Chuyên đề hình học THCS: Vẽ Đường Phụ

Các chuyên đề hình học dành cho bạn THCS(Số 5) Nguyễn Duy Khương-khoá 1518 chuyên Toán-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Đã gần năm từ chuyên đề THCS số 4, hôm tiếp tục viết chuyên đề dành cho THCS Ở chuyên đề lần này, muốn đề cập tới cách kẻ vẽ phụ, điều mà đa số bạn thắc mắc giải hình học Chuyên đề 5: Một số kinh nghiệm kẻ vẽ hình phụ ứng dụng Đã có nhiều sách viết việc kẻ vẽ hình phụ Khi làm tốn hình học khó cần nhạy bén với việc kẻ thêm hình Sự nhạy bén sinh nhờ kinh nghiệm người làm tốn Việc người làm có nhiều kiến thức mơ hình điểm quan trọng vẽ phụ Tuy có cấu hình lạ nên cần linh hoạt I) Vẽ phụ nhờ mơ hình biết trước Đối với loại này, ta cần phải nhận dạng cấu hình tốn, sau tìm mối liên hệ điều cần chứng minh kiến thức biết mơ hình biết Lí thuyết vậy, thực hành khó nói nhiều, cần có kiến thức tảng cấu hình đủ để làm điều Sau số ý quan trọng: - Khi làm toán mà mối liên hệ giả thiết chưa đủ ta hình phụ rộng hình vẽ ban đầu, tức vẽ yếu tố mà giả thiết ban đầu kết cấu - Gần việc dựng thêm đường tròn ngoại tiếp toán xảy - Nắm kiến thức tảng cách giải số toán Bài toán 1: Cho tam giác ABC có đường cao AD Lấy E, F trung điểm AC, AB Gọi (F BD) ∩ (ECD) = D, K Chứng minh rằng: AK đường đối trung tam giác ABC Lời giải: Lấy O tâm ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: ∠AF K = ∠KDB ∠AEK = ∠KDC đó: A, F, K, E, O đồng viên Gọi DK ∩ EF = M , ta có: ∠F ED = ∠EDC = ∠C = ∠M KE đó: M K.M D = M E Tương tự M K.M D = M F nên M trung điểm F E, lại có: ∠F KA = ∠F EA = ∠C = ∠M KE suy AK đường đối trung tam giác AF E Như ý rằng: AM chia đơi BC(theo bổ đề hình thang) nên ta có: AK đường đối trung tam giác ABC Nhận xét: Trong tốn trước tiên cần phải nhớ định nghĩa đường đối trung để từ định cách xử lí theo góc hay tỉ lệ Sau việc dựng thêm tâm ngoại tiếp O quan trọng kết nối trung điểm giả thiết với đường cao AD Bài toán 2(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M trung điểm BC AM ∩ (O) = K, lấy E, F hình chiếu K lên AC, AB Gọi tâm (ABE) I tâm (ACF ) J Chứng minh rằng: IJ ⊥ BC Lời giải: Lấy (ABE) ∩ (ACF ) = A, P Từ giả thiết ta có P BF ∼ P EC(g.g) PB BF KB AC đó: = = = (bổ đề cát tuyến) Do đó: P BE ∼ ACB(c.g.c) PE EC KC AB đó: ∠P BE = ∠P AC = ∠ACB đó: AP BC nên ta có: IJ ⊥ BC(điều phải chứng minh) Nhận xét: Việc dựng dây cung chung mấu chốt để giải dạng liên quan đến hai tâm đường tròn Bài tốn 3(Trần Minh Ngọc): Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF trực tâm H EF ∩ BC = G, gọi K hình chiếu G lên phân giác ∠BAC Gọi L trung điểm AG Chứng minh đường thẳng qua H vuông góc KL chia đơi EF Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M trung điểm BC, AP đường kính (O), J trung điểm EF , ta chứng minh HJ ⊥ KL Gọi Q hình chiếu A lên HJ Ta thấy điều phải chứng minh tương đương: AQ KL hay ∠QAK = ∠AKL = ∠KAL, ý ∠KAB = ∠KAC điều phải chứng minh tương đương: ∠QAE = ∠GAB Lại có: A, Q, E, H đồng viên ∠QAE = ∠JHE Dễ thấy HEF ∼ HCB HEF ∼ P BC(bởi BHCP hình bình hành) Do M P B ∼ JHE(c.g.c) suy ∠JHE = ∠M P B Gọi GA ∩ (O) = R Ta dễ thấy rằng: M, P, H, R thẳng hàng ∠M P B = ∠RAB = ∠GAB = ∠JHE ta thu AQ||LK HJ ⊥ LK tức điều phải chứng minh Nhận xét: Điểm thú vị giải toán ta cần đưa giả thiết đề chung dạng quen thuộc cấu hình trực tâm Gần việc kẻ phụ chuỗi mắt xích liên tục để tới đích Ngồi bạn luyên tập thêm số toán sau: Bài toán 4(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC có trực tâm H HK đường đối trung tam giác HBC Lấy P, Q AB, AC cho K trực tâm tam giác AP Q Chứng minh đường nối tâm (ABQ) (ACP ) song song BC Bài toán 5(EMC 2017): Cho tam giác ABC có trực tâm H trung điểm BC M Đường thẳng qua H vng góc HM cắt AC Y Đường thẳng qua A vng góc AM cắt BH Q QM ∩ (M Y ) = M, J Chứng minh rằng: HJ ⊥ AM II) Vẽ phụ mơ hình lạ Khi thi tránh khỏi việc gặp toán mà bạn chưa thấy dạng Việc kẻ vẽ phụ mà khơng tn theo kinh nghiệm Việc bạn nên hoảng hốt đã, sau có lưu ý sau: - Đề dài lạ nhiều khả ta cần bước chuyển đưa tốn quen thuộc Do đừng thấy lạ mà sợ - Mơ hình lạ sinh nhờ tổng qt hố tốn dễ Chính đặc biệt toán thử xem giải sao(chúng thường dễ hơn) trước bắt tay giải tổng quát theo phong cách tương tự - Chẳng có bấu víu tốt giả thiết tốn nên tìm hiểu thật kĩ liên hệ từ giả thiết tìm kết quan trọng xoay quanh toán(thường dùng cho chứng minh kết luận toán) - Điều quan trọng làm toán nên bạn đừng ngại cách giải lấy việc tính tốn quan trọng nhất, bước kẻ phụ sinh để thu gọn phép tính lựa chọn thơng minh Bài toán 6: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Một đường tròn qua A, O cắt AB, AC P, Q Chứng minh rằng: trực tâm tam giác P QO nằm BC Lời giải: Gọi (K) cắt (O) điểm thứ hai M Ta có: ∠M P A = ∠M OA = M A = 2∠M BA ∠P M B = ∠P BM P M = P B Chú ý M P B ∼ M QC(g.g) M QC cân Q Chú ý OM = OB OM = OC OP, OQ trung trực M B, M C theo định lí đường thẳng Steiner trực tâm J tam giác OP Q nằm BC(đpcm) Nhận xét: Bài toán ứng dụng hay đường thẳng Steiner Điểm quan trọng nhận liên hệ đường tròn xuất giả thiết Bài toán 7(Thi thử KHTN đợt năm 2017): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P điểm cung BC khơng chứa A (O) Lấy E, F AC, AB: P B = CE, P C = BF Gọi (AEF ) ∩ (O) = A, G Chứng minh rằng: GP chia đôi BC Lời giải: Lấy S đối xứng B qua G Ta thấy rằng: GF B ∼ GEC(g.g) GB FB PC GS = = = , ý rằng: ∠SGC = 180◦ − ∠AGC = ∠BP C GC EC PB GC BCP ∼ CSG(c.g.c) ∠BGP = ∠BCP = ∠CSG nên GP SC GP chia đôi BC(theo tính chất đường trung bình) Bài tốn 8(Thi HSG lớp tỉnh Thanh Hố 2011): Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, phân giác ∠A cắt BC D Gọi (ADM )∩AB, AC = E, F = A N trung điểm EF Chứng minh rằng: M N AD Lời giải: Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi L, K trung điểm cung lớn nhỏ BC (O) Ta để ý rằng: O, M, K, L thẳng hàng nằm trung trực BC ∠KAD = ∠DM K = 90◦ nên A, M, K, E, F đồng viên, đồng thời ta có: A, K, L thẳng hàng Ta có: ∠EDK = ∠EAK = ∠KAC = ∠F DK ý rằng: DK đường kính (ADM ) nên DK qua trung điểm NK EK EF hay D, K, N thẳng hàng Từ đó: EN K ∼ BM K hay là: = MK BK EK KD Ta cần chứng minh: = (đúng ta có: DKE ∼ LKB(g.g) nên BK KL DK KE = ) ta thu M N AD(theo định lí T hales)(đpcm) LK KB Cuối bạn thử giải toán sau: Bài toán 9: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) Đường thẳng qua I vng góc OI cắt BC K Đối xứng A qua I L Chứng minh rằng: KI = KL Lời giải: Gọi (AOI) ∩ (O) = J, A Gọi KI ∩ (AOI) = T, I ta có: OT đường kính (AOI) mà OA = OJ đó: IK phân giác góc AIJ Vậy ∠KIL = ∠T AJ Gọi AI ∩(O) = D, A DJ ∩(AIO) = E, J ta có: ∠ADJ = ∠AOT = ∠AIT nên KI DJ Gọi AE ∩ KI = P M trung điểm BC Ta có: IOM K tứ giác nội tiếp nên: ∠IOK = ∠IM B Gọi N trung điểm cung BAC (O) ta có: ∠IN A = ∠IM B AN AD AD AN OI IA = = = ⇔ = Ta chứng minh IAN ∼ P IO hay IP OI DE AE AD AE OI sin ∠IAO sin ∠ADN AN Ta có: = = = tan ∠ADN = Vậy tóm lại ta thu AE sin ∠AJE sin ∠AN D AD điều phải chứng minh Nhận xét: Ý tưởng dựng thêm để tìm mối liên hệ điểm K với mơ hình tâm nội tiếp, từ ta mở rộng hình vẽ ban đầu Bài tốn 10(China TST 2018): Cho tam giác ABC Một đường tròn (T ) tiếp xúc AB, AC D, E(BD + CE < BC) Lấy F, G BC cho BD = BF, CE = CG DG ∩ EF = K Tiếp tuyến (T ) song song BC tiếp xúc (T ) L Chứng minh rằng: K, I, L thẳng hàng Bài toán 11(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I Một đường tròn (T ) tiếp xúc AB, AC E, D Lấy P, Q đoạn BC cho: BE = BP, CD = CQ S = EQ ∩ DP SI ∩ (T ) = J, T J ∩ ED = K Chứng minh rằng: AK chia đôi BC Bài tốn 12(Trí Phan Quang): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF cắt H M trung điểm BC Đường thẳng qua A song song HM cắt (O) điểm thứ hai I EF ∩ BC = S đường thẳng qua A vng góc SO cắt (O) V Chứng minh rằng: V D cắt IH (O) Bài toán 13(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có tâm nội tiếp I E, F hình chiếu I lên AC, AB K tiếp điểm đường tròn A − M ixtilinear nội EF ∩ BC = T M trung điểm BC Chứng minh rằng: AM cắt T K (O) Bài toán 14(Trần Quang Hùng): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua B, C cắt CA, AB E, F = B, C, BE ∩ CF = H Gọi (AEF ) ∩ (O) = G = A, AH ∩ BC = D, GD ∩ (O) = N, G Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: đường thẳng qua N song song AD cắt AM (AEF ) Bài toán 15: Cho tam giác ABC Lấy điểm E, F đoạn AC, AB cát tuyến qua A cắt BE, CF K, H (DHK) giao (DEF ), AD = G, L(= D) Chứng minh tiếp tuyến A (AQG) cắt EF (ALG) 10 ... suy AK đường đối trung tam giác AF E Như ý rằng: AM chia đôi BC(theo bổ đề hình thang) nên ta có: AK đường đối trung tam giác ABC Nhận xét: Trong toán trước tiên cần phải nhớ định nghĩa đường. .. trực tâm H trung điểm BC M Đường thẳng qua H vng góc HM cắt AC Y Đường thẳng qua A vng góc AM cắt BH Q QM ∩ (M Y ) = M, J Chứng minh rằng: HJ ⊥ AM II) Vẽ phụ mơ hình lạ Khi thi khơng thể tránh... đến hai tâm đường tròn Bài tốn 3(Trần Minh Ngọc): Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF trực tâm H EF ∩ BC = G, gọi K hình chiếu G lên phân giác ∠BAC Gọi L trung điểm AG Chứng minh đường thẳng