CHƯƠNG MỞ ĐẦU
Đạo hàm và tích phân không xác định là hai phép toán ngược nhau, chúng
thuộc lĩnh vực toán cao cấp nhưng lại liên quan mật thiết và giúp giải quyết nhiều
bài toán sơ cấp Trước hết việc tìm nguyên hàm cơ bản được chứng minh bằng đạo hàm, sau đó để tìm nguyên hàm ta thường dùng các công thức hoặc biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản Có rất nhiều cách để tìm nguyên hàm của một hàm số như
dùng bảng nguyên hàm cơ bản, đổi biến số Tuy nhiên trong một số trường hợp
ta có thể dùng đạo hàm để kiểm chứng nh+anh hơn dùng các phương pháp khác + MỐI LIÊN HỆ GIỮA NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Cho hàm số ƒ (x) xác định trong khoảng (ø; b) Một hàm số F(x) cũng xác định trong khoảng này sao cho F (x)= ƒ(x) với mọi x thugc (a; 6) Ta goi F(x)
là một nguyên bàm của hàm số ƒ(x)
Do nguyên bàm F(x) la phần ngược lại tiến trình khi lấy đạo hàm của hàm
số ƒ(x) nên tính chất về tính đạo hàm của hàm số ƒ(x) đều áp dụng được vào cho
nguyên him F(x)
Nguyên hàm ta hiểu như “khôi phục trở lại” một hàm số đã được lấy đạo hàm
trước đó một cấp
Cách tìm nguyên hàm cũng giống như đi giải phương trình mà ẩn số của nó là nguyên hàm được để dưới dạng đạo hàm của các hàm số nào đó, và người ta gọi
là giải phương trình vi phân
'Ta đã biết cách tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp / (x) bằng cách di ngược lại tiến trình lấy đạo hàm Dựa vào cách này để tìm nguyên hàm cho một hàm số ƒ(x) phức tạp là việc làm không hể đễ dàng Do đó, người ta mới đưa ra khái niệm tích phân, ký hiệu là , đây là một phương pháp dùng để tìm nguyên hàm của một hàm số nào đó với sự sắp đặt ký hiệu khoa học nên cách tìm nguyên ham khi ding tích phân trở nên dễ dàng
s+ Ý NGHĨA
'Ta thấy rằng trong cuộc sống thường ngày thì toán học nó rất gần gũi với chúng ta trong mọi mặt đời sống Chính vì thế mà xã hội ngày càng phát triển
thì toán học lại phát triển lên một tầm cao mới Vì vậy mà tích phân ra đời nhằm
})`Mlegaboolc Chuyên Gia Sách Luyện Thí
phục vụ vấn để thiết yếu của cuộc sống Tích phân dùng để tính diện tích và thể
tích của vật thể
"Từ thời xa xưa lắm người ta chỉ cộng các số đơn giản nhằm phụ vụ công việc mua bán, trao đổi Anh mua tôi 5 đồng rau, 7 đồng gạo vậy anh nợ tôi 5+7=12 đồng, Nếu anh đưa tôi 20 đồng thì 20-12 =8 đồng, nhưng nếu anh có 8 +8+8 được lập lại 3 lần thì 8x3=24 khi các số cộng giống nhau theo một số lân nhất định Khi đó phép nhân bắt đầu xuất nhằm rút gắn công tác viết của phép cộng thay
Vi 7+7+7+7+7+7=6x7=42 vì số 7 được lập lại 6 lần Nhưng khi nhân nhiều số
giống nhau như 7x7x77x7x7=7° thì ông cha ta lại nghĩ tới phép lũy thừa Trong thực thế cuộc sống ngày càng phát triển thì vấn để chia đất cho mỗi người dân Nếu diện tích đất là những hình dạng quen thuộc chữ nhật, A 8
vuông, hình bình hành thì công tác chia trở lên đơn giản, thể tích của những vật thể có hình dạng bất kỷ Diện tích mọi hình đếu xuất phát từ diện tích hình chữ nhật có cạnh là b và b: A B Shey = ab Khi chiều dai bằng chiều rộng thi a=b, lúc đó điện tích hình vuông: 58 nhưng khi hình chữ nhật chia làm 2 khi đó diện tích tam giác vuông s=lap 2
nhưng tam giác ABC thường ta kẻ đường cao AHB nó thành 2 tam giác vuông AHB và AHC i Siuso=Bluoe-FẾ y= 2.AHBH t2 HCAH ` A « 2AH(HB +HC)=4,AH.BC bằng một nữa đáy nhân chiều cao 5 thẻ Diện tích hình bình hành ABCD: 4 B
Swsco = Saane + Suse = 2Sanoe = 22 AH.DC=AH
Trang 3Diện tích hình thoi ABCD: A Su =S 6c + S pc = DLAC + LIB.AC: 2 2 » g =} ac(pi+BI)=4.ACBD Z z © 5
bằng nửa tích 2 đường chéo ‡
Diện tích hình thang ABCD: L L
1 D HK 1 c
So “53p 3.S,sại +52yc =5 AHLDH + AHLAB+ 2 BKKC
AH.(DH+KC+ AB+ AB) _ AH.(DC + AB)
=H] Pee AB+ S]- ADH KE AB +48) AIDC 48)
“Muốn tính diện tích hình thang, đáy lớn đáy nhỏ ta mang cộng vào, thế rồi
nhân với chiều cao, chía đôi lấy nửa, thế nào cũng ra.”
Vi sao lai cé thé tinh, diện tích đường tròn thông qua điện tích hình chữ nhật: Do phương trình đường tròn x? + = R? nhận tâm O làm tâm đối xúng, các trục Ox, Oy chia đường tròn tâm O(0, 0) bán kính thành 4 phần bằng nhau "Ta gọi diện tích cung tròn: S._ =S,
Ta chia cung tròn thành những dải nhỏ: chiều rong dx, chiều đài y mà diện tích hình chữ nhật 4x khi cộng vô số dải nhỏ sẽ thành điện tích cung tròn: oe 2 xtdx Jvie= [WR dx Dat x=Rsint > dx = Rcostat RẺ ~xˆ = R? — RẺ sin?£ = RỶ (1—sinÊ £)= RỲ.cos° => VR? =x? = R|eosi| Đồi cận |*=R= Rent2t=E x=0=>:=0 Rcost|.Reost.dt = RE f cost tdt= efits ° ° TU R x ates St (1+cos2#)dt A fonsnea) 2 2 a 4 BU creE Talore Chuyên Gia Sách Luyện Thí
Ta chia cung elip thành những dải nhỏ: chiều rộng dx, chiéu đài ý mà diện tích hình chữ nhật 4x khi cộng vô số đi nhỏ sẽ thành điện tích cùng Blp: Đổi cận | = x=05t=0 a.|cost|.acostdt = ab sin2t =S|t+— ( 2 “28 3S=45,=nab
"Ta thấy rằng khi quay 360° ta mới được đường tròn tâm O,bán kính R Nhưng cung tròn tâm O, bán kính Rkhi quét 1 góc n° thì chiều dài cung AB=1; dién tích hình quạt O4B sẽ bằng bao nhiêu 360°—›C=2zR (360° + $= eR? 2rRm _ xRu 2 ea hg SE e.g —tRn | D8 em 180° |“ "Š@ã7 em
Qua dé ta thấy tinh thể tích, diện tích các khối vật thể bằng tích phân mà
bản chất cơ bản vẫn là diện tích hình chữ nhật cơ bản từ ngàn năm nay Tích
Trang 4
phân từ A đốn Z
tích phân như là diện tích hoặc điện tích tổng quát hóa Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó
Bản chất của vi phân và cách viết gọn để tính tích phân:
4ƒ(x)=ƒ (*)4x do vậy ƒ(w)= g(z) thì khi ta lấy đạo hàm 2 vế thì hàm
f(#) đạo hàm theo nhung đồng thời nhân z(*), còn hàm g(x) dao ham theo x
nhưng đồng thời nhân dx: ƒ(w)—= g(x) <> ƒ'(n).du = s(xŸ -dx
Vi
u=2x+43 ou! du=(2x+3) dye du=2dx
u=J2x+3 « tÈ =2x +3 © 2udu=2dx + udu =dx unar+be dua ade dx = 44 waar db out ax 4b nu dun ade 4 de = @ ÂU dx ustanxerdu=——= f f(tanx) = f f(u)du dx
w=lnxe du=Š [ f(Inz)d(inz)= f f(u)du
Vi phan la cach viét tat I= f (22 +3) xax ‘Ta thay ring khi quan sát ta thấy đạo ham (2x+3) bing 4x ma 6 day có d(2x? +3) 3y nên tà súy=—C” TT” I= fee +3) xdr= Je2+3) a(x +3) 249% 2 alt 10 Mega bookc Chuyên Gia Sách Luyện Thí
Hai truc Ox, Oự của vòng tròn tượng trưng cho xăm trục sia và cos Nhưng được mô phỏng bởi câu: “Sống đứng - chết nằn” tức là trục đứng trục Oy là N sỉn tức sống còn trục nằm là trục O là cos tức chết -øs Nó giống như quy luật cuộc sống là đứng đi lại được thì là sống ) Còn nằm xuống bất động thì là chết yoni
Ngược chiều đứng hướng lên là sin là trừ sin, ngược chiểu dương cos là trừ như hình vẽ
"Trong vòng tròn lượng giác thì quy ước là cùng chiều kim đồng hồ là chiểu
âm và ngược chiều dương đồng hồ là chiều dương nhưng các em học sinh không hiểu vì sao như vậy?
Tôi xin mạn phép giải thích theo quy luận “âm dương ngũ hành” của cuộc
sống Trong cuộc sống hay trong toán học luôn tồn tại hai mặt đối lập nó chính
là động lực của sự pháp triển Khi chiều này quy ước là dương thì chiều khác quy ước là âm Nhưng trong toán hoc thì chiều âm là chiều cùng chiều kim đồng hồ vì trục đứng là trục O là sin tức sống, khi cùng chiều là nằm Ox [a cos tức là chết Khi kim đồng hồ quay cùng chiều tức là quá trình sống nhưng thời gian càng trôi thì ta càng già và mau chết nên nó chiểu âm Chính vì vậy con người chúng ta thời gian quay trở lại nên ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương
“Dao ham la gi? Đạo là đường đi, hàm là nhai tức là ăn
Đạo hàm là muốn đi đường thì phải ăn để sống mới tiếp tục đi tức là đạo hàm là cùng chiều kim đồng hồ
Đi theo chiều kim đồng hồ thì được hiểu là lấy đạo ham
Bài toán:
(inxŸ =eosx; (cos>Ÿ =—sinx; (~sinxŸ =—cosx; (~eosz] — +sinx
Trang 5q@ THUYET Chương I NGUYÊN HÀM
a KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM
Hàm số ƒ(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trén K nếu: F(x)=f(x)+C, Week Hàm số F(x) xác định trên K Hàm số f(x) được gọi là họ nguyên hàm của F(x) trén K nếu: ƒ(x)dx=F(x)+C, const=CeR Nếu moi ham s6 f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Hàm số /(x)=2z có nguyên hàm là F(x)=3” +C, vì (x? +C) =2x Hàm số ƒ(x)—sinx có nguyên hàm là F(x)= —cosx+C, vì (—eosx+C} =sinx
G TINH CHAT NGUYEN HAM
Tinh chat 1: [f (x)ax] = ff’ (x)ax= F(a) +C
Tinh chat 2: ff (x)de=k f f(x)dx voi (k=0)
Tinh chat 3: f[f(2)+9(x)]ax= [f(x)dr fa(xdx+c
Tinh chat 4: f f(x)dx=F(x)+C— ff(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C
SEE "
Chương II TICH PHAN
KHAINIEM VE TICH PHAN
Cho hàm số ƒ(x) liên tục trên K và a,beK Ham s6 F(x) gọi là nguyên
hàm của ƒ(x) trên K thì F(b)— F(a) được gọi là tích phan cia f(x) tit a đến
b và có ký hiệu
free eae S76) z)äx= F(x)Ÿ = F(b)~F (4)
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kỳ một chữ cái khác nhau thay cho x, nghĩa là:
fre) x)dx= fro t)ảt= fre =6e.e e = F(b)— F(a)
> Ý nghĩa hình học:
Néuham s6 y= f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a,b] thì điện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y= ƒ(x), trục Ox và hai đường thẳng x=8x=P lạ §= [ƒ(x)dx f TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN J7&)x=0 ÿƑ@ Jr&) Ï#e)x~kƑr)< (k=0)- JUAlesble=}/le+ ]at)e
i) ()dx= Sr) “F(x 3)áx+ fre ƒ(x)4x (công thức phân đoạn)
Nếu /(x )>0, Vx € [a,b] thì fre) x)4x >0
Trang 6
Néu f(x)>3(x),¥xe[a,b] thì Polar
3(x)ar- Chuong II
Néu m< f(x) <M,Vxe[a,b] thi m(b—a)< ff(x)dx<M(b—a) củ
Í BANG NGUYEN HAM CAC HAM SO CO BAN
Cho tbiến thiên trên đoạn [a,b] thì G(£)= [ /(x)dx là nguyên hàm của F(t) va G(a)=0- ÑT CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM -TÍCH PHAN THUONG GAP Joe=c - dv=x+C
'Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triển Si = _
Tích của hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ frac= = ee fe cde ae ae
Chứa căn thức PP chuyển về lũy thừa : Lầu —
'Tích lượng giác bậc một PP biển đổi tổng thành tích J (ex +b) dx — +bz+C J(œ+= 1 fe 3 +C với a=0
Bậc chan của sinx và cosxPP dùng công thức hạ bậc a in z ae " yy
Hàm hữu tỷ (không chứa căn) JÝ=nhl+c Jš Gaye reine
Nếu: bậc tử: > bậc mẫu PPchia tử cho mẫu dk “==2Wx+C BC —=ˆ ĐO b+C -
Nếu: bậc tử < bậc mẫu PP đồng nhất thức J đà f ie, eee
> Phương pháp đổi biến số: Nile Cốt se0 Ị
Néu_f f(u)du=F(u)+C; CER và w=w(x) có đạo hàm liên tục thì:
£*“dx=e” +C Nai
[IIEj#Ele=rielxe: J fertcaten +c
Trang 7_ƒlens#y=~Inleoss|+C với xz tim J[cotxex=Inlsinz|+C với xe kr Jn(x+9)4x fcot(ax+b)ax _ =hinlsin(ax-+ 8) +C đc với xe tke dx Mes a) c2 hịc 2 =-Ìm a Jí- 3#=xtz+t€ x axit dx tinsel h3 b)+C Jeera” ert + AR + Chương IV CÁCH TẠO DẠNG TÍCH PHÂN
"Ta thấy tích phân cơ bản có 8 công thức quen thuộc nhưng chúng được sếp thành các cặp anh em sinh đôi của nhau: tt - ate (x=-1), 1= | di 1, = f sinudu=—cosu+C 1,= f cosudu=sinu+C du 1 =f cay =-cotu+C
Yn Jean So tCae +c 1= lc =tanu+C du
Ta thay 2 cặp có sự tương đồng giống nhau, thơng thường Bài tốn tích phân
ta phải đưa bài toán về dạng 8 cơ bản như trên thì mới xuất ra kết quả
Trang 8T a(cosz)=(cosxy dx — | [eos'xsnaxdx=- [cos'sd(cos) =-—sinxdx = 208" 6 n+1 a{tanx)=(tanx) dx fant x2 = f tant xa(tanx) = dx mg “Tete aate
*)=(e) des etdx ke 1 s4,
ae) (cJ«=e Sertar=2 fera(ax+d)
A(ø°)=( Ï 4x=e Inab| ho +C
LỆ, $ Faas II (sin? x) dx=2sin2(sinx) de =2sin xcos.xdx = sin 2xdx 4(cos* x) = (cos? x) dx =2cosx(cosz) dx = -2cos xsinxdr=~sin2xdx A(ex-+0) =(ee-+8) dx =a = d= 2a(ax +b) (2x+3)° 12 T= f(ex+9) dx=F f (2x43) d(ax+3)= +€ a{ax" +6) =(ax" +b) dean" dx = xây =4 +b) T= (2 +9) aae=4 f (2? +3) d(2x? 49-2223) +C “Tôi muốn giới thiệu với các bạn cách tạo dang và kỹ thuật xử lý nó: mm a u fs n= fu du= TT T+C với a#—1, "Ta cho giá trị u bằng các biểu thức khác nhau sẽ cho ta những bài toán tích phân khác nhau Mega book
Chuyên Gia Sách Luyện Thí
Trang 10Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thí " =cos+—cos+ 2 85 aaa © Cho w= cosx + du=—sinxdx 'sinxsin(cosx)dx = f sin(cosx)d(cosx)=—cos(cosx)+C =-e| L =I, 5
4 Cho w=Inx= du=
21= foe Dac foin(ns)afins)= costing) +c
© Cho u=e*— x= du=(e*—1)dx
=> 1,= f (e* -1)sin(e* —x)dx= f sin(e* —x)d(e* —x) =~cos(e* -x) +c, 1, = f cosudu=sinu+C a Cho u=3x+2= du =3dx = 1,= f3c0s(8x-+2)ax= fcos(3x-+2)d(3x-+2)=sin(3x+2)+C, b Cho w= 54 du=— 2 ›
>1,= J oe) = J eh a(in(x—1)) =e"
e,Cho #=sinx~1= du =cosxdx
-Ï ingx=1) = f eg (si ~p)=z»e=9|
ah= fe cosxdx = fe (sin(x-1)
li §
1,= f sinudu=—cosu+C-
© Cho u=sinx => du = cosxdx =d(sinx)
a Cho u=2x+1= du= 2dr : 2 i
=1,= fcosxcos(sinx)dx = f cos(sinx)d(sinx) =Sin(sinz)+C
2 1,= J 2sin(2x-+1)dr= fsin(2x+1)4(2x+1) li
° ° 4 Cho w=Inx+1>du=& x
=~cos(2x cos(2a + 1), = cos1—cos5 1 +h 3 a= fA (Inx +1) a= feostine +a ine +1)=Sin (in +1)+C
b.Cho w= 5 > du Gea © Cho w= xe" = du=e*(x+1)dx
Trang 12a PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM -TÍCH PHÂN
Chương I
PHƯƠNG PHAP VI PHAN
[binh NGHĨA - phươnG phúp
Định nghĩa: Vi phân của hàm s6 y= f(x) là biểu thức ƒ'(x)4(x) Nếu
ký hiệu dự hay đ(/(x)) là vi phan cha y hay f(x) thi dy= f'(x)dx hay
(f(a) = (2) ae Trong chương trình sách giáo khoa các em đã làm quen với khái niệm vi
phân của một hàm số và ứng dụng của nó trong tính gần đúng Nhưng để dé
hiểu thì ta chỉ cần nhớ công thức tính vi phân như sau đ(ƒ(x))=ƒ '(*).4x
Sử dụng vi phân là một cách thức mở rộng bảng nguyên hàm Có nghĩa học
sinh nên hiểu nếu có một công thức trong bảng nguyên hàm là ƒ 4z = x+C thì ta sẽ có công thức tương ứng là
J2/)=
[4(sinx)=snx+€; fa{x*—x
Mở rộng ra thì sử dụng vi phân còn đưa các bài toán phức tạp về các bài toán quen thuộc; tá (— ——=[——#— Wide: Se 4x—3 ly Wag 1 4(2x-1) Say? + d(x? —2x-42)=(x?-2x +2) de =(2x—2)dx
+ d(sinx-+2cosx) =(sinx+2cosx) dx = (cosx~2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dé dàng thu được một số kết quả sau 1 ata «xe 4 tb)=—-d(p ax) AS = „ tena Z| Lalo) =4 - ==4(W)=aWx+s)= ssin(ax +8)dx = sin(ax-+b}d(ax +b) ~24(sos(ax+0)) =>sin2xdx= ~24(os2x) ụ + cos(ax-+b)dx=1o0s(ax-+b)d(ax +0 a
=2 4(sin(øx+ +8))3cos2xdx =2 4sin2x)
+ e'dx =d(e")=d(e* +a)=—a(a—e’)
Trang 13_ 5 > Lờigiải z\_1 a Sử dụng các công thức vi phân |JZ“*=4|'-|=24{? +4), hệ n= foe ye a(t+x*) ‘AH afin) taser = =i ae) lc 1,=2In(x2+1)+C- 1+ 2 b Sử dụng các công thức vi phân |*“Z= ÁŠ]*246°)=2⁄0°+3) wun Tad = fx(tex)" de=F f(i4e')" a{e" +1) xựt aH) ve stra 5) ~3ale 2) c Sử dụng các công thức vi phân 3) 3 femal 2vu 1 Tacé = al aes “Sia +1 sim „` +1) _2jx)+1 = Cs ye +1 “3s 7 CEE) Tim nguyén ham sau a.= [xử #4 ME © I= f V5=2xdr AE » Mega book > Lờigiải a Sử dụng các công thức vi phân „ Chuyên Gia Sách Luyện Thí dx -5] = 24) = nt u'du=a|* m+1 Ta có [,= ƒ=h=sw=3 foe} ax’) ¬ b Sử dụng các công thức vi phân 240~#), =1 a dx =7d(ax+b)= 24ls~œ) ó 1 Tacé I, =J[5~2xk=2 ƒv5~2.0) 2 : P - 5-2:
=-if (5~28)$a(—22)=— 2024 BF ME) 5 a) ECs
Trang 14b0
Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thí
> Lờigiải leosudu =d(sinu) ông thức vi
a Sử dụng các công thức vi phân Bist dung công thúc ví Phân | uy
of) Face a) =—hale—x')
3=
xư= cos vz
fa ] Ta có lạ = ƒ' + =3 f SE a =2 [sa 84Q/8)=dnvE+C
c.Sử dụng công thite vi phan [M44 =4(sinw) sin xdx =—d(cosx)
Tacé I= f Veosxsinxdr = ~ f(cosx) d(cosx) 3 =3f( -s)3 =- — b.Tacé 1, = f—= 4 GERD Tim nguyén ham sau (9-23) 7 at=f in cosade ¬ ` b= fax c Sử dụng cơng thức vi phân Le x © y= f sin' xcosxdx , J: cos? x Hy
b= [Ta ƒmnla[ns > Let gial
GD Tim nguyen ham sau a Sit dyng dng thie vi phn [°!4#= -4(cosu) 3 cosxdx=d(sinx) * a fe= fat (4-22) Ta có lạ = [ WSinzcoszdr= [ (sinx)° 4(sinz) site cosýy hoofs ‘
bys [ee — Feit] _ alsing ca Sn _ K +C:
Trang 15eros ‘Tim nguyén ham sau a I= f tanxdx, b= ƒ (Sin4x cos4xdx sinx clg= as if 1+3cosx dx Lời giải sinxảx = —d(cos+) a Sử dụng các công thức ề =- =Ill|+C (cos) Ta có " [2 = [A =-lesl+C: b Taco 1,,= = find lin4xcos4xdx =1 1 Pena ; 'sin4x cos4xd(4x' 2(sin4x)? in? -‡ “an 4c 6 sinx cosx „ Ta có ly = = emit ly = [Soon “fee _ 1 pa(Bcosxt1) 1 “~3Í Traesz =-30nl1+3eosz|+C ERA) Tim nguyén bam sau a pH 2—5sinz)” bg fot ở © [y= f tanx.n(cosx)dx Lời giải cosxdx =d(sinx) at] oh a Si dụng công thức vi phân 2cosx 2a(sinx)
Tacé [y= fe ee JE 5sinx)” dx = fA J (2—5sinz)”
Trang 17
Chương II
PHƯƠNG PHAP BANG NGUYEN HAM fÄrhuonc puúo
Để sử dụng được phương pháp này, học sinh ngoài việc sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm còn cần nắm vững các phép tính vi phân, và biển đổi thành thạo các đẳng thức về vi phân “yy Bai tap minh hoa cx Tìm nguyên hàm 1= f SZ LSS Ysinx—cosx dx > Lờigiải 1 Ta có 1= f (sinx—cosx) *d(sinx—cosx) _(sinx—cos 1 +1 3 +C=————:c 2{[(sinx —cosz)” Chú ý: (sinz + cosx)dz = ả(sinx— cosz) Tim nguyên hàm I= > Lờigiải TH ¥ = Jom fate a? +1) 4 & 1 8 =3* 3 4+] 2z ~ghn(31)+€ Chi y: dx =Fa(e +1) 3W Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thí Tìm nguyên hàm [= f= ; +e > Loi gidi Taos I= fe 1+e dx= | dx— dx 1+e ƒ Siz d(1+e*) i =x-[ re =x-h(tte )+€
Trang 18
Chương III
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
trương pháp
Đổi biến số là một trong những phương pháp quan trọng nhất để tìm nguyên hàm hay tính tích phân Phép đổi biến số dựa trên hai mệnh để sau:
"Mệnh để 1:Cho y= ƒ(w) và w= (+) -
Néu f f(x)dx=F(x)+C,
thi fF(s(=))s'@)4e= ff(wau= Fu) +c
Ménh dé 2:Cho y= f(x) liên tục trên k b], hàm z=ø(t) khả vị, liên tục trên đoạn |m; n| và có miền giá trị là ; ' ø(m)=a, ø( in) b
Khid6tacd ff f(a)ae a= Plot 04t (1)
Ý nghĩa của việc đổi biến số
Giống như trong phép đối biển số nguyên hàm, ý nghĩa của oe thức (1)
là ở chỗ sau khi đổi biến x= o(t), thi a) )dx trở thành }/ø( )ø'()4t và
tích phân thứ hai này có hàm mn dấu tích phân /(ø(9))ø'(Ÿ có oe đơn giản
hơn và tính nguyên hàm để hơn so với nguyên hàm ƒ(x) ban đầu
G DOI BIEN SO HAM VO TY
"Phương pháp: Nếu hàm /(x) có chứa ;Ís(x)
thì đặt !=t[s(3) © P's(x) = n"” = g'(x)4x
Khi đó 1= ƒ /(x)4x= [h(‡)4t, việc tính nguyên hàm [ M(()dt đơn giản
hơn so với việc tính [ ƒ(x)dx re 3) Mega book
s Bai tap minh hoa
Trang 19dx =—2tdt ă 2-1 x —1—# c,Đặt F=V1~x<fÊ=1~x>x=1~ 3 £Ÿ Tất ;(t- the =-2f(1-Py eal ~? +1)dt dx da, Đặt t=xl+Inx# =1+lnx=lnx=f!~1—=2Ht «- [É=)#2.~sƒg~ 3 *) _ fipinx +C dx x inex dx p(2-#)-3? a ray _ aye L“Ílgtmx li “= 3 ~4'+4p)át oa =| A +C 85 P-3 de wp A e, Đặt t=Ÿ2—Inz => =2—Inx>lnz=2~Ÿ° => —=-3P4t £, Dat #= J3 4 2Inx > # =3+2lnx= lnx= tnaý3 +28 — fine 5+2 x pH 1 2
= SEF tad tiết = —3)4t
Trang 20Nx'+1— q vx xi k Dat t= Tá ng HH Ko ấm 1 1 [£—1 =<In(—1{—In|t qind Í—hn|t +1) + C=-mE— c= [=1 a a ĐT, Tt ~ sf 1+t + —In|†+1|}+C a dị 5 ~Š(V2—5z~In|J2=5x +1|)+C- 1 Đặt t=vV2+x? = PP =2+x? = 2lảt =2xảx => xả = tắt =q=Đ9„ te Fete Ir ft Tt “fyh-t}*=- -/# - [#=-lt~1|—-t+€C —Wa+z'|~2++`+C es es lee pat t= Yara? oe P-4) <P eo ft Is dt= fee giữ? 7 at) + n.Đặt £ =xJ1+ 4InẺ x =f? =1+4ln? x =2tdt=42Inxf5 Ty - Lae, Ki” 4 4 4 “ wy Bài tap minh hoa Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thứ K) Bài tập bạn địp tự giải Tìm nguyên hàm dx ÙI=Ì ——== 2,= dx yh pei Ma Lae 3), peta 21,= ƒxl~z° x oS 9= (1 dx 5), =f so lưn — 2I,= [xWx+4ax = fe 10) hy = f x*V3—2adx v4—-3: 101,=ƒ aie mee a
Ẩ Đồi BIẾN HÀM ba THUC BAC CAO
Trang 21= J3( x(3x+1)” —1|@x+1}” weit of 20 —_——_— den =L=*#(a—z) = pe et p9 ¬ "100 “101 102) _=0=3” , 42-3)" _(a~x)” 25 101 102 +C —1_,_1 3 _s¢ E~Zpygr"” ` 100495 2009/55 sep gps ee HE 2007(x+1)"” — 1004(x-+1)"" — 2009(x-+1)” 3 =kL=~ + “51 ° 2007(x+1}"” 1004(x+1Ÿ”” 2009(x+1)” oo tập bạn doc ty gidi “Tim nguyén hàm của các hàm số 9n = ƒxq—z) dx 3) I= f (2x +1)(x-+3) de 21, = ƒz(3x+1Ÿ 4 41, LAN, lef (2x-1)° onesie -Ỷ (ae | 5)I,= f (2 +3x—5)(2x—3)"ax l 2 se Peacoat 4
Chuyên Gia Sách Luyện Thí
i DOI BIEN HAM LUQNG GIAC
Phương pháp: Sử dụng các phương pháp sau cho từng lại biểu thức
a Nếu hàm ƒ(x) có chita Ja? =x?
[dx = d(asint) =acostdt
Va =x? =Va? a’ sin’t =acost™
b.Néuham f(x) 06 chita Ja? +3
Trang 22* Ỷ Bai tap minh họa 'Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ƒ aS bt, = fVi-vax € 2+ a = fvo-vax, “1n Jin: f= [Ve +2x+5ae & '=J 1m & b=[ b= [7 kh: Ded acre el a= f a “rise ham ng Lời giải a Dat x= 2sint > dx =2costdt va V4—x* =4—4sin?t =2cost dx =f Sha= faraerc i= 1 Tụ
Tu x=2sint> tarsin{3}-> i; =ansin{3]46
Trang 23Tĩch phân từ A 4 dt e pat x= tant + cos’ t dx=—> - 8= [#=t+C:
“Từ x= tan =£ =arctan x => Ï, =arctanz † C
ftacé I= fle +2x+5ax= f y(x+1) +44(x+1) ees fle +4dt =(1+tanÊf)át và 1+ x2 = 1+ tanÊt 2 x;ấu at x=2tanu dx = cos°f 2= Ss và J4+f 4+4tan?u = can: cosu „ — p a(sinu) anf ——- costa = Sata ty cos 1 p(1+sinu)+(1—sinu) d({sinu) “(i+ sinu)(1-sinu) Tu t=2tanu > tanu=>=> 2° cos*u 4 4 Ê ety eae ye mm" =sin*u=1-cos*u ng Từ đó ta được Ï, = t 1+ Tire |_v4tF| co), mm 2 _ x+1 vate à2+2x+5
§- Đặt x= 2tant dhe = 2 d= 2(1+tan’ t)dt cos't
Trang 24}WMlega booic cost a(cosu) đ(sosu) Sqr at va v?—1=,|-1 1=cott - _ƒ d(cosm —- NUNG ee sin’t Sree Si (1—cosu)(1+ cosu) (1—cosu) +(1+cosu) = (1—cosu)(1+cosu) t n= Ses “ft a(cosu) =
sint 4 (cost) (cost)
= See an fe cost Km tint 3 amen ) (1+ cost) sinu P (1- cost) + +(1+ cost -1 [0-99 G1 cg +c = (1—cost)(1+ cost) ( °)=5 (1—eos?) 1 1 es ¬1 Từ x= sint > cos? f= 1-sin’ t=1-— => c08f= `) Bài tận hạn đọc tự giải | Tìm nguyên hàm 4 = | ona fee a= fi Tay | {+4 x 3 ‘dx 3)1,= f+ 4)1= wf Va-¥ Od Vax? 2x dx 5)I,= 2x? +1dx 6L,=Í—— I -sƒ SS bes
[vị HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHAN CHUA CÁC BIỂU THỨC BẬC NHẤT
CỦA SINX; COSX
Phương pháp: Với những tích phân thuộc loại này, ta có thể sử dụng phép
đổi biến ¿ ~ tan Khi đó đt =- ax = [tre ŸJ#£+t£=q2pe cos? x 2 1+f 2 2
Ấp dụng các công thức liên hệ sinx = T nh ;e - ta quy tích phân
cần tính vể tích phân có hàm dưới dấu tích phân là các biểu thức hữu tỷ của ¿,
Trang 25Chính phục Nguyên hàm - Tích phân từ: A đế: Z # Bai tap minh hoa em Tim nguyên hàm 1= > Lei gid 2 1+? dt Dat tetand = dr= 2 2t (+) Ta =I||+C=In ltan=|+C- x| # dx ‘Tinh tich phan 1= [——* J 1+sinx+cosx > Lờigiải + 2 ai Khi F721, +t Dit t=tan> + dr= + x=04t=0 HỆ atm foal pdt =n — (1+#) a opiate 1+Ẻ 1 +f
@ ĐỔI BIẾN DỰA VÀO CAN
[Bl pane 1 PHÉP ĐỔI BIỂN x= —!
Phương pháp: Phép đổi biến z=—t rất thích hợp trong hai đạng bài toán:
> Khi biểu thức đưới dấu tích phan la ham chắn, hoặc lẻ và tích phân cần
tính có dang J ‘f(x)dx Ta sit dung két qua
- Nếu s(x ) lim 5618 ak teh ten [_øa) thì af Chitng minh: 1 = Sate =] 16) (wart fra , =7Ct4(—)+ Ƒ 7) Ị f 3 }Đ Mega boolc ` Chuyên Gia Sách Luyện Thí =r — Poa RE Won °
+ Nếu ƒ(x) là hàm số chắn và khả tích trên [—ø; ø] thì J8 x)dx= ap ree
Chứng minh:Ï fee) x)dx= fre Jae flea
=f roa (+f plea Ie
=—f (are f s(s)ar= f pliers Ƒ f6)
= [ees [oem] te x)dx |
> Khi tích phân có dạng ¡= He) wait [10 x}dx trong 46 f(x) là hàm
số chẵn trên đoạn [-a; a] c1
oe Trước phố ta có /| 5/0 ) là hàm số chẵn nên ƒ(—z)= /(x)
Trang 26an(-2) m $202 vyc|—1 1|, 185 là hàm lẻ, yet BHT ¥41 tanx ae eT >_ Bài tập tự luyện: dx=0 \ Tinh tich phan I= Jlz+ L+z")zx Đápsố:[=0 5 Tinh tich phn y= f cos? xdx- > Lờigiải 3
Ta cé cos’ (—x) = cos’ x => cos’ x la ham chin
Suy ra A= Joos xdx= 2,f cos’ xdx= 2 (cos x) cosxdr “ 3 0 i
Trang 27
ĐR DẠNG2 PHÉP ĐỔI BIẾN *=“+Ù~t
Phương pháp: Nếu ƒ(*) lên tục trên |2 È] thì Ja /ƒ(x)4x= f ‘Fla+b—x)dx
Ching minh: Dit t=a+b—x v6i xe[a; 6], suyra #&= ~dt .[x=b>t=b ea ee r= frlere—sjar=-f (arm f rose freee 5 ‘Tinh tich phan 1= f'In(1+tanx)dx 6 > Lờigiả:Đặt /Í*)=ln(Lttanz) >/[+1->}=nlL+es+3-+] a =n|L+tan[Z— - 3 tan” — tanx =mll+ 1+ tan”.tanz tan — 1+tanz ĩ =» sims)" In2—In(1-+ tana): 1 Jhí (1+ tana) Jam 7e) sale "` 1 ;ã aindlt— fin(t-+tanz 2 in2-121="n241="In2 4 4 8 A « > lồigiải Đặt /(x)=— _, Mega book Bài tập tự luyện: Chuyên Gia Sách Luyện Thí #In(x+1
Tinh tich phân 1= ƒ &Ặ Ye mps 1= n2 J lựx 8
DANG 3 HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG THANG DUNG
Trang 28Nie ==Ñ] >_ Bài tập tự luyện: Tính tích phân 1= [ xsinẺ xảy Dép s6: 1==" > Bàitoán: ° Qn
DẠNG 4 TÍCH PHAN CUA CÁC HÀM SỐ ĐỐI XỨNG NHAU
Nếu hàm số ƒ(x) liên tục trên |0; 1| thì 1= j f(sinx)dx= ff (cosx)ax Chứng minh: đặt t~Ÿ~xz>.dx=-dt, Khí Tinh tich phan I= > Lờigiải perme ECT 57 tan? (sinx)|dx ca densi =5 > Bai tap tự luyện: sin” xcosx T a, Tinh tich phân J= [—S” xcos" x dx Dap x92 6: 1== 5 b Tính tích phân I= f'In(tanx)dx Dép s6: 1=0 6 3, ¢ Tinh tich phan f= fin(sinx)dx Dap s6: 1=—Fin2 ° + lIn(9—
d, Tính tích phân r= f ? fin(9—x) + JIn(x+3) )
DẠNG 5 BIẾN ĐỔI TÁCH DOI HAM SỐ VÀ CO CAN TÍCH PHAN Bai toan: Néu f(x) lién tuc trén (0; 2a] thi = f f(x)ax= fl F(x) + f(2a—z) fix dx Dap s6: 1=1 x=2a>t=0 x=02t=2z`
1= free flops tele f teie— flan
=]/)e+ J7&e=s)e- flr /(êa—z))#=,
Trang 293 Chương IV = J lsinasin2xsinax— sinxsin2xsin3x)dx =0- 0 > Bai tp tự luyện: PHUONG PHAP TICH PHAN TUNG PHAN a, Tính tích phan 1= f sae Đáp số: ° =0 a KỸ THUẬT CHỌN HỆ SỐ C tin _ F#cactE > °
b Tính tích phan I= J Yoin3x Asin 5xNsin7x (cosx) de Phương pháp tích phan từng phần được sử dụng rộng rãi trong chương trình Đáp sốt I=0 phổ thông và tỏ ra rất hiệu quả khi giải một số tích phân mà hàm số đưới dấu tích
phân là tích của hai hàm khác nhau
Trong dé u= f(x) và do= g(x)
Suy ra o= f g(x)dx nén v(x) xác định không phải là duy nhất, các hàm số
9(x) có thể sai khác nhau một hằng số e (c€R), ø(x)= ø (x) + c Căn cứ vào
Trang 30Tôi bình: Ta thấy học sinh thường chọn hệ số c =0 trong tính tích phân từng phần, và nó trở nên phức tạp hơn ở bước tính tiếp theo là Seq mì (ta phải sử dụng đồng nhất thức để tách ra) >_ Lời giải: Chọn hệ số c=1 u=3+lnx - |a,=## Dat fay = or fe i ay # +1) mẽ 8 ‡ h *3+Inx) +f dx _x(3+ Inx) Hale] = Sy Bees quờy, x+1 ,xt1 x+1 h 4 4
Trang 31
i a] cotx(cosx— = 'osx(cosx— sinx)
sinx+cosx ! sinx(sinx + cosx)
i
Lời bình:Ta thấy, để hoàn thành bài tích phân này thì ta còn phải giải một
bài tích phân H khá phức tạp nữa, vậy để trở nên dễ dàng thì ta lựa chọn hệ số c phù hợp để nhằm đơn giản hóa tích phân H > Lời giải:Chọn hệ số c=~1 cosx—sinx u=In(sinx+cosx) |áw=- ax => sinx +cosx Dit |) & sin? p=—cotx—1=- STE cosx + sinx ` 1=-~(eotx+1)In(sinx + cosz)|Š + =2In42 +Inlsinz| - “a Bai tap ” đe tự giải 4 In(sinx + cosx) 1 1= Jmb'~ 2 Hefei toes) | j "“-~= at In(x° +327 7) ie “+ 1 (œ+ 4, af 3x+1 ý, 4x) +28x” + 65x + 50 ie @ 2) Mega book Chuyên Gia Sach Luyện Thí Ñ kĩ Thuật TÍNH NHANH
Nhằm giúp tính nhanh các tích phân có dạng tích phân từng phần Giả sử # và ø là hai hàm số khả vi của *
Khi đó, như ta đã biết, vi phân của tích 2 được tính theo công thức: d(uo) =udo+vdu suy ra udo =wo~ oảu hay [ udo =wø— [ uâu,
Công thức này gọi là công thức lấy tích phân từng phần
Công thức này thường được dùng để lấy tích phân các biểu thức có thể biểu diễn dưới dạng tích của hai nhân tử # và #2, sao cho việc hàm số ? theo vi phan 40 của nó và việc tính tích phân là những bài toán đơn giản hơn so với việc tính trực tiếp tích phân Ý nghĩa tách biểu thức dưới dấu tích phân thành các thừa số t và dv thường xảy ra trong quá trình giải các bài toán có dạng sau
Jt.6)snáx: ['P,(x)dxcosax; fP,(x)e%dx: f P,(x) x)inxdx
Trong đó là đa thức bậc n Với các dang trên, thì thông thường vai trò của u luôn là đa thức B va là phần còn lại Như vậy, ta có sơ đồ sau:
Khi được tích phân mới, ta lại được một tích phân lại là một trong các dạng, và phần đa thức mới lại đóng vai trò là
'⁄, còn phần còn lại tiếp tục đóng vai trò là ø
Cit thé cho đến khi bậc của đa thức là bậc 0 thì | a„b Đam eb then
sẽ có kết quả Như vậy các đa thúc luôn | _„ ae
đóng vai trò w (nghĩa là lấy đạo hàm), NG
còn phần cò lại luôn là đơ (lấy tích phân),
du i _— ome
nên ta sẽ xây dựng thật toán gồm 2 cột: “1 cột
chuyên lấy đạo hàm của đa thức cho đến khi
giá trị bằng 0; 1 cột luôn lấy tích phan do
tương ứng với cột kia Sau đó, ghép các giá trị i
uy lại ta sẽ có kết quả Hay ta có sơ đồ sau: | ‘Tim nguyén ham [= fe +53) — 3x +2)cos2xdx
Trang 323x2 +10x—3 by | 6x +10 —cos2x 6 T | —cos2x 1 0 I 16" T= | (8 +5x?—3x+2)cos2xdx i 23 45x? -32-+2)sin2x +20“ +10x—3)cos2x -(6 +10)sin2x ~2eos2x +C Tìm nguyên hàm 1= [ (9x”+2x” —4x+6)£”dx, Lấy đạo hàm 3x" + 2x? ~4x +6 ————— Lấy tích phân # ”
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thí
Bài tap ban doc ty giai Tìmnguyênhảm a I= f(x? +7x—5)cosaxdr Đáp số: ta3(e +7x—5)sin2dx-+ H(2x-+7)c0824—1 sind, bis f(x +42? -5x+6)e"ar Dap s6: 1=~(x° +727 +9x+15)e* +C, &1= [(2+4z+1)e*äx Đáp số: sẻ +ây)+ộch + T= fet(x? 44x? +1)dr Đáp số: I=£(x"+xŸ =2x+1)+C T= fer (x —4x° +x41)dr 1> e|x8 2x44 2°32 422 -Ah 4c, ( 5 Di x grt x ale 32,5 2: Dap 86: Áp sí 1 = ; # š £ [| nh inex $2 i a —
1 Dang 1: (x)O(z)ax với b,(x) là một đa thức bậc n
ee 1= [le +3 tat ends = Q(x)=— cos’ x’ sin? x 1 ;sinx;eosx;e";s"
hoặc các hàm này cộng thêm một hằng số thì cách đặt vin la:
=-(8x" +23? ~4x+6)£” (93) +4x—4)e” u=P(x)
Đặt a a (nếu P, (x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần
—(18x+4)e* —18e* +C nln), = Q(2)a
Trang 33
Chú ý:
„Nếu SE ) =InxjIn* z;log„ x;In| f(x)]
Dit} = he (nếu Q(x)=In" x thi ta phải tinh n lần tích phân)
« Nếu Q(x) =sin(Inx);cos(Inx);sin (log, x);cos(log, x)
Đặt PP: 90) (thường thì người ta chọn P (x)=1;Q(x)=x" để đơn
giản hơn) PG) ax
Chú ý: Đề dé dàng nhớ và nhận biết cách đặt theo phép ưu tiên các hàm
thì ta có câu: * Nhất Lô, Nhì Đa, Tam Lượng, Tú Mũ; tức là trong một phép tích
phân hay nguyên hàm, nếu xuất hiện nhiều hàm khác nhau thì chúng ta sẽ tu
tiên cách đặt như câu nói trên 1 1 a Loai 1:Néu Q(x)= Tay 5 "Tính tích phan I= f- > Lờigiải: x J sin? x dr=—xootafi + f cotxde
Bình luận:Ta thấy, hàm số có chứa hàm đa thức va hàm lượng giác
Như phép đặt ưu tiên “ Nhat Lo, Nhi Da, Tam Luong, Tit Mi? by sẽ đặt
Trang 34ĐÓ 22) Cu 0y vu $ Chuyên Gia Sách Luyện Thí đa a aa sin? —2 fxsindaae 5 Tính tích phân I= f (x-+1)sin2xdx (Dy bj DH - 2006) 6 >_ lời giải lẩu =ảx = p= —Fcos2x 1 cede" 17 + 1 mip +p fcostade =F 414 Goin2a =tH
b Loại 2: Nếu Q(x) =sinx;cosx, +
‘Tinh tích phân J= [cosvzax
Bude 1: T= f P(x)cosxdx = A(x)sinax+B(x)cosax+C (1) ) > Lời giải: :
Trong đó: A(x) va B(x) cùng bac voi P(x) vos
eet à ` a Dat t=Vr x= +dx=2tát Khi JŠ” TS,
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) ee
P(x)=[4'(x) +B(2)]sina-+[A(x)+B'(x)]cosa : ):
Sử dụng phương pháp hệ số bất định tim duge A(x) va B(x)
Bước 3:Thay A(x) va B(x) vào (1) rồi kết luận 1 Tinh tích phân I= f'x° sin? mxdx, °
Cách 1: = (ax* + bx? + cx +d)cosx + (a'x +È'3?+c'x+đ)sinz+€ (1)
Trang 35Chuyén Gia Sách Luyện Thí (È~x! +2x—~8)sinx =|z'x +(8a+b)xÊ +(Bb+e)x+c+d]eosx Hướng dẫn: Sử dụng cơng thức sin2x= 1—©92% | = —(3a'—b)x? —(2b'—c)x+c'+d]sinx (2) ow bos E: n a'=0 -a=1 Œm Tính tích phan 1 dv = cos2xdx 3a+b'=0 Đồng nhất đẳng thức trên ta có hệ phương trình | „ „ _ ạ và c+đ'=0 Giải hệ trên tìm được: a=—1;b=1;c=4;4=1 và ø'=0; b'=3; ©'=~2; xcos? xảx (ĐHBKHN - 1994) 1+cos2x —~ ọ Hướng dẫn: Sử dụng công thức cos? x= Vậy I=(—x” +x” +4x +1)cosx+(3x? 2x +4)sinx +C, Đặt | held du = dx do = cos2xdx "1 `4 wat a8 +203, [du = (3! x+2) 0=zsin2x 1 2 dv = sinxdx |ø=—ecosx Cách 2: Đặi |
“ou Tập hạn đục tự giải có hướng dẫn
ca Tính tích phan I= f(x +sin? x)cosxdx (TN - 2005) Hướng dẫn: Đặt "êm = ° eat Án =(1-4si AE, dv =cosxdx ~ |p=sinx Tính tích phân [= [ (x*—4x+3)sin2xdx- J ( ) Gm 2 [du =(2x—4)dx # Hướng din: Bat |S FF) la p=~2eos2x Tính tích phân T= [2 P =f 2x 1)cos* xdx (Dự bị ĐH ~ D~ 2008) 2 j cm Hướng dẫn: Sử dụng công thức sẽ 5 a0 du = 2ax Tính tich phan 1= f/x? cosxdr ỹ J Đạt (“=2~1 do =cos2xdx ~ | f cos2xde" una? du = 2xdx
Hướng đẫn: Đặt L — coaxáy” |ø=sinx
Trang 36Dig) , Tính tich phan I= f xe'áx > Lei gidi: ° Như phép đặt ưu tiên “ Nhất Lô, Nhì Đa, Tam Lượng, Tứ Mi” thì ta sẽ đặt =hàm đa thức (tức là w—=x) và đø = hàm mũ (tức là đơ= ¿”4x ) Bài toán trở nên đễ dàng hơn bằng cách áp dụng công thức Tích phân từng phân mã hệ 1=(x*-2x}e"|" — | (Ex—2)€4x=in!3—2In3+e—A bà 1 Tính A= [ (2x~2)e'dx 1 u=2x-2 |du=2dx Đặt 3 + dv = e*dx „ =e ing Si h A=(2x—2}e'{"? —2 fetdx=(2x—4)e"[" =61n3 +12-26 Vay I=In? 3—81n3 +3e—12 1 Tinh tich phan I= [ xe ”dx ° x=1lot=1 |x=0>:=0” > Lời apa t= E+x<P ác i0 KH | _ Chuyên Gia Sách Luyện Thú
I f dt =22'[|~ fret nealet— fet] ae
Trang 37Clúnh phục Nguyên hàm - Tích phân từ A đốn Z
Như phép đặt ưu tiên “Nhất Lô, Nhì Đa, Tam Lượng, Tứ Mũ” thì ta sẽ đặt 1= hàm đa thức (tức là w=) va do=ham mũ (tức là đỡ = £'4L ),
Bài toán trở nên dễ dang hơn bằng cách áp dụng công thức Tích phân từng phần
a tap ban đọc tự giải có hướng tiẫn GEM) Tinh tich phan r= f'x%e"ax Hướng dẫn: Dit t=x° EEX) Tính tích phán t= fale +1)dx : du=dx dv =(e* ` +x GEN) Tính tích phán I~]e-e lẩu = dx u=x Hướng dẫn: Đặt Iu=x—1 Hướng dẫn: Đặt GTD Tín tích phan 7 2 2x +3x+15, ie e —24°+3x+1 [w= (3x? -4x+3)dx Hướng dẫn: Đặt z Ín5: du = 5cos5xảdx Hướng dẫn: Đặt |" ” SP _ | se “ dv=e*dx p=
Tinh nguyên hàm I= f (2x +x+1)e'4x (ĐHHH HCM-1999)
Hướng dẫn: Đặt du= e*dx ua2x 4x41 i > jv=e* - ' GEA) Tinh tich phan r= f (1+2)' eax (BHCD-1998) 0 Chuyên Gia Sách Luyện Thi 3) Mega book aay? [d¿=2(L+x)4 w= (a) = ¿ de [ST 'Tính tích phân I= f xe dx (HVKTQY - 1997) ° (du=dx - = đo=e 24x |v=-2e? Hướng dẫn:Đặt | Hướng dẫn:Đặt Đặt £ =sin x => : =sinxcosxđ+, sau đó sử dụng tích phân từng phan 4 ern (EHD) Tinh tich phan In xu va? +1
Đặt £—ÍY? +1 = x2 =/? —1=3 xảy = tắt, sau đó sử dụng tích phân từng phần
Trang 38phân từ A đối, Z a wine 3 In| jx+2| x#+1
Binh luận: Ta thấy, hàm số có chứa hàm lôgarit và hàm đa thức
Như phép đặt ưu tiên “Nhất Lô, Nhì Đa, Tam Lượng, Ti Ma” thi ta sé dat
lo
w= hàm logarit (tic la w=In(x-+1) va do=ham da thite (tic la do = (x+2} dx Tỳ
Bài toán trở nên dễ dàng hơn bằng cách áp dụng công thức Tích phân
từng phần
Tính tích phân > Lờigiải
=m
Đặt 5 “Ta thấy, hàm số có chứa hàm légarit va ham đa thức ars
'Như phép đặt wu tiên “Nhất Lô, Nhỉ Đa, Tam Lượng, Tứ Mũ” thì ta sẽ đặt
u= hàm lôgarit (tức là w =lnx ) và du = hàm đa thức (tức là đơ= xảx)
Trang 40ea a ích phân từ A đến Z Tính A=2 J cos(2lnx)dr 1 ep = pxcos(2inx + f sin(2Inx)dx = fe + i +xsin(2Inz)}` = ‘eos(2ins)ée = 1 Tinh tich phan 1 = f cosxin(sinx)dx , on Cys sinx Lời giải Đặt | lø=sinx u=In(sinz) _ |du=*ar > do =cosxdx [eosxte=|sinsin(sina) sins] 2(In2-1) = sinzin(sinx)E - :
Bình luận: Ta thấy, hàm số có chứa hàm lôgarit và hàm lượng giác
Như phép đặt ưu tiên “ Nhất Lô, Nhì Đa, Tam Lượng, Tứ MỸ” thì ta sẽ đặt ứ =
hàm lôgarit (tức là #'= la(sinz) ) và đơ = bàm lượng giác (tức là đơ = cosx4x )
Bài toán trở nên dễ đàng hơn bằng cách áp dụng công thức Tích phân từng phần Tinh tich phan I= [ sin(Inz)4x 1 Léi gidi: Dat t=Inx > x=e' => dx =e'dt Khi sin1— cos1)e+1 5 `
Mega book Quyên Gia Sách Luyện Thí