Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
1,87 MB
Nội dung
Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn Phần I: Đại số CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ-SỐ THỰC CỘNG ,TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ Dạng 1:Thực phép tính: Bài 1: Thực phép tính : 1 3 − − 0,6 − − − 25 125 625 A = 11 + 4 4 4 − − − 0,16 − − 11 125 625 Bài Thực phép tính: −5 − + + 10 15 20 19 : a) 1 24 14 + − − 35 − Bài Thực phép tính: b) − 1 1 1 − − − − − 10 40 88 154 238 340 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 Bài Thực phép tính: 3 0,375 − 0,3 + + 1,5 + − 0,75 1890 11 12 : A = + + 115 a) 2,5 + − 1,25 − 0,625 + 0,5 − − 2005 11 12 1 + 0,6 − + 0,25 − + 0,125 7−3 b) 8 7 + − + − 0,7 + 16 Bài Thực phép tính: −1, : (1 1, 25) (1, 08 − ) : 25 + 0, 6.0,5 : + M= 36 0, 64 − (5 − ) 25 17 Bài Thực phép tính: Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa 3 + 11 12 + 1,5 + − 0, 75 a) A = 5 −0, 625 + 0,5 − − 2,5 + − 1, 25 11 12 1 1 1 1 b) − − − − − − − − 72 56 42 30 20 12 0,375 − 0,3 + Bài 7: Tính Bài Tính 2 3 18 − (0, 06 : + 0,38) : 19 − 4 ÷ 1 + − 2003 2004 2005 P= 5 + − 2003 2004 2005 − 2 + − 2002 2003 2004 3 + − 2002 2003 2004 Bài 9: Tính : 1 1 1 A = − 1. − 1. − 1 − 1. − 1 2004 2005 1 2 − 0,25 + 0,16 − + 25 121 − B= 49 − 0,875 + 0,49 1,4 − + 11 81 2 + − ÷ (− ) 14 35 15 C= Bài 10 Thực phép tính: 1 2 − + ÷ 10 25 3 11 11 A = 0,75 − 0,6 + + : + + 2,75 − 2,2 13 13 10 1,21 22 0,25 225 : + + B = 49 1 − + Bài 11 : Tính : A = 39 51 1 − + 52 68 Dạng 2: Tính nhanh: Bài Tính nhanh: 1 1 1 (1 + + + + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6) 2 9 A= − + − + + 99 − 100 Bài 2: Tính nhanh: Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa 1 1 1 (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : + + + ; 3 6 Bài 3: Tính nhanh: 1 1 a) (1 + + + + 90)(12.6 − 36.2) : + + 10 11 12 Dạng 3: Tìm x biết: Bài 10: Tìm x biết: = −1 ; 15 c) − x + = x − 12 a) x + x − x − 10 = 12 a b c + + d) x = b+c c+a a+b b) Dạng 4: Dãy số viết theo quy luật: 1:D·y sè c¸ch ®Ịu: *TQ: Cho Tỉng : S = a1 + a2 + a3 + + an Trong ®ã: sè h¹ng ®Çu lµ: a1 ;sè h¹ng cilµ: an ; kho¶ng c¸ch lµ: k Sèsè h¹ng ®ỵc tÝnh b»ng c¸ch: sè sè h¹ng = ( sèh¹ng ci– sè h¹ng ®Çu) :kho¶ng c¸ch + Sèsè h¹ng m = ( an – a1 ) : k + Tỉng S ®ỵc tÝnh b»ng c¸ch:Tỉng S = ( sè h¹ng ci+ sè h¹ng ®Çu ).Sèsè h¹ng : S = ( an + a1) m : Bµi 1:TÝnh tỉng sau: a) A = + + + + + 100 Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) 100 : = 5050 b) B = + + + + + 100 số số hạng là: (100-2):2+1 = 50 B=(100 +2).49 :2 = 551 50 = 2550 c) C = + + 10 + 13 + + 301 d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 Bµi 2: (VN)TÝnh c¸c tỉng: a) A = + + 11 + 14 + + 302 b) B = + 11 + 15 + 19 + .+ 203 c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 d) D =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + 14 + a)T×m sè h¹ng thø100 cđa tỉng b) TÝnh tỉng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng-1) khoảng cách + số đầu a số thứ 100 = (100-1) + = 297+ = 302 b S= (302 + 5) 100:2 = 15350 Bµi 4: Cho tỉng S = + 12 + 17 + 22 + a)T×m sè h¹ng thứ 50 cđa tỉng b) TÝnh tỉng cđa 50 sè h¹ng ®Çu tiªn HS tự giải Bµi 5:TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x, biÕt x lµ sè cã hai ch÷ sè vµ 12 < x < 91 A= {13;14;15;16; ;90} Số số hạng là: 90 -13 +1 =78 A = (90+ 13)78 : =4017 Bµi 6: a) TÝnh tỉng cđa c¸c sè tù nhiªn a , biÕt a cã ba ch÷ sè vµ 119 < a < 501 Bµi 7: TÝnh + + + + 1998 + 1999 Híng dÉn - ¸p dơng theo c¸ch tÝch tỉng cđa Gauss - NhËn xÐt: Tỉng trªn cã 1999 sè h¹ng Do ®ã S = + + + + 1998 + 1999 = (1 + 1999) 1999: = 2000.1999: = 1999000 Bµi 8: TÝnh tỉng cđa: a/ TÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè b/ TÊt c¶ c¸c sè lỴ cã ch÷ sè Híng dÉn: a/ S1 = 100 + 101 + + 998 + 999 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Tỉng trªn cã (999 – 100) + = 900 sè h¹ng Do ®ã S1= (100+999).900: = 494550 b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Tỉng trªn cã (999 – 101): + = 450 sè h¹ng Do ®ã S2 = (101 + 999) 450 : = 247500 Bµi 9:TÝnh tỉng a/ TÊt c¶ c¸c sè: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ TÊt c¶ c¸c sè: 7, 11, 15, 19, ., 283 ( §S: a/ 14751 b/ 10150 ) C¸ch gi¶i t¬ng tù nh trªn CÇn x¸c ®Þnh sè c¸c sè h¹ng d·y s« trªn, ®ã lµ nh÷ng d·y sè c¸ch ®Ịu Bài 10: Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 Bài 11: Tính giá trị biểu thức: 1 1 1+ + +L + + 97 99 a) A = 1 1 + + +L + + 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 + + +L + + 99 100 b) B = 99 98 97 + + +L + 99 Bài 12: Thực phép tính : ( 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bài 13: Thực phép tính : 1 1 + + + + a) A = 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 b) B= 1+ (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 20) 20 Bài 14 Tính B = 512 − 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 Bài 15: Thực phép tính : b) Cho B = B = + 22 + 24 + + 2100 1 1 1 + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa 2 100 Bài 16: Chứng minh rằng: + + + + + 100 < 3 3 Chứng minh B < Bài 17: 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) b) Chứng minh 1 1 1 1 − + − + + − = + + + 199 200 101 102 200 a) Tính Bài 8: Thực phép tính : 1 + + + 1) A = 3.5 5.7 97.99 Bài 9: Thực phép tính : 1 1 2) B = − + − + + 50 − 51 3 3 1 1 + + + + 1.6 6.11 11.16 96.101 Bài 10: Cho A = + + 32 + 33 + + 320 ; B = 321 : Tính B − A Bài 11: Tính tổng sau: a ) A = + + 22 + 23 + + 2007 b) B = + + 22 + 23 + + n c) C = + 22 + 24 + + 22008 d ) D = + 22 + 24 + + 22 n e) E = + 23 + 25 + + 22007 f ) F = + 23 + 25 + + 22 n +1 Bài 12: Tổng qt 12 Tính : a) S = + a + a + a + + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) b) S1 = + a + a + a + + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) c) S = a + a + a + + a n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * ) Bài 13: Cho A = + + 42 + 43 + + 499 , B = 4100 Chứng minh rằng: A < B Bài 14: Tính nhanh: 1 1 1 a) A = + + + + L + + 3 3 3 1 1 1 b) B = + + + + L + 2007 + 2008 3 3 3 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa 1 1 1 ∗ c) C = + + + + L + n −1 + n ; n ∈ N 3 3 3 Bài 15: (Bài tốn tổng qt 15 1 1 1 ∗ Tính nhanh: S = + + + + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ; a ≠ 0) a a a a a a Dạng 5: So sánh hai số hữu tỉ 1 1 − 1 Bài 1: Cho A= − 1. − 1. − 1 16 400 So sánh A với −1 Bài 6: So sánh : a, A = 2008 − 2007 + 2006 − 2005 + + − + với b, B = 1 1 + + + + với 2009 3 3 LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ Dạng 1: Thực phép tính: Bài 1: Thực phép tính : a (a - b) (a + b) b 1002 - 992 + 982 - 972 + + 22 - 12 c (202 + 182 + 162 + + 42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + + 32 + 12) Bài 2: Tính 32 33 2000 A= ( - 81)( - 81)( - 81) .( - 81) 2003 Bài Tính: 5.230.318 − 22.320.227 5.29.619 − 7.229.27 Bài 4.Tính: 1 a 2 15 Bài Rút gọn: A = 1 4 20 25 1 b : 9 3 30 5.9 − 2.6 210.38 + 8.20 Bài Thực phép tính 46.95 + 69.120 a) −84.312 − 611 5.415.9 − 4.3 20.8 b) 5.2 9.619 − 7.2 29.27 c) 5.9 − 2.6 210.38 + 8.20 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Bài 7: Thực phép tính : : a (-2)3 + 22 + (-1)20 + (-2)0 b (32)2 - (-52)2 + [(-2)3]2 c 24 + [(-2)2 : ]0 - 2-2 + (-2)23 Bài 8: Tính: −1 −1 −1 1, 6 ÷ − ÷+ 1 − − 1÷ 2, (63 + 62 + 33) : 13 Bài Thực phép tính: A= 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 Dạng 2: So sánh : Bài So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 B = 2101 Bài So sánh a) 5300 3500 ( ) d) 175 b) 230 320 ( e) 984 1710 Bài So sánh a) 260 420 d) 85 3.47 g) 1010 48.505 Bài 4: So sánh a) 334 520 d) 5300 3500 ) c) 260 340 9815 b) 545 2515 e) 333444 444333 h) 3484 4363 b) 715 17 20 e*) 230 + 330 + 430 3.410 c) 648 1612 f) 199010 + 19909 199110 i) 920 2713 c) 2300 3200 Bài 5: So sánh : 230 + 330 + 430 3.2410 Bài 6: So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 B = 2101 Bài 7: So sánh hợp lý: 1 a) 16 200 1000 1 2 b) (-32)27 (-18)39 Bài 8: So sánh: 5255 2579 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Bài 1: n −1 a) Cho S n = − + − + + (−1) n víi n =1, 2, 3, Tính S35 + S60 = ? Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa b) Tính giá trị biểu thức : 6x2 + 5x - x thoả mãn x-2 =1 Bài Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức: x 2005 − 2006 x 2004 + 2006 x 2003 − 2006 x 2002 + − 2006 x + 2006 x − x − x + 0, 25 xy − x2 + y Tính giá trị A biết x = ; y số ngun âm lớn Dạng 4: Tìm x biết Bài Cho: A = Bài 2: : Tìm x biết a) ( x − 3) = 16 b) ( x − ) = −243 c) ( x + ) d) ( x − 1) = −8 f) ( x − 1) x+2 = ( x − 1) x+4 g*) ( x − ) −1 200 = 3−2 + ( y + 4) 200 ≤0 e) x+ = 625 Bài : Tìm x biết: a x2 + 2x = b (x - 3) + 2x2 - 6x = Bài 4: Tìm n biết : a Bài 5: Tìm x biết: 27n = 3n b.32 3-5 3n = 311 c 2-1 2n + 2n = 25 ( x − 7) x +1 Bài 6: Tìm x biết: a (x - 2)2 = Bài 7: Tìm x, biết: c (x2 + 1) (x + 2000) = − ( x − 7) x +11 =0 b (2x - 1)3 = -8 ; c (x - 1)x + = (x - 1)x + 37 − x = x + 13 Bài 8: Tìm x biết: a) (2x-1) = 16 b) (2x+1) = (2x+1) 1 1 1 c) x − − = − 8 8 8 Bài 9: Tìm x biết: a x− x +1 x +11 + = ( −3, ) + ; b ( x − ) − ( x − 7) =0 5 Bài 10: T×m x,y ∈ Z, biÕt r»ng a 5.3x = 8.39 + 7.273 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa b 2 2 2009 + + + + = 2.3 3.4 4.5 x(x + ) 2011 Dạng 5: Các tốn sử dụng dấu hiệu chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: a) 82004 + 82005 chia hết cho b) 87 − 218 chia hết cho 14 Bài a)Tìm chữ số tận số A = 3n + − 2n + + 3n − 2n (với n ∈ N) b) Chứng minh rằng: + − 49 , chia hết cho 55 Bài 3: Chứng minh rằng: a 76 + 75 - 74 chia hếtt cho 11 b 109 + 108 + 107 chia hết cho 222 c 817 - 279 - 913 chia hết cho 45 d 2454 5424 210 chia hết cho 7263 Bài 4: Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 Bài 5: Chứng minh a)222333+333222 chia hết cho 13 b)7.52n+12.6nchia hết cho 19 c)33n+5.23n+1 chia hết 19 Với n thuộc số nguyên dương Bài 6: Chứng minh : a 3n + - 2n + + 3n - 2n chia hết cho 10 b 3n + + 3n + + 2n + + 2n + chia hết cho Bài 7: Tìm số ngun dương n biết a 64 < 2n < 256 c 27 ≤ 3n ≤ 243 Bài 8: Tìm số ngun dương a cho : a 2a2 + 4a + chia hết cho a +2 b 4a3 + 14a2 + 6a +12 chia hết cho 2a + b 32 ≥ 2n > d.9 < 3n < 27 TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU D¹ng T×m sè h¹ng cha biÕt 1.T×m mét sè h¹ng cha biÕt a) Ph¬ng ph¸p: ¸p dơng tÝnh chÊt c¬ b¶n tØ lƯ thøc a c b.c a.d a.d NÕu = ⇒ a.d = b.c ⇒ a = ;b = ;c = b d d c b Mn t×m ngo¹i tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cđa trung tØ chia cho ngo¹i tØ ®· biÕt, mn t×m trung tØ cha biÕt ta lÊy tÝch cđa hai ngo¹i tØ chia cho trung tØ ®· biÕt b) Bµi tËp: 10 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa c) x y y z = ; = 2x + 3y + z = 172 d) 2x = 3y; 5y = 7z 3x+5z-7y = 30 e) 3x = 2y; 5y = 7z 3x + 5y – 7z = 60 f) x y = ; = x + y +z = 61 y z Bài 9: Tìm số x, y, z biết : x − y y − 3z z − x = = 10x-3y-2z=-4 3z 15 x −1 y − x − = = b) 2x+3y – z = 50 2x + y − 2x + y −1 = = c) 6x a) Bài 10 : Cho a −1 b + c − = = 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c Bài 11: Tìm số x, y, z biết a) 3x = y,7 y = 5z x − y + z = 32 b) xy = , yz = , zx = 5 Bài 12: Tìm số x, y, z biết : x y = ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ = = 12 5x 4x a/ Nhận xét: Tử thức có số giống nhau, Các đại lượng chứa y 2y) Bài 13: Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b 100 200 Bài 15: : Tìm x y biết: (3x - 5) + (2y + 3) ≤ Bài 14 : Cho Bài 16: Cho ba tỉ số nhau: a b c , , Biết a+b+c ≠ Tìm giá trị tỉ số ? b +c c +a a + b 28 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a( a số thực) * Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối TQ: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Nếu x-a ≥ 0=> = x-a Nếu x-a ≤ 0=> = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối số khơng âm TQ: a ≥ với a ∈ R Cụ thể: =0 a=0 ≠ a ≠ * Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối a = b TQ: a = b ⇔ a = −b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối − a ≤ a ≤ a − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ TQ: * Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn TQ: Nếu a < b < ⇒ a > b * Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ TQ: Nếu < a < b ⇒ a < b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối TQ: a.b = a b * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối a a = TQ: b b * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số a = a2 TQ: * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số ln lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu a + b ≥ a + b a + b = a + b ⇔ a.b ≥ TQ: 29 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Các dạng tốn : I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: A(x) = k ( Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước ) Dạng 1: * Cách giải: - Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số khơng âm ) - Nếu k = ta có A( x ) = ⇒ A( x) = A( x) = k - Nếu k > ta có: A( x ) = k ⇒ A( x) = − k Bài 1.1: Tìm x, biết: a) x − = b) − − 2x = 4 c) 1 − x+ = d) − 2x + = b) − − x = 4 = Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 x − = b) 7,5 − − x = −4,5 c) x + − − 3,75 = − − 2,15 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) x − + = b) x −1 = c) − x + Bài 1.4: Tìm x, biết: 3 −5 a) x + − = 5% b) − x − = 4 4 + = 3,5 c) + x− = 4 d) x − 1 =2 d) 4,5 − 5 x+ = Bài 1.5: Tìm x, biết: 11 15 21 x + : 4x − = + 3: − = a) 6,5 − : x + = b) c) − 2,5 : x + = d) 4 4 Dạng 2: A(x) = B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: a = b A( x) = B ( x ) Vận dụng tính chất: a = b ⇔ ta có: A( x ) = B ( x ) ⇒ a = −b A( x) = − B ( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) x − = x + b) x − − x + = c) + 3x = x − d) x + − x + = a) x − = x + * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 30 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 6x= x= Vậy x= 1,5; x= Bài 2.2: Tìm x, biết: 7 a) x + = x − b) x − − x + = c) x + = x − d) x + − x + = 2 5 3 Dạng 3: A(x) = B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số khơng âm Do ta giải sau: A( x ) = B ( x) (1) Điều kiện: B(x) ≥ (*) A( x) = B ( x ) (1) Trở thành A( x ) = B ( x ) ⇒ ( Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện ( * ) A( x) = − B ( x) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Ta giải sau: A( x ) = B ( x) (1) • Nếu A(x) ≥ (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) • Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) VD1: Giải : a0) Tìm x ∈ Q biết =2x * Xét x+ ≥ ta có x+ =2x *Xét x+ < ta có x+ =- 2x Bài 3.1: Tìm x, biết: a) x = − x b) x − = 3x + 2 c) x = x − 12 d) − x = x + Bài 3.2: Tìm x, biết: a) + x = x b) x − x = c) x + − = x d) x − + x = 21 Bài 3.3: Tìm x, biết: a) + x = −4 x b) x − + = x c) x + 15 + = x d) x − + x = Bài 3.4: Tìm x, biết: 31 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa a) x − = x + b) x − − = x c) x − = x + d) x − + = x Bài 3.5: Tìm x, biết: a) x − + = x b) x + − x = c) x − + = x d) − x + = x Bài : Tìm x biết: 2x + = x + Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A( x ) + B ( x ) + C ( x) = m Căn bảng xét khoảng giải tốn ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết x − + x − = x − (1) Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức khơng chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta biến đổi biểu thức vế trái đẳng thức Từ tìm x Giải Xét x – = ⇔ x = 1; x – < ⇔ x < 1; x – > ⇔ x > x- = ⇔ x = 3; x – < ⇔ x < 3; x – > ⇔ x > Ta có bảng xét dấu đa thức x- x- đây: x x–1 + x–3 ⇔ Xét khoảng x < ta có: (1) (1 – x ) + ( – x ) = 2x – ⇔ -2x + = 2x – ⇔ x= + + (giá trị khơng thuộc khoảng xét) Xét khoảng ≤ x ≤ ta có: (1) ⇔ (x – ) + ( – x ) = 2x – ⇔ = 2x – ⇔ x = ( giá trị thuộc khoảng xét) Xét khoảng x > ta có: (1) ⇔ (x – ) + (x – ) = 2x – ⇔ - = -1 ( Vơ lí) Kết luận: Vậy x = VD2 : Tìm x + =0 Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu x x+1 x-1 - -1 + - + + 32 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x1 Bài 4.1: Tìm x, biết: a) x − + x − x − + x − = 12 1 c) − x + x − + = 1,2 5 b) x + − x + − x + + x − = d) x + 1 + x −3 = − x 2 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) x − + x + = c) x + + x − = e) x + + x − + x + = d) x − + x − + x − = f) x + + − x = 11 Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x − + x − + x − = b) x x + − x x + = 12 c) x − + x − − x − = d) e) x − x + = x − f) x + − x = x + x − Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x − + x − = b) x − + x + = c) x − + x − = d) x − + x + = x + x + − − 2x = x Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1) Điều kiện: D(x) ≥ kéo theo A( x) ≥ 0; B ( x ) ≥ 0; C ( x) ≥ Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x + + x + + x + = x c) x + + x + + x + = 4x b) x + + x + + x + + x + = x − d) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = x Bài 5.2: Tìm x, biết: 100 + x+ + x+ + + x + = 101x a) x + 101 101 101 101 1 1 + x+ + x+ + + x + = 100 x b) x + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 + x+ + x+ + + x + = 50 x c) x + 1.3 3.5 5.7 97.99 33 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa 1 1 + x+ + x+ + + x + = 101x 1.5 5.9 9.13 397.401 Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết: d) x + a) x − + = Bài 6.2: Tìm x, biết: 1 a) x − − = b) x + x − b) = x2 + 2 x +1 − = c) x x + = x2 c) x x + =x Bài 6.3: Tìm x, biết: =x a) x x − 1 3 b) x + x − = x − 2 4 c) x − Bài 6.4: Tìm x, biết: a) x − − x + = x − b) x − − = c) x + − = 3 2x − = 2x − 4 Dạng 7: A + B = Vận dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng số khơng âm số khơng âm tổng số hạng tổng đồng thời * Cách giải chung: A + B = B1: đánh giá: A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 A = B2: Khẳng định: A + B = ⇔ B = Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: a) x − + y + = b) x − y + y + =0 25 c) − x + y + = Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: 2 11 23 y = c) x − 2007 + y − 2008 = a) − x + y − = b) − + x + 1,5 − + 17 13 * Chú ý1: Bài tốn cho dạng A + B ≤ kết khơng thay đổi * Cách giải: A + B ≤ (1) 34 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa A ≥ 0 ⇒ A + B ≥ (2) B ≥ 0 A = Từ (1) (2) ⇒ A + B = ⇔ B = Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) x + + y − ≤ b) x + y + y − ≤ c) x − y + + y + ≤ Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12 x + + 11y − ≤ b) x + y + y − ≤ c) x + y − + xy − 10 ≤ * Chú ý 2: Do tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x − y − + y + = b) x − y 2006 + 2007 y − = c) ( x + y ) 2008 =0 d) x − y − + 2007( y − 3) Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : 2 a) ( x − 1) + ( y + 3) = b) 2( x − 5) + y − = c) 3( x − y ) 2004 +4y+ 2007 + y+4 =0 =0 2008 1 d) x + y − + y − 2 2000 =0 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 ≤ c) 13 1 x− 24 2 2006 + b) x − y + 10 y + 2007 y+ ≤0 2008 25 d) 2007 x − y 2008 ≤0 + 2008 y − 2007 ≤0 Dạng 8: A + B = A + B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b Từ ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x + + − x = b) x − + x − = c) x − + x + = d) x − + x + = 11 e) x + + x − = 3x − f) x − + − x + x − = Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x − + x − = b) x + + x + = c) x + + − x = 13 35 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa d) x + + − x = + x e) x + + 3x − + x − = - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết: a) x − + x + = Ta lập bảng xét dấu x -3 x+3 + 2x-6 Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x3) f) x − + x − = + + 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo ngun tắc từ ngồi vào Bài 1: Tìm x, biết: a) x − + = * + = = = 2x-1= 2x-1= - 2x = + 2x = - + x= x= * + ==- - (khơng thỏa mãn) - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x − y − + y + = 36 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa x-y-2 =0 x=-1 y+3 =0 y= -3 Bài 2: Tìm x, y thoả mãn : a) ( x − 1) + ( y + 3) = Bài 3: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 ≤ Bài 4: Tìm x thoả mãn: a) x + + − x = II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) ngun thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: A + B = m với m ≥ * Cách giải: A = * Nếu m = ta có A + B = ⇔ B = * Nếu m > ta giải sau: A + B = m (1) Do A ≥ nên từ (1) ta có: ≤ B ≤ m từ tìm giá trị B A tương ứng Bài 1.1: Tìm cặp số ngun ( x, y) thoả mãn: a) x − 2007 + x − 2008 = b) x − y − + y + = c) ( x + y ) + y − = Bài 1.2: Tìm cặp số ngun ( x, y) thoả mãn: a) x − y + y + = b) x − y − + ( y − 3) = c) x + y − + y + = Bài 1.3: Tìm cặp số ngun (x, y ) thoả mãn: a) x + + y − = b) x + + y − = c) x + y + = d) x + y + = Bài 1.4: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) x − + y + = b) x + + y − = 12 d) x + y + = 21 c) x + y + = 10 Bài 1.5: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: 2 a) y = − x − b) y = − x − c) y = − x + d) y = 12 − x − 2 Dạng 2: A + B < m với m > * Cách giải: Đánh giá A + B < m (1) A ≥ 0 ⇒ A + B ≥ (2) B ≥ 0 37 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Từ (1) (2) ⇒ ≤ A + B < m từ giải tốn A + B = k dạng với ≤ k < m Bài 2.1: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) x + y ≤ b) x + + y − ≤ c) x + + y − ≤ d) x + y + ≤ Bài 2.2: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) x + + y − ≤ b) x + + y + ≤ c) x + + y − ≤ d) x + + y − ≤ Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị ẩn số Bài 3.1: Tìm số ngun x thoả mãn: a) x − + − x = b) x + + x − = c) x + + x − = d) x + + x − = Bài 3.2: Tìm cặp số ngun ( x, y) thoả mãn đồng thời điều kiện sau a) x + y = x + + y = b) x +y = x + + y − x = c) x –y = x + y = d) x – 2y = x + y − = Bài 3.3: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = x + + y − = b) x – y = x − + y − = c) x – y = x + + y + = d) 2x + y = x + + y + = Dạng 4: Kết hợp tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dấu tích: * Cách giải : A( x).B ( x) = A( y ) Đánh giá: A( y ) ≥ ⇒ A( x).B ( x) ≥ ⇒ n ≤ x ≤ m tìm giá trị x Bài 4.1: Tìm số ngun x thoả mãn: a) ( x + 2)( x − 3) < b) ( x − 1)( x − 5) < c) ( − x )( x + 2) > d) ( 3x + 1)( − x ) > Bài 4.2: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) ( − x )( x + 1) = y + b) ( x + 3)(1 − x ) = y c) ( x − )( − x ) = y + + Bài 4.3: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) ( x + 1)( − x ) = y + b) ( x − )( − x ) − y + = c) ( x − 3)( x − 5) + y − = Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A ≥ m (1) Đánh giá: B ≤ m (2) A = m Từ (1) (2) ta có: A = B ⇔ B = m Bài 5.1: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) x + + x − = − ( y + 2) b) x − + − x = 12 y +1 + 38 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa c) y + + = 10 ( x − 6) d) x − + − x = +2 Bài 5.2: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: a) x + + x − = 2( y − 5) + 12 c) x + + 3x − = ( y + 3) + Bài 5.3: Tìm cặp số ngun ( x, y ) thoả mãn: 14 a) ( x + y − 2) + = y −1 + y − c) x − 2007 + = y − 2008 + y+3 +3 16 y−2 + y+2 10 d) x − y − + = y−4 +2 b) x + + x − = 20 3y+2 +5 30 d) x + y + + = 3y+5 +6 b) ( x + 2) + = III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: • Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn: Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1 a) A = x − 3,5 + 4,1 − x b) B = − x + 3,5 + x − 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < - 1,3: a) A = x + 1,3 − x − 2,5 b) B = − x − 1,3 + x − 2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) A = x − 2,5 + x − 1,7 b) B = x + Bài 4: Rút gọn biểu thức −3 5 2 5 ==============&=&=&============== a) A = x + 0,8 − x − 2,5 + 1,9 với x < - 0,8 b) B = x − 4,1 + x − IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) M = a + 2ab – b với a = 1,5; b = −0,75 b) N = a − với a = 1,5; b = −0,75 b 39 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Bài 2: Tính giá trị biểu thức: −3 b) B = 3a − 3ab − b với a = ; b = 0,25 5a 1 − với a = ; b = 0,25 d) D = 3x − x + với x = c) C = b a) A = x + xy − y với x = 2,5; y = Bài 3: Tính giá trị biểu thức: −2 a) A = x − x + x + với x = b) B = x − y với x = c) C = x − − 31 − x với x = 5x − x + 3x − d) D = với x = ; y = −3 2 V – Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: Sử dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức: Bài 1.1: Tìm giá trị lớn biểu thức: c) C = 3x +2 b) B = − 1,4 − x − e) E = 5,5 − x − 1,5 5,8 h) H = 2,5 − x + 5,8 f) F = − 10,2 − 3x − 14 g) G = − x − − y + 12 i) I = − 2,5 − x − 5,8 k) K = 10 − x − l) L = − x − m) M = 4x −5 x−2 +3 d) D = 2x +3 a) A = 0,5 − x − 3,5 n) N = + x −1 12 3x+5 + Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 1,7 + 3,4 − x b) B = x + 2,8 − 3,5 c) C = 3,7 + 4,3 − x d) D = 3x + 8,4 − 14,2 e) E = x − + y + 7,5 + 17,5 f) F = 2,5 − x + 5,8 g) G = 4,9 + x − 2,8 h) H = x − k) K = x − − + l) L = 3x − + i) I = 1,5 + 1,9 − x m) M = 51 − x − Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: 15 −1 21 + a) A = + b) B = 3x + + 3 815 x − 21 + d) D = −6 + 24 x − y + 2x + + Bài 1.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: x + + 11 y + + 13 a) A = b) B = 7x + + 2y + + e) E = c) C = 20 + 3x + + y + + 21 + ( x + y ) + x + + 14 c) C = 15 x + + 32 x +1 + 40 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: −8 14 a) A = + b) B = − x + + 24 5 y − + 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 21 x + + 33 y + + 14 a) A = b) B = 4x + + y + + 14 c) C = c) C = 15 28 − 12 x − y + x + + 35 − 15 x + − 68 x + + 12 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + − x b) B = x − + x + c) C = x + + − x d) D = x + + x − f) F = x + + − x e) E = x − + + x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x − + x + b) B = x − + − x c) C = x + + 4x − Bài 2.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = − x − + x + b) B = − x + + x + c) C = − 3x − + − 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = −2 x − + x + b) B = −3 x − + − x c) C = −5 − x + x + Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − b) B = x − + x − + c) C = x − + x + Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − b) B = x − + x + c) C = x − + x + Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x + + b) B = x − + x + + c) C = x + + x − + 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − + x − b) B = x + + x − + x − + c) C = x + + x − + x − d) D = x + + x + + x − + Bài 3.4: Cho x + y = tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x +1 + y − Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị biểu thức: 41 Giáo viên: Vũ văn Thích -Trường THCS Hải Hòa B = x − + y +1 Bài 3.6: Cho x – y = tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2x + + y + Bài 3.7: Cho 2x+y = tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2x + + y + + TÌM NGHIỆM NGUN Bài 1Tìm số ngun x, y cho: 51x + 26y = 2000 y + = Bài Tìm số ngun x y biết : x Bài 3: Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2009) Bài 4: Bài 5: a) Tìm số ngun x biết: x − + x + 10 = 17 x + 11 b) Tìm x ngun cho biểu thức có giá trị ngun 6x + a) Tìm x, y số ngun biết xy − 10 x − y − = b) Tìm số ngun tố x, y cho: 51x + 26y = 2000 Bài 6: Tìm số ngun x thoả mãn 2005 = x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 Bài 7: x y z t = = = y+ z+t z+t + x t + x+ y x+ y+ z CMR biểu thức sau có giá trị ngun: x+ y y+ z z+t t + x P= + + + z+t t + x x+ y y+ z Cho 42 [...]... Giỏ tr tuyt i ca mi s u khụng õm TQ: a 0 vi mi a R C th: =0 a=0 0 a 0 * Hai s bng nhau hoc i nhau thỡ cú giỏ tr tuyt i bng nhau, v ngc li hai s cú giỏ tr tuyt i bng nhau thỡ chỳng l hai s bng nhau hoc i nhau a = b TQ: a = b a = b * Mi s u ln hn hoc bng i ca giỏ tr tuyt i ca nú v ng thi nh hn hoc bng giỏ tr tuyt i ca nú a a a v a = a a 0; a = a a 0 TQ: * Trong hai s õm s no nh hn... tuyt i TQ: a.b = a b * Giỏ tr tuyt i ca mt thng bng thng hai giỏ tr tuyt i a a = TQ: b b * Bỡnh phng ca giỏ tr tuyt i ca mt s bng bỡnh phng s ú 2 a = a2 TQ: * Tng hai giỏ tr tuyt i ca hai s luụn ln hn hoc bng giỏ tr tuyt i ca hai s, du bng xy ra khi v ch khi hai s cựng du a + b a + b v a + b = a + b a.b 0 TQ: 29 Giỏo viờn: V vn Thớch -Trng THCS Hi Hũa 2 Cỏc dng toỏn : I Tỡm giỏ tr ca