Ngoại suy trong phân tích dự báo và ứng dụng

Dự báo là một khoa học và nghệ thuật tiên đoán những sự việc sẽ xảy ratrong tương lai, trên cơ sở phân tích khoa học về các dữ liệu đã thu thập được.Khi tiến hành dự báo cần căn cứ vào v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG VĂN TRUYỀN

NGOẠI SUY TRONG PHÂN TÍCH DỰ BÁO

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG VĂN TRUYỀN

NGOẠI SUY TRONG PHÂN TÍCH DỰ BÁO

Mục lục

1.1 Khái niệm dự báo 3

1.2 Đặc điểm của dự báo 4

1.3 Các phương pháp dự báo 4

1.3.1 Phương pháp dự báo định tính 5

1.3.2 Phương pháp dự báo định lượng 5

1.4 Phương pháp ngoại suy trong dự báo 5

1.4.1 Khái niệm phương pháp ngoại suy 5

1.4.2 Các tính chất của ngoại suy 6

1.5 Các phương pháp ngoại suy 7

1.5.1 Phương pháp ngoại suy được suy ra từ nội suy 7

1.5.2 Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn 14

1.5.3 Mô hình hồi quy đa thức 17

Chương 2 Một số bài toán ứng dụng 18 2.1 Thử nghiệm dự báo trong tính toán khoa học 18

2.2 Một số dự báo trong quản lý đào tạo tại trường Đại học Khoa học 25 2.2.1 Dự báo số lượng tuyển sinh 25

2.2.2 Dự báo kết quả tuyển sinh theo từng ngành 322.2.3 Dự báo lượng tốt nghiệp của trường Đại học Khoa học 372.3 Một vài ứng dụng trong đời sống và kinh tế 40

Danh sách hình vẽ

1.1 Nội suy hàm Runge 12

1.2 Độ lệch và các đường hồi quy lý thuyết, thực nghiệm 16

2.1 Đồ thị của đa thức f (x) (Bài toán 2.1.1) 20

2.2 Đồ thị của hàm Φ(x) (Bài toán 2.1.1) 20

2.3 Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.1 và mô hình hồi quy tuyến tính của nó 21

2.4 Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.1 và mô hình hồi quy tam thức của nó 22

2.5 Phân bố các điểm dữ liệu Bảng 2.2 24

2.6 Đồ thị của đa thức f (x) (Bài toán 2.1.3) 24

2.7 Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.2 và mô hình hồi quy tuyến tính của nó 25

2.8 Đồ thị hàm f 1(x) 27

2.9 Đồ thị hàm f 2(x) 28

2.10 Đồ thị hàm f 3(x) 29

2.11 Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.3 và mô hình hồi quy tuyến tính của nó 30

2.12 Đồ thị hàm f (x) (Bài toán 2.2.2) 32

2.13 Biểu đồ số lượng thẻ ngân hàng theo các năm (Đvt: triệu thẻ) 41

2.14 Mô hình hồi quy tuyến tính số lượng thẻ ngân hàng 43

2.15 Phân bố các điểm dữ liệu Bảng 2.10 44

2.16 Đồ thị minh họa đa thức f (x) (Bài toán 2.3.2 ) 44

2.17 Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.10 và mô hình hồi quy tuyến tính của nó 45

2.18 Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.10 và mô hình hồi quy tam thức của nó 46

2.19 Đồ thị minh hoạ hàm g(x) biểu diễn giá vàng mua vào 47

2.20 Mô hình hồi quy tam thức biểu diễn giá vào mua vào 48

2.21 Đồ thị minh hoạ hàm h(x) biểu diễn giá vàng bán ra 492.22 Biểu đồ số liệu tham gia giao thông tại thành phố Hồ Chí Minh 502.23 Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn số lượng xe ô tô 512.24 Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn số lượng xe máy 512.25 Biểu đồ mức chi tiêu bình quân đầu người (Đvt: Nghìn VNĐ/người/ tháng) 522.26 Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn mức chi tiêu cho ăn uống 532.27 Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn mức chi tiêu trung bình 532.28 Biểu đồ doanh thu và tốc độ tăng trưởng ngành sữa Việt Nam(Đv: Doanh thu: nghìn tỉ đồng, tốc độ tăng trưởng: %) 542.29 Đồ thị minh họa đa thức biểu diễn tốc độ tăng trưởng ngành sữa 54

Danh sách bảng

2.1 Bảng một số giá trị của tích phân Φ(x) = 2

√π

Z x 0

e−t2dt 18

2.2 Bảng một số giá trị của tích phân f (x) = Rcos xx2 (x + t)32

et+ sin txdt . 232.3 Kết quả tuyển sinh chính quy của trường Đại học Khoa học từnăm 2003 đến năm 2015 262.4 Kết quả tuyển sinh liên thông của trường Đại học Khoa học giaiđoạn từ năm 2005 đến năm 2015 312.5 Kết quả tuyển sinh theo ngành của trường Đại học Khoa họcgiai đoạn từ năm 2009 đến năm 2015 332.6 So sánh kết quả dự báo với số liệu thực tế tuyển sinh của trườngĐại học Khoa học năm 2016 372.7 Số lượng sinh viên tốt nghiệp hệ chính quy 372.8 Sinh viên chính quy tốt nghiệp theo ngành 382.9 So sánh kết quả dự báo số lượng sinh viên tốt nghiệp K10 với

số lượng sinh viên thực tế đang học K10 402.10 Dân số của một quốc gia từ năm 1975 đến 2005 422.11 Giá vàng SJC từ tháng 3 đến tháng 9 năm 2016 (Đvt: triệuđồng/lượng) 46

Đề tài này nhằm nghiên cứu các kỹ thuật nội suy, ngoại suy và tìm các ứngdụng trong các bài toán thực tế Các bài toán chọn ở đây thuộc 3 nhóm Nhómthứ nhất là ngoại suy trên một số hàm số đã biết nhằm kiểm chứng sai số và

độ tin cậy của việc tính toán Nhóm thứ hai là vận dụng cho bài toán tuyểnsinh thực tế của Trường Đại học Khoa học Nhóm thứ ba là một số thử nghiệm

về dự báo giá cả một số lĩnh vực trong đời sống kinh tế

Bố cục luận văn được chia thành 2 chương ngoài phần mở đầu, phần kếtluận và các tài liệu tham khảo cụ thể như sau:

Chương 1: Khái quát về phân tích dự báo

Chương này trình bày về khái niệm dự báo, các đặc điểm, các phương phápngoại suy trong dự báo

Chương 2: Một số bài toán ứng dụng

Chương này trình bày một số bài toán thử nghiệm thuộc 3 nhóm bài toánnhư đã nêu trên

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Vũ Mạnh Xuân

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô, nhữngngười đã tận tâm giảng dạy và chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán

- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp

đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đãđộng viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiêncứu

Tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016

Học viên

Dương Văn Truyền

Chương 1

Khái quát về phân tích dự báo

Chương này giới thiệu khái niệm dự báo, đặc điểm, các phương pháp dựbáo thường dùng và phương pháp ngoại suy trong dự báo Các kiến thức củachương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[4] và [5]

Dự báo là một khoa học và nghệ thuật tiên đoán những sự việc sẽ xảy ratrong tương lai, trên cơ sở phân tích khoa học về các dữ liệu đã thu thập được.Khi tiến hành dự báo cần căn cứ vào việc thu thập, xử lý số liệu trong quá khứ

và hiện tại để xác định xu hướng vận động của các hiện tượng trong tương lainhờ vào một số mô hình toán học (định lượng) Tuy nhiên dự báo cũng có thể

là một dự đoán chủ quan hoặc trực giác về tương lai (định tính) và để dự báođịnh tính được chính xác hơn, người ta cố loại trừ những tính chủ quan củangười dự báo

Dù định nghĩa có sự khác biệt nào đó, nhưng đều thống nhất về cơ bản là

dự báo bàn về tương lai, nói về tương lai Dự báo trước hết là một thuộc tínhkhông thể thiếu của tư duy của con người, con người luôn luôn nghĩ đến ngàymai, hướng về tương lai Trong thời đại công nghệ thông tin và toàn cầu hóa,

dự báo lại đóng vai trò quan trọng hơn khi nhu cầu về thông tin thị trường,tình hình phát triển tại thời điểm nào đó trong tương lai càng cao Dự báođược sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, mỗi lĩnh vực có một yêu cầu về

dự báo riêng nên phương pháp dự báo được sử dụng cũng khác nhau

1.2 Đặc điểm của dự báo

Không có cách nào để xác định tương lai là gì một cách chắc chắn (tínhkhông chính xác của dự báo) Dù phương pháp chúng ta sử dụng là gì thì luôntồn tại yếu tố không chắc chắn cho đến khi thực tiễn diễn ra

Đến thế kỷ XVI, XVII khi mà các môn khoa học tự nhiên như toán học,hóa học, vật lý học xuất hiện Lúc đầu, dự báo với độ chính xác cao thường

áp dụng vào trong vật lý cổ điển, hóa học và đặt trong phạm vi không gian vàthời gian rất khắt khe Sau đó, sự xuất hiện nhiều dự báo mà hiện tượng dựbáo rất phức tạp, chịu sự tác động của nhiều yếu tố: sự tiến bộ của khoa học

- kỹ thuật, sự phát triển của kinh tế - xã hội, chính trị, sự thay đổi về tâm lý

và chuẩn mực đạo đức xã hội đòi hỏi dự báo phải vận dụng các phương phápthống kê xác suất (dự báo với độ tin cậy nào đó chứ không phải là chính xáchoàn toàn)

Trong dự báo, luôn luôn có các điểm mù Chúng ta không thể dự báo mộtcách chính xác hoàn toàn điều gì sẽ xảy ra trong tương lai Hay nói cách khác,không phải cái gì cũng có thể dự báo được nếu chúng ta thiếu hiểu biết về vấn

đề cần dự báo

Có nhiều học giả có cách phân loại phương pháp dự báo khác nhau Tuynhiên theo học giả Gordon, trong hai thập kỷ gần đây, có 8 phương pháp dựbáo được áp dụng rộng rãi trên thế giới:

- Tiên đoán

- Ngoại suy xu hướng

- Phương pháp chuyên gia

1.3.1 Phương pháp dự báo định tính

Phương pháp này dựa trên cơ sở nhận xét của những yếu tố liên quan, dựatrên những ý kiến về các khả năng có liên hệ của những yếu tố liên quan nàytrong tương lai Phương pháp định tính có liên quan đến mức độ phức tạp khácnhau, từ việc khảo sát ý kiến được tiến hành một cách khoa học để nhận biếtcác sự kiện tương lai hay từ ý kiến phản hồi của một nhóm đối tượng hưởnglợi (chịu tác động) nào đó

1.3.2 Phương pháp dự báo định lượng

Mô hình dự báo định lượng dựa trên số liệu quá khứ, những số liệu này giả

sử có liên quan đến tương lai và có thể tìm thấy được Tất cả các mô hình dựbáo theo định lượng có thể sử dụng thông qua chuỗi thời gian và các giá trịnày được quan sát đo lường các giai đoạn của từng chuỗi

Tuy nhiên hiện nay thông thường khi dự báo người ta thường hay kết hợp

cả phương pháp dự báo định tính và định lượng để nâng cao mức độ chính xáccủa dự báo Bên cạnh đó vấn đề cần dự báo đôi khi không thể thực hiện đượcthông qua một phương pháp dự báo đơn lẻ mà đòi hỏi kết hợp nhiều hơn mộtphương pháp nhằm mô tả đúng bản chất của dự báo

Một phương pháp được áp dụng để dự báo là phương pháp ngoại suy Trongmục tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày phương pháp ngoại suy trong dự báo

1.4.1 Khái niệm phương pháp ngoại suy

Định nghĩa 1.4.1 Ngoại suy là dựa trên những số liệu đã có về một đối tượngđược quan tâm để đưa ra suy đoán hoặc dự báo về hành vi của đối tượng đótrong tương lai

Ngoại suy có 2 dạng chính là ngoại suy theo số liệu lát cắt và ngoại suytheo chuỗi số liệu lịch sử

Ngoại suy theo số liệu lát cắt: Là dựa trên hành vi của một số thành phầntại một thời điểm nào đó để ngoại suy về hành vi của các thành phần kháccũng tại thời điểm đó

Ngoại suy theo chuỗi số liệu: Là dựa trên chuỗi số liệu lịch sử và sử dụng

kỹ thuật kinh tế lượng để đưa ra dự báo đối với biến quan tâm Giả thiết cơ

bản là hành vi của biến được dự báo sẽ tiếp tục trong tương lai như đã diễn

ra trong quá khứ

1.4.2 Các tính chất của ngoại suy

Tính chất 1.4.2 Ngoại suy mang tính chất xác suất Mỗi đối tượng dữliệu ngoại suy đều vận động theo một quy luật nào đó, một quỹ đạo nhất địnhnào đó, đồng thời trong quá trình phát triển nó luôn luôn chịu sự tác động củamôi trường, hay các yếu tố bên ngoài Bản thân môi trường hay các yếu tố tácđộng cũng không phải là đứng im mà luôn luôn trong trạng thái vận động vàphát triển không ngừng, về phía chủ thể dữ liệu ngoại suy, những thông tinhiểu biết về đối tượng ở tương lai bao giờ cũng nghèo nàn hơn hiện tại Vì vậy

dù các thuật toán ngoại suy có hoàn thiện, có tin cậy đến đâu cũng không thểchắc chắn rằng các dữ liệu ngoại suy là hoàn toàn chính xác Hay nói một cáchkhác ngoại suy dữ liệu bao giờ cũng mang tính xác suất

Tính chất 1.4.3 Ngoại suy dữ liệu là đáng tin cậy Ngoại suy mang tínhxác suất nhưng đáng tin cậy vì nó dựa trên những cơ sở lý luận và phươngpháp luận khoa học Đó là phép biện chứng duy vật và lịch sử, hệ thống các lýluận về khoa học, về kinh tế và xã hội Phương pháp và công cụ xử lý thôngtin ngày càng hiện đại Xét về mặt bản chất, ngoại suy dữ liệu là sự phản ảnhvượt trước, là những giả thiết về sự phát triển của dữ liệu ngoại suy trongtương lai được đưa ra trên cơ sở nhận thức các quy luật phát triển và nhữngđiều kiện ban đầu với tư cách là những giả thiết Theo đà phát triển của khoahọc kỹ thuật, trình độ nhận thức quy luật và các điều kiện ban đầu ngày càngđược hoàn thiện thì độ tin cậy của dữ liệu ngoại suy cũng không ngừng đượcnâng cao độ tin cậy

Tính chất 1.4.4 Ngoại suy dữ liệu mang tính chất đa kết quả Mỗiphương pháp ngoại suy được thực hiện trên những giả thiết nhất định – ngoạisuy có điều kiện Tập hợp các giả thiết như vậy gọi là phông dữ liệu ngoại suy.Ngoại suy có thể được tiến hành trên các phông dữ liệu ngoại suy khác nhau,

do những nguyên nhân chủ quan và khách quan khác nhau và vì vậy có thể

có nhiều kết quả ngoại suy khác nhau Tính đa kết quả một mặt là thuộc tínhkhách quan của dữ liệu ngoại suy, nhưng mặt khác lại là phù hợp với yêu cầucủa công tác quản lý, nó làm cho việc ra quyết định cũng như chỉ đạo thựchiện quyết định quản lý trở nên linh hoạt hơn, dễ thích nghi với sự biến đổi vôcùng phức tạp của tình hình thực tế

1.5 Các phương pháp ngoại suy

Trong tiểu mục này chúng tôi nêu một số phương pháp ngoại suy thườngdùng như: phương pháp ngoại suy suy ra từ nội suy, phương pháp hồi quytuyến tính đơn và mô hình hồi quy đa thức

1.5.1 Phương pháp ngoại suy được suy ra từ nội suy

Chúng ta biết rằng nội suy là một bài toán cơ bản của giải tích số Trong

đó một trường hợp thường gặp của bài toán này là cần phục hồi hàm số f (x)đối với mọi điểm x ∈ [a, b] trong khi chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm

x0, x1, , xn ∈ [a, b] Những giá trị này thường là các giá trị quan sát, hoặc

đo đạc được

Bài toán nội suy hàm số một biến được phát biểu như sau: Trên đoạn [a, b]cho các điểm nút a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b và tại các điểm này cho các giátrị f (xi) với i = 0, 1, , n của hàm f (x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính vàtrùng với hàm f (x) tại các điểm nút trên, nghĩa là

g(xi) = f (xi) với i = 0, 1, , n (1.1)Sau khi xây dựng được hàm g(x) ta sẽ dùng nó để tính giá trị tại các đầu mútngoài đoạn [a, b] Đó chính là phương pháp dùng nội suy để suy ra ngoại suy.Dưới đây chúng tôi nêu hai phương pháp nội suy kinh điển là phương pháp nộisuy Newton và phương pháp nội suy Lagrange

Phương pháp nội suy Lagrange

Đa thức Lagrange là một phương pháp thay thế hữu hiệu để giải đồng thờicác phương trình từ ràng buộc rằng đa thức phải đi qua các giá trị dữ liệu.Cho các nút nội suy

Từ điều kiện nội suy

Pn(xi) = f (xi) với i = 0, 1, , n (1.3)Cho ta hệ phương trình để xác định các hệ số Ck với k = 0, 1, , n

C0 + C1x0 + + Cnxn0 = f (x0)

(1.4)

C0 + C1xn+ + Cnxnn = f (xn)

Hệ (1.4) có nghiệm duy nhất nên đa thức nội suy (1.2) luôn tồn tại duy nhất

Để xây dựng công thức tính đa thức (1.2) mà không cần giải hệ (1.4) ta xétcác đa thức bậc n có dạng

? Sai số của phép nội suy đa thức Lagrange: Đánh giá sai số tức là

ta cần đánh đánh giá độ lệch |f (x) − Pn(x)|, sai số này được cho Định lý sau

Định lý 1.5.1 Giả sử hàm số f (x) ∈ Cn+1[a, b], tức là có đạo hàm liên tụcđến cấp n + 1 trên [a, b] chứa tất cả các nút nội suy xi với i = 0, 1, , n Khi

đó sai số của nội suy Rn(x) = f (x) − Pn(x) có dạng

và x là điểm cần đánh giá sai số

Chứng minh Nếu x trùng với một trong các nút nội suy thì Rn(x) = 0 Vì thế

ta chỉ xét sai số Rn(x) khi x 6= xi với i = 0, 1, , n Khi đó ωn+1(x) 6= 0 Xéthàm với biến số z:

F (z) = Rn(z) − kωn+1(z) (1.10)Hằng số k được chọn từ điều kiện F (x) = 0, nghĩa là

k = Rn(x)

ωn+1(x) =

f (x) − Pn(x)

Mặt khác, F (xi) = 0 với i = 0, 1, , n nên F (z) có n + 2 nghiệm phân biệt

x, x0, x1, , xn Theo Định lý Rolle thì F0(z) có ít nhất n + 1 nghiệm, ,

F(n+1)(z) có ít nhất 1 nghiệm Giả sử nghiệm đó là ξ, rõ ràng ξ = ξ(x) và nằmtrong [a, b] Như vậy

Phương pháp nội suy Newton

Phương pháp nội suy Newton xây dựng một đa thức dựa vào các điểm dữliệu cho trước Nếu có n + 1 giá trị (từ 0 đến n), ta có xây dựng một đa thứcduy nhất Pn có bậc n mà đi qua tất cả n + 1 điểm

Cho một tập n + 1 điểm

((x0, y0) = f (x0)), , ((xn, yn) = f (xn)), (1.12)trong đó các điểm xi là phân biệt Ta dễ dàng xác định đa thức nội suy nếu taxây dựng nó dưới dạng sau

Pn(x) = C0+C1(x−x0)+C2(x−x0)(x−x1)+ .+Cn(x−x0)(x−x1) · · · (x−xn−1)

(1.13)Bây giờ dùng điều kiện nội suy Pn(xi) = f (xi) ta thu được hệ phương trình hệ

số Ci như sau

f (x1) = C0 + C1(x1− x0), (1.15)

f (x2) = C0 + C1(x1− x0) + C2(x2 − x0)(x2− x1), (1.16)

f [x0], f [x1, x0], f [x2, x1, x0], và được gọi là các tỉ sai phân bậc 0 tại điểm x0,bậc 1 tại điểm x0, x1, bậc 2 tại điểm x0, x1, x2, Tỉ sai phân bậc k của hàm

f tại x0, x1, , xk là

f [xk, xk−1, , x0] = f [xk, xk−1, , x0] − f [xk−1, xk−2, , x1]

xk− x0Theo đó ta có thể viết

Pn(x) = f [x0] + f [x1, x0](x1 − x0) + f [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1)+

+ f [xn, xn−1, , x0](x − x0)(x − x1) (x − xn−1) (1.21)

? Sai số của đa thức nội suy Newton : Từ định nghĩa các tỷ sai phânviết cho hàm f (x), tương tự như trên ta thu được

f (x) =f [x0] + f [x1, x0](x1 − x0) + f [x2, x1, x0](x − x0)(x − x1)+

+ f [xn, xn−1, , x0](x − x0)(x − x1) (x − xn−1)+ f [xn, xn−1, , x0](x − x0)(x − x1) (x − xn)

So với (1.21) ta thấy

f (x) = Pn(x) + ωn+1(x)f [xn, xn−1, , x0],trong đó,

ωn+1(x) = (x − x0)(x − x1) (x − xn) =

n

Y

i=0(x − xi)

Theo công thức (1.8) ta có:

Rn(x) = f

(n+1)(ξ)(n + 1)! ωn+1(x),vậy

f [xn, xn−1, , x0] = f

(n+1)(ξ)(n + 1)! ωn+1(x), ξ ∈ (a, b).

Hiện tượng Runge

Khi một hàm f được xấp xỉ trên đoạn [a, b] bằng phương pháp nội suy đathức P , sự khác biệt giữa f và P (theo lý thuyết) sẽ bằng không tại các điểmnội suy Một cách tự nhiên, ta mong rằng hàm f sẽ được xấp xỉ tốt tại cácđiểm ở giữa, khi số điểm tăng lên, phép nội suy này sẽ trở nên tốt hơn

Hiện tượng Runge là một vấn đề xảy ra khi sử dụng phép nội suy đa thứcvới các đa thức bậc cao Nó được phát hiện bởi Carl David Tolme Runge khinghiên cứu dáng điệu sai số khi sử dụng phép nội suy đa thức để xấp xỉ cáchàm trơn và đơn giản nhất định.

Một ví dụ cụ thể của hiện tượng đáng chú ý này là hàm Runge:

Để sử dụng phương pháp Newton, ta chọn 11 điểm cách đều nhau (tức là,

ta tìm đa thức nội suy cấp 10)

Trong đoạn [a, b], tập n điểm cách đều nhau là

xi = a + (i − 1)b − a

n − 1, 1 ≤ i ≤ n. (1.24)

Hình 1.1: Nội suy hàm Runge

Như minh họa trong Hình 1.1, đường cong thu được nhận giá trị âm, màhiển nhiên, f (x) không có Cụ thể hơn, đường nội suy thu được dao động dần

về đầu mút của khoảng Khi thêm càng nhiều điểm ta sẽ thu được đa thức bậccao hơn và điều này chỉ làm vấn đề trở nên tồi tệ hơn với độ dao động rộnghơn Vì vậy trong các bài toán ở Chương 2 chúng tôi chỉ chọn một số nút nộisuy đáng tin cậy để thành lập đa thức nội suy

Ví dụ 1.5.3 Tìm đa thức nội suy hàm y = 3x trên đoạn [−1, 1] dựa vào cácgiá trị của hàm tại các điểm x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1 Sử dụng đa thức nàytính giá trị gần đúng tại x = 1

2 và x =

5

4.Giải Ta có đa thức nội suy Lagrange như sau:

P2(x) = 1

3

x(x − 1)(−1)(−1 − 1) + 1

(x + 1)(x − 1)1(−1) + 3

Tính giá trị của đa thức khi x = 1

Ví dụ 1.5.5 Cho quan hệ y = f (x) bởi

Giải 1) Lập bảng tỉ sai phân

Khi đó ta có đa thức nội suy Newton

P4(x) = 4.2557 + 1.5909(x − 1.3) + 0.4020(x − 1.3)(x − 2.8)

− 0.1302(x − 1.3)(x − 2.8)(x − 4.5)+ 0.0410(x − 1.3)(x − 2.8)(x − 4.5)(x − 6.3)

= 0.0410x4− 0.7411x3+ 4.64879x2 − 9.310845x + 10.01444

1.5.2 Phương pháp hồi quy tuyến tính đơn

Hồi quy tuyến tính là một phương pháp thống kê mà cho ta tóm tắt vànghiên cứu mối quan hệ giữa hai biến liên tục (định lượng):

• Một biến ký hiệu bằng x được gọi là biến dự báo, giải thích hoặc biến độclập

• Một biến ký hiệu bằng y được gọi là biến phản hồi, kết quả hoặc biến phụthuộc

Giả sử dữ liệu gồm các điểm (xi, yi) với i = 1, 2, , n Chúng ta cần tìmmột hàm f nào đó thỏa mãn yi = f (xi) Vậy có thể giả thiết rằng giá trị trungbình Y của biến phụ thuộc y tại mức x thỏa mãn quan hệ

với E là giá trị kỳ vọng của biến Y

Để tổng quát hóa, chúng ta dùng mô hình xác suất bằng cách coi Y là biếnngẫu nhiên mà ứng với giá trị x của biến X thì

với ε là sai số ngẫu nhiên, hay là hệ số nhiễu có giá trị kỳ vọng bằng 0

Ta xét trường hợp đơn giản nhất, cũng rất hay xảy ra trong thực tế, khi

yn = a + bxn+ εn

Để khảo sát mô hình chúng ta phải tiến hành các thí nghiệm, các phép đođạc hay các phép quan sát, gọi chung là quan sát, để có bộ số liệu {(xi, yi)}.Thông qua bộ số liệu này, người ta đưa ra các xấp xỉ (ước lượng) tốt cho cáctham số Mô hình với các hệ số hồi quy a, b đã được ước lượng được gọi là môhình thực nghiệm Dùng mô hình thực nghiệm chúng ta có thể tiến hành một

số dự đoán, tính các giá trị cực trị cũng như các khía cạnh khác của vấn đề.Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu là phương pháp tối ưuhóa để chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổngcác sai số thống kê giữa đường khớp và dữ liệu

Bây giờ giả sử các biến ngẫu nhiên y1, , yn nhận các giá trị cụ thể nào

đó, vẫn ký hiệu là y1, , yn Khi đó

thể hiện độ lệch quan sát thứ i so với đường hồi quy lý thuyết (xem Hình 1.2).Tổng bình phương độ lệch

thể hiện “chất lượng” của việc xấp xỉ số liệu bởi đường hồi quy lý thuyết Takhông thể biết đường hồi quy lý thuyết, việc ta có thể làm là tìm các hệ số a, bđể

`(a, b) =

n

X

i=1(yi − (axi+ b))2 → min (1.29)

Hình 1.2: Độ lệch và các đường hồi quy lý thuyết, thực nghiệm

Vì `(a, b) là đa thức bậc 2 của ẩn a, b, điều kiện cần để nó đạt cực tiểu là

Với các ước lượng này ta được phương trình hồi quy thực nghiệm

Phương pháp tìm các ước lượng hệ số như trên gọi là phương pháp bình phươngcực tiểu Các phương trình (1.28)-(1.33) áp dụng với mọi giá trị cụ thể của biếnngẫu nhiên y1, , yn nên chúng cũng đúng cho các biến ngẫu nhiên này

1.5.3 Mô hình hồi quy đa thức

Một mô hình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính theo tham số Do đó

mô hình

Y = β0 + β1x + β2x2 + εcũng là mô hình tuyến tính Thật ra, chúng là đa thức bậc hai một biến.Các mô hình đa thức có thể được sử dụng trong những tình huống mà cácmối quan hệ giữa biến phản hồi và biến giải thích là đường cong Đôi khi mộtmối quan hệ phi tuyến trong một phạm vi nhỏ của biến giải thích cũng có thểđược mô hình hóa bởi các đa thức

Mô hình đa thức bậc k một biến có dạng

Y = β0 + β1x + β2x2 + + βkxk+ ε

Nếu xj = xj, j = 1, 2, , k, thì mô hình là mô hình hồi quy tuyến tính bội theo

k biến giải thích x1, x2, , xk Do đó mô hình hội quy tuyến tính Y = Xβ + εbao gồm cả mô hình hồi quy đa thức Do đó, các kỹ thuật dùng cho mô hìnhhồi quy tuyến tính có thể được dùng cho các mô hình hồi quy đa thức

Ví dụ

Y = β0 + β1x + β2x2 + ε

là mô hình hồi quy đa thức một biến và được gọi là mô hình bậc hai hay môhình tam thức Các hệ số β1 và β2 tương ứng được gọi là tham số ảnh hưởngtuyến tính và tham số ảnh hưởng bậc hai

Chương 2

Một số bài toán ứng dụng

Chương này trình bày một số bài toán ứng dụng Trước tiên là ngoại suytính giá trị một vài hàm số đã biết để kiểm chứng Kế tiếp là ứng dụng trongcông tác tuyển sinh và quản lý đào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên Cuối cùng là một vài ứng dụng trong đời sống và kinh tế Việctính toán được thực hiện bởi Maple, một phần mềm làm toán rất hữu hiệu

Trong mục này chúng tôi trình bày một số bài toán thử nghiệm áp dụng cácphương pháp ngoại suy được trình bày ở chương trước để dự báo trong tínhtoán khoa học

Bài toán 2.1.1 Một số giá trị của tích phân xác suất Φ(x) = 2

√π

Z x 0

e−t2dtđược cho trong Bảng 2.1

Hãy tính gần đúng Φ(1.43), Φ(2.01) Đánh giá sai số

Giải Chúng ta dùng phần mềm Maple để tìm đa thức nội suy bằng lệnhPolynomialInterpolation trong thư viện CurveFitting như sau

PolynomialInterpolation([[1, 0.8427], [1.1, 0.8802], [1.2, 0.9103],

[1.3, 0.934], [1.4, 0.9523], [1.5, 0.9661], [1.6, 0.9763],[1.7, 0.9838], [1.8, 0.9891], [1.9, 0.9928], [2, 0.9953]], x)Kết quả thu được là đa thức nội suy bậc 10

f (x) = −17.08554894 ∗ x10+ 252.1496330 ∗ x9 − 1665.014296 ∗ x8

+ 6477.930741 ∗ x7− 16444.29642 ∗ x6+ 28459.11025 ∗ x5

− 34005.14284 ∗ x4 + 27700.82140 ∗ x3− 14723.56714 ∗ x2+ 4611.999034 ∗ x − 646.0621154

Ta có giá trị gần đúng

Φ(1.43) ≈ f (1.43) = 0.9568743987Φ(2.01) ≈ f (2.01) = 0.9952421349

Dựa vào kết quả trên ta thấy 1.4 < 1.43 < 1.5 nên giá trị f (1.4) = 0.9523 <

f (1.43) = 0.9568743987 < f (1.5) = 0.9661 là hoàn toàn phù hợp Tuy nhiên,2.01 > 2.0 nhưng f (2.01) = 0.9952421349 lại nhỏ hơn f (2.0) = 0.9953 Từ đó

ta thấy đa thức nội suy có thể được dùng để tính gần đúng giá trị nằm trongkhoảng nội suy rất chính xác, tuy nhiên dùng đa thức nội suy để tính giá trịnằm ngoài khoảng nội suy có thể không chính xác bằng Trong trường hợp này,chúng tôi dùng phần mềm Maple để tính Φ(2.01) và được kết quả như sauPhi := (x) -> 2*(int(exp(-t^2), t = 0 x))/sqrt(Pi)

evalf(Phi(2.01))

0.9955248493Vậy Φ(2.01) = 0.9955248493 > f (2.01) = 0.9952421349 Đồ thị của hàm Φ(x)

và đa thức f (x) trong đoạn u[1, 2] được vẽ trong Hình 2.1-2.2 dưới đây Chúng

ta nhận thấy rằng hình dáng của hai đồ thị là tương tự nhau Điều này chothấy với kiểu dữ liệu đã cho phương pháp ngoại suy được suy ra từ nội suy làkhá chính xác

Để so sánh với phương pháp ngoại suy được suy ra từ nội suy với phươngpháp hồi quy tuyến tính và hồi quy tam thức chúng tôi vẫn sử dụng bộ số liệucủa Bài toán 2.1.1 để tính toán thử nghiệm

Bài toán 2.1.2 Vẫn những dữ liệu như ở Bài toán 2.1.1, dùng hồi quy tuyếntính và hồi quy tam thức để tính gần đúng Φ(1.43), Φ(2.01)

Hình 2.1: Đồ thị của đa thức f (x)

(Bài toán 2.1.1).

Hình 2.2: Đồ thị của hàm Φ(x) (Bài toán 2.1.1).

Giải Ta dùng phần mềm Maple để tìm mô hình hồi quy tuyến tính

with(plots):

F := plot(f(t), t = 1 2):

G := plot(X, Y, style = point):

display({F, G})

Hình 2.3: Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.1 và mô hình hồi quy tuyến tính của nó.

Dựa vào hình minh họa trên ta thấy dữ liệu điểm có dáng điệu của mộtparabol, tuy nhiên dáng điệu của hàm cho bởi phương pháp hồi quy tuyến tínhđược cho bởi một đường thẳng của hàm bậc nhất

Tiếp theo ta dùng mô hình hồi quy tam thức để ngoại suy

G := plot(g(t), t = 1 2):

H := plot(X, Y, style = point):

display({G,H})

Hình 2.4: Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.1 và mô hình hồi quy tam thức của nó.

Như vây, qua hai ví dụ này ta có thể thấy rằng với cùng một bộ dữ liệu màsửa dụng các phương pháp ngoại suy khác nhau thì sẽ cho các kết quả khácnhau, kéo theo sai số cũng khác nhau Do đó, với mỗi kiểu dữ liệu chúng tanên xem xét để chọn một phương pháp ngoại suy phù hợp để giảm sai số

Bài toán 2.1.3 Xét hàm số sau

Do đó, đa thức nội suy là

f (x) = 44.09910357x8− 625.9740065x7 + 3818.706874x6 − 13066.60249x5+ 27412.00750x4− 36089.40000x3+ 29118.74360x2− 13166.69770x+ 2555.434680

Tính toán ta được

f (2.8) = 13.09485293Sai số của phép ngoại suy so với giá trị đúng của hàm số tại nút 2.8 là 4.25399

Rõ ràng với bộ dữ liệu này khi sử dụng phương pháp nội suy để suy ra ngoạisuy cho sai số rất lớn Chúng ta tiếp tục kiểm tra với phương pháp hồi quytuyến tính trong Bài toán 2.1.4

Hình 2.5: Phân bố các điểm dữ liệu

Bảng 2.2.

Hình 2.6: Đồ thị của đa thức f (x) (Bài toán 2.1.3).

Bài toán 2.1.4 Áp dụng phương pháp hồi quy tuyến tính cho hàm số ở Bàitoán 2.1.3 sử dụng các quan sát trong Bảng 2.2

Sử dụng phần mềm Maple để tính toán thu được

Hình 2.7: Đồ thị so sánh dữ liệu trong Bảng 2.2 và mô hình hồi quy tuyến tính của nó.

Đại học Khoa học

Đối với mỗi trường Đại học thì việc tuyển sinh là một trong những vấn

đề có tầm quan trọng nhất và dự báo lượng tuyển sinh cũng như lượng tuyểnsinh theo ngành là việc làm hết sức cần thiết Bên cạnh đó tỉ lệ tốt nghiệp củatrường theo mỗi năm cũng là con số rất được quan tâm Vì vậy trong mục nàychúng tôi sử dụng các phương pháp ngoại suy trình bày ở trên để dự báo lượngtuyển sinh và lượng tốt nghiệp năm 2016 của trường Đại học Khoa học

2.2.1 Dự báo số lượng tuyển sinh

Bài toán 2.2.1 Kết quả tuyển sinh hệ chính quy của trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên qua các năm được thống kê trong Bảng 2.3 Nhìnvào bảng dữ liệu ta thấy từ năm 2003 đến năm 2009 có sự tăng trưởng đều đặn

về số lượng sinh viên được tuyển sinh Tuy nhiên, trong các năm 2007 và năm

2009 có sự nhảy vọt về số lượng sinh viên Số lượng sinh viên tăng gần nhưgấp đôi Năm 2010 có sự giảm mạnh về số lượng sinh viên được tuyển sinh