PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4,0 điểm) Cho A = + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 a) Tính A b) Tìm chữ số tận A c) A có số phương khơng? Vì sao? Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x − +2 = b) Tìm phân số có tổng chúng 1 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 70 mẫu tương ứng chúng tỉ lệ với 5; 1; Bài (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x) Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABM, ACN vuông cân A BN MC cắt D a) Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN b) Chứng minh: BN ⊥ CM c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm Tính MN d) Chứng minh DA phân giác góc MDN Bài (2,0 điểm) ( ) a Tìm số tự nhiên a, b cho: ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIU IM CHM mÔN: TON (ỏp ỏn v biu điểm chấm gồm 04 trang) Bài (4,0 điểm) Cho A = + 32 + 33 + … + 32015 + 32016 a) Tính A b) Tìm chữ số tận A c) A có số phương khơng? Vì sao? Câu Nội dung Điểm 2015 2016 Ta có: A = + + + … + + 0,5 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + … 0,5 + 32015 + 32016) a/ (1,5 đ) A= b/ (1,5 đ) c/ (1,0 đ) 32017 − 0,5 Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) = 3(1 + + 32 + 33) + + 32013(1 + + 32 + 33) = 3.40 + + 32013.40 = 40.(3 + 35 + + 32013) Suy A có chữ số tận Lập luận A chia hết cho Lập luận A không chia hết cho 32 Mà số ngun tố nên suy A khơng số phương 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: x − +2 = b) Tìm phân số có tổng chúng 1 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 70 mẫu tương ứng chúng tỉ lệ với 5; 1; Câu a/ (2,0 đ) Nội dung Lập luận x − +2 > Điểm 0,5 Nên x − +2 = ⇒ x − +2 = ⇒ x − = 0,75 ⇒ x -1 = x – = -1 ⇒ x = x = Vậy x = ; x = a b c Gọi phân số cần tìm ; ; ta có x y z a b c a b c x y z + + =1 = = ; = = x y z 70 5 0,5 0,25 0,5 a b c a x b y c z y ⇒ : = : = : ⇒ x= =z 5 5 Theo tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a b c + + x = y = z = x y z = 70 = ⇒ a = ; b = ; c = x 35 y z 14 5 71 + + 5 10 ; ; Vậy phân số cần tìm 35 14 Bài (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + có đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x) Câu Nội dung a/ Đồ thị hàm số y = ax + qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: (1,5đ) a2- a = a(a+1) +4 ⇒ a2 - a = a2 +a + ⇒ a = -2 Vậy a = -2 đồ thị qua điểm A(a + 1; a2 – a) b/ Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + (1,5đ) ⇒ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) ⇒ -6x + = 6x + ⇒ x = Vậy x = f(3x- 1) = f(1- 3x) 0,75 0,5 0,25 Điểm 0,5 0,75 0,25 0,5 0,75 0,25 Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABM, ACN vuông cân A BN MC cắt D a) Chứng minh: ∆AMC = ∆ABN b) Chứng minh: BN ⊥ CM c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm Tính MN d) Chứng minh DA phân giác góc MDN Câu Nội dung Điểm M N A E F D B C · · · a/ C/minh MAC (Cùng 900 + BAC ) = BAN (2,0đ) MA = AB (∆MAB vuông cân A) AC = AN ( tam giác NAC vuông cân A) ⇒ ∆AMC = ∆ABN(c-g-c) b/ Gọi giao điểm BN với AC F · · (2,0đ) Chỉ AFN ( ∆AMC = ∆ABN) = DFC ∠ANF = ∠FCD ( ∆AMC = ∆ABN ) Từ suy ∠FDC = ∠FAN = 900 Do đó: BN ⊥ CM Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông MDN, BDC, c/ (1,5đ) MDB, NDC để C/m hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2 Tính MN = 21 cm Trên tia BN lấy điểm E, cho BE = MD d/ (1,5đ) CM ∆AMD = ∆ABE (c-g-c) Suy AD = AE ⇒ ∆ADE cân A (1) 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0,75 1· · · Từ (1) (2) ADE = 450 ⇒ ADE = MDN · ⇒ DA phân giác MDN Bài ( 2,0 điểm) 0,25 ( ) a Tìm số tự nhiên a, b cho: ( 2016a + 13b − 1) 2016 + 2016a + b = 2015 Câu Nội dung Nếu a>0 , từ 2015 số lẻ suy b lẻ suy 13b-1 chẵn nên 2015 có ước chẵn ( vơ lí) Suy a = => b(13b-1) = 2015 suy vô lý b số tự nhiên Vậy… Điểm 1,75 0,25 *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần không làm tròn ... MD d/ (1,5đ) CM ∆AMD = ∆ABE (c-g-c) Suy AD = AE ⇒ ∆ADE cân A (1) 0 ,75 0 ,75 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 0,5 0 ,75 1· · · Từ (1) (2) ADE = 450 ⇒ ADE = MDN · ⇒ DA phân giác MDN Bài ( 2,0 điểm) 0,25 (... f(3x- 1) = f(1- 3x) ⇒ -6x + = 6x + ⇒ x = Vậy x = f(3x- 1) = f(1- 3x) 0 ,75 0,5 0,25 Điểm 0,5 0 ,75 0,25 0,5 0 ,75 0,25 Bài (7, 0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn Vẽ phía ngồi tam giác tam giác... 900 + BAC ) = BAN (2,0đ) MA = AB (∆MAB vuông cân A) AC = AN ( tam giác NAC vuông cân A) ⇒ ∆AMC = ∆ABN(c-g-c) b/ Gọi giao điểm BN với AC F · · (2,0đ) Chỉ AFN ( ∆AMC = ∆ABN) = DFC ∠ANF = ∠FCD ( ∆AMC