Tính đơn điệu của hàm số

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K khoảng nửa khoảng Giả sử hàm số y  f ( x ) xác định K Hàm số f đồng biến (tăng) K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến (giảm) K  x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) Hàm số đồng biến nghịc h biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm khoảng K a) Nếu f đồng biến khoảng K f(x)  0, x  K b) Nếu f nghịch biến khoảng K f(x)  0, x  K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm khoảng K a) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến K b) Nếu f (x)  0, x  K (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến K c) Nếu f(x) = 0, x  K f khơng đổi K Chú ý:  Nếu khoảng K thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ Tặng bạn học sinh ischool Nha Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017  Nếu hàm f liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm f’(x)>0 khoảng (a;b) hàm số f(x) đồng biến [a;b]  Nếu hàm f liên tục đoạn [a ;b] có đạo hàm f’(x)- Cách giải sau khơng “phù hợp” điểm nào? Hàm số nghòch biến   a  1  m y '   x  x  2m   0, x     '   Vậy hàm số nghòch biến  m  Nhận xét: Lời giải xem hợp lý Tuy nhiên mặt lý luận trình bày chưa thỏa đáng, tự nhiên Do tính sáng chặt chẻ tốn học Bài 2.Tìm a để hàm số y  x  ax  x  ln tăng (đồng biến)  Hướng dẫn: Hàm số xác đònh  Ta có: y '  x  ax  4,  '  a  Bảng xét dấu ' CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ 11 Tặng bạn học sinh ischool Nha Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 *-20,x  Do hàm số đồng biến nửa khoảng  ; 2  2;   nên hàm số y đồng biến  *a  2 a  y'=0 có nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Hàm số nghòch biến khoảng  x1; x2  , đồng biến khoảng  ; x1   x2 ;   Trường hợp không thỏa mãn hàm số đồng biến  -2  a  Bài Tìm m để hàm số y  x  m cos x ln tăng (đồng biến)  Hướng dẫn: Cách 1: Hàm số xác đònh  Ta có: y '   m sin x Hàm số đồng biến   y'  0,x    msinx  1,x   (1) *m=0 (1) 1 , x       m  m m 1 * m0 (1)  sin x  Cách 2: Hàm đồng biến   y'  0,x   1  m   miny'=min 1  m;1  m     1  m  1  m  Chú ý: Phương pháp:  Hàm số f(x,m) tăng   y '  0, x    y '  0, x    Hàm số f(x,m) giảm   y '  0, x    maxy '  0, x   BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài Tìm m để hàm số y   m   x3   m   x   m  8 x  m  ln nghịch biến (giảm)  CHUN ĐỀ KHẢO SÁT S HÀM SỐ 12 Tặng bạn học sinh ischool Nha Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017 Hướng dẫn: Ta có: y '   m   x   m   x  m  *Khi : m  2 : hàm nghòch biến  *Khi m  2 : tam thức bậc hai y '   m   x   m   x  m  có  =10  m   Bảng xét dấu  ' :  m : hàm số y đồng biến       '     * m=2:hàm số y đồng biến  *   m  2, m  1: trường hợp không thỏa mãn Vậy hàm đồng biến  m