HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Khái quát chung tập hợp số tự nhiên Các số 0, 1, 2, 3, số tự nhiên Tập hợp số tự nhiên kí hiệu 0;1;2;3; Các số 0, 1, 2, 3, phần tử tập hợp Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu * * 1;2;3; Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n* với n mà thử trực tiếp làm sau : Bước : Kiểm tra mệnh đề với n = Bước : Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k (gọi giả thiết qui nạp) , chứng minh với n k Khẳng định mệnh đề với số tự nhiên n * Chú ý : Trong trường hợp phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n p (p số tự nhiên) : Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề với n p Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k p chứng minh với n k DẠNG TOÁN : Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức Bài toán : Chứng minh với n * ta có 3n n 3n 1 (1) Lời giải Bước : Với n = 1, ta có VT = 2, VP = Vậy đẳng thức với n = Bước : Đặt vế trái S n Giả sử đẳng thức (1) với n k , nghĩa : S k 3k Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học k 3k 1 (giả thiết qui nạp) HÃY TÍCH LUỸ Ta phải chứng minh (1) với n k , nghĩa Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 S k 1 3k 3(k 1) 1 (k 1) 3(k 1) 1 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có : k (3k 1) 3k k 6k S k 1 S k 3k 3k 2 3(k 2k 1) k (k 1) 3(k 1) 1 (đpcm) 2 Vậy đẳng thức (1) với n * * Bài toán : Chứng minh với n ta có 1 1 2n n n 2 (2) Lời giải 21 Vậy đẳng thức với n = 2 Bước : Giả sử đẳng thức (2) với n k , tức ta có: Bước : Ta có 1 1 2k k k 2 Ta chứng minh đẳng thức (2) với n k 1, nghĩa 1 1 2k 1 k k 1 k 1 2 Thật vậy, 1 1 2k 1 2(2k 1) 2k 1 k k 1 k k 1 k 1 2 2 2k 1 Vậy đẳng thức (2) với n * Bài toán : Chứng minh với n * ta có 12 32 52 (2n 1) n(4n 1) (3) Lời giải : Đặt vế trái Cn Bước : Khi n = 1, VT = VP = 1, hệ thức (3) n = Bước : Giả sử hệ thức (3) với n k , tức Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Ck 12 32 52 (2k 1) k (4k 1) Ta phải chứng minh đẳng thức (3) với n k , nghĩa Ck 1 12 32 52 (2k 1) [2(k 1) 1]2 (k 1)[4(k 1) 1] Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Ck 1 Ck [2(k 1) 1]2 Ck (2k 1) k (4k 1) (2k 1)[k (2k 1) 3(2k 1)] (2k 1) 3 (k 1)(2k 3)(2k 1) (k 1)[4(k 1) 1] 3 Vậy hệ thức (3) chứng minh * Bài toán 3A : Chứng minh với n ta có 1.2 2.5 3.8 n(3n 1) n ( n 1) (2.1) Giải Bước : Với n=1, vế trái 1.2 = 2, vế phải (1 1) Hệ thức (2.1) Bước : Đặt vế trái S n Giả sử hệ thức (2.1) với n k , tức : Sk 1.2 2.5 k (3k 1) k (k 1) (giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh (2.1) với n k 1, tức : Sk 1 1.2 2.5 3.8 k (3k 1) (k 1)[3(k 1) 1] (k 1) (k 2) Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Sk 1 Sk (k 1)[3(k 1) 1] k (k 1) (k 1)(3k 2) (k 1)(k 3k 2) (k 1) (k 2) Vậy hệ thức (2.1) với n * DẠNG : Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Bài toán : Chứng minh với số tự nhiên n ta có 3n n 4n (4) Lời giải : Bước :Với n = 3, vế trái 27, vế phải 26 Bất đẳng thức (4) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n k , tức 3k k 4k (*) Ta phải chứng minh với n k , tức 3k 1 (k 1) 4(k 1) Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (*) với ta có 3k 1 3k 12k 15 (k 1) 4(k 1) 2k 6k Vì 2k 6k nên 3k 1 (k 1) 4(k 1) Bất đẳng thức (4) chứng minh Bài toán : Chứng minh với số tự nhiên n ta có 2n1 2n (5) Lời giải : Bước :Với n = 2, vế trái 8, vế phải Bất đẳng thức (5) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n k , tức 2k 1 2k (*) Ta phải chứng minh với n k 1, tức 2k 2(k 1) 2k 2k Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (5’) với ta có k 4k k 2k 2k Vì 2k nên Vậy n 1 k 2 2k 2n với số tự nhiên n Bài toán : Chứng minh với n * ta có bất đẳng thức n 2n (6) Lời giải : Bước :Với n = 1, vế trái 8, vế phải Bất đẳng thức (6) Bước : Giả sử bất đẳng thức với n k , tức k 2k (*) Ta phải chứng minh với n k 1, tức Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 k 3 2(k 1) k 3 2k Thật vậy, nhân hai vế bất đẳng thức (6’) với ta có 2k 4k 10 2k 2k Vì 2k nên k 3 2k (đpcm) DẠNG TOÁN : Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết Bài toán : Chứng minh với n * ta có n 11n chia hết cho Lời giải : Đặt An n 11n Bước :Với n = 1, ta có A1 11 12 3 Bước : Giả sử với n k ta có Ak k 11k Ta phải chứng minh Ak 1 , tức Ak 1 (k 1) 11(k 1) Thật vậy, ta có Ak 1 (k 1)3 11(k 1) k 3k 3k 11k 11 (k 11k ) 3(k k 4) Ak 3(k k 4) Vì Ak k k k (k 1) số chẵn nên Ak 1 Vậy An n 11n 6, n * Bài toán : Chứng minh với n ta có n n chia hết cho * Lời giải : Đặt An n n Bước :Với n = 1, ta có A1 0 Bước : Giả sử với n k ta có Ak k k 7 Ta phải chứng minh Ak 1 , tức Ak 1 (k 1) (k 1) Thật vậy, áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn ta có Ak 1 (k 1)7 (k 1) k 7k 21k 35k 35k 21k 7k k k k 7(k 3k 5k 5k 3k k ) Theo giả thiết qui nạp Ak k k , Ak 1 7 Vậy An n n chia hết cho với n * Bài toán : Chứng minh với n ta có 15n chia hết cho * Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học n HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Lời giải : n Đặt S n 15n Bước :Với n = 1, ta có S1 189 Bước : Giả sử với n k ta có S k 15k 19 k Ta phải chứng minh S k 1 9 , tức S k 1 Thật vậy, ta có S k 1 k 1 k 1 15(k 1) 19 15(k 1) 4(4k 15k 1) 45k 18 S k 9(5k 2) Theo giả thiết qui nạp S k 15k 19 , S k 1 9 k Vậy S n 15n chia hết cho với n n Bài toán 10 : Cho tổng S n * 1 1 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) a) Tính S1 , S , S3 , S b) Hãy dự đoán công thức tính S n chứng minh phương pháp qui nạp Lời giải : a) Ta có 1 1.3 1 S2 3.5 S3 5.7 S4 7.9 S1 b) Từ kết câu a) ta dự đoán Sn n 2n Ta chứng minh công thức (7) phương pháp qui nạp Bước : với n = 1, theo a) (7) Bước : Giả sử với n k ta có Sk k 2k Ta phải chứng minh với n = k+1 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học HÃY TÍCH LUỸ S k 1 S k Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 2(k 1) 1 2(k 1) 1 Sk (2k 1)(2k 3) k k (2k 3) 2k (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) 2k 3k (k 1)(2k 1) k 1 (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) 2(k 1) tức (7) với n k Vậy công thức (7) chứng minh Bài toán 11: Chứng minh với n ta có * n3 3n 5n chia hết cho Giải : Đặt An n 3n 5n Bước :Với n = 1, ta có A1 93 Bước : Giả sử với n k ta có Ak k 3k 5k 3 Ta phải chứng minh Ak 1 3 Thật vậy, ta có Ak 1 (k 1)3 3(k 1) 5(k 1) k 3k 3k 3k 6k 5k (k 3k 5k ) 3k 9k Theo giả thiết qui nạp Ak k 3k 5k 3 , Ak 1 3 Vậy An n 3n 5n chia hết cho với n Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học * HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số lớp 11 ĐỀ SỐ Câu : Chứng minh với n ta có đẳng thức: * n (n 1) n * Câu : Chứng minh với n ta có 3 3 11n 1 122 n 1 chia hết cho 133 (1) (2) Đáp án – biểu điểm Nội dung Câu Thang điểm 0,75 Đặt vế trái An Bước 1: Với n = 1, ta có vế trái 1, vế phải 12 (1 1) , hệ thức điểm Bước 2: Giả sử đẳng thức (1) với n k , nghĩa là: 0,25 k (k 1) (giả thiết qui nạp) 0,5 Ta phải chứng minh (1) với n k , tức 0,25 Ak 13 23 33 k (k 1) [(k 1) 1]2 Ak 1 k (k 1) 2 (k 1) (k 2) 3 3 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 0,75 0,5 Ak 1 Ak (k 1)3 k (k 1) (k 1)3 0,5 (k 1) (k 4k 4) 0,75 (k 1) (k 2) 0,5 Vậy hệ thức (1) với n Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học * 0,25 HÃY TÍCH LUỸ Tài liệu ôn thi học kì – Toán 11 Đặt An 11 n 1 điểm 12 n 1 Bước 1: Với n = 1, A1 133133 0,75 Bước 2: Giả sử với n k ta có 0,25 Ak 11k 1 122 k 1 chia hết cho 133 (giả thiết qui nạp) 0,5 Ta phải chứng minh Ak 1 133 , tức 0,25 Ak 1 11k 122 k 1 133 0,5 Thật vậy, ta có 0,75 Ak 1 11k 122( k 1)1 11.11k 1 122 k 1.122 11.11k 1 12 k 1 (11 133) 0,75 11 Ak 133.122 k 1 0,5 Vì Ak 11 0,5 k 1 Vậy 11 n 1 122 k 1 nên Ak 1 133 122 n 1 chia hết cho 133 với n * 0,25 CHÚC CÁC EM THI TỐT Chuyên đề 1: Quy nạp Toán học