Đây là một tài liệu quý rất phù hợp cho các bạn yêu toán đang học lớp 9 có mong muốn thi vào chuyên toán. Tài liệu có kèm đáp án chi tiết. Tác giả hi vọng sẽ đáp ứng được mong mỏi của các bạn về một tài liệu được biên soạn chuyên nghiệp.
Trang 1ðề 55: Thi chuyên Nguyễn Trãi ( 1998 – 1999)
Câu 1: Giải hệ phương trình :
2 2 2
xy y
yz z
zx x
− =
− =
− =
Câu 2: Cho dãy số a a a1, 2, 3, , an ñược cho theo quy luật sau:
n
= = + = + Chứng minh rằng: 17 < a145< 21
Câu 3: Cho ∆ABC không cân, BD và CE là hai ñường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I sao cho : ID = IE
1/ Tính BAC = ?
AB+BC+CA= AB+BC +BC+AC
Câu 4: Cho ∆ABC , M là một ñiểm bất kỳ nằm trong tam giác AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại P,Q,R Tìm giá trị nhỏ nhất của:
T
Hướng dẫn giải:
2 1 2
2 2
1 2
2 1
y x
xy y
y
zx x
x z
=
−
− =
−
=
+ Nếu x >1:
Suy ra
z
=
= > ⇒ > ⇒ > ⇒ >
Không giảm tính tổng quá, giả sử x=max{x y z, , }
Ta có:
Trang 2
< ≤ ⇒ ≤ ⇒ < − ≤ −
x
z
=
=
Vậy ta có x= y=z
Hệ (I) trở thành:
2
2 1
1
x
x x
x
=
⇔ =
−
>
< ⇒ = < ⇒ = < ⇒ = <
Vậy ta có: x y z < , , 0
Không giảm tính tổng quát, giả sử x=max{x y z, , }
Ta có:
≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ − <
x
z
=
=
Vậy ta có x= y=z.Hệ (I) trở thành:
2
1 1
1
x
x x
x
=
⇔ = −
−
<
Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm 1
2
= = = −
= = =
Câu 2
Dễ thấy ai > 0 ∀ ∈ Ν i , i ≥ 1.
Theo bài ra ta có:
Trang 3( )
( )
2
1
1
144
1 1
1
2 2
1
2 145
a
a
a
=
Cộng (1), (2), (3)… , (145) theo vế ta ñược:
145
2
⇒ > ⇒ >
2
1
i
i
a
> ∀ ≥ ⇒ < ∀ ≥
= +∑ = +∑ < + + ++ < = ⇒ <
Vậy ta có 17 < a145< 21(ñpcm)
Câu 3:
1/ Hạ IL⊥AC IK, ⊥BC L( ∈AC K, ∈AB)
Vì I là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ABC⇒IL=IK
Vì ∆ABC không cân nên L∈[AD K]; ∈[BE] hoặc L∈[CD K]; ∈[AE]
+) Xét L∈[AD K]; ∈[BE].Ta có:
0
0
3
90
60
A
A
+ +
+) Nếu L∈[CD K]; ∈[AE]: Tương tự trên
Trang 4Tóm lại ta có: 0
60
BAC =
2/ ðặt AB = c BC ; = a CA ; = b
Theo ñịnh lý hàm số cos ta có:
1
1
1
dpcm
Câu 4:
ðặt S AMB =a S2; AMC =b S2; AMC =c2
Ta có:
( )
2
+ +
Công (1), (2), (3) theo vế ta ñược:
T
= + + = + + + + +
≥ + + + + + ≥ + + + + +
A
P M
Trang 52 2
Dấu ‘’=’’ xảy ra⇔ a = b = c ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ M là trọng tâm ∆ABC
Chú ý: Ở bài này ñã sử dụng liên tiếp BðT :
, , ,
a +b + c +d ≥ a+c + b+d ∀a b c d∈R
Chứng minh: Trong hệ tọa ñộ Oxy lấy M a b( ; );N(− −c; d)
Ta có: OM +ON ≥MN hay :
Dấu ‘’=’’ xảy ra⇔ ∆OMNbị suy biến, O nằm trên ñoạn MN