 – 3t2 + 6t + (m) a Tính gia tốc chuyển động thời điểm t = b Tính gia tốc chuyển động thời điểm vật có vận tốc 18 Bài Cho chuyển động có phương trình S = t + 2t (m) a Tính gia tốc vật thời điểm t = giây b Tính gia tốc vật thời điểm vật có vận tốc 16 m/s c Tính gia tốc vật vật quãng đường 96 m Bài Cho hàm số y = − x + 2x + Tính y''(2) Bài Cho hàm y = (2x + 1) Tính y''(1) Bài Vi phân Bài Tính vi phân hàm số x −1 a y = b y = x x +1 c y = sin x d y = sin x x x 2a b Khơng dùng máy tính tính gần (xấp xỉ) giá trị sau 1/ 146 2/ 120 3/ 48,9 Phần II Trắc nghiệm Bài Quy tắc tính đạo hàm Nhận biết – Thơng hiểu: Câu Tính đạo hàm hàm số y = x? A y' = B y' = x2 C.y' = Câu Tính đạo hàm hàm số y = 2? Bài a Chứng minh với |x| nhỏ so với a > A y' = B.y' = a2 + x ≈ a + C y' =2x Câu Tính đạo hàm hàm số y = x + 3x + ? 2 A y' = x + 6x B y' = 3x − 6x C y' = x + 3x + 1 Câu Tính đạo hàm hàm số y = x − x − ? 3 A y' = x − x − B y ' = x − x − C y = x − x 3x − Câu Tính đạo hàm hàm số y = ? x +1 5 A y' = B y ' = C y' = − (x + 1) (x + 1) x +1 Câu Cho hàm số y = x − 2x + x + Tính y'(1)? A B C Câu Cho hàm số y = x − 2x + Tính y'(2)? A 24 B 40 C -40 x+3 Câu Cho hàm số y = Tính y'(0)? x −1 A B C -2 x +1 Câu Cho hàm số y = Tính y'(1)? x A B -2 C Câu 10 Cho hàm số y = − x + 3x + Tính y'(1)? A B C -3 Câu 11 Cho hàm số y = x − 2x + Tính y'(0)? A B C e/ 255 D y' = x x D y' = 2 D y' = 3x + 6x D y = x + x D y' = D -1 D -24 D -4 D D -6 D (x + 1) x −3 Tính y'(4)? x 1 A B C 16 Câu 13, Cho hàm số y = x − 4x + Tính y'(0)? Câu 12 Cho hàm số y = D 2 B 2 C − D − 2 Câu 14 Cho hàm số y = 2x − 3x + Giải phương trình y' = 0? A x = 1, x = B < x < C ≤ x ≤ D x = -1 x = Câu 15 Cho hàm số y = − x + 8x + Giải phương trình y' = 0? A x = B x = C x = ±2 , x = D x = ±3 , x = Câu 16 Cho hàm số y = x − 2x + Giải phương trình y' = 0? A x = B x = C Vô nghiệm C x = Câu 17 Cho hàm số y = x – 2x + x – có đồ thị (C) Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ -1? A k = B k = C k = D k = -1 Câu 18 Cho hàm số y = x – x + có đồ thị (C) Tìm hệ số góc tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ 1? A k = B k = C k = D k = -2 2x + Câu 19 Cho hàm số y = có đồ thị (C) TÌm hệ số góc tiếp tuyến (C) điểm x −1 có hồnh độ 2? A k = B k = -2 C k = D k = -3 Vận dụng Câu Cho hàm số y = x − 3x + Tìm x để y ' = 9? A x = ±2 B x = C x = ±3 D x = ±1 Câu Cho hàm số y = x + 2x + Tìm x để y' = 8? A x = B x = C x = D x = -1 Câu Cho hàm số y = x − 2x − Tìm x để y' = 2? A x = B x = -3 C x = D x = x −3 Câu Cho hàm số y = Tìm x để y' = 4? x +1 A x = B x = -1 C x = 0, x = -2 C x = Câu Cho hàm số y = x + 3x − x (C) a Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = 1? A y = 8x – B y = x – B y = 8x + 11 C y = x + 11 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = 18? A y = 23x – 28 C y = 23x + 64 C y = 18x + 18 C y = 18 c Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc -1? A y = -x; y = -x + B y = x; y = -x + C y = - x; y = -x – D y = x; y = -x + A x−2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết x+2 a Tại điểm có hồnh độ 0? A y = x – B y = -x – C y = -x + D y = x + b Tại điểm có tung độ -3? A y = 4x – B y = 4x + C y = -4x – D y = -2x + c Tiếp tuyến có hệ số góc 4? A y = 4x + 1; y = 4x + 17 B y = 4x – 1; y = 4x + C y = x + 4; y = 4x + D y = x – 4; y = x + 4 Câu Cho hàm số y = x − 2x − (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) a Tại điểm có hồnh độ 0? A y = -1 B y = C y = D y = b Tại điểm có tung độ 7? A y = 24x – 41; y = -24x + 41 B y = x + 7; y = 7x + C y = 3x – 1; y = x + D y = x + 7; y = x – x +4 Câu Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) x a Tại điểm có hồnh độ 2? A y = B y = C y = -2 D y = b Tại điểm có tung độ 5? A y = B y = 1; y = C y = x + 1, y = -3x + D y = -3x + 8, y = y = x + c Tiếp tuyến có hệ số góc – A y = -3x + 8; y = 3x – B y = -3x + 8, y = - 3x C y = -3x + 8; y = -3x + D y = -3x + 3; y = x – 3 Câu Cho hàm số y = − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết a Tiếp tuyến song song với d: y = -9x + 21 A y = -9x + 27; y = -9x – B y = -9x + 21; y = -9x + C y = 9x + 2; y = 9x – D y =- 9x – 21; y = -9x – 27 b Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y = − x + A y = -3x + B y = 3x – C y = -3x + D y = 3x + Câu 10 Cho hàm số y = 2x − 3x + x + (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M song song với đường thẳng y = x A M(0; 1), M(1; 1) B M(0; 1) C M(1; 1) D M(0;0) Câu 11 Tính đạo hàm hàm số y = (2x + 1) ? 4 4 A y' = 5(2x + 1) B y = 10(2x + 1) C y = 8(2x + 1) D y' = (2x + 1) Câu 12 Cho hàm số y = (3x + 2) Tính y'(0)? A 576 B 192 C 32 D 96 Bài Đạo hàm hàm số lượng giác Nhận biết – thơng hiểu Câu Tính đạo hàm hàm số y = sin 2x ? Câu Cho hàm số y = A y' = cos2x B y' = 2.cos2x C y' = -2cos2x D y = 2sin2x Câu Tính đạo hàm hàm số y = 2cos3x ? A y' = -6sin3x C y' = -6sinx C y' = -2sin3x D y' = 6sin3x Câu Tính đạo hàm hàm số y = tan2x 2 2 A y' = tan 2x + B y ' = tan 2x C y' = 2(tan x + 1) D y' = 2(tan 2x + 1) x Câu Tính đạo hàm hàm số y = cot ? x x x A y' = − (cot + 1) B y' = (cot + 1) C y' = cot + D y' = cot x + 2 2 Câu Tính đạo hàm hàm số y = sin 3x + 4cos 2x ? A y' = 3cos3x − 8sin 2x B y' = cos3x − 4sin 2x C y' = 3cos3x + 8sin 2x C y' = −3cos3x + 8sin 2x Câu Tính đạo hàm hàm số y = tan x − x ? 2 A y = tan x B y = tan x C y = tan x + D y = tan x − Câu Tính đạo hàm hàm số y = cot 2x + 2x ? 2 2 A y' = cot 2x B y' = 2cot x C y' = −2cot x D y' = −2cot 2x π Câu Cho y = sin x + cos x Tính y' ÷? 2 π A -1 B C D 2 π Câu Cho hàm số y = tan x Tính y' ÷? 4 A B C -2 D π Câu 10 Cho hàm số y = cot x Tính y' − ÷? 6 A B -3 C D -4 Câu 11 Cho hàm số y = 4x + sin 3x Tính y'(0)? A B C D π Câu 12 Cho hàm số y = tan 3x + cos 2x Tính y'( ) ? A B C -10 D Vận dụng Câu Tính đạo hàm hàm số y = x sin x ? A y = sin2x + xcos2x B y = sin2x + 2xcos2x C y = 2cos2x D y = sin2x – 2xcos2x Câu Tính đạo hàm hàm số y = sin 4x.cos 6x A y = 5cos10x – cos2x B y = 5cos10x + cos2x C y = sin4x + cos6x D y = -24.cos4x.sin6x sin x − cos x Câu Tính đạo hàm hàm số y = ? sin x + cos x + sin x −2 C y = + 2sin x + sin 2x D y = + 2cos x tan x + Câu Tính đạo hàm hàm số y = ? tan x − 2 A y = B y = + sin x + sin 2x −2 C y = D y = − sin 2x + 2cos x Câu Cho hàm số y = 2x.cos 4x Tính y'(0) ? A B -6 C 10 D Câu Cho hàm số y = x − sin 2x Tìm nghiệm phương trình y' = 0? π π A x = ± + kπ B x = ± + k2π 3 π π C x = ± + kπ D x = ± + k2π 6 Bài Đạo hàm cấp Biết – Hiểu Câu Cho hàm số y = x − 3x + Tính y''? A y'' = 3x2 – 6x B y'' = 6x – C y'' = x3 – 3x2 1 Câu Cho hàm số y = x − x + Tính y''? 2 A y'' = 3x – x B y = 3x2 + x C y'' = 3x2 – x +1 Câu Cho hàm số y = Tính y''? x −1 −4 A y'' = B y = C y'' = 2 (x − 1) (x − 1) (x − 1)3 Câu Cho hàm số y = sin2x Tính y''(0)? A B C -4 D π Câu Cho hàm số y = cos3x Tính y''( ) ? A B -3 C -4,5 D 4,5 y = 3sin x + 4cos x Câu Cho hàm số Tính y''(0)? A -3 B C D -4 Câu Cho hàm số y = x.sinx Tính y''(0)? A B C -2 D Vận dụng Câu Cho hàm số y = x − 3x + 4x Tính y(x0) biết y''(x0) = 0? A B C D 4 Câu Cho hàm số y = x − 8x + 12 Tính y'(x0) biết y''(x0) = -4? A y = B y = D y'' = 6x + C y'' = 3x2 + D y'' = −4 (x − 1)3 A ± 12 B ± C D ± Câu Cho chuyển động có phương trình S = t − 3t + (m), t có đơn vị giây a Tính gia tốc thời điểm vật giây? A (m/s2) B 3(m/s2) C 6(m/s2) D 2(m/s2) b Tính gia tốc thời điểm vận có vận tốc (m/s)? A 6(m/s2) B 12(m/s2) C 9(m/s2) C 8(m/s2) c Tính gia tốc thời điểm vật quãng đường 24 m? A 3(m/s2) B 18(m/s2) C 24(m/s2) D 6(m/s2) d Tính quãng đường vật vật có gia tốc 24 (m/s2) A 90m B 4m C 45m D 6m Câu Cho chuyển động có phương trình S = − t + 3t (m), t có đơn vị giây a Tính gia tốc chuyển động thời điểm vật chuyển động giây? A 18(m/s2) B 6(m/s2) C -6(m/s2) D -18(m/s2) b Tính gia tốc chuyển động vật có vận tốc lớn nhất? A 0(m/s2) B 1(m/s2) C 2(m/s2) D -4(m/s2) π Câu Một dao động điều hịa có phương trình x = sin (πt + ) (cm), t – giây a Tính vận tốc chuyển động thời điểm t = giây π π A − (cm/s) B (cm/s) C (cm/s) D (cm/s) 2 2 b Tính gia tốc chuyển động thời điểm t = giây 2 π π 2 2 − A π (cm / s ) B - π (cm / s ) C D (cm / s ) (cm / s ) 2 ... gia tốc chuyển động vật có vận tốc lớn nhất? A 0(m/s2) B 1(m/s2) C 2(m/s2) D -4(m/s2) π Câu Một dao động điều hòa có phương trình x = sin (πt + ) (cm), t – giây a Tính vận tốc chuyển động thời