Đạo hàm liên tiếp và các dãy số nguyên

NGUYỄN ĐÌNH CỨ ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP VÀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015... Đây là một mảng kiến thức khó trong Toán học sơ cấp.Đối với các học sinh và nhữn

NGUYỄN ĐÌNH CỨ

ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP

VÀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

NGUYỄN ĐÌNH CỨ

ĐẠO HÀM LIÊN TIẾP

VÀ CÁC DÃY SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mục lục

1.1 Phân hoạch nguyên và các kí hiệu 4

1.2 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x)1 6

1.3 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x)h(x) 12

2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ DÃY SỐ NGUYÊN An 18 2.1 Kết quả tiệm cận về dãy An 18

2.2 Một số công thức gần đúng về dãy An 28

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

Mở đầu

Các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của Đại số vàGiải tích Toán học Đây là một mảng kiến thức khó trong Toán học sơ cấp.Đối với các học sinh và những ai yêu thích mảng toán học về dãy số và sốhọc thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại toán khó liên quan đếnvấn đề này Vì vậy, để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làmtoán phải có kiến thức tổng hợp về Số học, Đại số, Giải tích

Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượngnghiên cứu thuần túy mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực củacác mô hình rời rạc của giải tích trong lí thuyết phương trình, lí thuyết xấp

xỉ, lí thuyết biểu diễn

Dãy số nguyên là một phần quan trọng trong lí thuyết của dãy số Các bàitoán về dãy số nguyên thường rất đa dạng và phức tạp Trong nhiều trườnghợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất của bài toán lại là bài toán sốhọc Do vậy, để giải quyết được những bài toán khó về dãy số nguyên ta cần

có những phương pháp hữu hiệu Một trong những phương pháp đó là sửdụng công cụ đạo hàm

Đạo hàm không chỉ là một khái niệm và là công cụ mạnh để giải các bàitoán của giải tích mà nó còn được sử dụng để nghiên cứu các bài toán về dãysố

Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số nghiên cứu gần đây

h

dụng những kiến thức này vào nghiên cứu các dãy số nguyên

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luậnvăn được trình bày gồm hai chương

Chương I: Đạo liên tiếp của các hàm 1

h

f Chương này trình bày

một số kiến thức chuẩn bị như: Sự phân hoạch của một số nguyên và các kí

hiệu Nhắc lại công thức Faá di Bruno về sự khả vi của hàm g ◦ f, xây dựngcông thức tính đạo hàm liên tiếp của hàm 1

h

f Trình bày các tính

chất của đa thức hệ số nguyên Pn và Qn

Chương II: Một số kết quả về dãy số nguyên An Chương này trình bàykết quả tiệm cận về dãy số nguyên An và đưa ra một số công thức gần đúng

về dãy số nguyên An

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà HuyKhoái - Trường Đại học Thăng Long Thầy là người đã dành nhiều thời giantận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu làmluận văn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi cũng xin gửi tới các Thầy cô trong Khoa Toán trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy khóaCao học Toán 2013 - 2015 lời cảm ơn sâu sắc về công lao dạy dỗ trong suốtquá trình giáo dục và đào tạo của nhà trường Cuối cùng, tôi cũng xin gửilời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán lớp Q khóa 6/2013 - 6/2015 củatrường Đại học Khoa học đã giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình họctập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Đình Cứ

f (x) Để thiết lập công thức Faá di Bruno ta cần một số ký hiệu về

phân hoạch và hệ số đa thức Các ký hiệu này là do Vella [5] đưa ra

1.1 Phân hoạch nguyên và các kí hiệu

Trong phần này giới thiệu một số kí hiệu về các phân hoạch và hệ số đathức Bây giờ ta giải thích các kí hiệu này

Phân hoạch π của số nguyên dương n là phép biểu diễn n thành tổng củacác số nguyên dương

Chẳng hạn như, ta có các phân hoạch π của 4 là

4 = 1 + 1 + 1 + 1,

4 = 1 + 1 + 2,

4 = 1 + 3,

4 = 2 + 2

Trong phân hoạch π của n, n = p1 + p2 + + pm, mỗi pi i = 1, 2, , m

gọi là các số hạng hay là các bộ phận của phân hoạch Ta không phân biệt

về thứ tự của các số hạng trong phân hoạch Chẳng hạn như, trong phânhoạch π của 4 thì 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 2 + 1 và 4 = 2 + 1 + 1 được xem lànhư nhau

Số phân hoạch π củankí hiệu là p(n) Số các số hạng của của phân hoạch

π kí hiệu là l(π) Vì vậy, với n = p1 + p2 + + pm thì l(π) = m

55 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 10

Ta có l(π) = 15

Hơn nữa, phân hoạchπ của ncó thể được viết ở dạng π = {p1, p2, , pm}

Ví dụ như phân hoạch π của 55 ta viết là

π = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 6, 6, 7, 7, 7, 10}

Với mỗi i (1 ≤ i ≤ n) số lần i xuất hiện như một phần phân hoạch π của

n kí hiệu là πi và gọi là tính bội của phần i trong π Chẳng hạn như, trongphân hoạch π của 55 ta có π1 = 6, π2 = 3 và π3 = 0

Chẳng hạn như, phân hoạch dẫn xuất δ(π) của phân hoạch π của 55 làphân hoạch của l(π) = 15 sau

f (x) và giới thiệu một số dãy số nguyên

liên kết với các đạo hàm liên tiếp này

1.2 Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x)1

Trong định lí sau thiết lập một cách rất ngắn gọn và có ích công thức Faá

di Bruno Phương pháp thiết lập này là của Vella [5]

Định lí 1.2.1 Giả sử y = g(u) và u = f (x) khả vi đến cấp n Khi đó hàmhợp y = (g ◦ f ) (x) cũng khả vi đến cấp n và

(g ◦ f )(n)(x) = X

π∈Ωn

(nπ)δ(π)!.g

trong đó Ωn là tập tất cả các phân hoạch của n

Nếu f = f (x) thì ta quy ước f = f(0)

(0)

Ta có định lí tổng quát sau.

Định lí 1.2.2 Các đạo hàm liên tiếp của hàm (1.2) thỏa mãn công thức sau



1f

= X

π∈Ω(n)

(nπ)δ(π)!.

giữa mỗi một đơn thức với một phân hoạch của n Số các số hạng (đơn thức)trong đa thức Pn là p(n), như vậy, đó cũng là số phân hoạch của n.

(ii) Đa thức Pn có tổng hệ số là 1 nếu n chẵn và có tổng hệ số là −1 nếu

n lẻ Như vậy, tổng các hệ số của đa thức Pn là (−1)n

(iii) Nếu n chẵn thì đơn thức với số chẵn của f có hệ số dương và đơnthức với số lẻ của f có hệ số âm

Nếu n lẻ thì đơn thức với số chẵn của f có hệ số âm và đơn thức với số

(v) Hệ số của đơn thức f f f(n) là −1 Hệ số của đơn thức f(1) f(n) là

(−1)nn! Vì vậy An ≥ n! (xem phần (iv))

Chứng minh (i) Từ (1.5) ta suy ra được kết quả phần (i)

(ii) Ta áp dụng (1.7) trong trường hợp f (x) = ex Để ý rằng f(i)(0) = 1

với mọi i ≥ 0 Vì thế, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành

x=0

= (−1)n

Mặt khác, vế phải của (1.7) tại x = 0 trở thành

P

π∈Ω n

(−1)l(π)(nπ)

l(π) δ(π)

(iii) Từ (1.5) ta suy ra được kết quả phần (iii)

(iv) Áp dụng (1.7) trong trường hợp f (x) = 2 − ex Chú ý là f (0) = 1

và f(i)(0) = −1 với mọi i ≥ 0 Vì thế, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành

P

π∈Ω n

(−1)l(π)(nπ)

l(π) δ(π)



Để ý rằng (1.15) (xem tử số của (1.7)) là tổng An trong số các giá trị tuyệtđối của hệ số trong đa thức Pn Mặt khác, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở

|z| < log 2 và vì vậy bán kính hội tụ của (1.13) là R = log 2 Cũng theo định

2 − ex là

(v) Đây là một hệ quả trực tiếp của phương trình (1.5) Phần e) đượcchứng minh

1.3 Đạo hàm liên tiếp của hàm h(x)f (x)



10



f(1)g(0) +



11

!

f(k)g(n−1−k)

với mọi n ≥ 1



f(k)g(n−k)

Vậy (1.18) đúng theo nguyên lí quy nạp



Định lí 1.3.2 Xét hàm

h(x)

f (x) =

hf

ta luôn có công thức sau



hf

Nếu n lẻ thì đơn thức với số lẻ f có hệ số dương và đơn thức với số chẵn

vii) Mỗi số hạng (đơn thức) trong đa thức Qn có (n + 1) nhân tử và cótổng chỉ số trên là n Nghĩa là, mỗi đơn thức có dạng

số phân hoạch của k (p(0) = 1)

Chứng minh i) Tổng hệ số trong đa thức Pk là (−1)k (xem phần (ii) củaĐịnh lí 1.2.3) Vì vậy, tổng hệ số trong đa thức Qn (xem (1.19) và (1.17)) là

là hàm giải tích trong hình tròn |z| < log 2 và vì vậy bán kính hội tụ của(1.21) là R = log 2.

v) Ta có (xem phần (iv) của Định lí 1.2.3)

vi) Là một hệ quả trực tiếp của phần ii) và phần v)

vii) Là một hệ quả trực tiếp của (1.19) và phần i) của Định lí 1.2.3



Chương 2

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ DÃY SỐ

Trong chương này trình bày kết quả tiệm cận về dãy số nguyên An, qua

đó đưa ra một số công thức gần đúng về dãy An

2.1 Kết quả tiệm cận về dãy An

Bổ đề 2.1.1 Ta xét chuỗi lũy thừa (1.13)

∞

X

k=0

Akk!x

Ak−1(k − 1)!

X

k=1

1k! ≤ n (e − 1) (2.4)Cuối cùng, từ (2.2) và (2.4) cho ta kết quả

Ngoài ra, f (0) = 1 và f (1) = e − 1.

Đây là bất đẳng thức thứ nhất của chúng ta.

Bất đẳng thức bên phải (tức là (2.11) cho ta bất đẳng thức (xem (2.15))

h2 = e

1 p1 − 1

Mặt khác, từ bất đẳng thức (2.17) và (2.19) ta có bất đẳng thức thứ hai sau

h2 = e

1 p1 − 1

1

h 2

Từ bất đẳng thức (2.19) (tức là phương trình (2.11)) ta có bất đẳng thức(xem (2.15))

h3 = e

1 p2 − 1

An

nAn−1 ≤ e

1 h3 − 1

h3 = e

1 p2 − 1

1 p

− λ3 ≤ An

nAn−1 ≤ e

1 h3 − 1

1 h

Trong dạng này ta xây dựng các bất đẳng thức sau (xem (2.16), (2.21),(2.26)).

log 2 Vì vậy, ta có được

giới hạn mong muốn là (2.1) hay

1

p n−1

− λn = e

1e

1 hn−1 − 1

1

hn−1

+ εn−1

− 11

e

1 hn−1 − 1

1

hn−1

+ εn−1

− λn

Vì vậy nếu lấy giới hạn trong cả hai vế ta được l1 thỏa mãn phương trình

+ εn = e

1e

1 pn−1 − 1

1

p n−1

− λn

− 11

e

1 pn−1 − 1

e1l − 1

1 l

Phương trình này có nghiệm

l = 1log 2.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng nghiệm này là nghiệm dương duy nhất củaphương trình (2.29)

đó, f (x) là tăng ngặt trong khoảng [0, a) và f (x) là giảm ngặt và lớn hơn 1trong khoảng [a, ∞).

Vì vậy, nghiệm dương duy nhất của phương trình (2.29) là x = log 2

k

n ∼ A

1 n−1

n−1

từ đó ta được

An ∼ eA1+

1 n−1

log An = n log n − (1 + log log 2)n + o(n)

7) Phương trình (2.36) là một hệ quả trực tiếp của phương trình (2.35).8) Nếu ta liên kết An với chuỗi

∞

P

k=0

akxk và chứng minh như phần 4), sửdụng (2.30) ta được điều cần phải chứng minh



Kết luận

Luận văn này đã trình bày được các vấn đề cơ bản sau:

- Khái niệm về phân hoạch nguyên và một số kí hiệu

- Trình bày công thức Faá di Bruno về đạo hàm liên tiếp của hàm hợp

(g ◦ f )(x) và công thức tính đạo hàm liên tiếp hàm tích f g của Leibnitz

- Xây dựng công thức tính đạo hàm liên tiếp của hàm 1

h

f.

- Nêu được các tính chất cơ bản của đa thức Pn và đa thức Qn

- Áp dụng các tính chất này vào xét các dãy số nguyên

- Trình bày kết quả tiệm cận về dãy An

- Nêu được một số công thức gần đúng về dãy An

Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn mới chỉ dừng lại ởmức tìm hiểu và giới thiệu về công thức tính đạo hàm liên tiếp của các hàm

1

f, hàm

h

f và kết quả tiệm cận về dãy số An Trong thời gian tới tác giả sẽ

tiếp tục nghiên cứu và tìm hiểu kĩ hơn để có thể đưa những kết quả này vậndụng vào các bài toán cụ thể phục vụ cho quá trình học tập và giảng dạy.Trong quá trình thực hiện luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy

cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện tốt hơn Xin chân thành cảm ơn

Tài liệu tham khảo

Tài liệu Tiếng Việt

[1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học thuật toán, NXB ĐHQGHN,

2003

[2] Hà Huy Khoái, Số học, NXB Giáo dục, 2004

Tài liệu Tiếng Anh

[3] R.Jakimczuk, Successive Derivatives and Integer Sequences, Journal ofInteger Sequences, Vol.14(2011)

[4] R.Jakimczuk, A note on power series and the e number, Int Math rum 6 (2011), 1645 - 1649

Fo-[5] D.Vella, Explicit formulas for Bernoulli and Euler number, Integers 8(2008), Paper A01

[6] H Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press, 1994