chuyên đề hình học THCS

chuyên đề hình học THCS: lý thuyết,bài tập có giải

Trang 2

Bài toán căn bản 1:

Cho ∆ABCvà∆A’B’C’, có trung

tuyến tương ứng là AM và A’M’

Hãy tập vận dụng vào bài thi sau (Đà Nẵng 15-16):

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường

cao AH Đường tròn đường kính AH có

tâm O cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại

E và F Gọi M là trung điểm của cạnh HC

a) Chứng minh AE.AB = AF.AC

b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến

của đường tròn đường kính AH

c) Chứng minh HBO = HAM

d) Chứng minh điểm O là trực tâm của ∆ABM

HD:

c) Cần nhận ra ∆ABH∆CAH Suy ra ∆OBH∆MAH

Nhưng trong bài này ta dùng HTL nhanh hơn

Trong vuông ABC, đường cao AH có 2

AH = HB.HC

 AH.2OH = HB.2HM AH = HM

HB HO



Cho tam giác ABC có đường trung

tuyến AM Từ một điểm I tùy ý nằm

trong đoạn AM vẽ đường thẳng song

song với BC nó lần lượt cắt AB và AC

tại D và E

Chứng minh I là trung điểm của DE

HD :

Hệ quả của định lí Ta-lét

Hãy tập vận dụng vào bài thi sau (chuyên toán LHP 15-16):

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M là trung điểm của cạnh BCvà N là điểm đối xứng của M qua O Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D Kẻ đường kính AE

Chứng minh rằng:

K E

F O

M H

Trang 3

a) Chứng minh BA.BC = 2BD.BE

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của ABC

 Gọi F là giao của BD và CA

Ta có BD.BE = BA.BM (cmt) BD = BM

BA BE

  BDM BAE(c-g-c) BMD=BEA

 Mà BCF = BEA (cùng chắn AB)

BMD=BCF

  MD // CF  D là trung điểm của BF

Gọi T là giao diểm AH và CD

 TA = TH  T là trung điểm của AH

Bài toán căn bản 3: Định lí về tính

chất phân giác của tam giác

Nếu AD là phân giác trong, AE 

AD thì AE là phân giác ngoài

Ta có các tỉ số bằng nhau:

DB EB AB

DC  EC  AC

HD:Nhận dạng câu hỏi:BD.EC = EB.DC thì phải nghĩ đến phân giác trong và

ngoài của tam giác ABC

Cho ∆ABC có đường cao AD.Biết rằng

Trang 4

Bài toán căn bản 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp

Hãy tập vận dụng vào bài toán sau:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có phân giác

góc BAC cắt (O) tại D (khác A) Vẽ đường tròn

tâm I đi qua A và D sao cho cắt cạnh AC tại F và

cắt tia AB tại E Chứng minh:

a) BDE = CDF

b) Tìm vị trí của I sao cho dây EF của (I) có độ dài

ngắn nhất

Cho (O,6cm) và hai đường kính AB, CD vuông

góc Gọi E là trung điểm của OC

Vẽ dây BF qua E FD cắt AB tại G

a) Chứng tỏ AFEO là tứ giác nội tiếp

b) Chứng tỏ DG.DF = BE.BF

c) Tính các cạnh tam giác AFG

HD: Bài này để luyện tính toán rất hay

b) Cách 1:

BE.BF = BO.BA = 2R2

DG.DF = DO.DC = 2R2

H O A

O A

Trang 5

Cách 2:

2OB

DG.DF DC.cos D R.2R 2R

cos D

2OB

Cho đường tròn (O), đường kính MN và dây

cung PQ vuông góc với MN tại I (khác M, N)

Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (khác N, P) Nối

M với J cắt PQ tại H

a) Chứng minh JM là phân giác của PJQvà

tứ giác HINJ nội tiếp

b) Gọi giao điểm của PN với MJ là G,

Chứng minh KG là phân giác góc PKJ (dùng so le trong và đồng vị)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường

tròn (O), ba đường cao AD, BE và CF cắt

nhau tại trực tâm H Vẽ DEF

a) Tìm 6 tứ giác nội tiếp trong hình

b) Trực tâm H cũng là tâm đường tròn

nội tiếp tam giác DEF

c) Bán kính OA vuông góc với FE

HD:

b) BDHF nội tiếp FDH ABH

ABDE nội tiếp ABHHDE

FDHHDEDA là phân giác FDE

Chứng minh tương tự cũng được EB là phân giác góc DEF

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

H

K G

O

A

Trang 6

c) Vẽ thêm tiếp tuyến tại A

* BFEC nội tiếp AFEBCA

Mà BAx BCA

Nên BAx AFE Ax // FE

Do Ax  AO nên EF  AO

Hãy tập vận dụng vào bài thi sau:

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường cao

BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P B, Q C)

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE Chứng minh HB.HP = HC.HQ

c) Chứng minh OA vuông góc với DE

Hãy tập vận dụng vào bài thi sau

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) các tiếp tuyến tại B và C với (O cắt

nhau tại E, AE cắt (O) tại D (khác A)

a) Chứng minh OBEC là tứ giác nội tiếp

b) Từ E kẻ đường thẳng d song song với tiếp tuyến tại A của (O), d cắt AB và AC lần lượt tại P và Q Chứng minh AB.AP = AD.AE

c) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh EP = EQ và PAE MAC

d) Chứng minh  2

4

BC

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn

(O), ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại

trực tâm H Tia AD, BEvà CF lần lượt cắt

đường tròn tại G, I và J Vẽ đường kính AK

a) BHCK là hình bình hành

b) BCKG là hình thang cân

c) H và G đối xứng nhau qua BC

d) H là tâm đường tròn nội tiếp GIJ

HD:

a) * Dùng hai cặp cạnh đối song song

b) * Nhớ lại định lí hình thang nội tiếp là hình

thang cân

c) * Chứng minh HBG cân tại B có đường

cao BD cũng là trung trực của HG

d) * Ôn lại định lí hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Khi đó: BJ CK (BK//CJ)

mà BGCK(doBCKG là hình thang cân) nên BJBG

 IB là phân giác góc JIG

Trang 7

Chứng minh tương tự để có GA là phân giác của góc IGJ Nếu không ta có thể dùng bài căn bản số 8 như sau:

* AO EF

* EF là đường trung bình của tam giác HIJ để có OA  IJ  A là điểm chính giữa cung IJ  GA là phân giác góc IGJ

Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn

(O;R) Vẽđường cao AH và đường kính AK

a) Chứng minh rằng AB.AC = 2R.AH

2 2 2R 4R (dựa vào bài căn bản 5)

Hãy vận dụng vào bài thi sau:

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn (O) Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD Gọi M là trung điểm BC

a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp

Cho đường tròn (O;R) và A ở

ngoài (O)

a) Vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến

ACD.Chứng minh rằng

AB2 = AC AD = AO2 R2

b) Ngược lại nếu có AB2= AC.AD hãy chứng tỏ AB là tiếp tuyến của (O)

Hãy vận dụng vào bài toán sau:

D

Trang 8

Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm E

tùy ý Vẽ hai tam giác đều AEC và

EBD cùng nằm một phía đối với

đoạn thẳng AB Vẽ (I) và (O) lần

lượt là đường tròn ngoại tiếp hai

tam giác đó Chúng cắt nhau tại F

lượt tại H và K Chứng minh EHFK là hình thoi

c) Tìm vị trí của E trên đoạn thẳng AB sao cho CF.CB + DF.DA nhỏ nhất

Tứ giác BCDE có tia CB cắt tia DE tại A Chứng minh:

a) Nếu BCDE nội tiếp thì

AB.AC = AE.AD

b) Nếu AB.AC = AE.AD thì

BCDE là tứ giác nội tiếp

HD:

b) ∆ABE ∆ADC (c-g-c)

Suy ra ABEADC

BCDE là tứ giác nội tiếp

Cho đường tròn (O;R) và A ở trong (O) Vẽ 2 dây

cung BAC và DAE Chứng minh rằng:

F

O I

C

Trang 9

Trên nửa đường tròn đường kính BC = 2R,

lấy hai điểm M, N sao cho M thuộc cung

BN Gọi A là giao điểm của BM và CN H là

giao điểm của BN và CM Chứng minh:

a) Tứ giác AMHN nội tiếp

Cho điểm A ở ngoài đường tròn

(O,R) với OA = 2R, vẽ 2 tiếp tuyến

AB, AC (B, C là tiếp điểm) AO cắt

BC tại H Chứng minh rằng:

a) AH  BC và ∆ABO là nửa tam

giác đều Tính AB, BC theo R

b) Tia AO cắt (O) theo thứ tự tại I

và K Chứng minh I là tâm đường

tròn nội tiếp ∆ABC

c) Chứng minh AI.HK = IH.AK

HD:

Chú ý hình ảnh

Tích của đoạn nhỏ ở giữa với đoạn lớn nhất mà bằng tích của hai đoạn ở bìa ngoài thì phải nhớ đến tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác

Cho đường tròn (O; R) và điểm A sao

cho OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB,

AC đến (O) (với B,C là các tiếp điểm)

a) Tính góc AOB

b) Từ A vẽ cát tuyến APQ không đi qua

tâm đến đường tròn (O) Gọi H là trung

điểm của PQ ; BC cắt AO tại K

Q P

H

C B

Trang 10

Từ đó dùng tỉ số lượng giác cho KOI tính KI rồi tính KH

Cho điểm A ở ngoài (O;R) Từ A vẽ

hai tiếp tuyến AB, AC và 1 cát tuyến

ADE đến (O) ( với B,C là các tiếp

điểm) AO cắt BC tại H F là trung điểm

của DE Chứng minh:

a) AB2 = AH.AO = AD.AE

b) BFOC là tứ giác nội tiếp và FA

là tia phân giác góc BFC

c) DHOE là tứ giác nội tiếp và HB

là tia phân giác góc DHE

c) Từ câu a ta chứng minh được ADH AOE (c-g-c)

suy ra ADHAOE DHOE nội tiếp

Cho điểm A ở ngoài (O;R) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và 1 cát tuyến ADE đến (O) ( với B,C là các tiếp điểm).AO cắt BC tại H Vẽ dây EI qua H Chứng

minh:

F

H D

C

B

E

Trang 11

a) HA.HO = HB.HC = HI.HE

b) AEOI là tứ giác nội tiếp

vàAO là tia phân giác góc EAI

c) OA là tia phân giác góc DOI

HD:

b) Từ HA.HO= HI.HE ta chứng

minh được AHI EHO (c-g-c)

suy ra OAIOEInên AEOI là tứ

giác nội tiếp

Trong đường tròn đó ta có dây OI =

dây OE nên OIOEAO là phân giác EAI

c) AEOI là tứ giác nội tiếp nên AOIAEI

Mà AEI 1DOI

2

 nên OA là tia phân giác góc DOI

Bài tập vận dụng

hai tiếp tuyến AB, AC (với B,C là các

tiếp điểm) BC cắt AO tại H Vẽ dây

MN qua H và song song với AB (M

thuộc cung nhỏ BC) Đường thẳng

MN cắt AC tại P Chứng minh:

a) ANOM là tứ giác nội tiếp

b) P là trung điểm của AC

hai tiếp tuyến AB, AC(với B,C là các

tiếp điểm) Vẽ dây BD song song với

AC AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E

AO cắt AH tại O Chứng minh:

a) MC2 = MA2= ME.MB và suy ra

M là trung điểm của AC

b) Chứng minh MEHC là tứ giác

nội tiếp

c) Kẻ đường thẳng qua C vuông

góc với AB tại I và cắt AO tại K

Chứng minh B, I, E, K và H cùng thuộc một đường tròn

d) Chứng minh AEKC là tứgiác nội tiếp

e) Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆AEC

HD: a) Dùng bài căn bản 11 ta có MC2= ME.MB

E

Trang 12

AME BMA (g-g) suy ra MA2= ME.MB nên MC2 = MA2 suy ra MC = MA b)MECBDC (EBDC là tgnt)

Mà BDCABC (cùng chắn cung BC)

MH là đường trung bình của ABC nên ABCMHC(đồng vị)

Vậy MHCMECMEHC là tgnt

c) - IBHK là tgnt (1)

- BEHMCH ; AIHC nội tiếp BIHMCH

Nên có BEHBIH IBHE là tgnt (2)

(1) và (2) suy ra I, B, H, K và E cùng thuộc một đường tròn

d) EKIIBE(DO I, B, H, K và E cùng thuộc một đường tròn)

Mà IBEEAC (AME BMA)

Nên EKIEACAEKC nội tiếp

e) Đường tròn ngoại tiếp ∆AEC chính là đường tròn ngoại tiếp ∆AKC

ICHIAH (do AIHC nội tiếp).Mà HACIAH nên ICHHAC

 CB tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AEC

Cho điểm A ở ngoài (O), vẽ hai

tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến

ADE

Kẻ EF  BD, DI  BE BC cắt FI

tại H Gọi J là trung điểm của DE

Chứng minh:

a) AB//FI và suy ra CHIE là tứ

giác nội tiếp

b) BOJC là tứ giác nội tiếp

c) H là trung điểm của FI

C

B

O A

E

Trang 13

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm) Vẽ đường kính CD của (O), AD cắt (O) tại M (M khác D)

a) Chứng minh AMHC nội tiếp

b) Tia BM cắt AO tại N Chứng minh ∆NMH vuông

c) Chứng minh N là trung điểm của AH

d) Gọi I và K lần lượt là các giao điểm của AO với (O) (I nằm giữa A và O) Chứng minh: 1 1 1

Cho đường tròn (O;R) Từ 1 điểm A

nằm ngoài đường tròn, OA = 2R.Vẽ

hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là

2 tiếp điểm) M là điểm di động trên

cung nhỏ BC.Tiếp tuyến tại M của (O)

cắt AB, AC lần lượt tại D và E

a) Tính góc DOE và chu vi ∆DAE

DEkhông đổi khi M di động trên cung nhỏ BC

HD: a) Khi AO = 2R cần nhớ ngay BOC 120 ovà chứng minh ABC đều.Dùng

I K

E D

C

B

M

Trang 14

tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D (và tại E) để tínhDOE 1BOC 60o

2

và chu vi ADE = AB + AC = 2R 3

b) EKOC nội tiếp(2 góc 60o cùng nhìn KE) suy ra EK  DO

Tương tự DI  EO nên OM, DI, và EK đồng quy vì là ba đường cao của ODE c) KOIEOD (g-g) và dùng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông

Cho BC là một dây của (O) và A là một điểm tùy ý thuộc (O) (khác B và C) Qua

A vẽ các đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại I và K Kẻ

AH vuông góc BC tại H Chứng minh rằng:

a) AHIAKH

b) H thuộc đường thẳng chứa tia phân giác của góc IAK

c) AH2 = AI.AK

d) AB cắt IE tại D, AC cắt HK tại E Chứng minh DE // BC

Xét cả hai trường hợp A thuộc cung nhỏ; cung lớn BC

HD:

a và b) * B, I, A và H cùng thuộc 1 đường tròn

* A, H, C và K cùng thuộc 1 đường tròn

Suy ra AHIAKH

c) AHIAHK (g-g) suy ra đpcm

d) *ADHE nội tiếp để chứng minh có cặp góc

đồng vị bằng nhau

Cho M là điểm thuộc nửa đường tròn tâm

O,đường kính AB = 2R Vẽ 2 tia tiếp tuyến

với nửa đường tròn là Ax và By Tiếp tuyến tại

M cắt Ax và By tại C và D Chứng minh rằng:

a) CD = AC + BD

b) Góc COD là góc vuông

y x

K

I

S H

E D

K

I

S

H O

O

B

C

A B

C A

Trang 15

Cách 2: Gọi I là trung điểm của CD

OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Cho nửa đường tròn tâm O, đường

kính AB = 2R C là điểm cố định nằm

giữa A,O M làđiểm tùy ý trên (O)

Đường thẳng vuông góc với MC tại M

cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại D

E D

O

C M

Trang 16

c) Hình thang ADEC có đường cao không đổi nên SADEB nhỏ nhất khi AD + BE nhỏ nhất

Ta cần tìm AD.BE có là hằng số không để dùng bđt Cô-si

ADC BCE (g-g) AD AC AD.BE AC.BC

BC  BE   không đổi

AD BE 2 AC.BC

   dấu = xảy ra khi AD = BE  ADEB là hình chữ nhật hay MC AB

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và cát tuyến ADE (D nằm giữa D, E) Vẽ đường kính BC cắt DE tại I Gọi H là trung điểm của DE

a) Chứng tỏ ABHO là tứ giác nội tiếp

c) Khai thác đường song song để thấy góc HEK giữ vai trò mấu chốt

HEKHAOHBO suy ra đpcm

d) Tia EK cắt CP tại G Tia CQ cắt AO tại Q Ta chứng minh HK là đường trung bình của ΔEDG suy ra KE = KG Dùng bài căn bản 2 ta chứng minh OP = OQ

* ΔBOP = ΔCOQ (c-g-c) suy ra PB // CE

Mà CE EB nên PB CE Suy ra

ME là đường kính

Cho hai đường tròn (O,R) và (O;R’)

tiếp xúc nhau ngoài tại A Vẽ tiếp tuyến

chung ngoài EF (E  (O) ; F  (O’) )

Chứng minh rằng EAF và OMO’ là hai

tam giác vuông

HD: Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt

F

O' A

O

K

H G

Q P

Trang 17

nhau

Cho hai đường tròn (O;R) và

(O’;R’) cắt nhau tại A và B Vẽ

đường kính AOC và đường kính

AO’D Một đường thẳng xy qua A

cắt hai đường tròn trên lần lượt tại

M và N sao cho A nằm giữa M,N

a) Chứng minh C, B, D thẳng

hàng

b) CMND là hình gì?Vìsao?

c) Chứng tỏ rằng M và N luôn luôn cách đều 1 điểm cố định

d) Tìm vị trí đường thẳng xy sao cho MN lớn nhất

e) Tìm vị trí đường thẳng xy sao cho CM + ND lớn nhất

f) Chứng tỏ rằng trung điểm I của MN luôn luôn di động trên một đường cố định

HD:

c) Gọi J là trung điểm của CD suy ra J cố định

Chứng minh IJ là đường trung bình hình thang vuông để từ đó tìm ra được MJN cân tại J Như vậy M và N cách đều J

Vậy (CM + ND)max = 2IJmax = 2AJ

Dấu = xảy ra khi I ≡ A  d AJ tại A

f) Góc vuông AIJ luôn nhìn AJ cố định nên I thuộc đường tròn đường kính AJ

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B (OO’ > R>R’) Trên nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm A kẻ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn (M (O) và N (O’) Biết BM cắt (O’) tại E nằm trong (O) và đường thẳng AB

cắt MN tại I

a) Chứng minhMANMBN 180 o

b) Chứng minh I là trung điểm của MN

c) Qua B vẽ đường thẳng (d) song song MN, nó cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của CD và EM

Chứng minh AMEACD và A, B, P và Q cùng thuộc 1 đường tròn

d) CM cắt DN tại S Chứng minh SMAN là tứ giác nội tiếp

e) Chứng minh PIB cân

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	1,77 MB