Thông tin tài liệu
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping CHƯƠNG I: TỨ GIÁC I TỨ GIÁC VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc Bài Cho tứ giác ABCD có B 1200 ,C 600 ,D 900 Tính góc A góc đỉnh A Bài Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, C 600 , A 1000 a) Chứng minh AC đường trung trực BD ĐS: b) B D 1000 b) Tính B, D Bài Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác C D A B góc A góc B cắt F Chứng minh: AEB AFB 2 Bài Cho tứ giác ABCD có B D 180 , CB CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Chứng minh: a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD biết số đo góc A, B, C , D tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 a) Tính số đo góc tứ giác ABCD b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN Bài Cho tứ giác ABCD có B D 180 , AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD Bài Cho tứ giác ABCD có A a , C b Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường thẳng AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc EIF theo a , b VẤN ĐỀ II Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh: a) AB BC CD AD b) AC BD AB BC CD AD Bài Cho tứ giác ABCD có AB BD AC CD Chứng minh: AB AC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh: AB BC CD AD OA OB OC OD AB BC CD AD b) * Khi O điểm thuộc miền tứ giác ABCD, kết luận có không? Bài Chứng minh tứ giác thì: a) Tổng độ dài cạnh đối diện nhỏ tổng độ dài hai đường chéo b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác II HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Định nghĩa: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Hình thang vuông hình thang có góc vuông Tính chất: Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song VẤN ĐỀ I Tính chất góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có A D 200 , B 2C Tính góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, BDC 30 Tính góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: A B C D Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC AD Bài Cho hình thang ABCD có A B 900 BC AB Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vuông cân VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vuông Bài Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang Bài Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AM BC , N trung điểm cạnh AB Chứng minh: a) Tam giác AMB cân b) Tứ giác MNAC hình thang vuông Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD AC, HE AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN hình thang vuông III HÌNH THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất: Trong hình thang cân: Hai cạnh bên Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân Hình thang có hai đường chéo hình thang cân VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất hình thang cân để tính toán chứng minh Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) a) Chứng minh: ACD BDC b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA EB Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD a , A B (C D ) Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC a) Tính góc hình thang b) Chứng minh AC phân giác góc DAB c) Tính diện tích hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có BDC 450 Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm) ĐS: b) S 18(cm ) VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D AC, E AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ACD BDC Chứng minh ABCD hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE a) Chứng minh BDEC hình thang cân b) Tính góc hình thang cân đó, biết A 500 ĐS: b) B C 650 , CED BDE 1150 Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh: a) Tam giác BDE tam giác cân b) Các tam giác ACD BDC c) ABCD hình thang cân Bài Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping c) DME DMF EMF ĐS: c) DME DMF EMF 1200 Bài Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC CAD D 600 a) Chứng minh ABCD hình thang cân b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm ĐS: b) AD 8(cm) IV ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Đường trung bình tam giác: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM Bài Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song Bài Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I DE Bài Cho tứ giác ABCD có góc C 40 , D 800 , AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung Chứng minh rằng: DI điểm AB CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC Bài Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh: a) PQRS hình thang cân b) SQ MN Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM, D giao điểm BI AC a) Chứng minh: AD DC b) So sánh độ dài BD ID Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB a, CD b (a b) c) Chứng minh MP = PQ = QN a 2b Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F trung điểm AD BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID b) Cho AB = 6, CD = 10 Tính EI, KF, IK Bài 10 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC a) So sánh độ dài đoạn thẳng EK CD, KF AB b) Chứng minh: EF c) Khi EF AB CD AB CD tứ giác ABCD hình ĐS: c) ABCD hình thang Bài 11 Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết đường chéo vuông góc với đường cao 10 cm Bài 12 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’ C’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ Bài 13 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d nằm tam giác ABC Gọi A’, B’ C’, G’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’ V ĐỐI XỨNG TRỤC Bài Cho góc xOy 500 điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox , điểm C đối xứng với A qua Oy a) So sánh độ dài OB OC b) Tính số đo góc BOC ĐS: b) BOC 1000 Bài Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh hai tam giác BHC BKC b) Cho BAC 700 Tính số đo góc BKC ĐS: b) BKC 1100 Bài Cho hình thang vuông ABCD ( A D 900 ) Gọi K điểm đối xứng với B qua AD, E giao điểm CK AD Chứng minh CED AEB Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K điểm đối xứng với điểm H qua cạnh AB, AC Chứng minh: a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng b) Tứ giác BIKC hình thang c) IK AH Bài Cho tam giác ABC, phân giác BM CN cắt I Từ A vẽ đường vuông góc với BM CN, chúng cắt BC thứ tự E F Gọi I hình chiếu I BC Chứng minh E F đối xứng qua II Bài Cho hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA MB ngắn Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Bài Cho góc xOy 600 điểm A nằm góc Gọi B, C hai điểm đối xứng với điểm A qua Ox , Oy a) Chứng minh tam giác BOC tam giác cân Tính góc tam giác b) Tìm điểm I Ox điểm K Oy cho tam giác AIK có chu vi nhỏ ĐS: a) b) I, K giao điểm đường thẳng BC BOC 1200 , OBC OCB 300 với tia Ox Oy Bài Cho tam giác ABC, Cx phân giác góc C Trên Cx lấy điểm M (khác C) Chứng minh rằng: MA + MB > CA + CB Bài Cho góc nhọn xOy điểm A góc Tìm điểm B tia Ox điểm C tia Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ VI HÌNH BÌNH HÀNH Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song Tính chất: Trong hình bình hành: Các cạnh đối Các góc đối Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành VẤN ĐỀ I Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC a) Chứng minh BE DF ABE CDF b) Chứng minh tứ giác EBFD hình bình hành c) Chứng minh đường thẳng EF, DB AC đồng qui Bài Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F a) Chứng minh DE BF b) Tứ giác DEBF hình gì? Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB vad CD, M N giao điểm AI CK với BD a) Chứng minh: AI CK b) Chứng minh: DM MN NB VẤN ĐỀ II Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH vuông góc với BD H, CK vuông góc với BD K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F, vẽ đường Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành Bài Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF a) Chứng minh tam giác AED cân b) Chứng minh AD phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui Bài Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vuông góc với AB B, vuông góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc BDC , biết BAC 600 Bài Cho hình bình hành ABCD, AD AB Từ C vẽ CE vuông góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC N a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? c) Chứng minh: BAD AEM Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F giao điểm AB CD, AD BC; M, N, P, Q trung điểm AE, EC, CF, FA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB b) EMFN hình bình hành Bài Cho hình thang vuông ABCD, có A B 900 AD = 2BC Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI AI Bài 10 Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui VII ĐỐI XỨNG TÂM Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A, F điểm đối xứng với D qua C Chứng minh: a) AC EF b) Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến BD, CE Gọi H điểm đối xứng với B qua D, K điểm đối xứng với C qua E Chứng minh điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A Bài Cho hình bình hành ABCD điểm E cạnh AB, I K trung điểm cạnh AD BC Gọi điểm M, N đối xứng với điểm E qua điểm I điểm K a) Chứng minh điểm M, N thuộc đường thẳng CD b) Chứng minh MN 2CD Bài Cho góc vuông xOy , điểm A nằm góc Gọi B điểm đối xứng với A qua Ox , C điểm đối xứng với A qua Oy Chứng minh B đối xứng với C qua O Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Bài Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một đường thẳng qua O cắt cạnh AB CD theo thứ tự M N Chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm đối xứng O, điểm E đoạn OD Gọi F điểm đối xứng điểm C qua E a) Chứng minh tứ giác ODFA hình thang b) Xác định vị trí điểm E OD để hình thang ODFA hình bình hành Bài Cho tam giác ABC, trọng tâm G Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua tâm G a) Chứng minh tứ giác BPNC hình bình hành b) Chứng minh tam giác ABC, MNP c) Chứng minh tam giác ABC, MNP có trọng tâm Bài Cho tam giác ABC, H trực tâm, I giao điểm đường trung trực K điểm đối xứng với H qua trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh K đối xứng với A qua I Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên AB lấy điểm E, CD lấy điểm F cho AE = CF a) Chứng minh E đối xứng với F qua O b) Từ E dựng Ex // AC cắt BC I, dựng Fy // AC cắt AD K Chứng minh rằng: EF = FK; I K đối xứng với qua O Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi A' điểm đối xứng với A qua C, B' điểm đối xứng với B qua A, C' điểm đối xứng với C qua B Gọi BM trung tuyến tam giác ABC, B'M' trung tuyến tam giác A'B'C' a) Chứng minh ABM'M hình bình hành b) Gọi G giao điểm BM B'M' Chứng minh G trọng tâm hai tam giác ABC tam giác A'B'C' VIII HÌNH CHỮ NHẬT Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vuông Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật Hình thang cân có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Áp dụng vào tam giác: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC, E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping a) Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b) Chứng minh HG = GK = KE Bài Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? ĐS: EFGH hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC vuông A Về phía tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân ADB (DA = DB) ACE (EA = EC) Gọi M trung điểm BC, I giao điểm DM với AB, K giao điểm EM với AC Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vuông cân Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân c) Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật ĐS: c) DC AB ABPN hình chữ nhật Bài Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tam giác, M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Xác định vị trí điểm O đế tứ giác MNPQ hình chữ nhật ĐS: b) O thuộc đường cao AH ABC Bài Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M AB) a) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh P di chuyển cạnh AC, Q di chuyển cạnh BC điểm I di chuyển đoạn thẳng cố định ĐS: b) I di chuyển đường trung bình ABC Bài Cho hình chữ nhật ABCD Nối C với điểm E đường chéo BD Trên tia đối tia EC lấy điểm F cho EF = EC Vẽ FH FK vuông góc với AB AD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK hình chữ nhật b) AF song song với BD KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC H trực tâm Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC CA; D, E, F trung điểm đoạn HA, HB HC a) Chứng minh tứ giác MNFD MEFP hình chữ nhật b) Để đoạn MD, ME DP tam giác ABC phải tam giác gì? VẤN ĐỀ II Vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải toán Bài Tính độ dài trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông có cạnh góc vuông 7cm 24cm Bài ĐS: AM 12,5(cm) Trang Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Hình họcTo8remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Bài Cho tam giác ABC cân A, CH đường cao (H AB) Gọi D điểm đối xứng với điểm B qua A a) Chứng minh tam giác DCB tam giác vuông b) Chứng minh DCA HCB Bài Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ BH AC (H AC) Gọi M, K trung điểm AH DC; I, O trung điểm AB IC a) Chứng minh IC KB MO IC b) Tính số đo góc BMK ĐS: b) BMK 900 Bài Cho tam giác ABC vuông A M điểm thuộc cạnh BC Vẽ MD AB, ME AC O trung điểm DE a) Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng b) Khi điểm M di chuyển cạnh BC điểm O di chuyển đường nào? c) Điểm M vị trí cạnh BC AM có độ dài ngắn ĐS: b) O di chuyển đường trung bình ABC c) M H (AH BC) Bài Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Vẽ tia AM (M thuộc cạnh DC) cho DAM 150 Chứng minh tam giác ABM tam giác cân Bài Cho tam giác ABC vuông A, AC > AB AH đường cao Trên tia HC lấy HD = HA, đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M trung điểm BE Tính số đo góc AHM Bài Cho tam giác ABC vuông A AC = 3AB Trên cạnh góc vuông AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Tính ACB AEB Bài Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ AH BD Gọi I trung điểm DH Kẻ đường thẳng vuông góc với AI I cắt cạnh BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC IX HÌNH THOI Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có bốn cạnh hình thoi Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với hình thoi Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi VẤN ĐỀ I Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi Bài Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Chứng minh tứ giác MNPQ hình thoi Bài Cho tứ giác ABCD có C 400 , D 800 , AD BC Gọi E, F, M, N trung điểm AB, DC, DB, AC Trang 10 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 cho AD Hình học 1 AB , BE BC , CF CA Tính diện tích tam giác DEF, biết 4 diện tích tam giác ABC a2 (cm ) HD: SBED SCEF SADF Bài 47 S ABC SDEF a (cm2 ) 16 16 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm K cho lấy điểm L cho AK Trên cạnh BC BK CL Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tính BL diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BQC a2 (cm ) HD: Vẽ LM // CK SBLQ SBLA SCLQ SCLA 7 SABC SBQC a2 (cm2 ) 4 Bài 48 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm D, E, F cho: AD BE CF AB BC CA Tính diện tích tam giác tạo thành đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC S HD: Gọi M, P, T giao điểm AE CD, AE BF, BF CD DD CM 6 2 SCMA SCAD S ABC S ME CD 7 7 (SCMA S APB SBTC ) S Qua D vẽ DD// AE Tính SMPT S ABC VẤN ĐỀ II Chứng minh hai đường thẳng song song Bài Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H cho AE AH CF CG AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF PEFGH 2( AI IJ JC ) AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK // AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF HD: a) Chứng minh MI MK IK AB IA KB Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a) MP song song với AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD Trang 23 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học F a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH HD: a) Chứng minh AE AF AB AD b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH VẤN ĐỀ III Tính chất đường phân giác tam giác Bài Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH E Tính EH HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD HD: S ABD m S ACD n Bài Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? HD: a) SADM nm S 2(m n) ABC b) S ADM 20%S ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC HD: a) AD 2,5cm b) OG // DM OG // AC Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC HD: DA EA DE BC DB EC Bài Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG HD: BG BE.CD.BA CD AB 1 CF BD.CE AC BD.AC Bài Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm Trang 24 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm OP OC MB NC PA d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1 e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB c) Tính tỉ số OP OC AC AB 1 1 e) Vẽ BD // AM BD < 2AB AM AC AB AM AB AC 1 1 1 1 Tương tự: , đpcm BN AB BC CP AC BC HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) Bài Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN AI? HD: a) Chứng minh Bài 10 AM AN BM CN Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D 600 Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số cắt đáy AB 11 M Tính cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm HD: Chứng minh DC = AB + AD DC = AB + AM 42cm Bài 11 MB DC = 66cm, AB = MA Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC G Chứng minh hệ thức: AB AD AC AE AF AG HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng qui HD: II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: AB BC CA A A, B B, C C; AB BC CA Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng: ABC ABC b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại Trang 25 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học A N M B C Các trường hợp đồng dạng hai tam giác Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với AB BC CA ABC ABC AB BC CA Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với AB AC , A A ABC ABC AB AC Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với A A, B B ABC ABC Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng với Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng với Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng VẤN ĐỀ I Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán Bài Cho tam giác ABC đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác b) Cho k HD: a) hiệu chu vi hai tam giác 40dm Tính chu vi tam giác P k P b) P 60(dm), P 100(dm) Bài Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k Tính chu vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác ABC 27cm HD: P 20,25(cm) Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75cm Tính độ dài cạnh Trang 26 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học ABC HD: AB 15cm, BC 25cm, AC 35cm Bài Cho tam giác ABC đường cao BH, CK a) Chứng minh ABH ACK b) Cho AKH ACB 400 Tính HD: b) AKH ACB 40 Bài Cho hình vuông ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP a) Chứng minh BHP CHB b) Chứng minh: BH CH BQ CD c) Chứng minh CHD BHQ Từ suy DHQ 900 HD: c) Chứng minh DHQ CHD CHQ BHQ CHQ BHC 900 Bài Hai tam giác ABC DEF có A D , B E , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm b) Cho diện tích tam giác ABC 39,69cm2 Tính diện tích tam giác DEF HD: a) ABC DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF 22,33(cm ) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC a) Chứng minh AKI ABC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKHI HD: b) SABC 39cm c) SAKHI 216 cm 13 Bài Cho tam giác ABC, có A 90 B , đường cao CH Chứng minh: a) CBA ACH b) CH BH AH Bài Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC S HD: SGMN S 12 Bài 10 Cho hình vuông ABCD, cạnh a Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA a) Chứng minh EMC ECB b) Chứng minh EB.MC = a2 c) Tính diện tích tam giác EMC theo a HD: c) SEMC a2 Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, lấy điểm M cho AM MB Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC D a) Chứng minh AMN NDC b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm Tính diện tích tam giác AMN, ABC NDC HD: b) SAMN 24cm2 , SABC 200 32 cm , SNDC cm 3 VẤN ĐỀ II Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC Gọi A, B, C trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ABC CAB Trang 27 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học b) Tính chu vi ABC, biết chu vi ABC 54cm HD: b) P 27(cm) Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi E, F, H trung điểm AG, BG, CG Chứng minh tam giác EFH ABC đồng dạng với G trọng tâm tam giác EFH HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trọng tâm tam giác Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM, BN, CP đồng qui O Qua A C vẽ đường thẳng song song với BO cắt CO, OA E F a) Chứng minh: FCM OMB PAE PBO b) Chứng minh: MB NC PA MC NA PB HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = 8cm, AE = 6cm a) Chứng minh AED ABC b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25cm c) Tính góc ADE, biết C 20 HD: b) PADE 24(cm) c) ADE 200 Bài Cho góc xOy ( xOy 1800 ) Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh: OCB OAD b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh BAI DCI HD: Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD AM DM AN DN BM HD: a) Chứng minh BDM CDN b) Chứng minh ABM CAN CN a) Tính tỉ số BM CN b) Chứng minh Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE AB CF AD, BH AC a) Chứng minh ABH ACE b) Chứng minh: AB AE AD AF AC HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh OA.OD = OB.OC b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh OH AB OK CD HD: a) Chứng minh OAB OCD Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AH, BK, CI a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI OCB c) Chứng minh BOH BCK d) Chứng minh BO.BK CO.CI BC HD: Trang 28 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh EMB CAB c) Tính EB EM d) Chứng minh BH vuông góc với EC e) Chứng minh HA.HC = HM.HE HD: a) BC 9(cm ) c) EM 6(cm), EB 7,5(cm) Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm Bài 12 20 cm b) Chứng minh ABH CAH Từ tính BAC b) BAC 90 Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC a) Tính độ dài AH HD: a) AH = 4cm Bài 13 Cho tứ giác ABCD, có DBC 900 , AD 20cm , AB 4cm , DB 6cm , DC 9cm a) Tính góc BAD b) Chứng minh BAD DBC c) Chứng minh DC // AB HD: a) BAD 90 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D a) Tính DB DC b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh EDC ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC HD: a) DB DC c) DE 60 2400 (cm) , SEDC (cm2 ) 49 Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK HD: c) HC a3 a2 , KH a 2b 2b Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH BI Chứng minh: a) KBI ICH b) KIH KBI BKH c) KI phân giác góc d) IH KB HC.IK HK BI HD: d) Chứng minh IH KB HC.IK BI ( KI IH ) HK BI Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM a) Chứng minh HD DM HM b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh AFE ABC d) Gọi O trực tâm ABC Chứng minh BO.BF CO.CE BC Trang 29 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học HD: a) AB < AC DC > MC, CAH A D nằm H M đpcm b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH Bài cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD AE Đường trung tuyến AI (I BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH AB AC = HE HD: DH HE đpcm BI IC Bài Cho tam giác ABC vuông A, C 300 đường phân giác BD (D AC) a) Tính tỉ số DA CD b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC HD: a) DA DC b) BC = 25cm, AC = 21,65cm Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DME 600 a) Chứng minh BD.CE a2 b) Chứng minh MBD EMD ECM EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE HD: c) Vẽ MH DE, MK EC MH = MK; MK MC CK a Bài Cho tam giác ABC cân A, A 200 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D cho DBC 200 a) Chứng minh BDC ABC b) Vẽ AE vuông góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE c) Chứng minh a3 b3 3ab2 HD: b) AE b b a2 , DE a , AD b 2 b c) AD DE AE đpcm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP b) Cho biết diện tích ABC S tính diện tích tam giác ANK c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh AB AC AI AJ S HD: a) ANK S AMP b) SAMP S AMC ; S AMC SABC SANK S 30 c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H AM) EBM = HCM EM = MH; AB AE AC AH , đpcm AI AK AJ AK Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh OMN HAB Trang 30 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh HAG OMG d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO HD: b) AH = 2OM d) HGO HGM MGO HGM AGH MGA 1800 đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF HD: ABG FEH đpcm Bài 12 Cho hình thang vuông ABCD (AB // DC, A D 900 ) Đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC Chứng minh BD AB.DC HD: Chứng minh ABD BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE OB2 BD Chứng minh: a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác c) DO phân giác góc BDE , EO phân giác góc CED d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI DE, OH AC OI = OH Bài 14 Cho tam giác ABC, B,C góc nhọn Các đường cao AA, BB, CC cắt H a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: AA2 AB AC HD: a) Chứng minh BAH BBC, CAA CBB b) GH // BC AH AA Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: 1 EF KN LM HD: Tính tỉ số EF EF , LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN 1 AB BC CA AF KC CN KE HD: Chứng minh , đpcm AB BC CA BC Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, CA, AB A, B, C Chứng minh: Trang 31 OA OB OC AA BB CC Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 HD: Vẽ AH BC, OI BC Tương tự: Bài 18 Hình học S OA OI SBOC OI OA ; BOC AA AH S ABC AH S ABC AA SCOA OB S AOB OC đpcm , S ABC BB S ABC CC Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O PB QC RA 1 PC QA RB (định lí Ceva) HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt đường thẳng CR D Chứng minh PB OB RA AD QC EC , , đpcm PC EC RB OB QA AD Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng PB QC RA (định lí Menelaus) PC QA RB HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p Ta có: PB n QC p RA m , , đpcm PC p QA m RB n CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH CHÓP ĐỀU I Mở đầu hình học không gian Đường thẳng, mặt phẳng – Qua ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng – Qua hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng – Đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Hai đường thẳng song song không gian – Hai đường thẳng a, b gọi song song với chúng nằm mặt phẳng điểm chung Kí hiệu a // b – Hai đường thẳng phân biệt, song song với đường thẳng thứ ba song song với Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt không gian có thể: – Cắt – Song song – Chéo (không nằm mặt phẳng) Đường thẳng song song với mặt phẳng – Một đường thẳng a gọi song song với mặt phẳng (P) đường thẳng không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng Kí hiệu a // (P) – Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng điểm chung Hai mặt phẳng song song – Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) // (P) – Hai mặt phẳng song song với điểm chung – Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có chung đường thẳng qua điểm chung (đường thẳng chung đgl giao tuyến hai mặt phẳng) Trang 32 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Đường thẳng a gọi vuông góc với mặt phẳng (P) đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) Kí hiệu a (P) – Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) điểm A vuông góc với đường thẳng nằm (P) qua điểm A Hai mặt phẳng vuông góc – Mặt phẳng (Q) gọi vuông góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) (P) II Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương Hình hộp chữ nhật có: mặt hình chữ nhật, đỉnh, 12 cạnh Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vuông Thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc Thể tích hình lập phương cạnh a là: V a3 III Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng có: – Hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song – Các cạnh bên song song, vuông góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên đgl chiều cao hình lăng trụ đứng – Các mặt bên hình chữ nhật vuông góc với hai mặt phẳng đáy – Hình hộp chữ nhật, hình lập phương hình lăng trụ đứng – Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành đgl hình hộp đứng Diện tích - Thể tích – Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao: Sxq ph (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao) – Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy Stp Sxq 2S (S: điện tích đáy) – Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao: V S h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) IV Hình chóp - Hình chóp cụt Hình chóp có: – Đáy đa giác, mặt bên tam giác có chung đỉnh – Đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy gọi đường cao Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh – Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn qua đỉnh mặt đáy – Đường cao vẽ từ đỉnh mặt bên hình chóp đgl trung đoạn hình chóp Hình chóp cụt phần hình chóp nằm mặt phẳng đáy hình chóp mặt phẳng song song với đáy cắt hình chóp – Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân Diện tích - Thể tích: – Diện tích xung quanh hình chóp tích nửa chu vi đáy với trung đoạn: S xq p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn) Trang 33 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học – Diện tích toàn phần hình chóp tổng diện tích xung quanh diện tích đáy: Stp Sxq S (S: diện tích đáy) – Thể tích hình chóp phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: V S h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) * Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác VẤN ĐỀ I: Chứng minh tính chất song song - vuông góc Bài 49 Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp(ABC) Nối S với A, B, C Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, SC, SA a) Chứng minh MQ // mp(SBC) NP // mp(SAB) b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài 50 Cho hình thang vuông ABCD, B C 900 AD không song song với BC Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) B, lấy điểm S nối S với A, C, D a) Chứng minh AB mp(SBC) b) Chứng minh mp(SBC) mp(ABCD) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD) Bài 51 Cho hình vuông ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) O, lấy điểm S nối S với A, B, C, D a) Chứng minh mp(SAC) mp(SBD) b) Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Chứng minh mp(MNPQ) // mp(ABCD) c) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác biết AB = a HD: c) MNPQ hình vuông; SMNPQ a2 Bài 52 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH a) Đường thẳng BF vuông góc với mặt phẳng nào? b) Chứng minh mp(AEHD) mp(CGHD) c) Gọi M, P theo thứ tự trung điểm AE, CG Chứng minh MP // AC d) Gọi N, Q theo thứ tự trung điểm BF, DH Chứng tỏ M, N, P, Q nằm mặt phẳng mp(MNPQ) song song với mặt phẳng nào? VẤN ĐỀ II: Tính diện tích - thể tích Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 12cm, AD = 16cm, AA = 25cm a) Chứng minh ACCA, BDDB hình chữ nhật b) Chứng minh BD2 AB2 AD AA2 c) Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Bài Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm chiều cao 0,5dm vào thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miện thùng bao nhiêm dm? (giả thiết toàn gạch ngập nước gạch không thấm nước) ĐS: Nước dâng lên cách miệng thùng 2,49dm Trang 34 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a M trung điểm cạnh BC AMA 600 a) Tính độ dài đoạn thẳng AA b) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần thể tích hình lăng trụ ĐS: a) AA 3a b) Sxq 9a a2 3 ; Stp (9 3) ; V a 2 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a DAB 600 , AA = a a) Chứng minh mp(ABD) // mp(CBD) b) Chứng minh mp(ACCA) mp(BDDB) c) Tính diện tích toàn phần thể tích hình lăng trụ ĐS: c) Stp (4 3)a2 ; V a3 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác đều, AA = 5cm BAB 450 Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ ĐS: Sxq 75cm ; V 125 3 cm Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB = a, AD = b M N hai điểm cạnh AB, BC Mặt phẳng (MDD) cắt AB M, mặt phẳng (NDD) cắt BC N Các mặt phẳng chia hình hộp thành ba phần tích a) Tính AM, CN theo a, b b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng DMN.DMN BMN.BMN ĐS: a) AM 2a ; CN b Sử dụng giả thiết thể tích 3 b) VDMN D M N VBMN B M N Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 25cm, đáy hình vuông có cạnh 30cm a) Tính độ dài đường cao, diện tích toàn phần thể tích hình chóp b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông, O trung điểm SO Cắt hình chóp mặt phẳng qua O song song với mp(ABCD) ta hình chóp cụt ABCD.ABCD Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cụt ĐS: a) SO 43cm; Stp 2100cm2 ; V 1500 43cm3 b) Sxq 900cm ; V 2625 43 cm Bài Cho hình chóp S.ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R = OA = 3cm M, N, P trùng điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh SMO SNO SPO b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp, biết SMO 600 Bài Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh hình chóp S.ABCD hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.ABCD hình lập phương ĐS: b) VS ABCD VABCD ABC D Trang 35 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học Bài 10 Cho hình chóp lục giác S.MNOPQR H tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy có bán kính R = HM = 12cm, chiều cáo SH = 35cm a) Tính diện tích đáy thể tích hình chóp b) Tính độ dài cạnh bên SM diện tích toàn phần hình chóp ĐS: a) SMNOPQR 108cm ; V 70 108cm3 b) SM 37cm; Stp 36 1333 108 (cm2 ) Bài 11 Cho hình chóp cụt ABC.ABC có cạnh AB = 2a, AB = a, đường cao mặt bên a a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt b) Tính cạnh bên, chiều cao thể tích hình chóp cụt ĐS: a) Sxq 9a 2 b) AA a a 17 , OO , VABC ABC a3 2 Bài 12 Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD, M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh hình chóp S.MNPQ hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.MNPQ hình hộp đứng ĐS: b) V1 V Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 8cm, chiều cao 10cm a) Tính diện tích toàn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp ĐS: a) Sxq 16 116 (cm ), Stp 16 116 64(cm ) b) V 640 (cm3 ) BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, đáy ABCD hình thang vuông có A D 900 , AB = BC = AA = 4cm, C 60 a) Chứng minh mp(ABBA) mp(ADDA) b) Tính diện tích toàn phần, thể tích hình lăng trụ đứng ĐS: b) Sxq 34,92(cm ), V 69,20(cm3 ) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD a) Tứ giác AACC hình gì? b) Gọi O giao điểm AC AC Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng c) Tính thể tích hình hộp, biết AD = 4cm, AB = 3cm, BD = 13cm ĐS: a) AACC hình chữ nhật b) O trung điểm BD c) V 144(cm3 ) Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác có cạnh 4cm Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh SAH SBH SCH b) Tính thể tích hình chóp, biết SAH 450 ĐS: b) V 5,33(cm3 ) Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy hình thoi cạnh 6cm, góc ABD 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA, CC Trang 36 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311.481 Hình học a) Tứ giác BMDN hình gì? b) Khi tứ giác BMDN hình vuông, tính thể tích hình lăng trụ ĐS: a) BMDN hình thoi b) V 264,72(cm3 ) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có đáy ABCD hình vuông, AB = 20cm, AA = 19,4cm a) Chứng minh tứ giác ABCD, CDAB hình chữ nhật b) Tính thể tích diện tích toàn phần hình hộp c) Gọi S giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh S.ABCD hình chóp d) Tính độ dài cạnh bên SA, diện tích toàn phần thể tích hình chóp ĐS: b) Stp 2352(cm2 ), V 7760(cm3 ) d) SA 24(cm), Stp 1272(cm ), V 2586,7(cm3 ) Chúc bạn thành công có kỳ nghỉ hè thật thú vị Thân ái: Trần Văn Chung Trang 37 ... AOC (1) Tương tự AOB (2), BOC AOP SBOP PB SBOC PB S AOC MC S AOB NA (3) Nhân (1), (2), (3), vế theo vế, ta đpcm Trang 17 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311. 481 Hình học Bài 29 Cho tứ giác... ABCD ĐS: b) SABCD 96 cm Trang 18 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311. 481 Bài Gọi O điểm Hình học nằm hình bình hành ABCD Chứng minh: S ABO SCDO SBCO SDAO HD: SABO SCDO SBCO SDAO SABCD... OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI OCB c) Chứng minh BOH BCK d) Chứng minh BO. BK CO.CI BC HD: Trang 28 Trần Văn Chung ĐT: 0972.311. 481 Hình học Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm,
Ngày đăng: 12/01/2017, 10:25
Xem thêm: BT Hình học 8 trọn bộ, BT Hình học 8 trọn bộ
