Chuyen de PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phương pháp thường sử dụng ta cần tính nguyên hàm tích Giả sử I = ∫ f1 ( x ) f ( x ) dx cần tính , ta làm sau: u = f1 ( x ) du = ⇒ dv = f ( x ) dx v = Đặt I = uv − ∫ vdu Từ P(x).ex dx ⇒ u = P(x) du=P'(x)dx e dx x dv = ⇒ v=ex P(x).sinx dx ⇒ u = P(x) du=P'(x)dx P(x).cosx dx ⇒ u = P(x) du=P'(x)dx u = lnx dv = sinxdx ⇒ v = -cosx dv = cosxdx ⇒ v = sinx dv = P(x)dx ∫ P( x)dx ⇒ v= CHÚ Ý Thứ tự ưu tiên đặt P(x).lnx.dx ⇒ du= dx x ex.sinx.dx ex.cosx.dx ex ex ⇒ u= du = exdx ⇒ u= du = exdx dv = sinxdx ⇒ v = -cosx dv = cosxdx ⇒ v = sinx u phương pháp Nguyên hàm phần: sin x,cos x (Hàm lượng giác) x → → e (Hàm mũ) Lơgarít Đa thức MỘT SỐ VÍ DỤ 1• I = ∫ xsin2xdx Theo thứ tự ưu tiên trên, với nguyên hàm tích Hàm đa thức với Hàm u=x lượng giác, nên ta ưu tiên đặt du = dx u = x ⇒ dv = sin xdx v = − cos x Đặt 1 1 ⇒ I = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C 2 2• I = ∫ x 2e2 x dx Đặt du = xdx u = x ⇒ 2x v = e2 x ⇒ I = x 2e x − xe x dx = x 2e x − I1 dv = e dx ∫ 2 Tính I1 = ∫ xe x dx du = dx u = x 2x 2x 2x 2x ⇒ x ⇒ I1 = xe − ∫ e dx = xe − e + C 2x 2 dv = e dx v = e Đặt Từ đó: x − x + 1) e x ( 2x 2x 2x I = x e − xe + e + C = +C 2 4 3• I = ∫ x cos 2 xdx = ∫ x Tính + cos x 1 dx = ∫ xdx + ∫ x cos xdx = x + I1 2 I1 = ∫ x cos xdx Đặt du = dx u = x ⇒ dv = cos xdx v = sin x 1 1 ⇒ I1 = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C 8 32 I= Từ đó: 4• 1 x + x sin x + cos x + C 32 I = ∫ ( x + x + 1) e x dx P ( x) = Với này, mà bậc , sử dụng phương pháp Nguyên hàm phần ta phải tiến hành hai lần Tuy nhiên, trường hợp này, ta sử dụng cách khác đây! • Cách 1: Đặt: u = x + x + du = ( x + 1) dx ⇒ ⇒ I = ( x + x + 1) e x − ∫ ( x + 1) e x dx x x v = e dv = e dx Tính I1 = ∫ ( x + 1) e x dx Đặt u = x + du = 4dx ⇒ x x dv = e dx v = e ⇒ I1 = ( x + 1) e x − ∫ e x dx = ( x + 1) e x − 4e x + C = ( x − ) e x + C ⇒ I = ( x + x + 1) e x − ( x − 3) e x + C = ( x − 3x + ) e x + C • Cách 2: Giả sử ⇒ ( ∫ ( 2x ∫ ( 2x ) + x + 1) e x dx = ( ax + bx + c ) e x + C + x + 1) e x dx = ( ax + bx + c ) e x + C ' ' ⇒ ( x + x + 1) e x = ( 2ax + b ) e x + ( ax + bx + c ) e x ⇒ ( x + x + 1) e x = ax + ( 2a + b ) x + ( b + c ) e x 2 = a a = ⇒ x + x + = ax + ( 2a + b ) x + ( b + c ) ⇒ 1 = 2a + b ⇔ b = −3 1 = b + c c = 2 ⇒ I = ( x2 − 3x + ) e x + C 5• Vậy I = ∫ e x cos3xdx Đặt du = 2e x dx u = e x ⇒ dv = cos3 xdx v = sin x 2 ⇒ I = e x sin 3x − ∫ e2 x sin xdx = e2 x sin x − I1 3 3 Đặt du = 2e x dx u = e x ⇒ dv = sin xdx v = − cos3x 2 ⇒ I1 = − e2 x cos3 x + ∫ e2 x cos3x = − e2 x cos3 x + M 3 3 Từ đó: 2 2 I = e x sin x − M = e x sin x − I1 = e x sin x − − e x cos3 x + I ÷ 3 3 3 3 13 ( 3sin x + 2cos3x ) e2 x + C = e2 x sin x + e x cos3 x − I ⇒ I = e x sin x + e x cos3x + C1 ⇒ I = 9 9 13 5• I = ∫ x ln xdx (ĐS: 1 I = x3 ln x − x3 + C ) 6• 7• I = ∫ x ln xdx I= (ĐS: x ln x − x + C 16 ) 1 1 I = ∫ x ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) − x + x − x + ln x + + C 3 I =∫ ( x ln x + x + x +1 8• ) ( Đặt ) dx u = ln x + x + dx du = x2 + ⇒ x dx dv = v = x + x2 + ) ( I = x + 1ln x + x + − x + C Ta 9• ) ( I = ∫ ln x + x + dx Đặt: ) ( ) ( dx u = ln x + x + du = 2ln x + x + ⇒ x +1 dv = dx v = x ) ( ) ( xdx ⇒ I = x.ln x + x + − ∫ ln x + x + ) ( x2 + ) ( = x ln x + x + − x + 1.ln x + x + + x + C 10• 11• ln x I = ∫ ÷ dx x ln x I = ∫ dx x Ta có 1 I = − ln x − + C x x Đặt dx u = ln x du = 2ln x x dx ⇒ dv = v = − x x Ta dx dx I = ∫ − ÷dx = ∫ − ∫ = I1 − I ln x ln x ln x ln x Tính I1 Đặt dx u = du = − ln x ⇒ x ln x dv = dx v = x I1 = Từ x + I2 ln x I= Từ x +C ln x I = ∫ x ln 12• 15• x −1 I = x + ln +C x +1 Từ 3sin x − 2cos x ) e3 x ( 3x I = ∫ e sin xdx = = +C 13 I =∫x e 2x 14• 2dx x − du = u = ln x −1 x +1 ⇒ dv = xdx x = x2 Đặt 13• x −1 dx x +1 ( 2x dx = = − x + 1) e x +C I = ∫ ( x + x − x + ) e x dx Giả sử: Q = ∫ ( x + x − x + ) e x dx = ( ax + bx + cx + d ) e x + C ⇒ ( x + x − x + ) e x = ( 3ax + 2bx + c ) e x + ( ax + bx + cx + d ) e x ⇒ x3 + x − x + = 2ax3 + ( 3a + 2b ) x + ( 2b + 2c ) x + c + d = 2a a = 5 = 3a + 2b b = ⇒ ⇒ ⇒ Q = ( x3 + x − x + 3) e x + C −2 = 2b + 2c c = −2 4 = c + 2d d = R = ∫ ( x + x + 1) e x dx = = ( x − x + ) e x + C LUYEN TAP Tìm nguyên hàm hàm số ∫ xe dx x a d ∫x b f x cos xdx c ∫ e cos ∫ ( x + 1).ln xdx xdx dx g x ln xdx ∫ cos x dx ∫x h ∫ sin x Chuyen de PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1• I = ∫ sin xdx x = t ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = ∫ sin t ( 2tdt ) = ∫ 2t sin tdt Đặt Đặt Vậy 2• u = 2t du = 2dt ⇒ ⇒ I = −2t cos t + ∫ cos tdt = −2t cos t + 2sin t + C dv = sin tdt v = − cos t I = 2sin x − x cos x + C I = ∫ sin ( ln x ) dx Từ Đặt x sin ( ln x ) − cos ( ln x ) I = ∫ e t sin tdt = +C I = ∫ x e dx x3 3• dx ⇒ dx = xdt dt = t = ln x ⇒ x x = et Đặt 3x dx = dt x3 = t ⇒ x = t 1 I = ∫ t 2et dt = ( x − x + ) e x + C 3 4• Từ I = ∫ e x dx Đặt x = t ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt ⇒ I = 2∫ tet dt = xe x − 2e x +C ... x a d ∫x b f x cos xdx c ∫ e cos ∫ ( x + 1).ln xdx xdx dx g x ln xdx ∫ cos x dx ∫x h ∫ sin x Chuyen de PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1• I = ∫ sin xdx x = t ⇒ x = t ⇒