200-bai-hinh-hoc-khong-gian-luyen-thi-thpt-qg-co-loi-giai-chi-tiet_archive

CÁC BÀI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN CHO THI ĐẠI HỌC - Khối chóp Bài 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác S AB ƒ S AD = 900 J trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện ACD J khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AC J ) Giải: c om S J I B A 47 C D ( + AD ⊥ S A AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (S AB) h2 + Gọi I trung điểm AB AD ⊥ SI (1) Mà ∆S AB nên SI ⊥ AB (2) ns in p a Từ (1) (2) suy SI ⊥ ( ABCD ) Do d ( J, ( ACD )) = d (S, ( ABCD )) = SI = 2 p p 1 a a3 = Từ suy VACD J = a 24 a2 ∆BCI vuông B nên CI = CB2 + BI = ∆SIC vuông I nên SC = SI + IC = 2a2 Tương tự SD = SC = 2a2 SC + CD SD ∆SCD có C J đường trung tuyến nên C J = − = a2 p a Xét ∆ J AC có J A = p ; AC = a 2; C J = a nên tính cosA = p p p 7 a a Từ sinƒ J AC = nên dt( J AC ) = p = 4 p a3 p a 21 24 Vậy d (D, ( J AC )) = p = a Tu ye  Nhận xét: Có thể tính diện tích tam giác JAC cách lấy hình chiếu J mặt đáy (là trung điểm H DI) Trong mặt đáy, kẻ HK vuông góc với AC (hay HK song song với BD) với K thuộc AC JK vng góc với AC tính JK đường cao tam giác JAC p Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt O ; hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) cùngpvng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (S AB) theo a http://boxmath.vn/ a , tính thể tích khối chóp S.ABCD http://boxtailieu.net Giải: S I A D O H C B p c om K Từ giả thiết AC = 2a 3; BD = 2a AC, BD vng góc với trung điểm O p đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O AO = a 3; BO = a, ƒ ABD = 60 o hay tam giác ABD Từ giả thiết hai mặt phẳng (S AC ) (SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) nên giao tuyến chúng SO ⊥ ( ABCD ) Do tam giác ABD nên với H trungpđiểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB 47 p a ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK ) Gọi I hình chiếu 2 O lên SK ta có OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (S AB), hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng 1 a = + ⇒ SO = Diện tích (S AB) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ 2 2 OI OK SO p a đáy S ABCD = 4S∆ ABO = 2.O A.OB = 3a2 ; đường cao hình chóp SO = p 3a Thể tích khối chóp S.ABCD : VS.ABCD = S ABCD SO =  3 ns in h2 DH = a 3; OK //DH OK = DH = Tu ye Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh cm , cạnh S A = SB = SC = cm Tam giác SBD có diện tích cm2 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: S A D H O C B Gọi H hình chiếu S ( ABCD ) suy H nằm BD (Vì S A = SB == SC, BD trung trực AC ) Do SH đường cao hình chóp đường cao tam giác SBD ; Gọi O giao điểm AC BD Vì S A = SC = D A = DC nên SO = DO suy tam giác SBD tam 12 p p5 11 11 ABCD hình thoi có AD = 3, DO = nên AO = suy dt( ABCD ) = 2 giác vng S Vì dt(SBD ) = SB = nên SD = 4; suy BD = 5, SH = http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net p VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 11 p Vậy thể tích khối chóp S.ABCD 11( cm3 )  Bài 1.4 Cho hình chóp S.ABC có S A = 3a (với a > 0); S A tạo với đáy ( ABC ) góc 600 Tam giác ABC vuông B, ƒ ACB = 300 G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a Giải: c om S A C G K B 3a 47 ƒ Gọi K trung điểm BC Ta có SG ⊥ ( ABC ); S AG = 600 , AG = h2 p 9a 3a Từ AK = ; SG = p Trong tam giác ABC đặt AB = x ⇒pAC = x; BC = x 9a Ta có AK = AB2 + BK nên x = 14 243 Vậy VS.ABC = SG.dt( ABC ) = a 112  ns in Bài 1.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tam giác S AB tam giác cân đỉnh S Góc đường thẳng S A mặt phẳng đáy 450 , góc mặt phẳng (S AB) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết khoảng cách p hai đường thẳng CD S A a Giải: Tu ye S P D A M N H B C Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt đáy, M trung điểm AB tam giác S AB cân S nên SM vng góc với AB kết hợp với SH vng góc với đáy suy AB vng góc p ƒ với mặt phẳng SMN nên theo giả thiết ta được: (S A,á ( ABCD )) = S AH = 450 ⇒ S A = SH á ƒ = 600 ⇒ SM = SH p2 ((S AB ), ( ABCD )) = (SM, MH ) = SMH http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net Từ điểm N kẻ NP vng góc với SM dễ thấy NP khoảng cách hai đường thẳng S A p p p CD suy NP = a Ta có SH.MN = NP.SM ⇐⇒ SH.AB = a 6.SH ⇐⇒ AB = 2a Trong tam giác S AM ta có S A = AM + SM ⇐⇒ 2.SH = p p a a a = Vậy VS.ABCD = SH.dt( ABCD ) = 3 p 4SH + 2a2 ⇐⇒ SH = a 3  Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, BC = 2a Cạnh bên S A vng góc với mặt đáy, S A = a Gọi H hình chiếu A SB Tính thể tích khối chóp H.ACD theo a cơsin góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) Giải: c om S K H D A 47 E C B Kẻ HE //S A (E ∈ AB) ⇒ HE ⊥ ( ABCD ) h2 BH AB2 HE a Trong tam giác SAB có AB = BH.SB ⇒ = = = ⇒ HE = SB SB SA Diện tích ∆ ACD S∆ ACD = 12 AD.CD = a2 ⇒ thể tích H.ACD VH.ACD = 31 HE.S∆ ACD = a3 S A ⊥ ( ABCD ) ⇒ S A ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ H A mà H A ⊥ SB nên H A ⊥ ns in (SBC ) tương tự gọi K hình chiếu A SD AK ⊥ (SCD ) góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD ) góc AH AK ye p p a 1 a tam giác vng SAB có , S A = SH.SB ⇒ SH = = + ⇒ AH = 2 2 AH AB SA 2a a tương tự AK = p , SK = p 5 2 SB + SD − BD SH + SK − HK a2 = ⇒ HK = cos ƒ BSD = 2.SB.SD 2.SH.SK p p 2 AH + AK − HK 10 10 ƒ= = > ⇒ cos((SBC Trong ∆ AHK có cos AHK ), (SCD )) = 2.AH.AK 5  Tu Bài 1.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên S AB tam giác cân S , mặt phẳng (S AB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SCD ) tạo với đáy góc 600 cách đường thẳng AB khoảng a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net S K D A H I C B c om Gọi H, I trung điểm AB CD Do S AB cân S nên SH ⊥ AB mà (S AB) ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD, H I ⊥ CD nên CD ⊥ (SH I ), kẻ HK ⊥ SI, CD ⊥ HK nên HK ⊥ (SCD ) ⇒ HK = d ( H, (SCD )) = d ( AB, (SCD  )) = a  H I ⊥CD    ⇒ ((SCD ), ( ABCD ) = ( H I, SI ) = SI H = 600 CD ⊥ (SH I ) ⇒ SI ⊥CD   CD = (SCD ) ∩ ( ABCD )  HK 2a = p = BC Trong ∆ HSI có SH = H I.tan600 = 2a sin60 a2 diện tích ABCD S ABCD = BC = a3 Thể tích S.ABCD VS.ABCD = SH.S ABCD = 47 Trong ∆HK I có H I =  Tu ye ns in h2 Bài 1.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành thỏa mãn AB = 2a, BC = p p a 2, BD = a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) trọng tâm tam giác BCD Tính theo α thể tích khối chóp S.ABCD , biết khoảng cách hai đường thẳng AC SB a Giải: S K M D O H A C B Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ), M trung điểm CD O tâm đáy ABCD Do AO trung tuyến tam giác ABD nên AO = AB2 + AD BD 3a2 − = ⇒ p p a AO 2a AO = ⇒ AH = AO + = 3 p 2 2 p 2a BD + BC CD a + a2 a2 2 BM = − = − = 3a ⇒ BM = a ⇒ BH = 4 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net Ta có AH +BH = 4a2 = AB2 ⇒ AH ⊥BH , kết hợp với AH vng góc với SH ta AH ⊥ (SHB) Kẻ HK vng góc với SB, theo chứng minh ta AH ⊥ (SHB) suy AH ⊥ HK ⇒ HK đoạn vng góc chung AC SB suy HK = a 1 = + ⇒ SH = 2a 2 HK SH HB2 p 4 a3 Ta có VS.ABCD = SH.S ABCD = SH.4.SO AB = SH O A.BH = 3 3 Trong tam giác vng SHB ta có  - Khối lăng trụ c om Bài 2.1 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có đáy tam giác cạnh 2a, điểm A cách ba điểm A, B, C Cạnh bên A A tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α , biết p thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 3a3 Giải: A1 B1 47 C1 h2 A B I G H ns in C p Ta có tam giác ABC cạnh 2a nên S ABC = a2 Mặt khác A A = A B = A C ⇒ A ABC hình chóp tam giác đỉnh A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta cópA G đường cao Trong tam giác ABC có AG = AH = 2a 3 ye p 2a Trong tam giác vng A AG có: A AG = α; A G = AG.tanα = tanα p p Thể tích khối lăng trụ V = A G.S ABC = 3a ⇒ tanα = ⇒ α = 60o  Tu Bài 2.2 Cho lăng trụ đứng ABC.A B0 C có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc ƒ = 1200 , cạnh bên BB0 = a Gọi I trung điểm CC Chứng minh tam giác AB0 I BAC vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB0 I ) Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net A0 B0 C0 I A B C c om p Ta có BC = ap3 Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông ACI, ABB0 , B0 C I p p 13 a, AB0 = 2a, B0 I = a 2 Do AI + AB02 =p B0 I Vậy tam giác p AB I vuông A 10 a , S ABC = a Gọi α góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB0 I ) Tam S AB0 I = AI.AB0 = 4 giác ABC hình chiếu vng tam giác ABr I p góc p 10 3 cos α = ⇔ cos α =  suy S A BI cos α = S ABC ⇔ 4 10 p Bài 2.3 (DB1 A 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B1 C1 có AB = a, AC = 2a, A A = 2a ƒ = 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC Chứng minh MB ⊥ M A tính khoảng BAC 47 Suy AI = h2 cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A BM ) Giải: A1 ns in B1 C1 M ye A C B Tu + Ta có A M = A C12 + C1 M = 9a2 , BC = AB2 + AC − AB.AC cos 1200 = 7a2 ; BM = BC + CM = 12a2 ; A B2 = A A + AB2 = 21a2 = A M + MB2 ⇒ MB vng góc với M A + Hình chóp M ABA C ABA có chung đáy tam giác ABA đường cao nên thể tích 1 p A A S ABC = a3 15 3 p 6V a = = MB.M A ⇒ V = VM ABA = VC ABA = ⇒ d (a, ( MBA ) ) = 3V S MBA http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net  Bài 2.4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A B1 C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu vng góc H đỉnh A mặt phẳng ( A B1 C1 ) thuộc đường thẳng B1 C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 tính khoảng cách hai đường thẳng A A B1 C1 theo a Giải: B A D B1 A1 H C1 a A A H = 300 , AH = A A sin 300 = c om C h2 47 p a3 Thể tích khối lăng trụ ABC.A B1 C1 : V = AH.dt( A B1 C1 ) = p p a a Do ∆ A B1 C1 cạnh a, H thuộc B1 C1 A H = ∆ A A H vuông, A H = a.cos30 = 2 nên A H ⊥B1 C1 Có AH ⊥B1 C1 B1 C1 ⊥( A A H ) Kẻ đường cao HK ∆ A A H HK khoảng cách A A B1 C1 p A H.AH a = A A1  ns in Ta có A A HK = AH.A H , ⇒ HK = Bài 2.5 Cho hình lăng trụ ABC.A B0 C có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P ) p chứa BC vng góc với A A , cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích Tu ye thể tích khối lăng trụ ABC.A B0 C theo a a2 Tính Giải: C0 A0 B0 H A C O M B Gọi M trung điểm BC, gọi H hình chiếu vng góc M lên A A , Khi (P ) ≡ (BCH ) AM nhọn nên H nằm A A Thiết diện lăng trụ cắt (P ) tam giác BCH Do góc A http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net  c om p p a a Do tam giác ABC cạnh a nên AM = , AO = AM = p p p a2 a a2 ⇒ HM.BC = ⇒ HM = , Theo S BCH = 8 s p a2 a2 a AH = AM − HM = − = 16 A O HM Do hai tam giác A AO M AH đồng dạng nên = AO AH p p AO.HM a 3 a a suy A O = = = AH 3a p p 1aa a3 0 a= Thể tích khối lăng trụ: V = A O.S ABC = A O.AM.BC = 23 12 - Khối trịn xoay p 47 Bài 3.1 Cho hình trụ có bán kính đáy a đường cao a a) M N hai điểm lưu động hai đáy cho góc MN đáy α Tính khoảng cách từ trục đến MN b) Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ tam giác ngọai tiếp hình trụ Giải: C0 h2 N O0 ns in A0 B0 C N0 ye O H B M A Tu a) Kẻ đường sinh N N ta có N MN = α, kẻ OH ⊥ MN OH khỏang cách trục OO MN p Ta có: MN = N N cotα = a cot α a2 a2 ∆OMH vuông : OH = OM − MH = a2 − cot2 α = (2 − cot2 α) 2 s 2 − cot α ⇒ OH = a b) Gọi x cạnh tam giác ngọai tiếp đường trịn đáy hình trụ p đềup 1 x x 6R 6a Ta có: O N = R = AN = = ⇒x= p = p 2p 3 p3 2 p p x 36 a VABC.A B0 C = OO = a = 3a2 12 http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net p 18a p S xq = x.OO = p a = 6a2  Bài 3.2 Cho hình nón đỉnh S có đường sinh a, góc đường sinh đáy α a) Tính thể tích diện tích xung quanh hình nón b) Một mặt phẳng hợp với đáy góc 600 cắt hình nón theo hai đường sinh S A SB Tính diện tích tam giác S AB khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng Giải: K O H h2 a) Tính V S xq ∆S AO vuông : SO = a.sinα, AO = a.cosα 1 V = π.AO SO = π.a3 cos2 α sin α 3 Sxq = π.AO.S A = π.a2 cos α B 47 A c om S b) + Tính S S AB ƒ = 600 Kẻ OH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ AB, SOH p a sin α ns in ∆SOH vuông :OH = SO.cot.600 = AOH vuông : AH = AO − OH = a2 cos2 α − 3a2 sin α ye a p ⇒ AH = p cos2 α − sin2 α p 2a2 sin α cos2 α − sin2 α Vậy S S AB = AB.SH = + Tính d (O, (S AB)) Kẻ OK ⊥SH ⇒ OK ⊥(S AB) p p a sin α a sin α OKH vuông : OK = OH.sin60 = = 2  Tu Bài 3.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh bên S A vng góc với đáy a) Xác định tâm mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABCD b) Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt AB, SC, SD B0 , C , D Chứng tỏ bảy điểm A, B, C, D, B0 , C , D nằm mặt cầu Giải: http://boxmath.vn/ http://boxtailieu.net 10