Chuyên đề lũy thừa và Logarit

NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * § NHỮNG CÔNG THỨC THÔNG DỤNG CỦA LŨY THỪA & LOGARIT A LŨY THỪA Vấn đề I Đònh nghóa tính chất: Cho a ∈ ¡ ; a ≠ n ∈ ¥ * n 14.a2 43a • a =a • a0 = n lần • a −n = • a1 = a an a gọi số, n số mũ II Các phép toán lũy thừa: a, b ∈ ¡ ; a, b ≠ 0; n ∈ ¥ * Tích lũy thừa số: a n a m = a n + m am = a m −n Thương lũy thừa số: n a n n n Lũy thừa tích: (a.b ) = a b n an a  Lũy thừa thương:  ÷ = n b b  III Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Nếu tồn n m a m a n = n am B LOGARIT I Đònh nghóa tính chất: Cho a, b > a ≠ • log a = • log a a = • log a b = α ⇔ a α = b • a loga b = b ° a gọi số ° Logarit tự nhiên logarit số e, viết ln ° Logarit thập phân logarit số 10 II Các phép toán logarit: Cho a; b1, b2 > 0, a ≠ 1 Loga tích = tổng logarit log a ( b1b2 ) = log a b1 + log a b2 log a Loga thương = hiệu tích số logarit b1 = log a b1 − log a b2 b2 Loga lũy thừa = mũ với log a b k = k log a b,(k ∈ ¡ ) III Đổi số: Cho a, b, c > a ≠ 1, c ≠ log a b = log c b 1 ⇒ log a b = log a b log a k b = log c a log n a k 13 logarit NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * BÀI TẬP A Lũy thừa: Tính: A = B = C = D = −4 −3 1 1  ÷ − ÷  3  2 −10 −9 1 −3 −4 −2 −1    ÷ 27 + (0, 2) 25 + (128)  ÷ 3  2 −6 3−1.15 + −2 + 3.23 −1 −1  9  3  ÷ −  ÷ 4 7 −0,75 Rút gọn: Đs: Đs: 173 Đs: Đs: E = + 27   F =%  ÷  16  Đs: 73  3 + ÷ 8 13 Đs: 24 Đs: a A = a a a : 3a  13  a  a + a ÷ ÷   C =  1 a  a + a ÷ ÷ 4  Đs: a2 a b +b a a + 6b   E = a + b  a + b − ab ÷ ÷   Đs: ab B =a D = ( Đs: a ) Đs: a + b B Logarit: Tìm x để biểu thức sau có nghóa: a log2(16 - x2) Đs: -4 < x < b log5(x + x - 6) Đs: x < -3 x > 2 Tính giá trò biểu thức: A = log 3 Đs: 14 B = log NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * Đs: -3 C = log 18 + log D = 49 Đs: Đs: log 27 E = 81− log2 Đs: F = log 75 − log G = log − log 12 + log 50 H = log − log 400 + log 2 2 Đs: Đs: 45 I = log a + log a + log a Tìm x biết: a log3x = 4log3a + 7log3b (a, b > 0) b log2x = log 32 − log 64 − log 10 Đs: -4 Đs: 8log5a Đs: x = a4b7 Đs: x = 10 Dùng công thức đổi số Tính: A = log B = log C = log 3 log 36 Đs: A = log 81 Đs: B = 12 log 25 Đs: C = − Tìm x, biết: a log2x + log4x + log8x = 11 c log3x + log9x = b log8x + log64x = Đs: x = 64 x = Đs: x = 15 12 Vấn đề a ≠ 1) NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * § PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (a > 0; Cách giải đưa số: f (x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g( x ) a Phương trình mũ: a b Phương trình logarit:  f (x ) >  g( x ) > Để log a f ( x ) log a g( x ) có nghóa • Điều kiện  log a f ( x ) = log a g( x ) ⇔ f ( x ) = g( x ) log a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = a M (không cần điều kiện cho f(x) ) Cách giải đặt ẩn phụ: a Phương trình mũ: • Dạng 1: A.a x + B.a x + C = (1) Đặt t = ax > Phương trình (1) ⇔ At2 + Bt + C = • Dạng 2: A.a x + B(ab )x + C.b x = (2) Chia vế cho b2x 2x Phương trình (2) ⇔ x a  t = ÷ >0 b  x a  + B ÷ +C = b  Đặt ⇔ At2 + Bt + C = b Phương trình logarit: • Dạng 1: A ( log a x ) a  A ÷ b  + B log a x + C = (3) Đặt t = logax Phương trình (3) ⇔ At2 + Bt + C = • Dạng 2: A log a x + B log x a + C = (4) Đặt t = log a x ⇒ log x a = B +C = t ⇔ At + Ct + B = t (x > 0; x ≠ 1) Phương trình (4) ⇔ At + Cách giải logarit hóa mũ hóa: a Phương trình mũ: logarit hóa, tức lấy log a vế phương trình a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = log a M b Phương trình logarit: Mũ hóa, tức mũ số a vế phương trình 16 log a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = a M NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * BÀI TẬP Giải phương trình mũ cách đưa số a 9x = 33x - Đs: x = x x+ x+ x x +3 x + b + + = + + Đs: x = x x - x - x x - x - c + + = 3- + Đs: x = x x +1 d = 72 Đs: x = 2x + 3x x + e = Đs: x = x+ x x +1 f) 4.3 + 5.3 - 7.3 = 60 Đs: x = −x g) 0,125.42x -  2 =  ÷   x +5 Đs: x = x +17 h) 32 x −7 = 0, 25.125 x −3 Đs: Giải phương trình logarit cách đưa số: a log3x + log9x + log27x = 11 Đs: x = 36 b log2(x + 3) + log2(x - 1) = log25 Đs: c log2(x2 + 3) + log = log ( x − 1) − log ( x + 1) d log ( x + 2)2 + log x + 4x = = Đs: x = 25; x = -29 e log2[x(x - 1)] = Đs: x = -1 x = log x log x = f log 2x log16 x Đs: x = 2, x = Giải phương trình mũ cách đặt ẩn phụ: a 9x - 4.3x + = b 3x + + 9x + = c 6.9x - 13.6x + 6.4x = d 32x + + 45.6x - 9.22x + 2= e ( − 3) x ( + 2+ Đs: x = ) x = 16 Đs: x = 0, x = Đs: x = -1 Đs: x = a, x = -1 Đs: x = -2 Đs: x = 1; x = -1 Giải phương trình logarit đặt ẩn phụ: a log a x + log x a = Đs: x = a + =1 − lg x + lg x =0 c log x − log x + b Đs: x = 10; x = 100 Đs: x = 8; x = Giải phương trình mũ logarit hóa: x x = 17 Đs: x = 0; x = − log NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * - Giải phương trình logarit mũ hóa: log3x(x + 2) = Đs: x = 1; x = -3 BÀI TẬP Giải bất phương trình mũ cách đưa số: a 3x − x < Đs: -1 < x < Vấn đề § BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT * Chú ý chung giải bất [hương trình mũ logarit Cơ số: • a > y = xx y = logax đồng biến Tức x1 < x2 ⇒ a x1 < a x x1 < x2 ⇒ logax1 < logax2 • < a < y = ax y = logax nghòch biến Tức x1 < x2 ⇒ a x1 > a x x1 < x2 ⇒ logax1 > logax2 Điều kiện xác đònh logarit: y = logaf(x) xác đònh f(x) > Ôn tập cách giải bất phương trình bậc I bậc II: Ta giải riêng lẻ bất phương trình tìm giao tập nghiệm bất phương trình Nó tập nghiệm hệ bất phương trình Để tìm giao tập nghiệm, ta dùng trục số Trên gạt bỏ miền nghiệm I Bất phương trình mũ: Cách đưa số: i Nếu a > 1: af(x) < ag(x) f(x) < g(x) f(x) g(x) f(x) > g(x) ii Nếu < a < : a < a Cách đặt ẩn phụ: Dựa vào tập cụ thể mà đặt ẩn phụ dạng đặt ẩn phụ phương trình mũ II Bất phương trình logarit: Cách đưa số: f(x)0 i Nếu a > : loga f(x) < log ag(x) ⇔  f(x)>g(x) f(x)>0 ii Nếu < a < : loga f(x) < log ag(x) ⇔  Cách đặt ẩn phụ: 18 đặt ẩn phụ dạng đặt ẩn Dựa vào toán cụ thể mà phụ phương trình logarit NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * Đs: x ≤ − Đs: x > − b 32 x + > x c 27 ≤ x −5 x + 1 d  ÷ >  2 e 2x + − 2x + − 2x + > x +1 − x + f 62 x + < 2x + 7.33 x −1 Đs: < x < Đs: x > Đs: x > Giải bất phương trình logarit đưa số: a log3(5x + 10) > log3(x2 + 6x + 8) Đs: -2 < x < ( ) b log x + 2x − > −4 Đs: x∈(-6,-4) (2,4) c log (5 x − 1) > Đs: x < d log2(x - 3) + log2(x - 2) < Đs: < x < e Đs: log (4 x − 3) + log (2x + 3) < 3 Giải bất phương trình mũ đặt ẩn phụ: a 9x - 2.3x - < b 4x - 2.52x < 10x Đs: Đs: x < x > log 2 Giải bất phương trình logarit đặt ẩn phụ: ( log x ) Đs: < x < + log x − > < x Vấn đề 10: Nguyên hàm _ Tích phân I/ Nguyên hàm : 1/ Công Thức : ∫ f ( x)dx ∫u' x f (u x )dx hàm x.) 19 ,(hàm hợp: u x ∪ NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * • ∫ dx = x + c u n +1 xnn +1 nn u • ' u x dx dx = = u du + = c , ∫ ∫ ∫ n +1 n(n+≠1 −+1)c, (n ≠ −1) u ' dx du ∫ •u ∫dxx ==∫lnux + c=, ( xln≠u0)+ c, (u ≠ 0) ux dx ==∫eexu+ duc = e u + c ∫ u•∫' ee dx sinudx xdx = cos udu x + c= − cos u + c =− ∫ u•∫'sin ∫ sin cosudx xdx = sin c = sin u + c ∫ u•∫'cos ∫ cosx +udu u ' dx du 2 •∫ tgx +c dx = = ∫ cos ∫ cos cos u x u = tgu + c dx du+ c •∫u2' 2dx = = tgx = − co tgu + c ∫ sinsinu x − co ∫ sin u 2/ Tính chất : (thông dụng ) •∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ,(k: số ) • ∫ [ f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x) dx II/ Tích phân :Cho f(x) lien tuc tren [a;b] 20 NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * 1/ Công thức : ,với F(x)là nguyên hàm f(x) 2/ Tính chất : (thông dụng) ,với Bài tập : Tính tích phân 21 NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * a ) ∫ ( x −2 x +5 ) dx ds : e2 x −7 x +5 b) ∫ dx ds : −7e +4e +13 x 2 1  −3 −1 c) ∫  − ÷dx ds : x  x d ) ∫ e x ( −e −x ) dx ds : e −2 o f1/Trườ ) ∫ x 2ng hợ x 3p+ 5.dx ds :phâ(6 −5 :Thấ y hà m dướ i dấ u tích n có6thể phâ5) n tích thành o b dạngπ: ∫a u 'x f (u x ) dx e3 −1 3cos x g )∫ e sin xdx ds : o ch 1: p dụng công thức tích phân3 a/ Cá hàm hợp (không cần đổi ebiế lnn )x h) ∫ dx ds : b b x b u ' f (u ) dx = f (u ) du = F (u ) e) ∫ ( x +1) dx ∫ a x ds : x ∫ a x x x a b/ Cách 2: Đổi biến ta thực sau : Đặt : u = u ( x) ⇒ du = u ' dx ⇒ dx = Đổi cận : du u' x = a ⇒ u (a ) = α x = b ⇒ u (b ) = β Thay vào tính tích phân theo biến u 2/ Trường hợp riêng : Đặt x = u (t ) ⇒ dx = u '(t )dt Đổi cận : α với u (α) = a β với u ( β) = b Thay vào tính tích phân theo biến t Cụ thẻ dạng sau ( g∫ R ( x, g∫ R ( x, a2 x2 π π ) 2 π π − x ) Đặt : x = a sin t ; a > o; − ≤ t ≤ Tính tích phân đổi biế2n số a22 π  −a ) x= ; a > o; t ∈[ o; π ] \   cos t 2  , 11: a2 + x2 ∫ Rn xđề g Vấ 2 x = atgt ; a > o; − o 25 = 1   −  ÷dx a ( x1 − x2 ) ∫  x − x −  NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * π o a ) ∫ sin x.tgxdx, ( TN : 96 − 97 ) b) ∫ ( e cos x + x ) sin dx, ( TN : 97 − 98 ) π o  x −1  c) ∫  dx, ( TN : 98 ) −1 x + ÷   π o d ) ∫ cos xdx, ( TN : 99 ) π o e) ∫ sin −2 x cos xdx, ( TN : 99 ) π o ( sin x.sin x − ) dx, ( TN : 01) f )∫ π o g )∫ ( x + sin x ) cos xdx, ( TN : 05) 2 x2 + 5x + h) ∫ dx x +1 π cos3 xdx i ) ∫π HD : cos3 x = cos x.cos x = ( − sin x ) cos x + sin x π o + cos x  − cos x  k ) ∫ sin xdx.HD : sin x =  ;cos x = ÷ 2   dx e) ∫ o x − x + 10 4 Vấn đề 14: 26 NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * - Ứng dụng tính phân A)Tính diện tích hình phẳng :giới hạn đồ thò hàm y = f(x), y = g(x) đường thăng x = a , x = b 1/ Công thức : b s = ∫ f ( x ) − g ( x) dx = a ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx b a 2/ Chú ý : _ Khi đồ thò y = g(x) trục hoành ,thì công thức trở thành : _ Khi áp dụng công thức , ta cần giải pt hoành độ : f(x) - g(x) = o để tìm nghiệm khoản g (a;b),nếu có Từ chia đoạn [a;b] nhiều đoạn lấy tích phân Chẳng hạn nghiệm C thuộc (a;b)thì : B) Tính thể tích vật thể tròn xoay : _ Cho hình giới hạn đường :y = f(x),trục ox ,x = a ,x = b _ Khi hình phẳng quay quanh trục ox tạo nên vật thể tròn xoay Công thức tính thể tích : V = π ∫ [ f ( x)] dx b a Bài tập : 1/ tính diện tích hình phẳng giới hạn a) y = x − x + 5, y = o, x = 1, x = b) y = − x + x, truc; ox c) y = − x & y = − x − 1 d ) y = x & y = 3x − x e) y = sin x, y = cos x & x = o f ) y = x − x + 3; y = − x 27 g ) y = x3 − 3x va tiep tuyen tai x0 = − NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * 2/ Tính thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đừờng sau quay quanh trục OX x , y = o, x = 1, x = 4 b) y = x + 1, y = o, x = o, x = a) y = c) y = −3 x + x + 6, y = o d ) y = x , y = 3x e) y = x, y = −x + 3, y = o Vấn đề 15 § SỐ PHỨC I Số i : i = −1 II Dạng đại số: Đònh nghóa: Số phức có dạng z = a + bi ; a, b ∈ ¡ Tập số phức kí hiệu C a: phần thực; b: phần ảo; i : đơn vò ảo * Chú ý: • Mỗi số thực coi số phức có phần ảo • Số phức bi gọi số ảo Số phức nhau: z = a + bi ; z' = a' + b'i a = a ' z = z' ⇔  (phần thực nhau, phần ảo nhau) b = b ' y b M Biểu diễn hình học: a Biểu diễn mặt phẳng Oxy: Số z = a + bi hoàn toàn xác đònh cặp O x a (a,b) Điểm M(a,b) mp Oxy gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi b Mặt phẳng phức: Là mp biểu diễn số phức Trong Ox: trục thực ; Oy: trục ảo uuuur c Mô đun số phức: Là độ dài vectơ OM z = OM = a + b2 28 NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * Số phức liên hợp: Hai số phức z = a + b z = a - bi số phức liên hợp với y O M z=a+bi x M' z=a-bi III Các phép toán số phức: Phép cộng, phép trừ: Muốn cộng, trừ số phức, ta thực theo qui tắc cộng, trừ đa thức Phép nhân: Muốn nhân số phức, ta thực theo qui tắc nhân đa thức, thay i2 = -1 * Suy ra: a Tổng số phức liên hợp lần phần thực b Tích số phức liên hợp bình phương mô đun Chia số phức: Muốn chia số phức, ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu Z Z Z ' = Z ' Z '.Z ' * Suy ra: Nghòch đảo số phức : Z = Z Z Z BÀI TẬP Tìm x, y ∈ ¡ cho Z = Z' a) = (-3x - 9) + 3i ; Z' = 12 + (5y - 7)i Đs: x = -7; y = b) Z = (2x - 3) - (3y + 1)i ; Z' = (2y + 1) + (3x - 7)i Đs: x = 2; y = Biểu diễn số phức mp phức: Z1 = + 3i ; Z2 = ; Z3 = -3 + i Tìm Z Z Biết: a) Z = -2 + i Đs: Z = −2 − i , Z = b) Z = − 2i Đs: Z = + 2i, Z = c) Z = −11 Đs: Z = −11, Z = 11 d) Z = 7i Đs: Z = −7i, Z = Chứng minh Z ∈ ¡ ⇔ Z = Z 29 NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * - Tìm số phức Z, biết a) |Z| = Z ảo b) |Z| = phần thực phần ảo Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu điều kiện: a) |Z| = Đs: b) |Z| ≤ Đs: c) < |Z| ≤ Đs: Tính Z + Z' ; Z - Z' ; Z Z' Biết: a) Z = + 2i, Z' = + 3i Đs: b) Z = - 3i, Z = + 4i Đs: c) Z = -4 - 7i; Z' = - 5i Đs: Tính: a) (1 - i)2 Đs: b) (2 + 3i) Đs: c) (1 + i) Đs: Viết dạng đại số: a) Z = 2i10 + i3 Đs: -2 - i 2007 2008 b) Z = i + i Đs: - i 10 Tình Z + Z Z Z a) Z = + 3i Đs: b) Z = -5 + 3i Đs: -10 34 11 Tìm nghòch đảo Z Biết: Đs: Z = ± 2i Đs: Z = ±2 ± i diễn số phức Z thỏa đường tròn C(0,1) mặt tròn C(0,2) hình vành khăn + 5i; - i; 14 + 23i + i; -4 - 7i; 24 - 10i -2 - 12i; -6 - 2i; -43 + 6i - 2i - + 12i -2 + 2i 13 Đs: − i 25 25 a) Z = + 2i , Z' = + 3i Đs: + i 13 13 b) Z = + 2i, Z' = + i Đs: - i a) Z = + 4i Đs: − b) Z = -3 - 2i 12 Tính Z Biết: Z' 13 Cho Z = + i 13 13 1+ i Tính Z100 1− i Đs: 14 Viết dạng a + bi: a) Z = (1 + i)2 - (1 - i)2 ( b) Z = + i ) Đs: Z = 4i Đs: Z = -8 c) Z = ( + i)10 Đs: Z = 32i 30 NHƯNG VẤN ĐỀ THI TỐT NGHIỆP - * d) Z = 1 + 1+ i 1− i Đs: Z = 15 Giải phương trình: a) Z2 + 4Z + + Đs: Z1,2 = -2 ± i b) (1 + 3i)Z - (2 + 5i) = (2 + i)Z c) Z3 - =  Z = ±1 d) Z4 + 2Z2 -3 = Đs:   Z = ±i 31 5 Z = Đs:   Z = −1 ± i Đ: Z= − i ... Phương trình (4) ⇔ At + Cách giải logarit hóa mũ hóa: a Phương trình mũ: logarit hóa, tức lấy log a vế phương trình a f ( x ) = M ⇔ f ( x ) = log a M b Phương trình logarit: Mũ hóa, tức mũ số a vế... TỐT NGHIỆP - * § PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (a > 0; Cách giải đưa số: f (x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x ) = g( x ) a Phương trình mũ: a b Phương trình logarit:  f (x ) >  g( x ) > Để log a f... -1 Giải phương trình logarit đặt ẩn phụ: a log a x + log x a = Đs: x = a + =1 − lg x + lg x =0 c log x − log x + b Đs: x = 10; x = 100 Đs: x = 8; x = Giải phương trình mũ logarit hóa: x x = 17