chuyên đề quy nạp toán học

9 557 0
chuyên đề quy nạp toán học

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái quát chung tập hợp số tự nhiên  Các số 0, 1, 2, 3, số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên kí hiệu    0;1;2;3;  Các số 0, 1, 2, 3, phần tử tập hợp Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu  * *  1;2;3;  Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n* với n mà thử trực tiếp làm sau :  Bước : Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước : Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  (gọi giả thiết qui nạp) , chứng minh với n  k   Khẳng định mệnh đề với số tự nhiên n  *  Chú ý : Trong trường hợp phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n  p (p số tự nhiên) :  Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề với n  p  Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  p chứng minh với n  k  DẠNG TOÁN : Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức Bài toán : Chứng minh với n  * ta có     3n   n  3n  1 (1) Lời giải Bước : Với n = 1, ta có VT = 2, VP = Vậy đẳng thức với n = Bước : Đặt vế trái S n Giả sử đẳng thức (1) với n  k  , nghĩa : S k      3k   Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học k  3k  1 (giả thiết qui nạp) HÃY TÍCH LUỸ Ta phải chứng minh (1) với n  k  , nghĩa Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 S k 1      3k   3(k  1)  1  (k  1) 3(k  1)  1 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có : k (3k  1) 3k  k  6k  S k 1  S k  3k    3k   2  3(k  2k  1)  k  (k  1) 3(k  1)  1 (đpcm)  2 Vậy đẳng thức (1) với n  * * Bài toán : Chứng minh với n   ta có 1 1 2n      n  n 2 (2) Lời giải 21   Vậy đẳng thức với n = 2 Bước : Giả sử đẳng thức (2) với n  k  , tức ta có: Bước : Ta có 1 1 2k      k  k 2 Ta chứng minh đẳng thức (2) với n  k  1, nghĩa 1 1 2k 1      k  k 1  k 1 2 Thật vậy, 1 1 2k  1 2(2k  1)  2k 1      k  k 1  k  k 1   k 1 2 2 2k 1 Vậy đẳng thức (2) với n  * Bài toán : Chứng minh với n  * ta có 12  32  52   (2n  1)  n(4n  1) (3) Lời giải : Đặt vế trái Cn Bước : Khi n = 1, VT = VP = 1, hệ thức (3) n = Bước : Giả sử hệ thức (3) với n  k  , tức Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Ck  12  32  52   (2k  1)  k (4k  1) Ta phải chứng minh đẳng thức (3) với n  k  , nghĩa Ck 1  12  32  52   (2k  1)  [2(k  1)  1]2  (k  1)[4(k  1)  1] Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Ck 1  Ck  [2(k  1)  1]2  Ck  (2k  1)  k (4k  1) (2k  1)[k (2k  1)  3(2k  1)]  (2k  1)  3 (k  1)(2k  3)(2k  1) (k  1)[4(k  1)  1]   3 Vậy hệ thức (3) chứng minh * Bài toán 3A : Chứng minh với n   ta có 1.2  2.5  3.8   n(3n  1)  n ( n  1) (2.1) Giải Bước : Với n=1, vế trái 1.2 = 2, vế phải (1  1)  Hệ thức (2.1) Bước : Đặt vế trái S n Giả sử hệ thức (2.1) với n  k  , tức : Sk  1.2  2.5   k (3k  1)  k (k  1) (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh (2.1) với n  k  1, tức : Sk 1  1.2  2.5  3.8   k (3k  1)  (k  1)[3(k  1)  1]  (k  1) (k  2) Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Sk 1  Sk  (k  1)[3(k  1)  1]  k (k  1)  (k  1)(3k  2)  (k  1)(k  3k  2)  (k  1) (k  2) Vậy hệ thức (2.1) với n   * DẠNG : Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Bài toán : Chứng minh với số tự nhiên n  ta có 3n  n  4n  (4) Lời giải : Bước :Với n = 3, vế trái 27, vế phải 26 Bất đẳng thức (4) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n  k  , tức 3k  k  4k  (*) Ta phải chứng minh với n  k  , tức 3k 1  (k  1)  4(k  1)  Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (*) với ta có 3k 1  3k  12k  15  (k  1)  4(k  1)   2k  6k  Vì 2k  6k   nên 3k 1  (k  1)  4(k  1)  Bất đẳng thức (4) chứng minh Bài toán : Chứng minh với số tự nhiên n  ta có 2n1  2n  (5) Lời giải : Bước :Với n = 2, vế trái 8, vế phải Bất đẳng thức (5) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n  k  , tức 2k 1  2k  (*) Ta phải chứng minh với n  k  1, tức 2k   2(k  1)   2k   2k  Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (5’) với ta có k   4k   k   2k   2k  Vì 2k   nên Vậy n 1 k 2  2k   2n  với số tự nhiên n  Bài toán : Chứng minh với n  * ta có bất đẳng thức n   2n  (6) Lời giải : Bước :Với n = 1, vế trái 8, vế phải Bất đẳng thức (6) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n  k  , tức k   2k  (*) Ta phải chứng minh với n  k  1, tức Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 k 3  2(k  1)   k 3  2k  Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (6’) với ta có 2k   4k  10  2k   2k  Vì 2k   nên k 3  2k  (đpcm) DẠNG TOÁN : Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết Bài toán : Chứng minh với n  * ta có n  11n chia hết cho Lời giải : Đặt An  n  11n Bước :Với n = 1, ta có A1   11  12 3 Bước : Giả sử với n  k  ta có Ak  k  11k  Ta phải chứng minh Ak 1  , tức Ak 1  (k  1)  11(k  1) Thật vậy, ta có Ak 1  (k  1)3  11(k  1)  k  3k  3k   11k  11  (k  11k )  3(k  k  4)  Ak  3(k  k  4) Vì Ak  k  k   k (k  1)  số chẵn nên Ak 1  Vậy An  n  11n 6, n   * Bài toán : Chứng minh với n   ta có n  n chia hết cho * Lời giải : Đặt An  n  n Bước :Với n = 1, ta có A1  0 Bước : Giả sử với n  k  ta có Ak  k  k  7 Ta phải chứng minh Ak 1  , tức Ak 1  (k  1)  (k  1) Thật vậy, áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn ta có Ak 1  (k  1)7  (k  1)  k  7k  21k  35k  35k  21k  7k   k   k  k  7(k  3k  5k  5k  3k  k ) Theo giả thiết qui nạp Ak  k  k  , Ak 1  7 Vậy An  n  n chia hết cho với n   * Bài toán : Chứng minh với n   ta có  15n  chia hết cho * Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học n HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Lời giải : n Đặt S n   15n  Bước :Với n = 1, ta có S1  189 Bước : Giả sử với n  k  ta có S k   15k  19 k Ta phải chứng minh S k 1 9 , tức S k 1  Thật vậy, ta có S k 1  k 1 k 1  15(k  1)  19  15(k  1)   4(4k  15k  1)  45k  18  S k  9(5k  2) Theo giả thiết qui nạp S k   15k  19 , S k 1 9 k Vậy S n   15n  chia hết cho với n   n Bài toán 10 : Cho tổng S n  * 1 1     1.3 3.5 5.7 (2n  1)(2n  1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy dự đoán công thức tính S n chứng minh phương pháp qui nạp Lời giải : a) Ta có 1  1.3 1 S2    3.5 S3    5.7 S4    7.9 S1  b) Từ kết câu a) ta dự đoán Sn  n 2n  Ta chứng minh công thức (7) phương pháp qui nạp Bước : với n = 1, theo a) (7) Bước : Giả sử với n  k  ta có Sk  k 2k  Ta phải chứng minh với n = k+1 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ S k 1  S k  Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11  2(k  1)  1 2(k  1)  1  Sk  (2k  1)(2k  3)  k k (2k  3)    2k  (2k  1)(2k  3) (2k  1)(2k  3)  2k  3k  (k  1)(2k  1) k 1   (2k  1)(2k  3) (2k  1)(2k  3) 2(k  1)  tức (7) với n  k  Vậy công thức (7) chứng minh Bài toán 11: Chứng minh với n   ta có * n3  3n  5n chia hết cho Giải : Đặt An  n  3n  5n Bước :Với n = 1, ta có A1  93 Bước : Giả sử với n  k  ta có Ak  k  3k  5k 3 Ta phải chứng minh Ak 1 3 Thật vậy, ta có Ak 1  (k  1)3  3(k  1)  5(k  1)  k  3k  3k   3k  6k   5k   (k  3k  5k )  3k  9k  Theo giả thiết qui nạp Ak  k  3k  5k 3 , Ak 1 3 Vậy An  n  3n  5n chia hết cho với n   Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học * HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số lớp 11 ĐỀ SỐ Câu : Chứng minh với n   ta có đẳng thức: * n (n  1)     n  * Câu : Chứng minh với n   ta có 3 3 11n 1  122 n 1 chia hết cho 133 (1) (2) Đáp án – biểu điểm Nội dung Câu Thang điểm 0,75 Đặt vế trái An Bước 1: Với n = 1, ta có vế trái 1, vế phải 12 (1  1)  , hệ thức điểm Bước 2: Giả sử đẳng thức (1) với n  k  , nghĩa là: 0,25 k (k  1) (giả thiết qui nạp) 0,5 Ta phải chứng minh (1) với n  k  , tức 0,25 Ak  13  23  33   k  (k  1) [(k  1)  1]2 Ak 1      k  (k  1)  2 (k  1) (k  2)  3 3 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 0,75 0,5 Ak 1  Ak  (k  1)3 k (k  1)  (k  1)3 0,5 (k  1) (k  4k  4)  0,75 (k  1) (k  2)  0,5  Vậy hệ thức (1) với n   Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học * 0,25 HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Đặt An  11 n 1 điểm  12 n 1 Bước 1: Với n = 1, A1  133133 0,75 Bước 2: Giả sử với n  k  ta có 0,25 Ak  11k 1  122 k 1 chia hết cho 133 (giả thiết qui nạp) 0,5 Ta phải chứng minh Ak 1 133 , tức 0,25 Ak 1  11k   122 k 1 133 0,5 Thật vậy, ta có 0,75 Ak 1  11k   122( k 1)1  11.11k 1  122 k 1.122  11.11k 1  12 k 1 (11  133) 0,75  11 Ak  133.122 k 1 0,5 Vì Ak  11 0,5 k 1 Vậy 11 n 1  122 k 1 nên Ak 1 133  122 n 1 chia hết cho 133 với n  * 0,25 CHÚC CÁC EM THI TỐT Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học

Ngày đăng: 29/01/2017, 09:27

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan