Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Tun 22 Tit 1,2 Ngy son: 11/1/16 PHN TCH A THC THNH NHN T I Mc tiờu: 1-KT: H thng li cỏc dng toỏn v cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t 2-KN: Nõng cao trỡnh v k nng v Gii mt s bi v phõn tớch a thc thnh nhõn t 3-T: Giỏo dc HS ý thc hc nghiờm tỳc, cn thn, chớnh xỏc gii toỏn II/ Kin thc cn nh Phõn tớch a thc thnh nhõn t l bin i a thc ú thnh mt tớch ca nhng n thc v a thc Phõn tớch a thc thnh nhõn t bng cỏc phng phỏp thụng thng: - t nhõn t chung - Dựng hng ng thc - Nhúm hng t Phõn tớch a thc thnh nhõn t bng vi phng phỏp khỏc - Tỏch mt hng t thnh nhiu hng t - Thờm bt cựng mt hng t - t n ph (cũn gi l i bin s) - Dựng phng phỏp h bt nh - Tỡm nghim ca a thc - Quy tt HORNER (Hút - N) III / Phng phỏp v Bi nh lớ b sung: + a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q ú p l c ca h s t do, q l c dng ca h s cao nht + Nu f(x) cú tng cỏc h s bng thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + Nu f(x) cú tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + + Nu a l nghim nguyờn ca f(x) v f(1); f(- 1) khỏc thỡ f(1) f(-1) v u l s nguyờn nhanh a-1 a+1 chúng loi tr nghim l c ca h s t TCH MT HNG T THNH NHIU HNG T: Vớ d 1: 3x2 8x + Cỏch 1: Tỏch hng t th 3x2 8x + = 3x2 6x 2x + = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2) Cỏch 2: Tỏch hng t th nht: 3x2 8x + = (4x2 8x + 4) - x2 = (2x 2)2 x2 = (2x + x)(2x x) = (x 2)(3x 2) Vớ d 2: x3 x2 - Ta nhõn thy nghim ca f(x) nu cú thỡ x = 1; 2; , ch cú f(2) = nờn x = l nghim ca f(x) nờn f(x) cú mt nhõn t l x Do ú ta tỏch f(x) thnh cỏc nhúm cú xut hin mt nhõn t l x Cỏch 1: 2 2 x3 x2 = ( x x ) + ( x x ) + ( x ) = x ( x ) + x( x 2) + 2( x 2) = ( x ) ( x + x + ) 3 2 Cỏch 2: x x = x x + = ( x ) ( x ) = ( x 2)( x + x + 4) ( x 2)( x + 2) 2 = ( x ) ( x + x + ) ( x + 2) = ( x 2)( x + x + 2) Vớ d 3: f(x) = 3x3 7x2 + 17x Nhn xột: 1, khụng l nghim ca f(x), nh vy f(x) khụng cú nghim nguyờn Nờn f(x) nu cú nghim thỡ l nghim hu t Ta nhn thy x = l nghim ca f(x) ú f(x) cú mt nhõn t l 3x Nờn 3 2 2 f(x) = 3x3 7x2 + 17x = x x x + x + 15 x = ( 3x x ) ( x x ) + ( 15 x ) = x (3 x 1) x(3 x 1) + 5(3x 1) = (3x 1)( x x + 5) Vỡ x x + = ( x x + 1) + = ( x 1) + > vi mi x nờn khụng phõn tớch c thnh nhõn t na Vớ d 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhn xột: Tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l nờn a thc cú mt nhõn t l x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Vớ d 5: f(x) = x5 2x4 + 3x3 4x2 + Tng cỏc h s bng thỡ nờn a thc cú mt nhõn t l x 1, chia f(x) cho (x 1) ta cú: x5 2x4 + 3x3 4x2 + = (x 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vỡ x4 - x3 + x2 - x - khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn khụng phõn tớch c na Vớ d 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Vớ d 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x 20012 - 2001 = (x2 20012) (x + 2001) = (x + 2001)(x 2002) THấM , BT CNG MT HNG T: a Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin hiu hai bỡnh phng: Vớ d 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 36x2 = (2x2 + 9)2 (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 6x + 9) Vớ d 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 16x2(x4 + 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) b Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin nhõn t chung Vớ d 1: x7 + x2 + = (x7 x) + (x2 + x + ) = x(x6 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x2 - x + 1) Vớ d 2: x7 + x5 + = (x7 x ) + (x5 x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 1)(x3 + 1) + x2(x3 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x 1)(x4 + x) + x2 (x 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 x4 + x2 x) + (x3 x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x3 x + 1) Ghi nh: Cỏc a thc cú dng x3m + + x3n + + nh: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; u cú nhõn t chung l x2 + x + IV Bi v nh : Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t 10) x4 + 4x2 1) x3 - 7x + 11) x4 + 2) x - 9x + 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 12) x3 6x2 + 11x 13) x4 + 8x2 -20 Tun Tit 3,4 Ngy son: 24/9/15 PHN TCH A THC THNH NHN T (tt) I Mc tiờu: 1-KT: H thng li cỏc dng toỏn v cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t 2-KN: Nõng cao trỡnh v k nng v Gii mt s bi v phõn tớch a thc thnh nhõn t 3-T: Giỏo dc HS ý thc hc nghiờm tỳc, cn thn, chớnh xỏc gii toỏn II/ Kin thc cn nh Phõn tớch a thc thnh nhõn t l bin i a thc ú thnh mt tớch ca nhng n thc v a thc Phõn tớch a thc thnh nhõn t bng cỏc phng phỏp thụng thng: - t nhõn t chung - Dựng hng ng thc - Nhúm hng t Phõn tớch a thc thnh nhõn t bng vi phng phỏp khỏc - Tỏch mt hng t thnh nhiu hng t - Thờm bt cựng mt hng t - t n ph (cũn gi l i bin s) - Dựng phng phỏp h bt nh - Tỡm nghim ca a thc - Quy tt HORNER (Hút - N) III / Phng phỏp v Bi nh lớ b sung: + a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q ú p l c ca h s t do, q l c dng ca h s cao nht + Nu f(x) cú tng cỏc h s bng thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + Nu f(x) cú tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + + Nu a l nghim nguyờn ca f(x) v f(1); f(- 1) khỏc thỡ f(1) f(-1) v u l s nguyờn nhanh a-1 a+1 chúng loi tr nghim l c ca h s t T BIN PH: Vớ d 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 t x2 + 10x + 12 = y, a thc cú dng (y 12)(y + 12) + 128 = y2 144 + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Vớ d 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + Gi s x ta vit x4 + 6x3 + 7x2 6x + = x2 ( x2 + 6x + t x - 1 + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] x x x x 1 = y thỡ x2 + = y2 + 2, ú x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x 1)2 x Chỳ ý: Vớ d trờn cú th gii bng cỏch ỏp dng hng ng thc nh sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + = x4 + (6x3 2x2 ) + (9x2 6x + ) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2 Vớ d 3: A = ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz +zx) 2 2 2 2 = ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx) ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx) t x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta cú A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 Vớ d 4: B = 2( x + y + z ) ( x + y + z ) 2( x + y + z )( x + y + z ) + ( x + y + z ) t x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú: B = 2a b2 2bc2 + c4 = 2a 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a b2) + (b c2)2 Ta li cú: a b2 = - 2( x y + y z + z x ) v b c2 = - 2(xy + yz + zx) Do ú; B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 = x y y z z x + x y + y z + z x + x yz + xy z + xyz = xyz ( x + y + z ) Vớ d 5: (a + b + c) 4( a + b + c ) 12abc t a + b = m, a b = n thỡ 4ab = m2 n2 a3 + b3 = (a + b)[(a b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta cú: m3 + 3mn C = (m + c) 4c3 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) PHNG PHP H S BT NH: Vớ d 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhn xột: cỏc s 1, khụng l nghim ca a thc, a thc khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t Nh vy nu a thc phõn tớch c thnh nhõn t thỡ phi cú dng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = ac + b + d = 12 ng nht a thc ny vi a thc ó cho ta cú: ad + bc = 14 bd = Xột bd = vi b, d Z, b { 1, 3} vi b = thỡ d = h iu kin trờn tr thnh a + c = ac = 2c = c = a = a + 3c = 14 ac = bd = Vy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Vớ d 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhn xột: a thc cú nghim l x = nờn cú tha s l x - ú ta cú: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a = b 2a = a = b = = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c c 2b = c = 2c = Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta li cú 2x3 + x2 - 5x - l a thc cú tng h s ca cỏc hng t bc l v bc chn bng nahu nờn cú nhõn t l x + nờn 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Vớ d 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy ac = 12 bc + ad = 10 a = c = 3c a = bd = 12 b = d = 3d b = 12 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) IV Bi v nh : Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: 1) (x2 + x)2 + (x2 + x) 12 3) (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) 12 2) x12 3x6 + 4) x3 19x 30 5) 64x4 + y4 9) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 6) x3 + 3xy + y3 10) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 7) x8 + x + 11) x8 + 3x4 + 8) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 12) x4 - 8x + 63 Tun Tit 5,6 Ngy son: 1/10/15 CC BI TON V BIU THC HU T I Mc tiờu: 1-KT: H thng li cỏc dng toỏn v cỏc phng phỏp rỳt gn biu thc 2-KN: Rốn k nng v gii mt s bi v rỳt gn biu thc 3-T: Giỏo dc HS ý thc hc nghiờm tỳc, cn thn, chớnh xỏc gii toỏn II Kin thc cn nh: Cỏc bc rỳt gn biu thc hu t a) Tỡm KX: Phõn tớch mu thnh nhõn t, cho tt c cỏc nhõn t khỏc b) Phõn tớch t thnh nhõn , chia t v mu cho nhõn t chung III Phng phỏp v Bi tp: Bi 1: Cho biu thc A = x4 5x2 + x 10 x + a) Rỳt gn A b) tỡm x A = c) Tỡm giỏ tr ca A x = Gii a)kx : x4 10x2 + [(x2)2 x2] (9x2 9) x2(x2 1) 9(x2 1) x x x 2 (x 1)(x 9) (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3) x x x T : x4 5x2 + = [(x2)2 x2] (x2 4) = x2(x2 1) 4(x2 1) = (x2 1)(x2 4) = (x 1)(x + 1)(x 2)(x + 2) Vi x 1; x thỡ A= (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) b) A = (x - 2)(x + 2) = (x 2)(x + 2) = x = (x - 3)(x + 3) x = 2x = x = c) x = x = x = x = * Vi x = thỡ A = (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 = = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) * Vi x = - thỡ A khụng xỏc nh Bi 2: Cho biu thc B = x x 12 x + 45 x 19 x + 33 x a) Rỳt gn B b) Tỡm x B > Gii a) Phõn tớch mu: 3x3 19x2 + 33x = (3x3 9x2) (10x2 30x) + (3x 9) = (x 3)(3x2 10x + 3) = (x 3)[(3x2 9x) (x 3)] = (x 3)2(3x 1) kx: (x 3)2(3x 1) x v x b) Phõn tớch t, ta cú: 2x3 7x2 12x + 45 = (2x3 6x2 ) - (x2 - 3x) (15x - 45) = (x 3)(2x2 x 15) = (x 3)[(2x2 6x) + (5x 15)] = (x 3)2(2x + 5) Vi x v x Thỡ B = (x - 3) (2x + 5) 2x + x x 12 x + 45 = = (x - 3) (3x - 1) 3x - x 19 x + 33 x x > x > x > x> x + > 2x + c) B > >0 3x - x < x < x < x + < x < Bi x 2x + : Cho biu thc C = ữ x x +1 x x a) Rỳt gn biu thc C b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x giỏ tr ca biu thc B l s nguyờn Gii a) kx: x x x + x + 2(1 x) ( x 1)( x + 1) + : = = C= ữ 2x 2x x x + 1 x x (1 x)(1 + x) b) B cú giỏ tr nguyờn x l s nguyờn thỡ cú giỏ tr nguyờn 2x x = x = x = x = 2x l (2) x = x = 1,5 x = x = i chiu kx thỡ ch cú x = tho Bi Cho biu thc D = x3 + x x x x + x2 + a) Rỳt gn biu thc D b) Tỡm x nguyờn D cú giỏ tr nguyờn c) Tỡm giỏ tr ca D x = Gii a) Nu x + > thỡ x + = x + nờn x3 + x x x3 + x x x( x 1)( x + 2) x2 x = = D= = x x + x2 + x( x + 2) x + x( x + 2) ( x 2)( x + 2) Nu x + < thỡ x + = - (x + 2) nờn D= x3 + x x x3 + x x x( x 1)( x + 2) x = = = 2 x x+2 x +4 x( x + 2) x + x( x + 2) ( x 2)( x + 2) Nu x + = x = -2 thỡ biu thc D khụng xỏc nh b) D cú giỏ tr nguyờn thỡ x x2 x hoc cú giỏ tr nguyờn 2 x - x M2 x(x - 1) M2 x2 x +) cú giỏ tr nguyờn x > - x > - Vỡ x(x 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip nờn chia ht cho vi mi x > - +) x M2 x = 2k x x = 2k (k Z; k < - 1) cú giỏ tr nguyờn x < - x < - c) Khi x = x > - nờn D = 6(6 1) x2 x = 15 = 2 Bi v nh Bi 1: x x x x + Cho biu thc A = ữ: ữ x + x + x + 5x + x a) Rỳt gn A b) Tỡm x A = 0; A > Bi 2: Tun Tit 7,8 Ngy son: 8/10/15 TèM GI TR LN NHT, NH NHT CA MT BIU THC I Mc tiờu: 1-KT: H thng li cỏc cụng thc v phộp bin i cn thc 2-KN: Rốn k nng gii mt s bi v tỡm giỏ tr ln nht, nh nht 3-T: Giỏo dc HS ý thc hc nghiờm tỳc, cn thn, chớnh xỏc gii toỏn II Kin thc cn nh: Cỏc nh ngha nh ngha giỏ tr ln nht (GTLN) ca mt biu thc i s cho biu thc f(x,y, ) xỏc nh trờn D : M c gi l GTLN ca biu thc f(x,y, ) trờn D nu iu kin sau ng thi tho : f(x,y, ) M (x,y, ) D (x0, y0, ) D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiu : M = Max f(x,y, ) = fmax vi (x,y, ) D nh ngha giỏ tr nh nht (GTNN) ca mt biu thc i s cho biu thc f(x,y, ) xỏc nh trờn D : M c gi l GTNN ca biu thc f(x,y, ) trờn D nu iu kin sau ng thi tho : f(x,y, ) M (x,y, ) D (x0, y0, ) D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiu : M = Min f(x,y, ) = fmin vi (x,y, ) D Cỏc kin thc thng dựng Lu tha : a) x2 x R x2k x R, k z - x2k Tng quỏt : [f (x)]2k x R, k z - [f (x)]2k T ú suy : [f (x)]2k + m m x R, k z 2k M - [f (x)] M b) x x ( x )2k x0 ; k z Tng quỏt : ( A )2k A 0(A l biu thc) Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i : a) |x| x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nu "=" xy x.y c) |x-y| |x| - |y| ; nu "=" xy x.y v |x| |y| 2.3 Bt ng thc cụsi : a + a + + a n n a1 a .a n ; i = 1, n : n Du "=" xy a1 = a2 = = an Mt s BT n gin c suy t BT (A+B)2 a a2 + b2 2ab nN, n (a + b)2 4ab c 2( a2 + b2 ) (a + b)2 a b d + b a 1 e + b a a+b b III Phng phỏp v Bi tp: * Phng phỏp a) tỡm giỏ tr nh nht ca A, ta cn: + Chng minh A k vi k l hng s + Ch du = cú th xy vi giỏ tr no ú ca bin b) tỡm giỏ tr ln nht ca A, ta cn: + Chng minh A k vi k l hng s + Ch d = cú th xy vi giỏ tr no ú ca bin Kớ hiu : A l giỏ tr nh nht ca A; max A l giỏ tr ln nht ca A * Bi Dng 1: Tam thc bc hai Vớ d : a) Tỡm giỏ tr nh nht ca A = 2x2 8x + b) Tỡm giỏ tr ln nht ca B = -5x2 4x + Gii a) A = 2(x2 4x + 4) = 2(x 2)2 - A = - x = 4 9 x) + = - 5(x2 + 2.x + ) + = - 5(x + )2 5 25 5 5 b) B = - 5(x2 + max B = x= 5 Vớ d 2: Cho tam thc bc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tỡm P nu a > b) Tỡm max P nu a < Gii b b b2 Ta cú: P = a(x + x) + c = a(x + ) + (c ) a 2a 4a b b2 t c = k Do (x + ) nờn: 2a 4a a) Nu a > thỡ a(x + b b ) ú P k P = k x = 2a 2a b) Nu a < thỡ a(x + b b ) ú P k max P = k x = 2a 2a Dng 2: a thc cú du giỏ tr tuyt i Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca a) A = (3x 1)2 3x - + t 3x - = y thỡ A = y2 4y + = (y 2)2 + A = y = x = 3x - = 3x - = x = - 3x = b) B = x - + x - B= x-2 + x-3 =B= x-2 + 3-x x-2 +3-x =1 B = (x 2)(3 x) x 2 Vớ d 2: Tỡm GTNN ca C = x - x + + x - x - 2 2 2 Ta cú C = x - x + + x - x - = x - x + + + x - x x - x + + + x - x = C = (x2 x + 1)(2 + x x2) + x x2 x2 x (x + 1)(x 2) - x Vớ d 3: Tỡm giỏ tr nh nht ca : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cú |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) V x + x = x + x x + x = (2) Vy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| + = Ta cú t (1) Du bng xy x (2) Du bng xy x Vy T cú giỏ tr nh nht l x 3.Dng 3: a thc bc cao Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca a) A = x(x 3)(x 4)(x 7) = (x2 7x)( x2 7x + 12) t x2 7x + thỡ A = (y 6)(y + 6) = y2 36 - 36 Min A = - 36 y = x2 7x + = (x 1)(x 6) = x = hoc x = b) B = 2x2 + y2 2xy 2x + = (x2 2xy + y2) + (x2 2x + 1) + x - y = x=y=1 = (x y)2 + (x 1)2 + x - = c) C = x2 + xy + y2 3x 3y = x2 2x + y2 2y + xy x y Ta cú C + = (x2 2x + 1) + (y2 2y + 1) + (xy x y + 1) = (x 1)2 + (y 1)2 + (x 1)(y 1) t x = a; y = b thỡ C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a b b b2 3b 3b + )+ = (a + )2 + 2 4 Min (C + 3) = hay C = - a = b = x = y = Vớ d 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 t x + = y C = (y + 1)4 + (y 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 + A = y = x = - b) D = x4 6x3 + 10x2 6x + = (x4 6x3 + 9x2 ) + (x2 6x + 9) = (x2 3x)2 + (x 3)2 D = x = Dng phõn thc: a Phõn thc cú t l hng s, mu l tam thc bc hai Biu thc dng ny t GTNN mu t GTLN Vớ d : Tỡm GTNN ca A = -2 2 = = 9x - 6x + (3x - 1) + 6x - - 9x Vỡ (3x 1)2 (3x 1)2 + A = - 1 2 A 2 (3x - 1) + 4 (3x - 1) + 4 1 3x = x = b Phõn thc cú mu l bỡnh phng ca mt nh thc Vớ d 1: Tỡm GTNN ca A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cỏch 1: Tỏch t thnh cỏc nhúm cú nhõn t chung vi mu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = = + A= Thỡ 2 t y = x-1 x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) A = 2y + y2 = (y 1)2 + A = y = =1 x=2 x-1 +) Cỏch 2: Vit biu thc A thnh tng ca mt s vi mt phõn thc khụng õm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)2 = = 2+ A= x - 2x + (x - 1) (x - 1) A = x = x = Vớ d 2: Tỡm GTLN ca B = Ta cú B = x x + 20x + 100 x x 1 = x = 10 thỡ t y = x + 20x + 100 (x + 10) y x + 10 B=( 1 1 1 10 ).y2 = - 10y2 + y = - 10(y2 2.y y+ )+ = - 10 y + ữ y 20 400 40 40 40 10 Max B = 1 y x = 10 =0 y= 40 10 10 c) Vớ d 3: Tỡm GTNN ca C = x + y2 x + 2xy + y (x + y)2 + (x - y) x +y 1 (x - y) A = x = y Ta cú: C = = = + x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) 2 2 c Cỏc phõn thc cú dng khỏc Vớ d : Tỡm GTNN, GTLN (Cc tr) ca A = - 4x x2 +1 - 4x (4x 4x + 4) (x + 1) (x - 2) Ta cú: A = = = A = - x = x +1 x2 +1 x +1 - 4x (4x + 4) (4x + 4x + 1) (2x + 1) Ta li cú: A = = = max A = x = 2 x +1 x +1 x +1 Tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc bit quan h gia cỏc bin Vớ d 1: Cho x + y = Tỡm GTNN ca A = x3 + y3 + xy Ta cú A = (x + y)(x2 xy + y2) + xy = x2 + y2 (vỡ x + y = 1) a) Cỏch 1: Biu th n ny qua n kia, ri a v mt tam thc bc hai T x + y = x = y 1 1 1 nờn A = (1 y) + y = 2(y y) + = 2(y 2.y + ) + = y - ữ + 2 2 Vy A = 2 1 x= y= 2 b) Cỏch 2: S dng k ó cho, lm xut hin mt biu thc mi cú cha A T x + y = x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mt khỏc (x y)2 x2 2xy + y2 (2) Cng (1) vi (2) v theo v, ta cú: 2(x2 + y2) x2 + y2 1 A = x=y= 2 Vớ d 2: Cho x + y + z = a) Tỡm GTNN ca A = x2 + y2 + z2 b) Tỡm GTLN ca B = xy + yz + xz T Cho x + y + z = Cho (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta cú x + y + z - xy yz zx = ( x + y + z - xy yz zx) = ( x y ) + ( x z )2 + ( y z ) x + y + z xy+ yz + zx (2) ng thc xy x = y = z a) T (1) v (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 A = x = y = z = b) T (1) v (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) xy+ yz + zx max B = x = y = z = Vớ d 3: Tỡm giỏ tr ln nht ca S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) vi x,y,z > v x + y + z = Vỡ x,y,z > ,ỏp dng BT Cụsi ta cú: x+ y + z 3 xyz xyz 1 xyz 27 ỏp dng bt ng thc Cụsi cho x+y ; y+z ; x+z ta cú ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 3 ( x + y ) ( y + z ) ( x + z ) Du bng xy x = y = z = Vy S cú giỏ tr ln nht l 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 8 S = 27 27 729 x = y = z = 729 Bi v nh Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau : a A = x2 - 10x + 20 b B = (x-1)2 + (x-3)2 3x x + c C = x2 2x +1 d D = x3 + y3 + xy e E = 4( x + y + xy ) x + y + xy (x 1) biết x + y = với x,y > Tỡm GTLN ca cỏc biu thc sau : a A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 x2 + b B= ; x +1 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc A = C= x + 74 x 196 x 10 x + 25 x2 + 4x + x2 + 2x + PHN PHI CHNG TRèNH DY BI DNG HSG MễN TON NM HC 2015-2016 Tun Tit 22 1,2 Phõn tớch a thc thnh nhõn t 23 3,4 Phõn tớch a thc thnh nhõn t(tt) 24 5,6 Phõn tớch a thc thnh nhõn t(tt) 25 7,8 Phõn tớch a thc thnh nhõn t(tt) 25 9,10 Rỳt gn biu thc 27 11,12 Rỳt gn biu thc (tt) 28 13,14 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc 29 15,16 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc 30 17,18 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc 31 19,20 Giaỷi phửụng trỡnh 32 21,22 Giaỷi phửụng trỡnh 33 23,24 Bi chng minh hỡnh hc 34 25,26 Bi chng minh hỡnh hc Ký duyt ca BGH Trn Thnh c Tờn bi dy Ký duyt ca t trng Nguyn Trớ Hiu Tun 10 Tit 9,10 Ngy son: 12/10/15 Tun 10 Tit 9,10 Ngy son: 15/10/15 CC BI TON CHNG MINH HèNH HC I Mc tiờu: 1-KT: H thng li cỏc kin thc v t giỏc (cỏc t giỏc c bit) 2-KN: Rốn k nng v gii mt s bi chng minh hỡnh hc 3-T: Giỏo dc HS ý thc hc nghiờm tỳc, cn thn, chớnh xỏc gii toỏn II Kin thc cn nh: nh ngha, tớnh cht v (cỏc t giỏc c bit) Cỏc du hiu nhn bit III Phng phỏp v Bi tp: Bi 1: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) ú ỏy CD bng tng hai cnh bờn BC v AD Hai ng phõn giỏc ca hai gúc A ,B ct ti K Chng minh C,D,K thng hng A B D K C HD : Gi K l giao im ca phõn giỏc gúc A vi DC D dng chng minh c DAK cõn ti D T AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA => BK l phõn giỏc ca gúc B Bi ny cú th c/m theo hng : - Gi K l giao im ca hai phõn giỏc cỏc gúc A v B C/m KC + KD = DC => K thuc DC => pcm Bi : Cho t giỏc ABCD Gi ABCD theo th t l trng tõm ca cỏc tam giỏc BCD, ACD, ABD, ABC Chng minh rng cỏc ng thng AA, BB, CC,DD ng quy B E A C I F A J HD : Gi E,F ln lt l trung im ca AC,DBD ; I l trung im ca EF ; J l trung im ca AC - Tam giỏc CAA cú EJ l ng trung bỡnh nờn EJ//AA - Tam giỏc FEJ cú AA qua trung im A ca FJ v // vi EJ nờn AA qua trung im I ca FE - Hon ton tng t chng minh c BB, CC,DD qua I - Cỏc ng thng trờn ng quy ti I Bi : Cho hỡnh thang ABCD M,N ln lt l trung im ca hai ỏy AD v BC O l im thuc MN Qua O k ng thng song song vi ỏy hỡnh thang ng thng ny ct AB,CD ln lt ti E,F Chng minh rng OE=OF B E O C H F I M A HD : N D Chng minh SBNMA = SNCDM (Do cú tng hai ỏy v chiu cao bng ) Chng minh SBEN=SNFC v SEAM = SFMD c SEMN =SFMN T ú cú EH = FI ( vi EH, FI ln lt l hai ng cao ca hai tam giỏc => OE =OF Bi 4: Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cnh AB ly im E v trờn cnh AD ly im F cho AE = AF V AH vuụng gúc vi BF (H thuc BF), AH ct DC v BC ln lt ti hai im M, N Chng minh rng t giỏc AEMD l hỡnh ch nht Bit din tớch tam giỏc BCH gp bn ln din tớch tam giỏc AEH Chng minh rng: AC = 2EF 1 = + Chng minh rng: 2 AD AM AN Hng dn ca GV E A B H F D C M N ã ã ã a) Ta cú DAM (cựng ph BAH ) = ABF AB = AD ( gt) ã ã BAF = ADM = 900 (ABCD l hỡnh vuụng) ADM = BAF (g.c.g) => DM=AF, m AF = AE (gt) Nờn AE = DM Li cú AE // DM ( vỡ AB // DC ) Suy t giỏc AEMD l hỡnh bỡnh hnh ã Mt khỏc DAE = 900 (gt) Vy t giỏc AEMD l hỡnh ch nht b) Ta cú ABH : FAH (g.g) AB BH BC BH => = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH ã ã ã Li cú HAB (cựng ph ABH ) = HBC CBH : EAH (c.g.c) 2 SCBH SCBH BC BC 2 = = (gt) ữ , m S ữ = nờn BC = (2AE) SEAH AE AE EAH BC = 2AE E l trung im ca AB, F l trung im ca AD Do ú: BD = 2EF hay AC = 2EF (pcm) c) Do AD // CN (gt) p dng h qu nh lý ta lột, ta cú: AD AM AD CN = = CN MN AM MN Li cú: MC // AB ( gt) p dng h qu nh lý ta lột, ta cú: MN MC AB MC AD MC = = = hay AN AB AN MN AN MN 2 2 AD AD CN CM CN + CM MN = =1 ữ + ữ = ữ + ữ = MN MN AM AN MN MN 2 1 AD AD ữ + ữ = => AM + AN = AD AM AN (pcm) Bi v nh : Bi 1: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, trờn ng chộo AC ly mt im I Tia DI ct ng thng AB ti M, ct ng thng BC ti N Chng minh a) AM DM CB ; = = AB DN CN b) ID2 = IM.IN Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng tai A (AC > AB), ng cao AH Trong na mt phng b AH cú cha im C v hỡnh vuụng AHKE > 450 1)Chng minh rng B 2)Gi P l giao im ca AC v KE Chng minh rng tam giỏc ABP vuụng cõn 3)Gi Q l nh th t ca hỡnh bỡnh hnh APQB v I l giao im ca BP v AQ Chng minh ba im H, I, E thng hng 4)Chng minh rng HE // QK Tun 11 Tit 11,12 Ngy son: 22/10/15 RT GN BIU THC CHA CN I Mc tiờu: 1-KT: H thng li cỏc kin thc v bin i cn thc 2-KN: Rốn k nng v gii mt s bi rỳt gn biu thc cha cn 3-T: Giỏo dc HS ý thc hc nghiờm tỳc, cn thn, chớnh xỏc gii toỏn II Kin thc cn nh: Cỏc cụng thc bin i cn thc SGK toỏn Cụng thc cn phc tp: A + A2 B A B = A A2 B ( A > 0; B > 0; A2 > B ) III Phng phỏp v Bi tp: Bi 1: x (1 + x )3 + (1 x )3 Cho A = x2 Rỳt gn A Tỡm x bit A Hng dn: A xỏc nh khi: x A = = A ( )2 ( ) x 1+ x + x + x x ( x2 x 1+ x 1+ x + x ) = 2x x 2x x 1 x 2 1 Khi x thỡ x x 2 1 x Vy A x hoc 2 2 Bi 2: Gii phng trỡnh: x x + 16x = Hng dn: KX: x 16 Khi x thỡ 2x Khi PT x2 - x = 2( + 16x + 1) x x + x) : Bi : a) Rỳt gn biu thc P = ( x (1 x ) Tớnh giỏ tr biu thc P x = 64 3a l s nguyờn b) t a = + + Chng minh rng (a 3) Hng dn: a ) Rỳt gn P = ( x )2 Trc cn thc mu ta cú x = + Thay vo P= b) a = + + a3 = 3a +4 a(a2 - ) = a2 - = : a (vỡ a>0) 64 3a = Z thay vo v rỳt gn ta cú (a 3) Bi 4: 2+ x = x5 Gii phng trỡnh iu kin x ú x = x Hng dn: + x = x ta c x = Gii phng trỡnh x x + x +1 x5 x +6 x x a) Tỡm iu kin ca x biu thc A cú ngha b) Rỳt gn biu thc A Hng dn: iu kin : x 0; x 4; x x x + x +1 x A= = x5 x +6 x x x x Cho biu thc A = Bi 5: = = x ( x +3 ( )( ) ( )( )( x + x +1 x ( ( x 3) ( x ) ( x x ( )( x )( x 3) ( )= x 2) x +1 = ) x x ) ) = x +3 x + x +1 x x x + + 2x + x x ( x )( x +1 x Bi Tp v nh Bi 1: Cho phng trỡnh : 2+ x + x + 2+ x x a) Tỡm iu kin ca x phng trỡnh cú ngha b) Gii phng trỡnh Bi 2: Thc hin phộp tớnh = a ) (4 + 7)( 1) b) + + + + + + + + c) A = e) ( 1+ 23 + + 2+ 23 + + ) ;d) + 2004 + 2005 + 12 + 24 ;f) 2+ + 2+ g ) = + + + 2004 + 2005 + 2004 + + + + x ) ... Vớ d 6: x4 + 199 7x2 + 199 6x + 199 7 = (x4 + x2 + 1) + ( 199 6x2 + 199 6x + 199 6) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 199 6(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 199 6) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 199 7) Vớ d 7:... = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9) 2 36x2 = (2x2 + 9) 2 (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 6x + 9) Vớ d 2: x8 + 98 x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96 x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) +... x x 12 x + 45 x 19 x + 33 x a) Rỳt gn B b) Tỡm x B > Gii a) Phõn tớch mu: 3x3 19x2 + 33x = (3x3 9x2) (10x2 30x) + (3x 9) = (x 3)(3x2 10x + 3) = (x 3)[(3x2 9x) (x 3)] = (x 3)2(3x