Xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale bằng phương pháp stein

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ TRẦN PHƯƠNG THANH XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN UNORDERED MARTINGALE BẰNG PHƯƠNG PHÁP STEIN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Văn Dũng Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xác suất phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên Nói cách đại khái tượng ngẫu nhiên tượng ta nói trước xảy hay không xảy thực lần quan sát Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hoàn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận khoa học tượng Ngày lý thuyết xác suất lĩnh vực toán học có sở lý thuyết chặt chẽ có nhiều ứng dụng lĩnh vực hoạt động khác người từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, từ nông học tới y học Lý thuyết xác suất nửa đầu kỷ 20 có thành tựu vượt bậc việc lập công thức chứng minh định lý giới hạn cổ điển như: Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm, Luật loga lặp cho tổng biến ngẫu nhiên độc lập Phương pháp cổ điển chủ yếu dựa vào phép biến đổi Fourier Tất định lý liên quan đến tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên quan hệ phụ thuộc thường xuất nhiều áp dụng bắt đầu nghiên cứu nhiều từ năm 1950 Trong trường hợp không độc lập phương pháp Fourier khó áp dụng xác xấp xỉ khó tìm Trong định lý giới hạn lý thuyết xác suất Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan trọng nghiên cứu thống kê ứng dụng Tuy nhiên toán thống kê nói chung không cho phép nhiên cứu với cỡ mẫu lớn vô hạn, toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép ước lượng cỡ mẫu cần thiết để áp dụng Định lí giới hạn trung tâm Năm 1970, Charler Stein giới thiệu phương pháp xấp xỉ phân phối chuẩn gọi phương pháp Stein Các kết nghiên cứu chủ yếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập Trong đề tài thiết lập số kết xấp xỉ phân phối chuẩn dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale Các kết mở rộng kết dãy biến ngẫu nhiên độc lập Với lý trên, hỗ trợ giáo viên hướng dẫn TS Lê Văn Dũng định lựa chọn đề tài: "Xấp xỉ phân bố chuẩn dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale phương pháp Stein" Mục đích nghiên cứu Thiết lập số kết xấp xỉ phân bố chuẩn dãy biến ngẫu nhiên độc lâp Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: + Trình bày vắn tắt kết xác suất cổ điển + Giới thiệu phương pháp Stein + Thiết lập số kết bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên độc lập + Thiết lập số kết xấp xỉ phân bố chuẩn dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài biến ngẫu nhiên hàm phân phối, tính độc lập, phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phương pháp Stein, bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Chứng minh chi tiết định lí, hệ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm có bốn chương: Chương trình bày số lý thuyết xác suất Chương trình bày kiến thức phương pháp Stein Chương trình bày kiến thức bất đẳng thức Berry Essence Chương trình bày kiến thức bất đẳng thức Berry Essence dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 1.1.1 Phép thử 1.1.2 Không gian mẫu 1.1.3 Đại số σ-đại số 1.1.4 σ-đại số Borel 1.1.5 Độ đo xác suất Một hàm tập hợp P : F → R gọi độ đo xác suất thoã mãn điều kiện sau: + Với A ∈ F , ≤ P(A) ≤ + P(Ω) = + Nếu A1 ,A2 , ,An , đôi không giao (Ai ∩ Ai = ∅ với i = j) ∞ P( ∞ An ) = n=1 P(An ) n=1 Khi phần tử F gọi biến cố P(A) gọi xác suất xảy biến cố A Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian đo cho Định nghĩa 1.1 Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị R gọi hàm F - đo biến ngẫu nhiên {ω : X(ω ) ∈ B}=X−1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) Ở B(R) σ -đại số tập Borel trục thực R 1.2.2 Khái niệm hầu chắn Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi hầu chắn (h.c.c) tồn tập N ∈ F cho P(N ) = X(ω) = Y (ω) với ω ∈ / N Khi ta viết X = Y (h.c.c) Một cách tổng quát, ta nói tính chất xảy hầu chắn Ω xảy bên tập N có xác suất không Khi X = Y (h.c.c) ta bảo X tương đương với Y viết X ∼ Y 1.3 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định trên(Ω, F, P) nhận giá trị R = (−∞; +∞) 1.3.1 Định nghĩa Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X (kí hiệu F(x)) xác định công thức sau: FX (x) = P(X < x), x ∈ R (1.1) Nhận xét 1.1 Theo định nghĩa, hàm phân phối X thu hẹp độ đo xác xuất PX lớp khoảng (−∞; x), x ∈ R Từ đó, hàm phân phối F (x) ≡ FX (x) có tính chất sau: (i) đơn điệu: x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y), (ii) liên tục trái, có giới hạn phải điểm, (iii) F (−∞) := limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) := limx→+∞ F (x) = Ngược lại, hàm số F (x) có ba tính chất tồn độ đo xác suất µ (R, B(R)) cho: F (x) = µ(−∞, x), x ∈ R Từ đó, lấy X : R → R ánh xạ đồng X biến ngẫu nhiên không gian xác suất (R, B(R), µ) cho: F (x) = FX (x) Độ đo xác suất µ sinh hàm F (x) gọi độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh F Từ tính chất liên tục xác suất, ta có ) − FX (x)|; n FX (x + 0) − FX (x) = limn→∞ P|x ≤ X < x + |; n ∞ FX (x + 0) − FX (x) = P( |x ≤ X < x + |); n FX (x + 0) − FX (x) = limn→+∞ |FX (x + n=1 FX (x + 0) − FX (x) = P(X = x) Do đó, hàm FX (x) liên tục x0 P(X = x0 ) = Từ định nghĩa hàm phân phối, ta có P(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a), P(a ≤ X ≤ b) = FX (b + 0) − FX (a), P(a < X < b) = FX (b) − FX (a + 0), P(a < X ≤ b) = FX (b + 0) − FX (a + 0), với a ≤ b Do đó, FX (x) liên tục a b bốn xác suất trùng 1.3.2.Các dạng phân phối Hàm phân phối FX (x) gọi rời rạc có dạng F (x) = pi ; (1.2) i:xi 0, i không đếm R Hàm phân phối FX (x) gọi liên tục tuyệt đối có hàm Borel f (x) ≥ 0∀x cho x f (t)dt, x ∈ R F (x) = (1.3) −∞ Dễ thấy +∞ f (t)dt = 1; −∞ f (x) gọi hàm mật độ xác suất 1.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1.4.1.Kỳ vọng toán Cho biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất (Ω; F; P), khả tích Lebesgue Kỳ vọng X , kí hiệu E(X), xác định E(X) = XdP Ω + Nếu Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P x1 p1 E(X) = x2 p2 xn pn xk pk k + Nếu Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x) thì: +∞ E(X) = xf (x)dx −∞ 1.4.2.Phương sai Cho Biến ngẫu nhiên X , số V ar(X) = E(X − E(X))2 gọi phương sai Biến ngẫu nhiên X + Nếu Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X P x1 p1 x2 p2 xn pn 2 x k pk − V ar(X) = k xk pk k + Nếu Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) : +∞  +∞ x2 f (x)dx −  V ar(X) = −∞ 2 xf (x)dx −∞ 1.4.3.Độ lệch tiêu chuẩn Độ lệch tiêu chuẩn biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ (X) xác định công thức: σ (X) = V ar(X) 10 iii) với n = 1, 2, ; E(Xn |Fn−1 ) ≤ Xn−1 ,(h.c.c) • martingale dưới, có điều kiện (i), (ii), (iii’) với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) ≥ Xn−1 , (h.c.c) • martingale, có điều kiện (i), (ii), (iii”) với n = 1, 2, E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 , (h.c.c) Nếu thay điều kiện (iii”) điều kiện E(Xn |Fn−1 ) = với n ≥ (Xn ; n ≥ 1) gọi hiệu martingale Fn 11 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP STEIN 2.1 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Cho (Xn ; n ∈ N∗ ) dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng phương sai σ hữu hạn Đặt Sn = X1 + X2 + + Xn Kí hiệu Fn (x) Φ(x) hàm phân phối xác suất biến ngẫu √ nhiên Sn /σ n biến ngẫu nhiên chuẩn tắc Định lý giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: (Xn ; n ∈ N∗ ) dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất Fn (x) hội tụ đến Φ(x) n → ∞ với x ∈ R Tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm Berry[2] Esseen[5] supx∈R |Fn (x) − Φ(x)| = O(n −1 ) n → ∞ 2.2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP STEIN Cho Z biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc Z ∼ N (0, 1) Kí hiệu: Cbd tập hàm liên tục tuyệt đối, f : R −→ R với E|f (Z)| < ∞ Bổ đề 2.1 Cho W biến ngẫu nhiên thực Khi đó, W có phân bố chuẩn tắc Ef (W ) = E{W f (W )}, ∀f ∈ Cbd (2.1) Bổ đề 2.2 Hàm fz xác định (2.3) ωfz (ω) hàm tăng theo ω (2.6) Hơn nữa, ∀ ω, u, v thực, |ωfz (ω)| ≤ 1, |ωfz (ω) − ufz (u)| ≤ 1; (2.7) 12 |fz (ω)| ≤ 1, |fz (ω) − fz (v)| ≤ 1; √ 2π < fz (ω) ≤ min( , ) |z| (2.8) (2.9) √ |(ω+u)fz (ω+u)−(ω+v)fz (ω+v)| ≤ (|ω|+ 2π )(|u|+|v|) (2.10) Bổ đề 2.3 Cho hàm h bất kỳ, liên tục tuyệt đối , h: R → R Nghiệm fh tổng quát phương trình Stein cho (2.5) thỏa mãn: h(.) − Eh(Z) , h ); π ≤ min(2 h(.) − Eh(Z) , h ); fh ≤ min( (2.11) fh (2.12) fh ≤ fh (2.13) 13 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 3.1 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Cho ξ1 , ξ2 , , ξn biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn Eξi = 0, với ≤ i ≤ n, cho ni=1 Eξi2 = ,ở ξi không yêu cầu phải có phân bố giống n ξi W (i) = W − ξi ; W := (3.1) i=1 Ki (t) := E{ξi (I{0≤t≤ξi } − I{ξi ≤tεBn } } → 0, n → ∞ i=1 sup |P (Sn /Bn ≤ z) − Φ(z)| → 0, n → ∞ z 23 Định lý 4.6 Cho ξ1 , ξ2 , , ξn biến ngẫu nhiên hiệu m-unordered martingale thỏa mãn ni=1 Eξi2 = Với i, đặt ξj Ai = {i + 1, i + m}, ηi = j∈Ai Khi FW − Φ FW − Φ ∞ ≤ δ; √ ≤ δ; với E|ξi ηi2 |; {ξi ηi − E{ξi ηi }}| + δ = 4E| i∈J W = ξ1 + + ξn i∈J 24 KẾT LUẬN Các định lý giới hạn Lý thuyết xác suất nói chung định lý giới hạn trung tâm nói riêng đóng vai trò quan trọng phát triển lý thuyết thực hành xác suất thống kê Đối với dãy biến ngẫu nhiên không thỏa mãn điều kiện độc lập phân phối xác suất tốc độ hội tụ định lý trung tâm đóng vai trò cốt yếu toán thống kê Việc nghiên cứu Bất đẳng thức Berry - Essen phương pháp Stein nhiều tác giả nghiên cứu, đặc biệt nhóm nghiên cứu giáo sư Louis Chen (Đại học Quốc gia Singapore) Trong đề tài thiết lập số kết tốc độ hội tụ định lí giới hạn trung tâm dãy biến ngẫu nhiên nhiên hiệu unordered martingale phương pháp Stein Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn dừng lại mức tìm hiểu chứng minh định lý, bổ đề đưa số kết phương pháp Stein dãy biến ngẫu nhiên unordered martingale Trong trình thực luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè ... ngẫu nhiên hiệu unordered martingale hiệu 0- unordered martingale 20 4.2 ĐẲNG THỨC STEIN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MATINGALE Trong phần thiết lập đẳng thức Stein dãy biến ngẫu nhiên. .. thức Stein dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale 4.3 BẤT ĐẲNG THỨC BERRY ESSENCE ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN HIỆU UNORDERED MARTINGALE Định lý 4.4 Cho ξ1 , ξ2 , , ξn biến ngẫu nhiên unordered. .. nhiên nhiên hiệu unordered martingale phương pháp Stein Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn dừng lại mức tìm hiểu chứng minh định lý, bổ đề đưa số kết phương pháp Stein dãy biến ngẫu nhiên