SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS TỰ HỌC VỀ PHÉP CHIA TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN” A- MỞ ĐẦU I- ĐẶT VẤN ĐỀ Theo phương pháp truyền thống, tập nhà thường đơn khuyến khích học sinh ghi nhớ kiến thức Làm để học sinh phát huy lực sáng tạo, khả nghiên cứu đam mê của lĩnh vực khoa học đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh tài liệu viết chung cho nhiều đối tượng học sinh Các tài liệu thường viết dạng chuyên đề với cách viết là: đưa ví dụ lời giải sau tập áp dụng mà khơng trình bày tài lại tư ? Tại lại định hướng lời giải ? Lối viết địi hỏi người học phải có trình độ định nghiên cứu, vấn đề khó học sinh trung học sở Để khắc phục hạn chế viết chuyên đề Toán theo hướng chuyên đề C ng với việc phân dạng tập ví dụ điển hình Với m i ví dụ điểm hình tơi trình bày luận điểm lại tư thế? để d n tới lời giải Trong năm học trước nghiên cứu triển khai đề tài hướng d n học sinh tự học số chủ đề toán học Tiếp tục hướng nghiên cứu đăng ký nghiên cứu viết “Hướng dẫn học sinh tự học phép chia tập số nguyên” Đề tài triển khai trường THCS Ph Cừ Hội đ ng khoa học trường đánh giá cao năm học vừa qua Đ tƣ n v p mv n nc u T n ề t : “Hướng dẫn học sinh tự học phép chia tập số nguyên” * Đề tài nghiên cứu Phương pháp hướng d n học sinh tự học q trình học tập mơn Tốn * Nghiên cứu phạm vi hướng d n học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học Phép chia tập số nguyên Tập trung chủ yếu nghiên cứu tốn chia hết chia có dư biểu thức biến số ứng dụng phép chia tập số nguyên * Nghiên cứu sở thực nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục trường THCS, định hướng quan điểm ĐMPPDH, phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực, thầy giáo em học sinh trường THCS Ph Cừ II- PHƢƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 1- Cơ sở lý luận Một số vấn đề dạy học tích cực 1.1 D y ọc tíc cực gì? Dạy học tích cực thuật ngữ rút gọn, d ng nhiều nước để phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học."Tích cực" phương pháp dạy học - tích cực d ng với nghĩa hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động không d ng theo nghĩa trái với tiêu cực Dạy tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức người học, nghĩa tập trung vào phát huy tính tích cực người học tập trung vào phát huy tính tích cực người dạy Học tích cự xảy học sinh trao hội thực tương tác đề tài giai đoạn giáo dục, động viên để hình thành tri thức việc nhận tri thức từ việc giới thiệu giáo viên Trong môi trường học tập tích cực, giáo viên người tạo điều kiện thuận lợi cho việc học người “đọc tả” cho học sinh chép! Đặc trƣn d y- ọc tíc cực a Dạy học thông qua tổ chức hoạt động học sinh b Dạy học trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc c Dạy học coi trọng hướng d n tìm tịi d Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác e Kết hợp đánh giá thầy tự đánh giá trò f Dạy học trọng đến quan tâm hứng thú học sinh, nhu cầu lợi ích xã hội (Dạy học tích cực Một số phương pháp kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉnhà xuất Sư phạm năm 2010) Chúng ta biết cách học tích cực phong phú có chung đặc trưng Khám phá Khai phá , hiểu: cách học 1.Học lúc Học nơi Học người Học nguồn (Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN chương trình giáo dục phổ thơng- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010) Trên sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực, đề tài tập trung giải pháp làm đề thực Dạy học trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc Dạy - Học coi trọng hướng d n tìm tịi Cơ sở t ực t ễn Bản thân giảng dạy trường THCS Ph Cừ- trường chất lượng cao huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức trở lên mơn tốn Đây điều kiện thuận lợi cho tơi triển khai nghiên cứu đề tài ĐMPPDH Trong năm học gần triển khai đề tài cấp trường, cấp huyện vấn đề ĐMPPDH , phương pháp kỹ thuật dạy-học tích cực Đối với mơn Tốn tơi tập trung nghiên cứu triển khai đề tài tình điển hình Phương pháp dạy học tình tổ chức hoạt động Dạy-Học định lý, tính chất mơn Tốn xếp loại B cấp Tỉnh năm 2010, nghiên cứu Dạy học tích cực tình tổ chức hoạt động Dạy-Học tiết ơn tập mơn Tốn xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong năm học 2011-2012 2012-2013 nghiên cứu đề tài Hướng d n học sinh tự học số bất đẳng thức quen thuộc Hướng d n học sinh tự học tốn cực trị hình học xếp loại C cấp tỉnh Năm học này, tiếp tục hướng nghiên cứu hướng d n học sinh tự học số chun đề khó tốn số học cho đối tượng học sinh khá, giỏi Các chuyên đề giúp cho học sinh nhiều việc phát triển tư Tốn, có điều kiện để sáng tạo đ ng thời giúp cho em có điều kiện hoạt động độc lập xây dựng đường học tập cho riêng Xác định vai trò quan trọng việc giáo dục học sinh tự học, thân tơi ln cố gắng tìm tịi lời giải tốn “Làm khuyến khích giúp đỡ học sinh tự học?” Một đáp án toán viết tài liệu với giọng văn lời tâm hướng tới đ ng cảm với học trò Tại Thầy lại nghĩ cách giải ấy? Thầy giải tập em có hiểu khơng? Tài liệu tơi viết dành tặng cho học sinh tơi thường chọn vấn đề toán học gần gũi với em, đặc biệt ph hợp với đối tượng học sinh Trong phạm vi kinh nghiệm dạy học chuyển tải đề tài Hướng dẫn học sinh tự học số toán chia tập số nguyên” chủ đề kiến thức tốn học tương đối khó học sinh tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài năm học trước Tôi viết dành cho học sinh giỏi lớp lớp Các b ện p áp t ến 3.1 P ƣơn p áp n n c u: n n nc a ềt 1/ Phương pháp nghiên lý luận Nghiên cứu số tài liệu khoa học phương pháp dạy học, đổi PPDH mơn tốn, quản lý đạo người hiệu trưởng, văn kiện Đảng, nhiệm vụ năm học, hướng d n thực kế hoạch năm học cấp để xây dựng lý luận cho đề tài 2/ Nhóm phương pháp thực tiễn Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút học việc tự học môn Tốn THCS 3/ Nhóm phương pháp hỗ trợ Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh liệu đánh giá 3.2 Kế o c n nc u 1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề Hướng d n học sinh tự học q trình học tập mơn Tốn với trường THCS Ph Cừ từ đầu năm học 2010-2011 2/ Thực nhóm phương pháp thực tiễn trường THCS Ph Cừ năm học từ năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao g m: + Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Ph Cừ + Tổ chức chuyên đề cấp Tổ Tổ KHTN + Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đ ng khoa học trường THCS Ph Cừ B- NỘI DUNG I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI - Nghiên cứu giải pháp thực mục tiêu Dạy học trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc Dạy học coi trọng hướng d n tìm tịi mơn Tốn - Vận dụng vào tình dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực -Giúp cho học sinh phát triển tư Tốn, phát huy tính sáng tạo đ ng thời giúp cho em có điều kiện hoạt động độc lập xây dựng đường học tập cho riêng II- GIẢI PHÁP C ƣơn I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC Quan ểm tự ọc Chất lượng hiệu giáo dục nâng cao tạo lực sáng tạo người học, biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Giáo dục phải coi trọng việc b i dưỡng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho người học phát triển tư sáng tạo, rèn luyện kỹ thực hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng Như vậy, phương pháp dạy học cần thực theo ba định hướng: - B i dưỡng lực tự học, tự nghiên cứu; - Tạo điều kiện cho người học phát triển tư sáng tạo; - Rèn luyện kỹ thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng - Chú trọng rèn luyện phương pháp tự học đặc trưng dạy-học tích cực Một yêu cầu dạy học tích cực khuyến khích người học tự lực khám phá điều chưa biết sở điều biết qua trải nghiệm GV nên đưa người học vào tình có vấn đề để em trực tiếp quan sát, trao đổi, làm thí nghiệm Từ giúp HS tìm câu trả lời đúng, đáp án xác Các em cịn khuyến khích khai phá cách giải cho riêng động viên trình bày quan điểm theo cá nhân Đó nét riêng, nét có nhiều sáng tạo Có bên cạnh việc chiếm lĩnh tri thức, người học biết làm chủ cách xây dựng kiến thức, tạo hội tốt cho tính tự chủ óc sáng tạo nảy nở, phát triển Có thể so sánh q trình giáo dục vịng trịn tâm đường trịn phải cách tổ chức hoạt động học tập cho đối tượng người học Trong dạy học cần rèn cho người học phương pháp tự học Nếu người học có phương pháp tự học, kỹ năng, thói quen ý chí tự học tạo cho họ lòng say mê học tập, khơi dậy nội lực vốn có m i người học kết học tập tăng lên Tự học nghiên cứu khoa học 2.1 Tự học Trong trình học tập có tự học, nghĩa tự lao động trí óc để chiếm lĩnh kiến thức Trong tự học, bước đầu thường có nhiều lúng túng lúng túng lại động lực thúc đẩy sinh viên tư để thoát khỏi lúng túng , nhờ mà thành thạo lên, thành thạo hay đặt dấu hỏi, phát vấn đề từ đến có đề tài nghiên cứu 2.2 Nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học có phát triển tự học lên đến nghiên cứu khoa học có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ tư độc lập tư sáng tạo P ƣơn p áp tự ọc bồ dƣỡn năn lực tự ọc, kỹ năn tự ọc l m cầu n ọc tập v n n c u k oa ọc n ƣờ ọc ữa Hoạt động nghiên cứu khoa học học sinh giỏi loại hình hoạt động tính chất đặc th trình phát triển lực tư Theo tôi, khả nghiên cứu khoa học học sinh lực thực có hiệu hoạt động nghiên cứu khoa học sở lựa chọn, tiến hành hệ thống thao tác trí tuệ thực hành nghiên cứu khoa học ph hợp với điều kiện hoàn cảnh định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề Hoạt động nghiên cứu khoa học diễn theo giai đoạn sau: - Định hướng nghiên cứu; - Xây dựng kế hoạch nghiên cứu; - Thực kế hoạch nghiên cứu; - Kiểm tra, đánh giá kết nghiên cứu; - Báo cáo kết nghiên cứu Một s b ện p áp ƣớn dẫn ọc s n tự ọc: Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến vấn đề sau: 1- Học sinh có tạo điều kiện sáng tạo khơng? 2- Học sinh hoạt động đọc lập khơng? 3- Học sinh có khuyến khích đưa giải pháp khơng? 4- Học sinh lựa chọn chủ đề, tập/nhiệm vụ khác không? 5- Học sinh có tự chủ hoạt động học tập khơng? 6- Học sinh có tự đánh giá khơng (Dạy học tích cực Một số phương pháp kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án Việt-Bỉnhà xuất Sư phạm năm 2010) 4.1 Một số kỹ tự học học sinh 4.1.1- Lập kế hoạch học tập điều cần thiết: Trước làm chuyện gì, nên lập kế hoạch Nếu khơng có kế hoạch khơng làm chủ thời gian, có điều bất trắc xảy đến Một kế hoạch học tập tốt giống phao cứu hộ M i người, t y vào nhu cầu mình, lập kế hoạch học tập riêng, kế hoạch thay đổi cần, điều quan trọng phải tuân thủ kế hoạch đề 4.1.2- Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian Bất có 168 m i tuần, có người sử dụng quỹ thời gian có hiệu người khác Học sinh có nhiều thứ để làm, bạn liệt kê tất công việc cho ngày sau đó, ta thấy cịn 30 m i tuần để tự học ta kiểm điểm lại xem phí thời gian 4.1.3- Chọn địa điểm học Ta học nơi nào, mặc d rõ ràng có số nơi thuận lợi choviệc học Quan trọng nơi khơng làm phân tán tập trung bạn Cho nên làm cho việc lựa chọn nơi học thích hợp trở thành phần thói quen học tập 4.1.4- Chọn thời điểm học tập Nói chung nên học lúc thoải mái, minh m n, vào khoảng thời gian lên kế hoạch để học 4.1.5- Học cho lý thuyết: Nếu học trước để chuẩn bị cho lên lớp, cần đọc tất tài liệu, cần đọc trước ghi thích điểm chưa hiểu Nếu học sau lên lớp, cần ý xem lại thông tin ghi chép 4.1.6- Học cho thảo luận Sử dụng khoảng thời gian trước học để luyện tập kỹ phát biểu với học viên khác (nếu cần) Điều giúp hoàn thiện kỹ phát biểu 4.1.7- Sửa đổi kế hoạch học tập Đừng lo ngại phải sửa đổi kế hoạch Thật kế hoạch cách bạn dự tính d ng quỹ thời gian nào, kế hoạch khơng hiệu quả, ta sửa đổi Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch giúp có thói quen học tốt việc lập kế hoạch trở nên dễ dàng Tuân theo kế hoạch học tập định chuyện khó làm, vỡ kế hoạch việc dễ ! 4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học 4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa: - SGK ngu n tri thức quan trọng cho học sinh, hướng d n cụ thể để đạt lượng liều lượng kiến thức cần thiêt môn học, phương tiện phục vụ đắc lực cho giáo viên học sinh Do tự học qua SGK vô c ng quan trọng để học sinh tham gia vào trình nhận thức lớp củng cố khắc sâu nhà - Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK nhà giáo viên không nên đơn giản nhắc em đọc trước mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà đọc xong em trả lời Đó cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng - SGK tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng kiến thức mà giáo viên truyền đạt lớp ví dụ m u giáo viên khơng nên thay đổi để học sinh đọc trước tham gia vào giảng, học sinh yếu có thêm tài liệu để đọc lại chưa rõ cách giáo viên hướng d n - Đối với nội dung mà sách giáo khoa có chi tiết đầy đủ khơng nên ghi lên bảng cho hs chép mà cho em tự đọc SGK, cách làm vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh làm cho giảng không bị nhàm chán 4.2.2 Tự học qua sách tập, sách tài liệu tham khảo: - Đối với học sinh trường, sách tập có nên giáo viên phải tận dụng tài liệu để giúp học sinh tự học hiệu - Việc cho tập nhà cho theo thứ tự dạng tập SGK SBT để học sinh có lượng tập tương tự đủ lớn (các có lời giải chi tiết) để tự làm SGK Khi cho theo cách giúp học sinh có cách học gặp khó khăn tự tìm kiếm phương án tương tự có để giải khơng thụ động chờ đợi giáo viên hướng d n 4.2.3 Tự nghiên cứu: Giáo viên nên hướng d n học sinh làm BT lớn, có kiểm tra đánh giá để hs có khả tự phân tích tổng hợp Muốn hiệu cao, giáo viên phải biết viết tài liệu theo hướng chuyên đề nhằm định hướng Tư Kỹ cho học sinh đ ng thời tạo động lực thúc đẩy học sinh nghiên cứu khoa học C ƣơn II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TỰ HỌC v GIÁO DỤC HỌC SINH TỰ HỌC HIỆN NAY I- Đán c un Trong việc đổi PPDH lấy học sinh làm trung tâm việc tự học học sinh vô quan trọng, để điều khiển q trình tự học cho có hiệu việc kiểm tra đánh giá giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp phần tích cực làm chuyển biến q trình tự học học sinh Tuy vậy, thực tế dạy học việc áp dụng phương pháp dạy học hướng d n học sinh tự học giáo viên tất mơn học nói chung mơn tốn nói riêng cịn gặp nhiều lúng túng khó khăn Cách học học sinh v n đơn giản cố gắng hoàn thành hết số tập giáo viên giao nhà (bằng cách có thể), học thuộc ghi môn học thuộc Đối với giáo viên quen thuộc với cách kiểm tra cũ đầu cốt cho đủ số lần điểm miệng Việc kiểm tra định kỳ đơn giản thực theo phân phối chương trình, trước kiểm tra giới hạn cho học sinh phần kiến thức Đa số giáo viên thường quan niệm kiến thức mục đích q trình dạy học nên quan tâm đến phương pháp truyền thụ kiến thức với nội dung SGK Một số giáo viên chưa có kỹ soạn bài, v n áp dụng cách rập khn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện, liệt kê kiến thức theo SGK chính, sử dụng câu hỏi tìm tịi, tình có vấn đề… coi nhẹ rèn luyện thao tác tư duy, lực thực hành, sử dụng phương tiện dạy học phương tiện trực quan để dạy học tổ chức cho học sinh nghiên cứu thảo luận sở tìm kiến thức đường để chiếm lĩnh kiến thức học sinh Thực tế, giáo viên thường soạn cách chép lại SGK hay từ thiết kế giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, chưa sát với nội dung chương trình, hướng d n học sinh vận dụng kiến thức giải vấn đề từ nhỏ đến lớn thực tế đời sống sản xuất Khi dạy thường nặng thông báo, không tổ chức hoạt động học tập 26 chia hÕt cho 23 v¯ 22 nªn ta kiểm tra v chọn 23 Việc xét lủy thụa đơn gin Vì 23 nªn 2k với k N Do ta cần phân ho³ch 22n theo (t×m d cða 22n chia cho 3) DÔ thÊy 22n n 3k (k N) Ta cã lêi gi°i sau: Ta cã 22n n n =3k+1 (víi k N) v× n B(n) 23k 1 2.8k 8k 7 v× 8k T ểu kết 2: Qua ví dụ 4,5,6 xét phép chia biểu thức dạng tổng lũy thừa chia cho số Kỹ để giải toán chứng minh B(n) chia hết cho k dạng 1) Viết biểu thức dạng hiệu lũy thừa c ng số mũ 2) Sử dụng HĐT để viết biểu thức dạng tích có thể! 3) Sử dụng định lý Fec-ma để chọn bội nhỏ số có dạng hiệu hai lũy thừa Ví dụ 8: Ch÷ng minh S(n)=16n 15n 225 víi n N Nghĩ nào? Biểu thức S(n) chứa lũy thừa đa thức Việc sử dụng kỹ gặp khó khăn dạng Nhận xét thấy S(n+1) truy h i S(n) nên ta sử dụng chứng minh kiểu qui nạp (ta cần chứng minh S(n+1) S(n) chia cho 225 có số dư, sau thử với n=0) Ta có lời giải sau: S(n)=16n 15n S(n 1) 16 n1 15 n 1 S(n 1) S(n) 16 n1 15 n 1 16 n 15n 16 n 16 1 15 15 16 n 225 v× 16n 15 VËy S(n+1) v¯ S(n) chia cho 225 cã cïng sè d MỈt kh²c S(0)=160 15.0 225 nª n S(n) chia hÕt cho 225 víi mäi gi² trÞ n N Ví dụ 9: Ch÷ng minh S n =23 3n víi n N * n Lêi gi°i: Ta ch÷ng minh b´ng qui n³p Gi° sõ bi ton đũng với n=k N * tữc l S k 2 3k hay 23 q3k 23 q3k k k 1 k 2 XÐt b¯i to²n víi n=k+1 ta cã S k1 23 23 k 3k k 22.3 23 k k q.3k q.3k q.3k q.3k q 3k.2 3q.3k q.3k.3 q 3k.21 q.3k 3k 1 Nh vËy nÕu S k 3k th× S k 1 3k 1 MỈt kh²c ta cã S1 23 31 đũng nên S n 3n với mäi n N * T ểu kết 3: Qua ví dụ 8,9 ta sử dụng phép chứng minh qui nạp Đây phương pháp chứng minh quen thuộc Nội dung toán qui nạp thường Chứng minh biểu thức S(n) thỏa mãn tính chất (T) với giá trị n tự nhiên (n>k) cho n chia cho q dư r tức n=m.q+r Bài tốn có hội làm qui nạp ta viết S(n+r) theo S(n) 2- Một s b toán l n quan ến p ép c a tr n tập s n uy n 2.1- Tìm số dư chia lũy thừa cho số ngun Ví dụ 10: T×m sè d chia 3100 cho 8? cho 7? cho 56 Nghĩ nào? Đây phép chia lũy thừa cho số tự nhiên Một số kỹ vận dụng tiểu kết Bài giải: *) Ta cã 32 ²p dóng hÖ qu° 5.2 ta cã 3100 350.2 32 VËy 3100 chia dư Theo định lý Fec-ma ta có 36 Ta cần viết 3100 theo 36 k để sõ dóng hƯ qu° 5.1 *) Ta cã 3100 34.396 34 396 34 V× 396 36.16 36 v¯ 34 81 chia cã d nên 3100 chia cho dư *) Để t×m d cða 3100 chia cho 56 ta xuÊt ph²t tơ viƯc t×m d 3100 chia cho v¯ (v× 56=7.8 v¯ (7,8)=1) Gi° sõ 3100 56k r víi r 56 (k,r l cc số tứ nhiên) Vì 3100 chia cho d v¯ chia cho d nªn r chia cho d v¯ chia cho d Víi r 56 v¯ n N ta cã r=25 VËy 3100 chia cho 56 cã d l¯ 25 C²ch kh²c Theo kÕt qu° 3100 chia cho d v¯ chia cho d ta cã 3100 =7x+4=8y+1 (x,y nguyªn) 7x 21 8y 24 x 3 y 3 x 8m Vì (7,8)=1 nên với m Z x 8m 3100 8m 3 56m 25 y 7m 3100 chia cho 56 cã d 25 Ví dụ 11: 102 T×m d cða 1247 chia cho 11 NghÜ nh thÕ nµo? Tríc hÕt ta l¯m gi°m c¬ sè cða lđy thơa phÐp chia Ta cã 124 n 3n 124 121 11 víi mäi n N Do vËy ®Ĩ t×m d 1247 102 102 ta t×m d cða 37 chia cho 11 chia cho 11 Theo định lý Fec-ma 310 11 Vì 310 35 v¯ 32 nªn ta kiĨm tra thªm 35 v¯ 32 chia cho11 Ta 35 11 v× thÕ ta viÕt 37 102 theo 35 muèn ta phân hoch 7102 theo Tương tứ trªn ta cã lêi gi°i sau: Lêi gi°i: Ta cã 7102 72.7100 49 74.25 49 chia cho d v× 74.25 74 7102 5k (k N) v¯ 34 81 chia cho 11 d VËy 124 chia cho 11 cã d Ta cã 37 35k 4 34.35k 34 35k 34 chia cho 11 d v× 35k 35 11 102 102 T u kt 4: kt *) Để tìm dư ca lđy thơa tÇng d³ng x m chia cho mét sè p n¯o ®ã ta sõ dóng mét kü tht tm gọi l "h tầng" Bng định lý Fec-ma ta tìm a để x a p t ta cần tìm dư ca m k theo a Tiếp túc kỹ thuật ta h cc tầng ca lủy thụa trở bi ton b°n t×m d cða lđy thơa chia cho mét sè tø nhiªn *) Bài tốn tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm… số tìm dư số chia cho 10 ( chia 5); chia cho 100 (chia 25); … 2.2- C n m n b ểu t c k ôn c a ết c o s ngun Ví dụ 12 a) Ch÷ng minh 3n 1 170 kh«ng chia hÕt cho 289 víi n N b) Ch÷ng minh n 3n kh«ng chia hÕt cho 121víi n N Lêi gi°i: a) NÕu 3n+1 17 m¯ 17 nguyªn tè nªn 3n 1 289 m¯ 170 kh«ng chia hÕt cho 289 3n 1 170 kh«ng chia hÕt cho 289 víi n N NÕu 3n+1kh«ng chia hÕt cho 17 3n 170 không chia hết cho 17 3n 1 170 kh«ng chia hÕt cho 289 víi n N b) Vì (4,121)=1 nên n2 3n kh«ng chia hÕt cho 121víi n N n 3n kh«ng chia hÕt cho 121víi n N Ta cã n 3n 4n 12n 20 2n 11 Tương tứ câu a ta chững minh 2n 11 không chia hÕt cho 121 T ểu kết 5: § Ĩ chững minh S không chia hết cho p k (p l¯ mét sè nguyªn tè) ta viÕt S díi d³ng S=B k Q ®ã Q p nhng Q không chia hết cho p k Nếu gặp khó khăn viết theo lủy thụa ta chọn thêm hệ số m với điều kiện (m,p)=1 v¯ xÐt m.S chia cho p k 2.3- C n m n s l ps Ví dụ 13: Ch÷ng minh S n 19.8n 17 l¯ mét hỵp sè víi mäi n N Nghĩ nào? Suy nghĩ thông thường ta chứng minh Sn chia hết cho số Để tìm hiểu ta sử dụng qui nạp khơng hồn tồn cách thử n=0; 1; 2;3;4… tìm qui lut Ta quan tâm đến ước nguyên tố cða S n 19.8n 17 S 36 cã íc nguyªn tè 3, S1 169 cã íc nguyªn tè 13 S 1233 cã c²c íc nguyªn tè 3, 137 S 9745 cã c²c íc nguyªn tè S 77841 cã c²c íc nguyªn tè Ta thõ mét qui luật n chia dư S n n chia cho d th× S n 13 n chia d th× S n Ta có lời giải sau: S n 19.8n 17 *) Víi n=2k (k N) ta cã S n 19.64 k 17 19 64 k 36 v× 64 k 64 m¯ S n nên S n l hợp số với mäi n=2k (k N) *) Víi n=4k+1 (k N) ta cã S n 19.84k 1 17 13.84k 1 13 6.8.84k 13.84k 1 13 48 84k 52 13 v× 84k 84 13 m¯ S n 13 nên S n l hợp số với n=4k +1(k N) *) Víi n=4k+3 (k N) ta cã S n 19.84k 3 17 20.84k 3 17 84k 3 20.84k 3 17 83 83 84k v× 84k 84 m¯ S n nªn S n l¯ hỵp sè víi mäi n=4k+3 (k N) 2.4- C VËy S n l¯ hỵp sè víi mäi n N n m n s nguyên k ôn p ả l s l y t ừa Có nhiều cách để chứng minh số tự nhiên x lũy thừa bậc n số tự nhiên b Một cách sử dụng nhiều phân hoạch b n theo số ngun Chẳng hạn khơng có số phương chia dư 2… ví dụ số 444…4 (có 2003 chữ số 4) khơng phải số phương số chia cho có dư (tổng chữ số 2003.4=3.2003+2003 chia dư 2) Thơng thường để tìm để phân hoạch ta chọn phép qui nạp khơng hồn tồn qua ví dụ cụ thể để tìm qui luật Ví dụ 14 Ch÷ng minh S n 13n.2 7n.5 26 l số phương với n N Nghĩ nào? Sử dụng qui nạp khơng hồn tồn cách thay n=0, 1, 2, ta thấy S n chia hết cho khơng chia hết cho Ta có 133-1 73-1 chia hết ta phân hoạch theo Lời giải: Gi° sõ n chia cho d r ta cã n=3k+r víi r 0;1;2 v¯ k N S n 13n.2 7n.5 26 =133k r 73k r.5 26 2.13r 133k 5.7r 73k 2.13r 5.7r 26 Ta cã 133k 133 v¯ 73k 73 XÐt Q 2.13r 5.7 r 26 Lần lượt thay r 0;1;2 vo Q ta thÊy Q nhng Q kh«ng chia hÕt cho S n chia hÕt cho nhng kh«ng chia hÕt cho Do vËy S n kh«ng thĨ l¯ sè chÝnh ph¬ng víi mäi n N 2.5- S dụn p ép c a tron v ệc ả p ƣơn tr n n ệm n uy n Nhận xét: Nguyên tắc để giải phương trình nghiệm nguyên g m bước chặn thử ( chặn tập nghiệm nhận thử giá trị vào phương trình) Để chặn tập hợp giá trị có kỹ d ng bất đẳng thức chia hết Đặc trưng để sử dụng chặn bất đẳng thức hai vế không c ng tăng giảm (vế trái tăng vế phải giảm) c ng tăng giảm vế tăng chậm cịn vế tăng nhanh Ví dụ phương trình xyz=x+y+z với x,y,z số dương Mặc d tăng giá trị x,y,z vế c ng tăng rõ ràng tích số nguyên dương tăng nhanh nhiều so với tổng số nên để xảy tập số x,y,z bị chặn lại thời điểm đó! Ví dụ 15 Tìm n để A= n.2n chia hết cho Nghĩ nào? Với nhận xét ta thấy tốn khơng thể chặn bất đẳng thức Sử dụng qui nạp khơng hồn tồn ta tìm qui luật phân hoạch n Lêi gi°i: *) Víi n=2k (k N) ta cã A=n.4 k 2k k 2k 2k (v× k 3) 3k k k 3q n 6q víi q N *) Víi n=2k+1 (k N) ta cã A=n.2 k 1 2n k 2n 2n 2k 1 4k 3 k n 6q víi q N VËy n 6q hc n 6q víi q N Ví d 16: Gii phương trình 7z x.3y víi x,y,z l¯ c²c sè tø nhiªn Nghĩ nào? Bằng nhận xét ta thấy chặn bất đẳng thức Quan sát thấy vế phải phương trình số chia hết cho với giá trị x,y nguyên dương Bài toán trở tìm dư lũy thừa chia cho Ta có lời giải sau: 7z z chia cho d x.3y chia cho d Víi x>0 v¯ y>0 th× x.3y x v¯ y>0 kh«ng l¯ nghiƯm ca phương trình Thừ vơí x=y=0 ta kết qu phương trình vô nghiệm Vớ d 17: Tìm x,y l c²c sè tø nhiªn tháa m±n 5x 2y Nghĩ nào? Sử dụng qui nạp không hồn tồn ta thấy ngồi nghiệm (x,y)=(1;2) khó tìm nghiệm khác Điều hướng ta tới việc chứng minh phương trình vơ nghiệm x>1 Ta hiểu toán theo nghĩa nào? *1) 5x y l¯ biĨu diƠn lđy thơa cða theo lđy thơa cða 2?? *2) 5x l¯ mét lđy thơa cða 2? *3) 5x chia hết cho 2? 4? 8? 16? Tới bng qui np không hon ton ta tìm qui luật chia hết Đây l sở để ta chững minh phương trình vô nghiệm Lời gii: Nếu x th× 5x 52q 25q 25 y v« lý NÕu x=2k+1 5x 52k 1 25k chia d y chia d y v× nÕu y>2 th× y Ta cã 5x 2 x Vậy phương trình cã nghiƯm nhÊt (x;y)=(1;2) Ví dụ 18: Gi°i ph¬ng trình sau tập số tứ nhiên: 2x 3y Nghĩ nào: Thoạt nhìn ví dụ 17 ví dụ 18 giống nhau! Nhưng ta thực theo nghĩ ví dụ 17 khơng ta ln tìm điều có lý ! Tìm hiểu qui nạp khơng hồn tồn ta thấy ngồi nghiệm đặc biệt x số l lớn giá trị nghiệm (Ta hiểu 2x 3y x 3y 2x chia 3y d ) Cũng sử dụng kỹ phép chia lũy thừa cho ta tìm x chẵn Điều cho phép ta đưa phương trình dạng tích- phương pháp quen thuộc giải phương trình nghiệm nguyên Lêi gi°i: NÕu y=0 ta cã x=1 NÕu y>0 ta cã 2x 3y 2x chia cho d x 2q (q N) Ta có phương trình 2q 3y q 3x q q 3x 2q 3m 3m 3n (*) 2q 3n 2 q 3n m n x (m,n N) m n x (m,n N) 3n n m n Gi°i (*) 3 mn (theo sø ph©n tÝch thơa sè nguyªn tè) 3 n x m n Thay vo phương trình ta có 2=3y y m Vậy phương trình cã nghiÖm nhÊt x;y 1;0 Vớ d 19: Gii phương trình 8x3 3y 997 víi x, y l¯ c²c sè nguyªn dương Ngh nh th no? Dùng bất đàng thữc không chặn tập nghiệm hai vế phương trình tăng gim m "vế phi tăng vế tri có hội đp ững kịp!" Do ta sừ dúng chia hết để chặn tập nghiƯm Ta hiĨu 8x3 x l¯ lËp ph¬ng cða mét sè B¯i to²n trë vỊ chia mét lđy thơa bËc cho lđy thơa cða (chia cho 3? 9? ) Ta cã lêi gi°i sau: Víi x th× 8x = x chia cho d §iỊu n¯y vô lý Thừ với cc số tứ nhiên x 1 6) (n4 -1)(n4 +15n2 +1) 35 với n N n không chia hết cho 35 7) 27n+1 – 26n – 27 125 với n N 8) Với n tự nhiên mà (n,6) = n2 - 24 9) Nếu n2 + m2 m, n chia hết cho với m, n Z 10) nn –n (n-1)2 với n Z 11) n2 – 5n – 49 không chia hết cho 169 với n Z 12) n5 – 123n3 - 116n 120 với n Z 13) n3 – 3n2 – n + 48 với n l 14) n6 + n4 – 2n2 72 với n Z 15) ( a2 +b2)( a2 - b2) 15 với a, b nguyên 16) 32 n 1 n1 17) 21 22 n 1 17 22 víi n N n1 15 kh«ng chia hÕt cho 19 víi n N 18) 32 n3 40n 27 64 víi n N 19) 32 n2 8n 16 víi n N 20) 32 n 3n l¯ hỵp sè víi n N 21) 2 n 1 +7 l¯ hỵp sè víi n N Bài 2: T×m d c²c phÐp chia số nguyên x cho số nguyên y trêng hỵp sau: 1) x=7201 v¯ y=30 2) x=3104 7203 v¯ y=11 3) x=32 n 1 v¯ y=11 Bài 3: Tìm hai chữ số tận số tự nhiên x m i trường hợp sau: 14 2012 1) x=1414 2) 299 3) 3999 2076 4) 2076 20742074 20762075 20742073 Bài 4: Tìm cc chử số a, b, c trường hỵp sau: 1) 135ab 45 2) 5) 1ab2c 1025 6) 47a5b 28 1000 0010000 0a5 37 2000chö sè ab abcde 8) 9) 3) 2a93aa 11 7) abcd 8.ab.cd 1999 chö sè abca 5c 1 10) ab a b Bài 5: Giải phương trình sau: 1) x 65 y víi x, y l¯ c²c sè tø nhiªn 2) x x 3 y y 3 z z 3 víi x, y,z l¯ c²c sè tø nhiªn 3) x14 x x 34 x134 16014 4) 2x 2x 21y 5) 3x 2003 184y 6) x 2y 8) y víi x, y l¯ c²c sè tø nhiªn víi x, y l¯ c²c sè nguyªn 7) x 2y3 4z x víi x l¯ c²c sè tø nhiªn víi x, y l¯ c²c sè tø nhiªn víi x, y l¯ c²c sè nguyªn víi x, y l¯ c²c sè tø nhiªn 9) 2x 3y víi x, y l cc số tứ nhiên dương 10) x 3y.7z víi x, y,z l¯ c²c sè tø nhiªn 11) 3x 4x 10y víi x, y l¯ c²c sè tø nhiªn 12) 22 x 21y víi x, y l¯ c²c sè tø nhiªn x 4) 6a5b 330 C- KẾT LUẬN I- KẾT QUẢ TRIỂN KHAI ĐỀ TÀI Đầu năm học 2010-2011, đăng ký với trường THCS Ph Cừ tiến hành nghiên cứu nội dung Đổi PPDH qua kỹ thuật dạy học tích cực Trong năm học qua, chuyên đề Dạy học tích cực có đóng góp cho thành công công tác đổi PPDH trường THCS Ph Cừ Trong trình triển khai đề tài hướng d n học sinh tự học chủ đề tốn, để có tài liệu học sinh đón nhận tơi rút điều sau: Phương châm: Đặt vào địa vị học sinh, coi cậu học trị suy nghĩ tìm lời giải Hiệu quả: Chọn nội dung ph hợp với đối tượng Chọn cách suy nghĩ đơn giải tiếp cận toán Khẩu hiệu Hãy làm cho tốn nhảy múa! Hình thức: Thân thiện, gần gũi * Một s kết v ệc tr ển k a ềt Kết thực nghiệm: Tổ chức thực nghiệm đề tài theo phương án sau Chọn nhóm đối tượng, m i nhóm 10 học sinh lớp có học lực giỏi mơn Tốn N m 1: Phát tài liệu nội dung chương III, giao cho học sinh tự đọc làm tập áp dụng N m 2: Phát tài liệu nội dung chương III, phần nội dung đề tài ví dụ để 19 lời giải sẵn phần tập áp dụng, không c ph n “nghĩ nào” giao cho học sinh tự đọc làm tập áp dụng (tài liệu có hình thức giống hầu hết sách tham khảo khác) Kết việc làm tập áp dụng học sinh sau: (đơn vị tính số học sinh) Cấp độ tập (so với ví dụ) ài tập tương tự ài tập vận d ng ài tập sáng tạo Mức đạt Từ Dư ới 50 % Trên Dưới 75% 50% Từ Nhóm 1 Nhóm 3 5075% Trê Dướ Từ n i 5075 50% 75% % Trên 75% 2 5075% Đánh giá kết quả: *) Một số yếu tố ảnh hưởng đến kết điều tra: - Sự đ ng trình độ nhận thức học sinh nhóm nhóm với - Cơng tác tổ chức học tập trao đổi m i nhóm *) Đánh giá kết quả: Bảng số liệu cho thấy chênh lệch rõ nét kết nhóm dạng tập vận dụng đặc biệt tập đòi hỏi vận dụng mức kỹ sáng tạo Rõ ràng phương pháp, lối tư mà đề tài đưa giúp cho người học nhiều Sau thực nghiệm, tiếp tục giao đề tài cho nhóm tài liệu nhóm kết thu khả quan Đánh giá nghiệm thu đề tài Hội đ ng khoa học trường Sau chuyên đề nghiệm thu bước đầu, Hội đ ng khoa học trường THCS Ph Cừ hiệu chuyên đề đ ng ý cho triển khai chuyên đề nhà trường Hội đ ng khoa học trường đánh giá chuyên đề sau: (trích biên nghiệm thu chuyên đề) Ưu điểm 1) Báo cáo lí thuyết - Đảm bảo đầy đủ mục tiêu, sở lí luận, sở thực tiễn nội dung chuyên đề - Trình bày ngắn gọn, khoa học, có tính thuyết phục cao - Là hướng cho nghiên cứu lý thuyết dạy học tích cực 2) Kết triển khai thực nghiệm Kết kiểm tra đánh giá việc học sinh tự học chuyên đề (thông qua kiểm tra theo đề nhóm tốn ra) cho thấy: 76% học sinh nẵm vững nội dung chuyên đề có 10% hồn thiện 85% số tập có tài liệu Quá trình thực nghiệm cho thấy nội dung chuyên đề góp phần thúc đẩy ý thức tự học học sinh Chuyên đề học sinh hào hứng đón nhận 3) nghĩa thực tiễn tính khả thi - Mang lại tính đột phá hoạt động chuyên đề, nêu cao tính nghiêm túc, chất lượng; chống tư tưởng hình thức, đối phó việc thực chuyên đề Tạo hiệu ứng tâm lý tích cực giáo viên - Tính khả thi chuyên đề cao, thực tốt điều kiện sở vật chất khác nhau, không phụ thuộc vào phương tiện đại - Lý thuyết chung chuyên đề áp dụng cho nhiều môn khác T n - Chưa rõ giải pháp tương đối cho đối tượng học sinh đại trà (một chuyên đề nhân rộng) - Trong số nội dung chưa thực thoát tư II- ĐIỀU KIỆN, KINH NGHIỆM ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Về cách thức triển khai chuyên đề viết tài liệu để hướng d n học sinh tự học cách thức áp dụng diện rộng nhiều chủ đề kiến thức môn học nhiều môn học Về nội dung cụ thể đề tài triển khai cho đối tượng học sinh giỏi lớp lớp Thực tế nhiều năm trường THCS Ph Cừ có nhiều giáo viên hướng d n học sinh tự học chủ đề kiến thức khó muốn mở rộng chủ đề kiến thức triển khai theo cách viết tài liệu hướng d n III- KHUYẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT Đối với nhà trường Tiếp tục triển khai đề tài năm tới, tiến tới hoàn thiện đề tài áp dụng cho mơn khác Đối với Phịng giáo dục Đào tạo Thường xuyên tổ chức chuyên đề phương pháp dạy học cho nhà trường Triển khai rộng đề tài đạt giải hàng năm nhiều hình thức để nhà trường tham khảo, góp ý xây dựng hồn thiện IV- KẾT LUẬN Tuy phương pháp tự học có từ lâu đời phương pháp có hiệu cho việc học tập Không lời ta khẳng định tự học chìa khóa, đường đưa ta đến thành công Tự học cách tốt giúp ta tiến học tập, mang lại kết học tập cao Nếu biết n lực tự học, thành công, mở tương lai rộng mở cho TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- 351 tốn số học chọn lọc – Nguyễn Đức Tấn, Đặng Anh Tuấn-, Trần Chí HiếuNhà xuất giáo dục- năm 1997 2- Tốn b i dưỡng học sinh giỏi phổ thơng THCS Số học – Doãn Minh Cường (chủ biên), Phạm Minh Phương, Trần Văn Tấn, Nguyễn Thị Thanh Thủy- Nhà xuất đại học sư phạm- năm 2003 DANH MỤC NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI Viết tắt Viết ĐMPPDH Đổi phương pháp dạy học GV Giáo viên HS Học sinh BĐT Bất đẳng thức STK Sách tham khảo HĐT Hằng đẳng thức Đây sáng kiến kinh nghiệm thân viết không chép nội dung người khác Phù cừ, ngày 24 tháng năm 2014 Người thực ùi Đăng Thương ... : ? ?Hướng dẫn học sinh tự học phép chia tập số nguyên? ?? * Đề tài nghiên cứu Phương pháp hướng d n học sinh tự học q trình học tập mơn Tốn * Nghiên cứu phạm vi hướng d n học sinh lớp 8,9 tự học. .. tải đề tài Hướng dẫn học sinh tự học số toán chia tập số nguyên? ?? chủ đề kiến thức tốn học tương đối khó học sinh tiếp tục hướng nghiên cứu đề tài năm học trước Tôi viết dành cho học sinh giỏi... chia có dư tập số học mà em biết (về ứng dụng phép chia tập số nguyên việc giải toán số học, k giải toán chia tập số nguyên ) Đánh giá kết điều tra: Đối với kỹ giải tốn số học hầu hết học sinh gặp