Phần mềm toán học maple và ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TƠN NỮ LÊ DIỆU THẢO PHẦN MỀM TỐN HỌC MAPLE VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU ĐA THỨC NỘI SUY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị quan trọng, môn học tảng cho môn học khác: Vật lý, hóa học hay toán kinh tế… Nhưng việc dạy học Toán dễ dàng Vậy phải để dạy học mơn Tốn có hiệu Trong giai đoạn nay, có phần mềm Tốn việc hỗ trợ dạy học Toán trở nên phổ biến Maple, Sketchpat… Maple phần mềm Toán Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) xây dựng đưa vào sử dụng năm 1985 Maple hổ trợ cho tính tốn số tính tốn hình thức, hiển thị Với khả tính tốn, minh họa trực quan, Maple có khả lập trình, gói lệnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng đại học Do đó, lập trình Maple cơng cụ tốt giúp cho người học người dạy thuận lợi Đây phần mềm đa dạng giúp ích nhiều q trình dạy học Vì vậy, hướng dẫn thầy Trần Quốc Chiến, tơi chọn “ Phần mềm tốn học Maple ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” làm đề tài nghiện cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Phần mềm toán học Maple ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy” nhằm mục đích góp phần thực chủ trương ứng dụng công nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Hệ thống hóa lại kiến thức Đa thức nội suy ứng dụng Maple Đa thức nội suy Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton ứng dụng chúng phần mền toán học maple 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, định lý liên quan đến đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newtơn phần mền toán học maple Phương pháp nghiên cứu Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại vấn đề cách lơgic, tìm hiểu cách sử dụng phần mền tốn học maple tìm hiểu tốn, ví dụ minh họa Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Làm rõ nghiên cứu có, tìm hiểu sâu phần mềm maple ứng dụng Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương : Chương 1: Phần mềm maple Chương trình bày cách sử dụng phần mềm Maple, câu lệnh toán tử, hàm, hằng, phép toán hàm dùng để tìm đa thức nội suy Chương 2: Đa thức nội suy Chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ đa thức nội suy lagrange, sai số đa thức nội suy, sai phân đa thức nội suy newtơn Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple Đa thức nội suy Chương trình bày số ứng dụng phần mềm Maple để tìm đa thức nội suy lagrange đa thức nội suy newtơn CHƯƠNG PHẦN MỀM MAPLE 1.1 CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN 1.1.1 Nhập biểu thức Maple cho phép nhập ba loại liệu lệnh, công thức văn Mỗi lệnh Maple phải kết thúc dấu (:) dấu (;) Để thực lệnh ta nhấn Enter Nếu lệnh kết thúc dấu (;) kết hiển thị hình Nếu lệnh kết thúc dấu (:) kết khơng hiển thị hình 1.1.2 Tập ký tự Bao gồm bảng chữ tiếng Anh (kể chữ hoa chữ thường) Chữ số: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chú ý: Maple phân biệt chữ hoa chữ thường 1.1.3 Tốn tử, hàm 1.1.4 Tính toán giá trị thập phân biểu thức 1.2 PHÉP GÁN VÀ TÍNH TỐN 1.2.1 Biến 1.2.2 Phép gán 1.2.3 Biến tự biến ràng buộc 1.3 CÁC HÀM TÍNH TỐN 1.3.1 Tính tốn số ngun 1.3.2 Tính tốn biểu thức 1.4 ĐỐI TƯỢNG TRONG MAPLE 1.4.1 Các biểu thức a Kiểu +, * ^ Các biểu thức gồm hữu tỉ, biến toán tử +, -, *, / ^ chia thành ba kiểu sau Kiểu +: biểu thức dạng x + y , x - y, x + y - z với x, y, z biểu thức Kiểu *: biểu thức dạng x * y, x * y * z , x * y / z với x, y, z biểu thức Kiểu ^ : biểu thức dạng x Ù y ,1 / x với x, y biểu thức b Các hàm whattype, op, nops Hàm whattype ( expr ) : trả kiểu biểu thức expr Hàm op ( expr ) : trả dãy thành phần biểu thức expr Hàm nops ( expr ) : trả số lượng thành phần biểu thức expr Hàm op ( n, expr ) : trả thành phần thứ n biểu thức expr ( ) Hàm op 0, expr : trả kiểu biểu thức expr c Kiểu hàm Hàm op ( 0, expr ) : trả tên hàm f 1.4.2 Biểu thức dãy Hàm op ( a b, expr ) : trả dãy thành phần thứ a đến thành phần thứ b biểu thức expr s [i ] trả thành phần thứ i dãy s s [ a b ] trả dãy thành phần a đến thành phần thứ b dãy s 1.5 GIẢI TÍCH 1.5.1 Giới hạn a Giới hạn biểu thức Cho biểu thức p tham số x Hàm limit ( p, x = a ) : Trả giới hạn p x tiến đến a Hàm limit ( p, x = a, right ) : Trả giới hạn p x tiến đến a bên phải Hàm limit ( p, x = a, left ) : Trả giới hạn p x tiến đến a bên trái Hàm limit ( p, x = infinity ) : Trả giới hạn p x tiến +¥ Hàm limit ( p, x = -infinity ) : Trả giới hạn p x tiến -¥ Hàm limit ( p, x = infinity , real ) : Trả giới hạn p x tiến +¥ Hàm Limit ( p, x = a ) : Trả biểu thức giới hạn Hàm value ( ) : Tính giá trị giới hạn b Giới hạn biểu thức phụ thuộc vào tham số Hàm assume (): thiết lập điều kiện tham số c Giới hạn hàm Hàm limit ( f ( x ) , x = a ) : trả giới hạn hàm f ( x ) x tiến đến a Hàm Limit ( f ( x ) , x = a ) …: trả biểu thức giới hạn Hàm value ( ) : tính giá trị giới hạn 1.5.2 Đạo hàm a Đạo hàm biểu thức biến Cho biểu thức p tham số x Hàm diff ( p, x ) : trả đạo hàm p theo x Hàm Diff ( p, x ) : trả biểu thức đạo hàm p theo x Hàm value ( ) : trả giá trị đạo hàm p theo x Hàm diff ( p, x$n ) : trả đạo hàm bậc n p theo x Hàm Diff ( p, x$n ) : trả biểu thức đạo hàm bậc n p theo x Hàm value ( ) : trả giá trị đạo hàm p theo x b Đạo hàm riêng biểu thức nhiều biến Cho biểu thức p tham số x1, x 2, , xn ( ) Hàm diff p , x1, x 2, , xn : trả đạo hàm riêng bậc n p theo x1 , x ,…, xn Hàm Diff ( p, x1, x 2, , xn ) : trả biểu thức đạo hàm riêng bậc n p theo x1 , x ,…, xn c Đạo hàm hàm biến Cho hàm f biến x Hàm D ( f ) : trả đạo hàm f ' f theo x Hàm unapply ( p, x ) : chuyển biểu thức p dạng hàm theo biến x Hàm ( D @@ n )( f ) : trả đạo hàm bậc n f theo x 1.5.3 Đồ thị hàm số a Hàm biến Đồ thị 2D Cú pháp: plot ( f ( x ) , x = a b ) plot ( f , a b ) Nếu không khai báo miền giá trị x Maple mặc định [ -10,10] b Hàm biến Đồ thị 3D Cú pháp: plot 3d ( f , x = a b, y = c d ) 1.5.4 Tính tổng tích a Tính tổng Cho hàm f (k ) tham số k Hàm sum ( f ( k ) , k ) : trả tổng bất định f (1) + f (2) + + f ( k ) Hàm Sum ( f ( k ) , k ) : trả biểu thức tổng bất định å f (k ) Hàm value ( ) : tính giá trị biểu thức b Tính tích Cho hàm f (k ) tham số k , số nguyên m , n Hàm product ( f ( k ) , k = m n ) : trả tích f ( m ) f ( m + 1) f ( n ) Hàm Product ( f ( k ) , k = m n ) : trả biểu thức tích n Õ f (k ) k =m Hàm value ( ) : tính giá trị biểu thức 1.6 LẬP TRÌNH TRONG MAPLE 1.6.1 Chương trình maple a Nhập liệu từ bàn phím Hàm readstat ( '' < prompt > '') : dấu nhắc < prompt > trả dự liệu nhập từ bàn phím b Xuất liệu hình Hàm print ( data1, data 2, ) thỉ liệu hình Lưu ý: xâu ký tự đặt dấu ‘’ Chương trình tập hợp nhiều lệnh thực công việc phức tạp Để tạo chương trình maple ta làm theo cách sau c Gộp lệnh sau (1) Viết thực lệnh, (2) Đánh dấu (bôi đen) lệnh (3) ghép lệnh lại thành chương trình thực lệnh thực đơn Edit\Split or Join\Join Execution Groups ( phím tắt F4) Để thực chương trình, đưa trỏ vào chỗ đoạn chương trình gõ ENTER d Gộp lệnh trước Viết lệnh không thực hiện, sử dụng tổ hợp SHIFT + ENTER để xuống dòng Để thực chương trình, đưa trỏ vào chỗ tỏng đoạn chương trình gõ ENTER 1.6.2 Các cấu trúc điều khiển a Lệnh rẽ nhánh Cú pháp: if condition expression then statement sequence elif condition expression then statement sequence else statement sequence end if Chức năng: Nếu điều kiện condition expression thực câu lệnh sau then sau else tương ứng b Vòng lặp for Cú pháp: for name from expr1 by expr to expr while condition statement sequence end do; for name in exprL while condition statement sequence end do; Chức năng: Vòng lặp for sử dụng để thực dãy lệnh statement sequence Mỗi lần lập tương ứng giá trị biến name sau for Trong dạng thứ nhất, biến name xuất phát từ expr1 , lần cộng thêm bước nhảy expr , vượt cận expr không thỏa điều kiện condition kết thúc Trong dạng thứ hai, biến name lấy phần tử danh sách exprL thỏa điều điện condition 1.6.3 Thủ tục hàm a Khái niệm thủ tục maple Chương trình maple có nhiều bất tiện, phải mở chương trình nguồn, đưa trỏ vào chương trình gõ ENTER, dễ làm hỏng chương trình Maple cho tạo lập sử dụng chương trình linh hoạt thủ tục (procedure) Thủ tục chương trình truy xuất thơng qua định danh Ngồi thủ tục Maple gói (package), thủ tục tạo lập, biên dịch, nạp vào nhớ để sử dụng b Xây dựng thủ tục Khai báo thủ tục: procedure _ name := proc ( parameter _ sequence ) [local local _ sequence] [global global _ sequence] 10 CHƯƠNG ĐA THỨC NỘI SUY 2.1 BÀI TOÁN NỘI SUY 2.1.1 Vấn đề nội suy Trên đoạn a £ x £ b cho lưới điểm chia ( điểm nút ) xi , i = 0, 1, 2, , n : a £ x0 , x1 , x2 , , xn £ b nút xi cho giá trị hàm số y = f ( x) yi = f ( xi ) , i = 0, 1, 2, , n viết thành bảng sau: X x0 x1 x2 … xn -1 xn Y y0 y1 y2 … yn -1 yn Hãy xây dựng đa thức bậc n: Pn ( x) = a x n + a1 x n -1 + + a n -1 x + a n Sao cho Pn ( x) trùng với f ( x) nút xi , nghĩa : (2.1) Pn ( x) = yi , i = 0, 1, 2, , n Đa thức Pn ( x) gọi đa thức nội suy hàm f ( x) 2.1.2 Sự đa thức nội suy Định lý: Đa thức Pn ( x) ( bậc £ n ) sinh từ bảng sau thỏa mãn điều kiện (2.1) 2.2 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange Xét hàm số y = f ( x) đoạn [ a, b ] giả sử n + mốc ( xi Ỵ [ a, b ] ta biết giá trị yi = f ( xi ) i = 0, n ) Từ bảng số ta xây dựng đa thức Pn ( x) bậc không n cho thỏa mãn điều kiện: Pn ( xi ) = yi ( i = 0, n ) (2.2) Theo cách Lagrange, trước hết lập đa thức bậc n , Li ( x ) thỏa mãn điều kiện: 11 ì1 i = j Li ( x j ) = ợ0 i j (i, j = 0, n ) (2.3) Ta có: Li ( x ) = Ai ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xi -1 )( x - xi +1 ) ( x - xn ) Mà Li ( xi ) = = Ai ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) Þ Ai = ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) Þ Li ( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xi -1 )( x - xi +1 ) ( x - xn ) ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) (2.4) đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện (2.3) Ta chọn n Pn ( x ) = å Li ( x ) yi (2.5) i =0 Ta có n Pn ( x j ) = å Li ( x j ) yi = y j j =0 Do yi = f ( xi ) , i = 0, n có nên Pn ( x ) đa thức bậc n , từ (2.3) , (2.4) ta suy Pn ( x ) thỏa mãn điều kiện (2.2) Đa thức dạng (2.5) gọi đa thức nội suy Lagrange, đa thức dạng (2.4) gọi đa thức sở Lagrange Để cho gọn cách viết, ta đưa vào ký hiệu: n w ( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) = Õ ( x - xi ) (2.6) i =0 Thì w ' ( x ) = ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) đạo hàm w ( x ) điểm xi mẫu số cơng thức (2.4) Vì (2.5) viết lại: yi x x i =0 ( i )w ' ( x ) n Pn ( x ) = w ( x ) å (2.7) 12 2.2.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách Giả sử hàm số f ( x) nhận giá trị yi điểm tương ứng xi ( i = 0, n ) cách khoảng h Các mốc nội suy cách xi +1 - xi = h , i = 0, n x - x0 Þ x = x0 + th h ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xi -1 )( x - xi +1 ) ( x - xn ) Ta có: Li ( x) = ( xi - x0 )( xi - x1 ) ( xi - xi -1 )( xi - xi +1 ) ( xi - xn ) Đặt t = th(th - h) (th - (i - 1)h)(th - (i + 1)h) (th - nh) ih(ih - h) (ih - (i - 1)h)(ih - (i + 1)h) (ih - nh) = ( -1) = n -i ( -1) n-i t (t - 1) (t - n) i !(n - i)!(t - i ) Cni t (t - 1) (t - n) (t - i) n! = i t (t - 1) (t - n) n ( -1) Cn Þ Pn ( x) = y å n! (t - i ) i i =0 n-i (2.8) 2.2.3 Sai số đa thức nội suy Giả sử Pn ( x) đa thức nội suy hàm số f ( x) đoạn [ a, b ] : Pn ( xi ) = f ( xi ) = yi ( i = 0, n ) Với mốc nội suy a £ x0 < x1 < x2 < < xn £ b Cố định x Ỵ [ a, b ] , x ¹ xi ( i = 0, n ) , ta gặp sai số điểm x là: R ( x) = f ( x ) - Pn ( x) (2.9) Để đánh giá sai số đó, ta đặt F ( x ) = R ( x ) - kw ( x) Trong k số chọn cho F ( x) = Nghĩa k = R ( x) f ( x) - Pn ( x) = w ( x) w ( x) 13 R ( xi ) = f ( xi ) - Pn ( xi ) "i = 0, n Theo (2.9) w ( x ) = "i = 0, n nên F ( xi ) = "i = 0, n , ta suy F ( x) = có n + nghiệm x, x0 , x1 , , xn Theo định lý Ron F '( x) có n + nghiệm …, F ( n +1) ( x) có nghiệm x Ỵëé a, b ûù , nghĩa là: = F ( n +1) (x ) = R ( n +1) (x ) - kw ( n +1) (x ) = f ( n +1) (x ) - k (n + 1)! Từ ta suy k = Vậy R( x) = f ( n +1) (x ) (n + 1)! +1 f ( n ) (x ) w ( x) (n + 1)! (2.10) Gọi M = Sup f ( n +1) ( x ) từ (2.10) ta có: a £ x £b R ( x) = f ( x) - Pn ( x) £ M w ( x) (n + 1)! (2.11) 2.2.4 Chọn mốc nội suy tối ưu a Đa thức Chebysev (x Tn ( x):= cos [ n arccos x ] £ 1) Đặt q = arccos x để ý cos( n ± 1)q = cosq cos nq m sin q sin nq , ta đặt cos( n + 1)q + cos( n - 1)q = 2q cos nq hay: Tn +1 ( x) = xTn ( x) - Tn -1 ( x) Định lý: Trong tất đa thức bậc thức Chebysey Tn ( x) / n -1 n (2.12) với hệ số đầu 1, đa có độ lệch ( so với ) nhỏ đoạn [ -1,1] Nghĩa là, nếu: P ( x) = x n + an -1 x n -1 + + a0 Thì max P( x) ³ max x £1 x £1 Tn ( x) n -1 = 2n -1 b Chọn mốc nội suy Trong trường hợp a = - , b =1 ta lấy mốc nội suy xi nghiệm 14 2i + p 2(n + 1) đa thức Chebysev Tn +1 ( x) nghĩa là: xi = cos Khi w ( x) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) = ( i = 0, n ) Tn +1 ( x) có độ lệch nhỏ 2n ước lượng tốt phép nội suy là: M M P ( x) - f ( x) £ w ( x) £ n (n + 1)! (n + 1)! Trong trường hợp a < b bất kỳ, ta dùng phép biến đổi 2x - b - a [ a, b] đoạn [ -1,1] Các mốc nội suy tối ưu b-a nghiệm đa thức Chebysev: t= ì ü 2i + xi = í( b - a ) cos p + (b + a ) ý i = 0, n 2(n + 1) ợ ỵ c lng tt nht ca phộp nội suy trường hợp là: ( P ( x ) - f ( x) £ ) M (b - a )n +1 (n + 1)! 22 n +1 2.3 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTƠN 2.3.1 Đa thức nội suy Newtơn a Tỷ sai phân: Xét hàm số y = f ( x) đoạn [ a, b] ( ) Định nghĩa: Từ bảng số yi = f ( xi ) , i = 0, n Các mốc nội suy: a º x0 < x1 < x2 < < xn º b Ta gọi f [ xi , xi -1 ] = f ( xi ) - f ( xi -1 ) , i = 1, n xi - xi -1 ( ) tỷ sai phân cấp hàm f ( x) Tỷ sai phân cấp hai tỷ sai phân tỷ sai phân cấp một, ký hiệu là: f [ xi +1 , xi , xi -1 ] = f [ xi +1 , xi ] - f [ xi , xi -1 ] xi +1 - xi -1 , i = 1, n - 15 Tỷ sai phân cấp hiệu là: n tỷ sai phân tỷ sai phân cấp n - , ký f [ xn , xn -1 , , x1 , x0 ] = f [ xn , xn -1 , , x1 ] - f [ xn -1 , , x1 , x0 ] xn - x0 Ta thấy tỷ sai phân cấp cần hai mốc nội suy, cấp hai cần ba mốc, …, cấp n cần n + mốc Các tỷ sai phân định nghĩa cho bảng: [ ] [ ] f , [ f ,., x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 f [ x3 , x2 ] x3 y3 f [ x4 , x3 ] x4 y4 f [ x1 , x0 ] f [ x2 , x1 ] ] f ,.,., [ ] f ,.,., f [ x2 , x1 , x0 ] f [ x3 , x2 , x1 ] f [ x4 , x3 , x2 ] f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] f [ x4 , x3 , x2 , x1 ] f [ x4 , x3 , x2 , x1 , x0 ] b Các tính chất tỷ sai phân Tính chất 1: Tỷ sai phân cấp k tổng tổng sai phân cấp ( f + g ) [ xk , xk -1 , , x0 ] = f [ xk , xk -1 , , x0 ] + g [ xk , xk -1 , , x0 ] Hằng số nhân đưa tỷ sai phân: (c f ) [ xk , xk -1 , , x0 ] = c f [ xk , xk -1 , , x0 ] Tính chất 2: f ( xi ) i = w '( xi ) k f [ xk , , x0 ] = å k Trong w ( x) = Õ ( x - x j ) j =0 16 Hệ 1: Tỷ sai phân tốn tử tuyến tính Ta có: (a f + b g ) [ xn , , x1 , x0 ] = å (a f i =0 =aå i =0 + b g )( xi ) w '( xi ) f ( xi ) g ( xi ) + bå w '( xi ) i = w '( xi ) = a f [ xn , , x1 , x0 ] + b g [ xn , , x1 , x0 ] Hệ 2: Tỷ sai phân có tính chất đối xứng: f [ xi -1 , xi ] = f [ xi , xi -1 ] , i = 1, n f [ xi -1 , xi , xi +1 ] = f [ xi +1 , xi , xi -1 ] , i = 1, n - f [ x0 , x1 , , xn -1 , xn ] = f [ xn , xn -1 , , x1 , x0 ] Tính chất suy từ định nghĩa Tính chất 3: Tỷ sai phân số không Tỷ sai phân cấp m đa thức bậc n có tính chất: Nếu m = n tỷ sai phân cấp n số Còn m>n tỷ sai phân cấp > n khơng c Đa thức nội suy Newtơn ( ) Xuất phát từ bảng số yi = f ( xi ) i = 0, n với mốc nội suy x0 , x1 , , xn , xi Ỵ [ a , b ] Dựa vào định nghĩa tỷ sai phân Newtơn xây dựng đa thức nội suy sau: với mốc nội suy xi , i = 0, n , đưa thêm vào mốc x Ta có: Do Ta lại có f [ x, x0 ] = f ( x) - f ( x0 ) x - x0 f ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x, x0 ] f [ x, x0 , x1 ] = f [ x, x0 ] - f [ x0 , x1 ] x - x1 (2.13) 17 Từ ta có: f [ x, x0 ] = f [ x0 , x1 ] + ( x - x1 ) f [ x, x0 , x1 ] Và tiếp tục, cuối ta thu được: f ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x - x0 )( x - x1 ) [ x0 , x1 , x2 ] + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 ) f [ x0 , x1 , , xn ] + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 )( x - xn ) f [ x, x0 , x1 , , xn ] (2.14) Trong công thức (2.14) đặt: Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 ) f [ x0 , x1 , , xn Và R ( x ) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) f [ x, x0 , x1 , , xn Thì (2.15) ] ] f ( x) = Pn ( x) + R ( x) (2.16) (2.17) Pn - đa thức bậc n Ta cần Pn ( x) thỏa mãn điều kiện Pn ( xi ) = yi , i = 0, n Thật vậy, từ (2.17) ta có: f ( xi ) = yi = Pn ( xi ) + R ( xi ) , i = 0, n Nhưng rõ ràng R ( xi ) = , i = 0, n nên Pn ( xi ) = yi , i = 0, n Công thức (2.15) viết lại sau: n -1 i i =0 j =0 Pn ( x ) = f ( x0 ) + å f [ xi +1 , xi -1 , , x0 ]Õ ( x - x j ) Công thức đa thức nội suy Newton tiến (do xuất phát từ mốc x0 ) Do tỷ sai phân có tính chất đối xứng, nên ta xếp lại mốc nội suy theo thứ tự : xn , xn -1 , xn - , , x1 , x0 Và xây dựng tương tự trên, ta có cơng thức: Pn ( x ) = f ( xn ) + ( x - xn ) f [ xn , xn -1 ] + + + ( x - xn ) ( x - x1 ) f [ xn , xn -1 , , x0 ] (2.18) Đây đa thức nội suy Newton lùi (do xuất phát từ mốc xn ) 18 d Sai số Theo công thức (2.17) ta có: R( x) = f ( x) - Pn ( x) = w f [ x, x0 , x1 , , xn ] Trong công thức (2.10) ta lại có: R( x) = Vậy f [ x, x0 , x1 , , xn ] = f ( n +1) (x ) w ( x) (n + 1)! f ( n +1) (x ) , (n + 1)! x Ỵ [ a, b ] 2.3.2 Đa thức nội suy Newtơn với mốc cách a Sai phân hữu hạn Cho hàm số f ( x) xác định [ a, b ] Giả sử xi mốc nội suy cách đều: xi = x0 + ih , i = 0, n h gọi bước sai phân ( h > ) Sai phân cấp f ( x) x : Df ( x) = f ( x + h) - f ( x) Sai phân cấp f ( x) x : D f ( x) = D ( Df ( x) ) = [ f ( x + 2h) - f ( x + h)] - [ f ( x + h) - f ( x)] Þ D f ( x ) = f ( x + h) - f ( x + h) + f ( x ) ……………… Tương tự ta có sai phân cấp n f ( x) x : n D m f ( x) = å (-1)k Cnk f [ x + (n - k )h] k =0 b Tính chất sai phân hữu hạn Tính chất 1: D tốn tử tuyến tính "a , b ẻ R; "y , z ị D (a y + b z ) = a Dy + b Dz Và DC = với C = const D n ( x n ) = n ! h n ( h = Dx ) 19 Dn ( xn ) = ( m > n ) D m ( D k y ) = D m + k y với D y = y Tính chất 2: Giá trị hàm số f ( x) biểu diễn qua sai phân hữu hạn cấp nó: m F ( x + mDx) = å Cmk D k f ( x) (2.19) k =0 Trong Cmk = m(m - 1) (m - k + 1) m! = k! k !(m - k )! Tính chất 3: Sai phân hữu hạn cấp m hàm f ( x) biểu diễn qua giá trị liên tiếp nó: D m f ( x) = f ( x + mDx) - C1m f ( x + ( m - 1) Dx) + Cm2 f ( x + ( m - ) Dx) - + (-1) m f ( x) (2.21) Tính chất 4: Giả sử hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đến cấp m đoạn [ x, x + mDx] ta có: D m f ( x) = ( Dx ) f ( ) ( x + q mDx) m m (2.22) Trong < q < c Bảng sai phân Giả sử hàm số y = f ( x) cho dạng bảng số yi = f ( xi ) , ( i = 0, n , mốc nội suy xi = x0 + ih i = 0, n ) ( h = Dx = xi - xi -1 "i ) Sai phân hữu hạn cấp xác định theo công thức: Dyi = yi +1 - yi , i = 0, n - D yi = D ( Dyi ) = Dyi +1 - Dyi , i = 0, n - D yi = D ( D yi ) = D yi +1 - Dyi , i = 0, n - … D m yi = D ( D n -1 yi ) = D n -1 yi +1 - D n -1 yi , i = 20 Công thức mô tả theo bảng sau: x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 x4 x5 Dy D2 y Dy0 D y1 Dy2 D y2 D y3 y4 D y3 Dy4 y5 … … … … xn yn D4 y …… D y0 Dy1 y3 D3 y D yn - 2 Dyn -1 D y0 D y1 D y2 … D3 yn -3 D y0 D y1 … D yn - d Đa thức nội suy Newtơn với mốc cách Trước hết ta viết lại đa thức nội suy newtơn tiến xuất phát từ x0 (các mốc xếp theo thứ tự x0 , x1 , , xn ) Theo cơng thức (2.14) ta có: Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x - x1 )( x - x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ] + + + ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn -1 ) f é x0 , x1 , , xn ù ë û Đặt x = x0 + ht Þ x - x0 = ht Ta có: f [ x0 , x1 ] = y1 - y0 Dy0 = x1 - x0 h f [ x0 , x1 , x2 ] = f [ x0 , x1 ] - f [ x1 , x2 ] x0 - x2 21 y1 - y0 y2 - y1 y - y1 + y2 D y x1 - x0 x2 - x1 = = = x0 - x2 2h 2h f [ x0 , x1 , , xn ] = Dn y n !h n Từ đó: Pn ( x) = Pn ( x0 + ht ) (2.23) Dy0 Dn y0 t (t - 1) + + t (t - 1)(t - 2) (t - n + 1) 1! n! (2.23) gọi đa thức nội suy Newtơn tiến có mốc cách Bây xét công thức nội suy Newtơn lùi có mốc xuất phát = y0 + xn ( mốc xếp theo thứ tự xn , xn -1 , , x1 , x0 ) Theo công thức (2.18) ta có: Pn ( x) = f ( xn ) + ( x - xn ) f [ xn , xn -1 ] + ( x - xn )( x - xn -1 ) f [ xn , xn -1 , xn - ] + + + ( x - xn ) ( x - x1 ) f [ xn , xn -1 , , x0 ] Đặt x = xn + ht , tương tự ta được: Dyn D yn t+ t (t + 1) + + 1! 2! D n yn + t (t + 1)(t + 2) (t + n - 1) n! (2.24) gọi đa thức nội suy Newtơn lùi có mốc cách e Sai số Pn ( x) = Pn ( xn + ht ) = yn + (2.24) f ( n +1) (x ) Từ cơng thức (2.10) ta có: R ( x) = w ( x) , (n + 1)! n n k =0 k =0 mà w ( x) = Õ ( x - xk ) = h n +1t (t - 1)(t - 2) (t - n) = h n +1 Õ (t - k ) Do sai phân hữu hạn cấp n số nên: D n +1 y0 h ® h n +1 f ( n + ) ( x) = lim 22 Nên xem f ( n +1) D n+1 y0 (x ) » n+1 h thì: R ( x) » D n+1 y0 n Õ (t - k ) (n + 1)! k =0 sai số công thức nội suy Newtơn tiến Hoàn toàn tương tự ta có cơng thức đánh giá sai số cơng thức nội suy Newtơn lùi: R ( x) » D n+1 y0 n Õ (t + k ) (n + 1)! k =0 CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG ĐA THỨC NỘI SUY 3.1 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Cách 1: Ta dùng hàm phần mềm maple: Để giải toán đa thức nội suy Lagrange, ta dùng gói lệnh CurveFitting[Polynomiallnterpolation] Vẽ đồ thị so sánh Cách 2: Ta tự xây dựng câu lệnh sau: - Trả hàm gán giá trị biểu thức p theo biến x unapply(p, x , ) - Trả số lượng thành phần biểu thức expr nops(expr) - Gán giá trị biểu thức x = a cho biểu thức p , p biểu thức theo biến tự x : subs ( x = a, p ) - Trả đạo hàm p theo x : diff ( p, x ) - Trả tích f (m) f (m + 1) f (n) : product ( f ( k ) , k = m n ) Ta xây dựng sau: 23 ( ) > w := unapply product ( x - points [i ][1] , i = nops ( points ) ) , x ; ( ) > L := ( i, x ) ® w ( x ) / ( x - points [i ][1]) / subs x = points [i ][1] , diff ( w ( x ) , x ) ; > f ( x) := sum( points[i ][2]* L(i, x), i = nops( points )); > f ( x ) := simplify ( f ( x ) ) ; 3.2 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NỘI SUY NEWTƠN Ta tự xây dựng câu lệnh sau: > # tính tỷ sai phân f:=proc(x,y) # x, y dãy điểm option remember; if nops (x)=1 then return y[1]; else return (f (x[2 nops(x)], y[2 nops(y)]) – f (x[1 nops(x) – 1], y[1 nops(y) – 1]) ) / (x[nops(x)] – x[1]); end if; end proc: > # Nội suy tiến # gtx, gty : dãy giá trị x y # x : tên biến NST :=proc (gtx, gty, x) local i, j, n, s; s:=gty [1] ; n:=nops(gtx) ; for i from to n s :=s+f (gtx [1 i], gty [1 i])*product (x-gtx[j], j=1 i – 1); end; return s; end proc: > # Nội suy lùi # gtx, gty : dãy giá trị x y # x : tên biến 24 NSL :=proc (gtx, gty, x) return NST (ListTools [Reverse] (gtx), ListTools [Reverse] (gty), x); end proc: Vẽ đồ thị so sánh KẾT LUẬN Luận văn“ Phần mềm toán học Maple ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy ”đã thu kết sau: Trình bày cách có hệ thống tổng quan phần mềm maple số ví dụ minh họa cụ thể Đưa định nghĩa, định lý, tính chất số ví dụ minh họa đa thức nội suy Đưa đa dạng ứng dụng phần mềm Maple để tìm tốn đa thức nội suy Kết luận văn nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đa thức nội suy nói chung, nhằm phát triển tư toán cho học sinh, sinh viên đặc biệt cho học sinh, sinh viên chuyên Tốn có tư liệu tham khảo bổ ích ... thức Đa thức nội suy ứng dụng Maple Đa thức nội suy Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton ứng dụng chúng phần mền toán học maple. .. ví dụ đa thức nội suy lagrange, sai số đa thức nội suy, sai phân đa thức nội suy newtơn Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple Đa thức nội suy Chương trình bày số ứng dụng phần mềm Maple để tìm đa thức... học Maple ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy? ?? làm đề tài nghiện cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Phần mềm toán học Maple ứng dụng nghiên cứu đa thức nội suy? ??