Chuyen de 3.NGUYEN HAM TUNG PHAN

Chuyen de PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phương pháp thường sử dụng ta cần tính nguyên hàm tích Giả sử I = ∫ f1 ( x ) f ( x ) dx cần tính , ta làm sau: u = f1 ( x ) du = ⇒  dv = f ( x ) dx v = Đặt I = uv − ∫ vdu Từ P(x).ex dx ⇒ u = P(x) du=P'(x)dx e dx x dv = ⇒ v=ex P(x).sinx dx ⇒ u = P(x) du=P'(x)dx P(x).cosx dx ⇒ u = P(x) du=P'(x)dx u = lnx dv = sinxdx ⇒ v = -cosx dv = cosxdx ⇒ v = sinx dv = P(x)dx ∫ P( x)dx ⇒ v= CHÚ Ý Thứ tự ưu tiên đặt P(x).lnx.dx ⇒ du= dx x ex.sinx.dx ex.cosx.dx ex ex ⇒ u= du = exdx ⇒ u= du = exdx dv = sinxdx ⇒ v = -cosx dv = cosxdx ⇒ v = sinx u phương pháp Nguyên hàm phần: sin x,cos x (Hàm lượng giác)  x → → e (Hàm mũ) Lơgarít Đa thức MỘT SỐ VÍ DỤ 1• I = ∫ xsin2xdx Theo thứ tự ưu tiên trên, với nguyên hàm tích Hàm đa thức với Hàm u=x lượng giác, nên ta ưu tiên đặt du = dx u = x  ⇒  dv = sin xdx v = − cos x  Đặt 1 1 ⇒ I = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C 2 2• I = ∫ x 2e2 x dx Đặt du = xdx u = x   ⇒  2x v = e2 x ⇒ I = x 2e x − xe x dx = x 2e x − I1  dv = e dx  ∫  2 Tính I1 = ∫ xe x dx du = dx u = x 2x 2x 2x 2x  ⇒  x ⇒ I1 = xe − ∫ e dx = xe − e + C 2x 2 dv = e dx v = e  Đặt Từ đó: x − x + 1) e x ( 2x 2x 2x I = x e − xe + e + C = +C 2 4 3• I = ∫ x cos 2 xdx = ∫ x Tính + cos x 1 dx = ∫ xdx + ∫ x cos xdx = x + I1 2 I1 = ∫ x cos xdx Đặt  du = dx   u = x  ⇒  dv = cos xdx v = sin x  1 1 ⇒ I1 = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C 8 32 I= Từ đó: 4• 1 x + x sin x + cos x + C 32 I = ∫ ( x + x + 1) e x dx P ( x) = Với này, mà bậc , sử dụng phương pháp Nguyên hàm phần ta phải tiến hành hai lần Tuy nhiên, trường hợp này, ta sử dụng cách khác đây! • Cách 1: Đặt: u = x + x + du = ( x + 1) dx ⇒ ⇒ I = ( x + x + 1) e x − ∫ ( x + 1) e x dx  x x v = e dv = e dx Tính I1 = ∫ ( x + 1) e x dx Đặt u = x + du = 4dx ⇒  x x dv = e dx v = e ⇒ I1 = ( x + 1) e x − ∫ e x dx = ( x + 1) e x − 4e x + C = ( x − ) e x + C ⇒ I = ( x + x + 1) e x − ( x − 3) e x + C = ( x − 3x + ) e x + C • Cách 2: Giả sử ⇒ ( ∫ ( 2x ∫ ( 2x ) + x + 1) e x dx = ( ax + bx + c ) e x + C + x + 1) e x dx = ( ax + bx + c ) e x + C  ' ' ⇒ ( x + x + 1) e x = ( 2ax + b ) e x + ( ax + bx + c ) e x ⇒ ( x + x + 1) e x =  ax + ( 2a + b ) x + ( b + c )  e x 2 = a a =   ⇒ x + x + = ax + ( 2a + b ) x + ( b + c ) ⇒ 1 = 2a + b ⇔ b = −3 1 = b + c c =   2 ⇒ I = ( x2 − 3x + ) e x + C 5• Vậy I = ∫ e x cos3xdx Đặt du = 2e x dx u = e x  ⇒  dv = cos3 xdx v = sin x  2 ⇒ I = e x sin 3x − ∫ e2 x sin xdx = e2 x sin x − I1 3 3 Đặt  du = 2e x dx u = e x  ⇒  dv = sin xdx  v = − cos3x  2 ⇒ I1 = − e2 x cos3 x + ∫ e2 x cos3x = − e2 x cos3 x + M 3 3 Từ đó: 2 2  I = e x sin x − M = e x sin x − I1 = e x sin x −  − e x cos3 x + I ÷ 3 3 3 3  13 ( 3sin x + 2cos3x ) e2 x + C = e2 x sin x + e x cos3 x − I ⇒ I = e x sin x + e x cos3x + C1 ⇒ I = 9 9 13 5• I = ∫ x ln xdx (ĐS: 1 I = x3 ln x − x3 + C ) 6• 7• I = ∫ x ln xdx I= (ĐS: x ln x − x + C 16 ) 1 1 I = ∫ x ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) − x + x − x + ln x + + C 3 I =∫ ( x ln x + x + x +1 8• ) ( Đặt ) dx u = ln x + x + dx   du =  x2 + ⇒  x dx dv =  v = x +  x2 +  ) ( I = x + 1ln x + x + − x + C Ta 9• ) ( I = ∫ ln x + x + dx Đặt: ) ( ) ( dx  u = ln x + x +  du = 2ln x + x + ⇒ x +1    dv = dx  v = x ) ( ) ( xdx ⇒ I = x.ln x + x + − ∫ ln x + x + ) ( x2 + ) ( = x ln x + x + − x + 1.ln x + x + + x + C 10• 11•  ln x  I = ∫ ÷ dx  x  ln x I = ∫ dx x Ta có 1 I = − ln x − + C x x Đặt dx  u = ln x du = 2ln x   x  dx ⇒  dv = v = − x   x  Ta  dx dx  I = ∫ − ÷dx = ∫ − ∫ = I1 − I ln x ln x  ln x ln x  Tính I1 Đặt dx   u =  du = − ln x ⇒  x ln x    dv = dx v = x I1 = Từ x + I2 ln x I= Từ x +C ln x I = ∫ x ln 12• 15• x −1 I = x + ln +C x +1 Từ 3sin x − 2cos x ) e3 x ( 3x I = ∫ e sin xdx = = +C 13 I =∫x e 2x 14• 2dx  x − du =  u = ln   x −1 x +1 ⇒   dv = xdx  x = x2  Đặt 13• x −1 dx x +1 ( 2x dx = = − x + 1) e x +C I = ∫ ( x + x − x + ) e x dx Giả sử: Q = ∫ ( x + x − x + ) e x dx = ( ax + bx + cx + d ) e x + C ⇒ ( x + x − x + ) e x = ( 3ax + 2bx + c ) e x + ( ax + bx + cx + d ) e x ⇒ x3 + x − x + = 2ax3 + ( 3a + 2b ) x + ( 2b + 2c ) x + c + d  = 2a a = 5 = 3a + 2b b =   ⇒ ⇒ ⇒ Q = ( x3 + x − x + 3) e x + C −2 = 2b + 2c c = −2 4 = c + 2d d = R = ∫ ( x + x + 1) e x dx = = ( x − x + ) e x + C LUYEN TAP Tìm nguyên hàm hàm số ∫ xe dx x a d ∫x b f x cos xdx c ∫ e cos ∫ ( x + 1).ln xdx xdx dx g x ln xdx ∫ cos x dx ∫x h ∫ sin x Chuyen de PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1• I = ∫ sin xdx x = t ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = ∫ sin t ( 2tdt ) = ∫ 2t sin tdt Đặt Đặt Vậy 2• u = 2t du = 2dt ⇒ ⇒ I = −2t cos t + ∫ cos tdt = −2t cos t + 2sin t + C  dv = sin tdt v = − cos t I = 2sin x − x cos x + C I = ∫ sin ( ln x ) dx Từ Đặt x sin ( ln x ) − cos ( ln x )  I = ∫ e t sin tdt =  +C I = ∫ x e dx x3 3• dx  ⇒ dx = xdt dt = t = ln x ⇒  x  x = et  Đặt 3x dx = dt x3 = t ⇒   x = t 1 I = ∫ t 2et dt = ( x − x + ) e x + C 3 4• Từ I = ∫ e x dx Đặt x = t ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = 2∫ tet dt = xe x − 2e x +C ... x a d ∫x b f x cos xdx c ∫ e cos ∫ ( x + 1).ln xdx xdx dx g x ln xdx ∫ cos x dx ∫x h ∫ sin x Chuyen de PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1• I = ∫ sin xdx x = t ⇒ x = t ⇒