Đề thi và đáp án vào chuyên toán Nguyễn Trãi Hải Dương. Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương nổi tiếng về đề thi toán rất hay. Đây là một tài liệu quý mà tôi muốn chia sẻ cho mọi người. Mong tài liệu đem lại sự cổ vũ đam mê cho các bạn yêu toán.
Trang 1ðề 56:Thi chuyên Nguyễn Trãi(1999-2000)
( )
2 8 10 12 0 2
+ + − + − =
Câu 2: Tìm các số nguyên k, m, n ñôi một khác nhau và ñồng thời khác 0 ñể ña thức
x x−k x−m x−n + phân tích thành tích của hai ña thức với hệ số nguyên
Câu 3: Cho ñường tròn tâm O và một ñiểm M nằm ngoài hình tròn Qua M kẻ cát tuyến cắt
ñường tròn tại B và C (MC > MB) và tiếp tuyến MA ( A là tiếp ñiểm)
1/ Gọi E và F là chân ñường cao của ∆ABC kẻ tử B, C Chứng minh rằng EF luôn song song với
một ñường thẳng cố ñịnh khi cát tuyến MBC thay ñổi
2/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên MO Chứng minh rằng tứ giác BHOC là tứ giác nội
tiếp
3/ Tìm quỹ tích trọng tâm ∆ABC khi cát tuyến MBC thay ñổi
Câu 4: Cho ña giác lồi A1A2A3A4A5A6A7A8 có các góc ở ñỉnh bằng nhau và ñộ dài các cạnh là những số nguyên Người ta tô mỗi cạnh bằng một trong hai màu xanh hoặc ñỏ Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại cách tô màu sao cho tổng ñộ dài các cạnh màu xanh bằng tổng ñộ dài các cạnh màu ñỏ
Câu 5: Chứng minh:
2
1 2
3 2
m
n − ≥ n + với m n ∈ Ν, *
Hướng dẫn giải
( )
2 8 10 12 0 2
+ + − + − =
Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) theo vế ta ñược:
6
2
y x
+
= −
= −
Bài toán ñã trở nên ñơn giản, bạn ñọc tự giải tiếp
Trang 2Câu 2: Giả sử x x.( −k) ( x−m) ( x−n)+ =1 g x h x( ) ( ) ; trong ñó g(x); h(x) là các ña thức hệ số
nguyên: 1 deg≤ g x h x( ) ( ), <4
Xét r x( )=g x( )−h x( ) (0 deg< r x( )<4)
Ta có: 1=g( ) ( )0 0h =g k h k( ) ( ) =g m h m( ) ( ) =g n h n( ) ( )
Mà 1 1.1= = −( ) ( )1 1− ⇒r( )0 =r k( )=r m( )=r n( )=0
Vì degr x( )<4⇒r x( )≡0 Tức là h x( )=g x( )
Hay: ( ) ( ) ( ) 2( ) ( )
Nhận thấy x x.( −k) ( x−m) ( x−n)+1 có hệ số của x4 là 1 và hệ số tự do là 1 Từ ñó ta có các
trường hợp ñặt g(x) như sau:
+) Nếu g x( )=x2+ax+1 (a∈ Ζ) Ta có:
x x−k x−m x−n =g x − =g x − g x + = x +ax x +ax+
Xét phương trình:(x2+ax) ( x2+ax+2)=0
Rõ ràng tập nghiệm của phương trình này là {0, k, m, n}
( )
2
2
0 1
2 0 2
+ =
+ + =
Không giảm tính tổng quát giả sử (1) có nghiệm là 0 và k; (2) có nghiệm là m và n (Chú ý: 0 là
nghiệm của (1) nhưng không phải là nghiệm của (2), nên ta ñược phép giả sử như trên)
Áp dụng ñịnh lý Viét cho (1) và (2) ta có:
2
m n
+ = −
+ = −
Trang 3Như vậy ta có hai ñáp số thỏa mãn yêu cầu bài toán (k, m, n) = (3, 2, 1) và các hoán vị
Khi ñó chúng ta có:
2 2
2 2
+) Nếu g x( )=x2+ax−1 (a∈ Ζ)
Lập luận tương tự ta có x x.( +1 ) (x+2 ) (x−1 1)+ =(x2 + −x 1)2
Ứng với (k, m, n) = (-1, -2, 1) và các hoán vị
Vậy (k, m, n) = (3, 1, 2) ; (-3, -1, -2) ; (-1, -2, 1) và các hoán vị
Câu 3:
1/ Tứ giác BCEF nội tiếp
AFE ACB MAB EF MA dpcm( )
2/
2
Suy ra tứ giác BHOC nội tiếp (ñpcm)
3/
*Phần thuận:
Gọi N là trọng tâm ∆MOA (N cố ñịnh)
I là trung ñiểm của MO ( I cố ñịnh )
Gọi D là trung ñiểm của BC
Ta có:
Trang 42 2 2 2 1 1
;
3
MO
*Phần ñảo bạn ñọc tự làm
*Kết luận: Quỹ tích ñiểm M là ñường tròn ;
3
MO N
Câu 4:
Các góc của ña giác lồi bằng nhau và bằng
0
8 2 180
8
Kéo dài các cạnh của ña giác lồi như hình vẽ
Ta có:
7 8 1 135 8 1 45
Một cách tương tự chỉ ra rằng:
0
Suy ra: Tứ giác MNPQ, ABCD là các hình chữ nhật và các tam giác MA8A1,BA1A2,NA2A3,
CA3A4, PA4A5, DA5A6, QA7A6, AA8A7 là các tam giác vuông cân
Ta có:
1 8 6 7 2 8 2 3 5 4 2 4
Suy ra:
( 1 8 6 7) 7 8 ( 2 3 5 4) 3 4
1 8 6 7 2 3 5 4
⇒
A3
A7
A6
A1
C D
A
M
P
A2
Trang 51 8 6 7 7 8 6 5 2 3 5 4 3 4 1 2
Bài toán ñược chứng minh khi ta tô ñỏ các cạnh A A A A A A A A1 8, 6 7, 7 8, 6 5
Và tô xanh các cạnh A A A A A A A A2 3, 5 4, 3 4, 1 2
Chú ý: với a b c d ∈ Ν, , , * và a+ 2.b= +c 2.d thì a c
=
=
Thật vậy:
Ta có:
2
Nếu d b a c 2 a c Q
−
− (Vô lý)
Vậy d =b⇒ =a c
Câu 5: Xem câu 10 ñề 12