Ôn tập Toán 12

2 23 x x + 2 π 1 2 +x x 3 x Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12 PHẦN I : GIẢI TÍCH I / Đạo hàm : Kiến thức : Qui tắc tính đạo hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các bài toán liên quan : + Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm + Chứng minh đẳng thức + Giải pt, bất pt • Áp dụng : VD 1: Tính đạo hàm của y= cos 2 x – sin2x tại x = Có y’ = -2cosx.sinx - 2cos2x Nên y’( ) = -2cos . sin - 2cos2  y’( ) = -1 BT tự giải : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm 1/ y = sin2x tại x = π b/ y = tgx – cotgx tại x = 2/ y = (2x 2 -5x +1) 2 tại x = -2 d/ y = tại x = 2 3/ y = cos 3 x.sin 2 x tại x = - f/ y = tại x = 4/ y =ln(x+ ) tại x = 1 h/ y = e 2x+1 .sinx tại x = 0 ☺  HD : Tính y’, rồi thay giá trò x đã cho vào biểu thức y’ để có kết quả. VD 2 : Cho y = x.e sinx cmr : y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e sinx = 0 Có : y’ = e sinx + x.cosx.e sinx y” =cosx.e sinx +cosx.e sinx -x.sinx.e sinx + x.cos 2 x.e sinx nên y” –y’.cosx + y.sinx –cosx.e sinx = 2cosx.e sinx -x.sinx.e sinx +x.cos 2 x.e sinx –(e sinx + x.cosx.e sinx ) cosx +x.sinx.e sinx -cosx.e sinx =0 (đpcm) BT Tự giải : 1/ Cho y = e x .cosx cmr : 2y - 2y’ + y ” = 0 2/ Cho y = ln 2 x cmr : x 2 y” +xy’ =2 3/ Cho y = . Cmr : x 3 y ’ = y 3 4/ Cho y = (x-x 2 ).e x giải pt y’ + e x = 0 5/ Cho y =x 2 .ln giải pt y’ – x = 0 6/ Cho y = x - . Giải bất phương trình y ’ > 0 ☺  HD : Tính các đạo hàm (y’, y”…) có mặt trong biểu thức (pt-bpt) cần cm (giải) rồi thay vào biểu thức (pt-bpt), thu gọn lại để có điều cần cm (pt-bpt đã biết cách giải). 1 4 π 4 π 4 π 3 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π 73 24 +− xx xx xx sincos2 2sincos + − 1 2 +x Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI II/ HÀM SỐ : Kiến thức : Xét sự biến thiên, tính lồi, lõm-điểm uốn, tiệm cận của 4 hàm số và phương pháp giải các dạng toán cơ bản liên quan : A. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 1/ Điều kiện để h.số đơn điệu (đồng biến/nghòch biến) Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D thì + Đồng biến trên D  y’ ≥ 0 ∀x∈ D + Nghòch biến trên D  y’ ≤ 0 ∀x∈ D • ÁP DỤNG : VD : Cho y = x 3 -3mx 2 –mx + 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ TXĐ : D=R y’ = 3x 2 -6mx –m y’ = 0 có ∆’ = 9m 2 +3m Hàm số đồng biến trên R  y’ ≥ 0 ∀x∈R  ∆’ = 9m 2 +3m ≤ 0 (∆’ là tam thức bậc 2 có hệ số a=9>0)  - 3 1 ≤ m ≤ 0 Kết luận : - 3 1 ≤ m ≤ 0 Bài tập tự giải: Tìm m để hàm số : a/ y = x 3 – 3mx 2 (m+2)x –m đồng biến trên TXĐ b/ y = mx 3 +x 2 + (2m-1)x + 3m nghòch biến trên TXĐ c/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh d/ y = đồng biến trên từng khoảng xác đònh e/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ☺  HD : + Xét trường hợp đặc biệt nếu có (hệ số của x có mũ cao nhất bằng 0) + Giải điều kiện đồng biến, nghòch biến theo đặc điểm của hàm số đó. 2/ Cmr hàm số đơn điêïu (đồng biến, nghòch biến) : VD : Cmr ∀m hàm số y = -x 3 +2mx 2 -2m 2 x +1 nghòch biến trên R Giải : TXĐ : D= R Để cm hàm số nghòch biến trên R ta cm y’ ≤ 0 ∀x ∈ R Thật vậy : y’ = -3x 2 +4mx -2m 2 (y’ là tam thức bậc hai có hệ số a = -3 <0) y’ có ∆’ = -2m 2 ≤ 0 ∀m  y’ ≤ 0 ∀x (đpcm) Vậy hàm số đã cho nghòch biến trên R Bài tập tự giải : Cmr ∀m hàm số a/ y = x 3 + x 2 + (m 2 +1)x +m-1 đồng biến trên R b/ y = nghòch biến trên từng khoảng xác đònh c/ y = bb đồng biến trên từng khoảng xác đònh ☺  HD : CM y’ ≥ 0 (≤0) ∀ x trên TXĐ  đpcm 2 mx mmx + +− 102 1 12 2 − −− x mxx 2 2 + ++ x mxmx mx mmx − ++ 12 2 12)2( 2 + −+++ x mxmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - Hàm y = f(x) có TXĐ D có cực trò  y’ =0 có nghiệm x 0 và y’ đổi dấu khi qua x 0 đó Cụ thể y’ đổi dấu từ : “+” sang “-“ thì hàm số đạt CĐ tại x 0 “-” sang “+“ thì hàm số đạt CT tại x 0 1/Ghi nhớ : Hàm y = ax 3 +bx 2 +cx +d có : + CĐ và CT  y’ =0 có 2 nghiệm phân biệt a = 0 và b≠0 + Cực trò  a≠0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm y= ax 4 +bx 2 +c có: + CĐ và CT  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0) + Cực trò     ≠ ≠ 0 0 b a Hàm edx cbxax y + ++ = 2 (d≠0) có CĐ và CT y’=0 có 2 nghiệm phân biệt Hàm dcx bax y + + = không có cực trò 2/ ÁP DỤNG VD : Tìm m để hàm số y = 1 12 2 − −+− x mmxx có CĐ và CT Giải : TXĐ : D = R\{1} y’= 2 2 )1( 12 − +−− x mxx Hàm số có CĐ và CT  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1  g(x)= x 2 –2x –m +1 =0 có    ≠−= >=∆ 0)1( 0' mg m  m >0 Kết luận : m>0 3/ Bài tập tự giải : Tìm m để hàm số : a/ y = (m+2)x 3 +3x 2 +mx -5 có cực đại và cực tiểu b/ y = x 4 + 2(m-2)x 2 +m +1 có cực đại và cực tiểu c/ y = có cực đại và cực tiểu d*/ y = -x 3 +3mx -2m có cực đại tại x = 1 f*/ y = có cực tiểu tại x = 2 Cmr ∀m, hàm số a/ y = x 3 +mx 2 -x +m-2 luôn có cực trò b/ y = luôn có cực trò ☺  HD : Cm y’ = 0 có 2 nghiệm phâm biệt thuộc TXĐ c*/ y = luôn có 2 điểm cực trò . Tìm m để khoảng cách giữa 3 1 2 2 − +− x mmxx mx mxx − +− 22 2 1 1)1( 2 − ++− x xmx 1 1)1( 2 − ++− x xmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI hai điểm cực trò là nhỏ nhất. C. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐỒ THỊ H.SỐ CÓ ĐIỂM UỐN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN - Hàm y=f(x) có điểm uốn tại (x 0 ;y 0 )  VD : Tìm m để đồ thò hàm số y = mx 3 + 6x+ 2m 2 -1 có điểm uốn U(0;1) Giải : TXĐ D=R y’ = 3mx 2 +6 ; y” = 6mx Điều kiện bài toán    Kết luận : m =±1 • Bài tập tự giải a. Tìm a và b để đồ thò hàm y = x 3 -ax 2 +bx -2 có điểm uốn U( 3 2 ; -3) b. Tìm m để đồ thò hàm y = x 4 - 2x 2 +4m+1 có 2 điểm uốn thuộc trục hoành c*. Cho đồ thò hàm y = ax 3 +bx 2 +x +1 có điểm uốn U(1;-2), hãy tính (a+b) 2 D/ GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [ a;b ] • Phương pháp chung: - Tìm các điểm tới hạn của hàm số - Tính giá trò hàm số tại các điểm tới hạn và ở hai đầu mút của đoạn a, b - So sánh các giá trò đã tính rồi kết luận về GTLN và GTNN • Áp dụng : VD : Tìm GTLN và GTNN của f(x) = -x 3 + 3x +5 trên [0;3] Giải : f’(x) = -3x 2 +3 f’(x) = 0     = ∉−= 1 ]3;0[1 x x Có f(1) = 7 ; f(0) = 5 ; f(3) = -17 Vậy trên [0;3] hàm số đạt : GTLN là f(1) = 7 và GTNN là f(3) = -13 • Bài tập tự giải : Tìm GTLN và GTNN của a/ f(x0) = x 3 -6x 2 +10 trên [-3;3] b/ f(x) = -x 4 +2x 2 -4 trên [-2;2] E/ VIẾT PT TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ (C) CỦA HÀM SỐ y = f(x) 1/ Dạng 1 : Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x 0 ;y o ) PP: PTTT của (C) tại M có dạng y = y’(x 0 )(x-x 0 ) +y 0 Cần tìm hệ số góc y’(x 0 ) rồi kết luận (nếu chỉ biết hoành độ x 0 của M thì tìm y 0 =f(x 0 )) VD : Viết PTTT của (C) : y = x 3 - 2x tại diểm có x = 2 Giải : Tại điểm x = 2 thì y = 4 PTTT của (C) tại (2;4) có dạng y = y’(2)(x-2) +4 Có y’ = 3x 2 -2 => y’(2) = 10 KL : PTTT cần tìm là y = 10x-16 4 y 0 =f(x 0 ) y”(x 0 )=0 y” đổi dấu khi qua x = x 0 f(0) =1 y”(0)=0 y” đổi dấu khi qua x=0 2m 2 -1 =1 6m.0=0 y”= 6mx đổi dấu khi qua x=0 m =±1 ∀m  m = ±1 m ≠0 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI 2/ Dạng 2 : Tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc tiếp tuyến là k PP : - Gọi PTTT cần tìm : y = kx+b - Do điều kiện tiếp xúc nên hệ sau có nghiệm :    += = bkxxf kxf )( )(' - Giải hệ tìm b rồi kết luận VD : Viết PTTT của (C ): 1 − = x x y biết hệ số góc của tiếp tuyến là -1 Giải : Có 2 )1( ' − − = x x y Gọi PTTT cần tìm : y = -x +b Theo điều kiện tiếp xúc thì hệ sau có nghiệm :        +−= − −= − − bx x x x x 1 1 )1( 2 Giải (1) có nghiệm x = 0; x = 2 Thay vào (2) ta có b = 0 ; b = 4 KL : Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = -x và y = -x + 4 Ghi nhớ : - Hai đường thẳng song song thì có hệ số góc bằng nhau - Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc bằng -1 3/ Dạng 3 : Tiếp tuyến của (C) đi qua(xuất phát từ) điểm M(x 1 ;y 1 ) PP : Gọi PTTT cần tìm : y =k(x-x 1 ) + y 1 - Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :    +−= = 11 )()( )(' yxxkxf kxf - Giải hêï tìm k rồi kết luận VD : Viết PTTT của (C) :y = x 3 -6x 2 +3, biết tiếp tuyến đi qua điểm M (6;3) Giải : Gọi PTTT cần tìm : y = k(x-6) +3 - Do điều kiện tiếp xúc nê hệ sau có nghiệm :      +−=+− =− (2) 3)6(36 (1) 123 23 2 xkxx kxx Từ (1) và (2) ta có : x 3 -12x 2 +36x = 0  x= 0; x =6 Thay vào (1) ta có k = 0; k = 36 KL : có 2 tiếp tuyến thoả mãn dề bài : y = 3 và y = 36x -213 Bài tập tự giải : Viết pt tiếp tuyến của đồ thò hàm số a/ y = -2x 3 + 3x 2 -3x + 1 tại điểm có x = 1 b/ y = x 3 -3x +3 tại giao của đồ thò với trục tung c/ y = - x 4 + 6x 2 -6 tại các điểm cực trò d/ y = song song với với đt (d) : y = -3x+2 5 (1) (2) 2 63 2 − +− x xx 1 12 + − x x Có dồ thò (C) (d) cùng phương với ox Có dồ thò (C) (d) cùng phương với ox Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI e/ y = -x 3 +6x 2 -3 vuông góc với đt (d) : y = - 9 1 (x-100) f/ y = đi qua điểm (1; 2 5 ) g/ y = xuất phát từ gốc tọa độ G/ Biện luận số nghiệm của PT A(x) = 0 qua đồ thò (C) y = f(x) đã vè - Biến đổi pt đã cho về dạng f(x) = k - Sô nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của 2 đường :    = = ky xfy )( - Dựa vào số giao điểm của (C) và (d) => KL số nghiệm của pt đã cho. VD : y = x 3 -3x 2 có đồ thò (C) đã vè Biện luận theo m số nghiệm của pt : x 3 -3x –m +1= 0 (1) Giải : Pt (1)  x 3 -3x 2 = m -1 Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường    −= −= 1 3 23 my xxy Dựa vào đồ thi ta có y -1 0 1 2 3 x -2 (d) (C) -4 6 1 22 2 + ++ x xx +    −< > ⇔    −<− >− 3 1 41 01 m m m m (d) và (C) có 1 chung nên (1) có 1 nghiệm +    −= = ⇔    −=− =− 3 1 41 01 m m m m (d) và (C) có 2 điểm chung nên (1) có hai nghiệm + -4< m-1 < 0  -3<m< 1 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI Bài tập tự giải : a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = -x 3 +3x 2 -1 (C) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x 3 -3x 2 +k+1 =0 b/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = x 4 -2x 2 -1 (C) Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : x 4 -2x 2 -k-1 =0 c/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = (C) 1 22 2 − +− x xx Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : 0k 1 22 2 =+ − +− x xx d/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số y = (C) 1 12 − + x x Dựa vào đồ thò (C), biện luận theo k số nghiệm pt : 01kk)x-(2 =++ H/ CM ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x) CÓ MỘT TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG - Hàm trùng phương (f(-x) = f(x)) : có đồ thò đối xứng qua trục oy - Hàm bậc 3 : Có đồ thò đối xứng qua điểm uốn - Hàm hữu tỉ (2 hàm cơ bản) : có đồ thò đối xứng qua giao điểm của 2 tiệm cận. Để cm hàm số có tâm đối xứng cần thực hiện các bước : + Xác đònh tâm đối xứng I(x 0 ;y 0 cần chứng minh + Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang IXY với phép tònh tiến theo >−− OI có :    += += I I yYy xXx (1) 7 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI + Thay (1) và hàm số của đồ thò (C) : Y = f(X) (C ’) + Cm hàm này là hàm lẻ  (C ‘) nhận gốc I làm tâm đối xứng => (C) nhận I làm tâm đối xứng VD : Cm đồ thò (C) của hàm y = x 3 -2x -2 có một tâm đối xứng Giải : TXĐ : D = R y’ = 3x 2 -2 y” = 6x; y” = 0  x = 0 => y = -2  (C) có điểm uốn U(0;-2 ) làm tâm đối xứng Ta Cm (C) nhận U(0;-2) làm tâm đối xứng Thực hiện phép đổi hệ trục 0xy sang UXY với phép tònh tiến theo >−− OU Có :    −= = 2Yy Xx (1) Thay (1) vào hàm số của (C) : Y = X 3 -2X (C ‘) Xét Y = X 3 -2X có TXĐ : D’ =R f(-X) = (-X) 3 -2(-X) = -X 3 +2X = - f(X)  Y=f(X) là hàm lẽ nên (C’) nhậïn gốc U(0;-2) làm tâm đối xứng  (C) nhận U làm tâm đối xứng (đpcm) Bài tập tự giải : Cm đồ thò (C) của các hàm số sau có một tâm đối xứng a/ y = -x 3 -3x 2 +4 b/ y = 2x 3 +3x -1 c/ 2 23 + − = x x y d/ 1 22 2 + +−− = x xx y I/ TÌM CÁC ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN TRÊN ĐỒ THỊ (C) CỦA CÁC HÀM HỮU TỈ CƠ BẢN y = f(x) PP : - Thực hiện phép chia đa thức để để có hàm số dạng y = A(x) + )(xB k - Để y nguyên thì x nguyên và B(x) phải là ước số của k - Giải B(x) = m, với m là các ước số của k đề tìm x và y tương ứng rồi KL VD : Tìm các diểm có tọa độ nguyên trên đồ thò (C) của y = 2 43 2 − +− x xx Giải : có y = x – 1 + 2 2 − x Để y nguyên thì x nguyên và x-2 phải là ước số của 2  x -2 =±1 ; x -2 = ±2 x - 2 = 1  x = 3 , y = 4 x - 2 = -1  x = 1, y = -2 x – 2 = 2  x = 4 , y = 4 x – 2 = -2  x = 0, y =-2 KL : có 4 điểm trên (C) có tọa độ nguyên : (0;-2); (1;-2); (3;4); (4;4) 8 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI BÀI TẬP TỔNG HP 1/ Cho hàm y = x 3 -3x 2 +mx a/ Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x = 2 b/ Đònh m để hàm số nhận điểm U(1;3) làm điểm uốn của đồ thò c/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 0 d/ Dựa vào đồ thò (C ), biện luận theo k số nghiệm của pt : x 3 -3x 2 –k = 0 e/ Tính dthf giới hạn bởi (C ) và trục hoành 2/ Cho hàm y = -x 3 -mx 2 +2mx -m -1 (C m ) a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số khi m = 0 c/ Viết pt tiếp tuyến của đồ thò (C ) vuông góc với đt (d) : x - 3y - 5 = 0 d/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bời (C ) khi quay quanh 0x trên [-1;0] e*/ Cmr (C m ) luôn đi qua một điểm cố đònh và họ các đường cong (C m ) tiếp xúc nhau tại điểm ấy. 3/ Cho hàm y = x 4 -2mx 2 -2m a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trò CĐ và CT trái dấu b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 3 c/ Viết PT tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có x = -1 4/ Cho hàm y = -x 4 + (3m+5)x 2 -(m+1) 2 (C m ) a/ Đònh m để đồ thò hàm số đạt cực trò tại điểm có x = 1 b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = -1 c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm M(2; -8) 5/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác đònh b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 1 c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên oy có tung độ là 4 d/Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = kx+1 e*/ Cmr đường thẳng (d) : y = -x +k luôn cắt (C ) tại hai điểm phâm biệt A và B. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất. 6/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số nghòch biến trên các khoảng xác đònh. b/ Đònh m để tiệm cận đứng của hàm số đi qua điểm (3; 2006) c/ Khảo sát và vẽ (C ) khi m = 3 d/ Cmr (C) có một tâm đối xứng. e/ Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (C ) khi quay quanh 0x trên [1;2] f/ Viết pt tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm của (C) với trục hoành. 7/ Cho y = a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đònh b/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) khi m = 0 c/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm trên (C ) có x = -1 d/ Tìm k để đường thẳng (d): y = kx +1 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B. 9 2 2 2 + + x mx mx mx − −− 12 1 1)1( 2 − −++ x xmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12-– THPT BC GIÁ RAI Khi đó tìm q tích trung điểm M của đoạn AB 8/ Cho hàm y = a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trò CĐ và CT trái dấu b/ Khảo sát và vẽ đồ thi (C ) khi m = 3 c/ Tìm tất cả các điểm trên (C) mà tọa độ là các số nguyên d/ Dựa và đồ thò (C ), biện luận theo k số nghiệm pt : 2x 2 +(3-k)x -3-2k = 0 e/ Viết pt tiếp tuyến của (C ) song song với đường thẳng (d) : y = 4x + 2006 f/Tính dthf giới hạn bởi (C ), ox, x = 1, x = 2 g*/ Cmr tích tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C ) đến 2 tiệm cận luôn bằng một hằng số. III/ TÍCH PHÂN : Kiến thức : Các công thức về nguyên hàm của các hàm số cơ bản (SGK), các phương pháp tính tích phân cơ bản. (Nhận dạng bài toán, đònh hướng cách giải, linh hoạt trong biến đổi, áp dụng đúng PP và tính toán chính xác) 1/ Tìm nguyên hàm (họ nguyên hàm) cuả hàm số : PP : Tìm nguyên hàm của hàm số Tính F(x) = = A(x)+C. Giải F(x 0 ) =k (đã cho) tìm C  Kết luận (Nếu chỉ tìm họ nguyên hàm thì có F(x) = A(x)+C.) VD : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số : f(x) = 2 13 2 − +− x xx biêt F(1) = 2 Giải : Có F(x) = ∫ ∫ − −−= dx x xdxxf ) 2 1 1()( = 2 1 x 2 –x – ln|x-2| +C Có F(1) = 2  C = - 2 1 Vậy F(x) = 2 1 x 2 –x – lnx-2 - 2 1 Bài tập tự giải : Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số sau : a/ f(x) = x 3 -3x 2 +x-2 biết F(2) = ½ b/ f(x) = biết F(-10) = 100 c/ f(x) = biết F(-2) = 3 d/ f(x) = sinx – 2 cosx biết F(-π/2) = 1 e/ f(x) = 3cos2x + 2 sin3x biết F(0) = -8 f/ f(x) = e 2x-3 – 1/x biết F(1) = 2 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau : a/ f(x) = (2x-5) 4 b/ f(x) = cos 2 2 x c/ f(x) = x x e e + 2 d*/ Tìm a,b,c để hàm F(x) = (ax 2 +bx+c) -2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = -(2x 2 -8x+7)e -2x trên R. 2/ TÍNH TÍCH PHÂN 10 ∫ dxxf )( 1 32 2 −+ −+ mx mxx 1 32 − − x x 2 32 2 − −− x xx [...]... − 8 2 Bài tập tự giải 1 a/ −x ∫ x.e dx 0 1 b/ ∫ x.e 0 2x e dx c/ ∫ (3x + 2) ln xdx 1 g/ ∫ (1 − x) sin xdxh/ 0 e/ ∫ x ln 2 xdx 1 π π 6 e 1 2 x ∫ x e dx i/ 0 2 ∫ sin x.e 0 π 4 f/ x sin 2 xdx ∫ 0 π x dx j/ 2 1 0 0 2 2 ∫ x cos xdx k/ ∫ x ln( x +1)dx 12 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI IV/ ĐẠI SỐ TỔ HP *KIẾN THỨC : - Các phép toán có bản (cộng, nhân) và điều kiện áp dụng Các công thức về... viên, cần chọn ra BCH gồm một bí thư, một phó bí thư và 3 ủy viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra BCH đó 11/ 6 môn thi TN THPT hàng năm được chọn ra từ 8 môn : Toán, Văn , T.Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Đòa trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn và T.Anh Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 môn thi TN hàng năm 12/ Có 8 con tem khác nhau và 8 bì thư khác nhau Tìm số cách : a/ Dán 8 con tem lên 8 bì thư (mỗi bì thư dán... 4 n 3   18/ Cho biết số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức  x 3 + 3  là x   hạng chứa x 2 (x 3 + xy ) là 35 Tìm 540 Tìm số 15 14 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI 19/ Tìm số hạng có số mũ của x gấp 3 lần của y trong khai triển ☺  HD : (1419) - Viết số hạng tổng quát thứ (k+1) trong khai triển, thu gọn nếu cần - Giải điều kiện của bài toán  kết luận 20/ Cho S = (x+1)... TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG • KIẾN THỨC : - Các phép toán cơ bản trên vectơ (cộng, nhân, cùng phương, góc ,…) Các dạng toán liên quan - Phương trình của đường thẳng và các dạng toán liên quan - Các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác - Các bài toán về đường tròn, các đường cônic • ÁP DỤNG : VD : Cho 3 điểm A(1; 2), B(-2; 6), C(4; 4) a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng Tính diện tích và chu vi ∆ABC... Qua M(1; 1; 1) b2/ Vuông góc với (P1) c/ Tìm m, n để mp (R) : mx+ ny- z + 2 = 0 thuộc chùm của (P1) và (P2) 21 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI ☺  HD : - Sử dụng pt chùm mp  2x − y + z − 1 = 0  a/ Viết pt tham số và pt chính 2 = c0của (d) x+ y  A(1; +2;z −3)tắ song song với (d) b/ Viết pt đt (d1) qua và 5/ Cho đường thẳng (d) : c/ Viết pt đt (d2) qua gốc O, vuông góc và cắt (d) Tìm... x = ⇒ u = 2 2  15 4 Cách khác : ( Giải trực tiếp, sử dụng d[u(x)] = u’(x).dx ) 11 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI π π 2 2 C A = 3 ∫ (sin x +1) (sin x +1)' dx = 0 ∫ (sin x +1) 3 d (sin x +1) 0 π 15 1 (sin x + 1) 4 2 = 0 4 4 ( Trong 2 cách giải trên có thể bỏ qua bước giải đầu tiên) A= Bài tập tự giải 1 x dx b/ ∫ 2 3x − 2 1 0 , 1 2 4 a/ ∫ (2 x +1) dx π π 2 6 3 e/ ∫ sin x cos xdx f/...Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI 2.1 Tính tích phân của hàm số theo tích phân cơ bản 2 2x 3 + x − 2 dx VD : 1 Tính A= ∫ x 1 ∫ (2 x + 1 − x )dx = [ x 2 Có A= 2 2 + x − 2 ln x ] 2 1 = 6 − 2 ln 2 − (2 − 2 ln 1)  A = 4-2ln2 1 2 Tính B = 1 e 2 x −1 ∫ e x dx 0 1 Có 2 x −x) 2 −2 0 0 ∫ (e − e dx = [e x +e − x ] = e + e − (e + e )  B = e2 + e-2 -2 B= 0 0 Bài tập tự giải Tính các... có mặt đúng 1 lần d/ Có 3 chữ số khác nhau và trong đó không có chữ số 1 8/ Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn : a/ Có 3 chữ số khác nhau b/ Chẳn và có 3 chữ số khác nhau c/ Có 5 chữ số trong đó 2 số hai chữ số đứng kề nhau phải khác nhau ☺  HD : (58) : Cần chú ý đến một số vấn đề sau - Số tự nhiên abc thì a≠0 13 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI - Đặc điểm của số TN cần tìm : Có bao... + 3MC = O d/ Tìm tọa độ điểm M sao cho e/ Viết phương trình cạnh BC và đường cao AH của ∆ABC g/ Xác đònh điểm M đối xứng của A qua BC AB AC 15 Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI Giải : a/ Có (-3;4) ; −3 3 42 (3;2) −= 14 ≠ 0  A, B, C không thẳng hàng (đpcm) Diện tích ∆ABC là S = 1 −14 = 7( đvdt) 2 Có AB = 3 2 + 4 2 = 5 ; AC = 3 2 + 2 2 = 13 Nên chu vi ∆ABC là : 5+ 13 +2 10 ; BC = 6 2... Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI 3*/ Cho 3 số x, y, z tùy ý, với cách chọn Cmr : x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y 2 + yz + z 2 ☺  HD : - Dựa trên độ dài các đoạn thẳng OA, OB, AB 4/ Viết các dạng pt đường thẳng (d) đi qua A(1;2) và song song với đường phân giác thứ nhất của góc x0y 5/ Cho đt (d) : 3x-4y -2 = 0 a/ Viết pt tham số của (d) b/ Viết pt đt (d1) qua gốc 0 và vuông góc . 2 23 x x + 2 π 1 2 +x x 3 x Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 12 PHẦN I : GIẢI TÍCH I / Đạo hàm : Kiến. đpcm 2 mx mmx + +− 102 1 12 2 − −− x mxx 2 2 + ++ x mxmx mx mmx − ++ 12 2 12) 2( 2 + −+++ x mxmx Đề cương ôn tập môn toán lớp 12- – THPT BC GIÁ RAI B. CỰC