Xu li th so 4

4.6 Sự thay đổi tốc độ lấy mẫu trình xử lý thời gian-rời rạc Chúng ta thấy tín hiệu thời gian-liên tục x c(t) đợc biểu diễn tín hiệu thời gian-rời rạc bao gồm dãy mẫu x[n] = xc(nT) (4.69) Các thảo luận trớc , x[n] không thu đợc cách nguyên gốc lấy mẫu, luôn sử dụng công thức nội suy giới hạn dải phơng trình (4.25) để tìm tín hiệu giới hạn dải thời gian- liên tục x r(t) mà mẫu x[n] = xc(nT) Điều cần thiết thay đổi tốc độ lấy mẫu tín hiệu thời gian-rời rạc, tức để thu đợc biểu diễn thời gian-rời rạc tín hiệu thời gian -liên tục sở dới dạng x'[n] = xc(nT') (4.70) T' T Một phơng pháp gần để thu nhận đợc dãy x'[n] từ x[n] khôi phục lại xc(t) từ x[n] cách sử dụng phơng trình 4.25 sau lấy mẫu lại xc(t) với chu kỳ lấy mẫu T' để thu đợc x'[n] Tuy nhiên, thờng phơng pháp vừa ý, mạch lọc khôi phục lại tơng tự , chuyển đổi D/ C, chuyển đổi C / D đợc sử dụng để thực thi thực tế lại không lý tởng Vì , ngời ta quan tâm đến việc khảo sát phơng pháp thay đổi tốc độ lấy mẫu để giải phép toán thời gian-rời rạc 4.6.1 Sự giảm bớt tốc độ lấy mẫu thừa số nguyên Tốc độ lấy mẫu dãy đợc giảm bớt "lấy mẫu" nó, có nghĩa nhờ việc định nghĩa dãy xd[n] = x[nM] = xc(nMT) (4.71) Phơng trình 4.71 xác định hệ thống đợc vẽ hình 4.20, đợc gọi nén tốc độ lấy mẫu ( xem Crochiere Rabiner 1983 ) đơn giản nén Từ phơng trình (4.71) thấy rõ ràng x d[n] đồng với dãy thu đợc từ xc(t) lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu T' = MT Hơn nữa, X c(j) = với || N , xd[n] biểu diễn xác x c(t) / T' = /() N Có nghĩa tốc độ lấy mẫu đợc giảm bớt thừa số M mà chồng phổ tốc độ lấy mẫu gốc M lần tốc độ Nyquist, hoặc, trớc hết độ rộng dải dãy đợc giảm bớt thừa số M nhờ vào việc lọc thời gian-rời rạc Nói chung, phép làm giảm tốc độ lấy mẫu (bao gồm lọc trớc đó) đợc gọi lấy mẫu giảm (downsampling) Cũng nh trờng hợp lấy mẫu tín hiệu- thời gian liên tục, việc thu đợc hệ thức lĩnh vực tần số lối vào lối nén ích lợi Tuy nhiên, lần , hệ thức biến đổi Fourier thời gian-rời rạc Mặc dù có nhiều phơng pháp đợc sử dụng để đa kết mong muốn, nhng dựa kết thu đợc từ lấy mẫu tín hiệu thời gian-liên tục để đa kết Trớc tiên, cần nhắc lại phép biến đổi Fourier thời gian-rời rạc x[n] = x c(nT) k j X c j( ) X(e ) = (4.72) T k = T T Tơng tự, biến đổi Fourier thời gian-rời rạc x d[n] = x[nM] = xc(nT') với T' = MT 217 r X c j( Xd(e ) = (4.73) T r = T T' Bây giờ, T' = MT, nên viết phơng trình (4.73 ) nh sau r j X c j( ) Xd(e ) = (4.74) MT r = MT MT Để tìm đợc mối quan hệ phơng trình (4.74) (4.72), cần lu ý số tổng phơng trình (4.74) đợc biểu thị nh sau r = i + kM (4.75) k i số nguyên , < < i M - Rõ ràng r số nguyên thay đổi từ - đến , nhng bây giờ, phơng trình (4.74) đợc biểu thị dới dạng M 1 k i j ) Xd(e ) = (4.76) X c j( M i = T k = MT T MT Số hạng bên ngoặc vuông phơng trình (4.76) đợc ghi nhận từ phơng trình (4.72) nh sau i k j(2i)/M X c j( ) X(e )= (4.77) T k = MT T Vì thế, biểu thị phơng trình (4.76) dới dạng M j X ( e j( / M / M ) ) Xd(e ) = (4.78) M i =0 Có tơng tự lớn phơng trình (4.72) (4.78): Phơng trình (4.72) biểu thị biến đổi Fourier dãy mẫu x[n] (với chu kỳ T) theo số hạng biến đổi Fourier tín hiệu thời gian-liên tục x c(t); Phơng trình 4.78 biểu thị biến đổi Fourier dãy đợc lấy mẫu thời gian-rời rạc xd[n] ( với chu kỳ lấy mẫu M) theo số hạng biến đổi Fourier dãy x[n] Nếu so sánh phơng trình (4.73) (4.78), thấy X d(ej) đợc coi nh bao gồm vô số phiên X c(j) , tần số đợc định mức qua = ' bị dịch chuyển số nguyên lần 2/T' ( phơng trình (4.73)), M biến đổi Fourier tuần hoàn X(e j) , tần số đợc định mức M bị dịch chuyển số nguyên lần 2( phơng trình 4.78)) Cả hai giải thích cho thấy rõ X d(ej) tuần hoàn với chu kỳ ( nh tất biến đổi Fourier thời gian- rời rạc) chồng phổ tránh đợc chắn X(ej) đợc giới hạn dải , tức là: X(ej) = || (4.79) / Sự lấy mẫu giảm đợc minh họa hình 4.21 Hình 4.21(a) biến đổi Fourier tín hiệu thời gian-liên tục giới hạn dải, hình 4.21(b) biến đổi Fourier dãy xung lấy mẫu chu kỳ lấy mẫu T, Hình 4.21(c) X(ej) đợc liên hệ với hình 4.21(b) qua phơng trình (4.18) Nh luôn thấy, hình 4.21(b) (c) khác thang chia biến số tần số Hình 4.21(d) cho thấy biến đổi Fourier thời gian-rời rạc dãy đợc lấy mẫu giảm M = Chúng ta vẽ biến đổi Fourier nh hàm số tần số đợc chuẩn hoá = T' Cuối cùng, hình 4.21(e) j 218 biến đổi Fourier thời gian-rời rạc dãy đợc lấy mẫu giảm đợc vẽ nh hàm số biến số tần số thời gian -liên tục Hình 4.21(e) đồng với hình 4.21(d), ngoại trừ thang chia trục tần số qua hệ thức = /T' Trong ví dụ này, 2/ = 4N ; tức là, tốc độ lấy mẫu gốc, xác gấp hai lần tốc độ cực tiểu để tránh chồng phổ Vì thế, dãy gốc đợc lấy mẫu với tốc độ lấy mẫu giảm thừa số M = 2, kết chồng phổ Nếu trờng hợp mà thừa số lấy mẫu giảm mà lớn 2, chồng phổ xảy ra, nh minh họa hình 4.22 Hình 4.22(a) biến đổi Fourier thời gian-liên tục x c(t), hình 4.22(b) cho thấy biến đổi Fourier thơì gian-rời rạc dãy x[n] = x c(nT), 2/ = 4N Vì N = NT = /2 Bây giờ, lấy mẫu giảm thừa số M = 3, thu đợc dãy xd[n] = x[3n] = xc(3nT) mà biến đổi Fourier đợc vẽ hình 4.22(c) với tần số chuẩn hoá = T' Cần ý MN =3 /2 lớn , nên chồng phổ xảy Nói chung , để tránh chồng phổ lấy mẫu giảm với thừa số M phải đòi hỏi điều kiện N M < , N < / M (4.80) Nếu điều kiện không đợc thoả mãn, chồng phổ xảy ra, nhng số ứng dụng, đợc bỏ qua Trong trờng hợp khác, lấy mẫu giảm không gây chồng phổ ng thuận giảm độ rộng dải tín hiệu x[n] trớc lấy mẫu giảm Vì thế, x[n] đợc lọc mạch lọc thông ~ thấp lý tởng với tần số cắt /M , lối x[ n] đợc lấy mẫu giảm mà chồng phổ, nh đợc minh họa hình 4.22(d), (e) x d [ n] = ~ x[ nM] không biểu thị cho tín hiệu thời gian(f) Chú ý dãy ~ x d [ n] = ~ x c ( nT ' ) , T' = MT, ~ x(t ) thu đliên tục gốc xc(t) Hơn nữa, ~ ợc từ xc(t) mạch lọc thông thấp với tần số cắt c = /T'= / (MT) Từ thảo luận đây, nhận thấy hệ thống tổng thể để lấy mấu giảm với thừa số M hệ thống đợc hình 4.23 Hệ thống nh đợc gọi làm giảm tốc độ lấy mẫu (decimator), lấy mẫu giảm mạch lọc thông thấp tiếp đến nén có tên gọi làm giảm tốc độ lấy mẫu (decimation- Crochiere Rabiner, 1983) Xc(j) -N 219 (a) Xs(j)=X(ej) 1/ N -2/ (b) 2/ X(ej) 1/ N = [ ] (=2) 1/ 4/ X ( e j / ) + X ( e j ( ) / ) 1/ (d) Xd(ej)= M=2 (c) = Xd(ej) 2/ 2/ (e) 4/ =/ Hình 4.21 Minh họa lĩnh vực tần số trình giảm tốc độ lấy mẫu 4.6.2 Sự tăng tốc độ lấy mẫu thừa số nguyên Chúng ta thấy giảm tốc độ lấy mẫu thừa số nguyên tín hiệu thời gian-rời rạc đòi hỏi lấy mẫu theo cách giống nh lấy mẫu tín hiệu thời gian-liên tục Không khỏi ngạc nhiên rằng, tăng tốc độ lấy mẫu đòi hỏi phép toán giống nh chuyển đổi D/C Để thấy đợc điều đó, xét tín hiệu x[n] mà muốn tăng tốc độ lấy mẫu lên thừa số L Nếu xét tín hiệu thời gian-liên tục sở x c(t), mục tiêu thu đợc mẫu xi[n] = xc(nT') (4.81) T' = T/L, từ dãy mẫu x[n] = xc(nT) (4.82) gán cho phép làm tăng tốc độ lấy mẫu tên lấy mẫu tăng (upsampling) Xc(j) (a) - X(e ) j 220 N 1/T (b) N N j Xd(e ) = 1/MT M=3 -2 (c) = Hd(ej) (d) / -2 / = ~ X ( e j ) = H d ( e j ) X ( e j ) (e) 1/ /3 -2 /3 = ~ X d ( e j ) 1/MT -2 (M=3) (f) = Hình 4.22 (a)-(c) Sự lấy mẫu giảm có chồng phổ (d)-(f) Sự lấy mẫu giảm có lọc trớc để tránh chồng phổ x[n] chu kỳ Mạch lọc thông thấp HSKĐ =1 tần số cắt=/M ~ x[ n] 221 M ~ x d [ n] = ~ x[ nM] lấy mẫu T Hình 4.23 Hệ thống tổng quát để giảm tốc độ lấy mẫu M lần Từ phơng trình (4.81) (4.82) suy xi[n] = x[n/L] = xc(nT/L), n = 0, L , L , Hình 4.24 hệ thống để thu đợc xi[n] từ x[n] sử dụng trình xử lý thời gian-rời rạc Hệ thống phía trái đợc gọi giãn tốc độ lấy mẫu ( xem Crochiere Rabiner, 1983) đơn giản giãn nở Lối x[ n / L], n = 0, L,2 L, x e [ n] = (4.84) 0, cá c gía trị kh c tơng đơng x e [ n] = x[ k][ n kL] k = (4.85) Hệ thống phía bên phải mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc với tần số cắt /L hệ số khuyếch đại L Hệ thống đóng vai trò tơng tự nh chuyển đổi D/C hình 4.10(b) Đầu tiên tạo dãy xung thời gian-rời rạc xe[n], sau sử dụng mạch lọc thông thấp để xây dựng lại dãy Hoạt động hệ thống hình 4.24 dễ hiểu lĩnh vực tần số Biến đổi Fourier xe[n] đợc biểu thị nh sau X e (e j ) = x[ k ][ n kL] e jn n = k = (4.86) = x[ k]e jLk = X(e jL ) k = x[n] Chu kỳ lấy mẫu T Mạch lọc L thông thấp xe[n] HSKĐ=L xi[n] Chu kỳ T.S cắt=/L Chu kỳ lấy mẫu T'=T/L lấy mẫu T'=T/L Hình 4.24 Hệ thống tổng quát để tăng tốc độ lấy mẫu tăng L lần Vì thế, biến đổi Fourier lối giản nở phiên đợc định mức tần số biến đổi Fourier lối vào ; tức , đợc thay L cho đợc chuẩn hoá = T' (4.87) 222 Xc(j) (a) -N 1/T X(ej) (b) = Xe(ej)=X(ejL) 1/T -4/L 2/L L=2 2/L Hi(ej) (c) 4/L =T' (d) L -2 =T' Xi(ej) 1/T'=L/T (e) -2 =T' Hình 4.25 Minh họa lĩnh vực tần số nội suy Hiệu ứng đợc minh họa hình 4.25 Hình 4.25(a) biến đổi Fourier thời gian-liên tục giới hạn dải, hình 4.25(b) biến đổi Fourier thời gian-rời rạc dãy x[n] = x c(nT), / T =N Hình 4.25(c) cho thấy Xe(ej) theo phơng trình 4.86) với L = 2, hình 4.25(e) biến đổi Fourier tín hiệu mong muốn xi[n] Chúng ta thấy Xi(ej) thu đợc từ Xe(ej) cách hiệu chỉnh thang biên độ từ 1/T đến 1/T' cách cất 223 tất ảnh định mức tần số X c(j) ngoại trừ vị trí s ố nguyên lần Đối với trờng hợp đợc mô tả hình 4.25, điều yêu cầu mạch lọc thông thấp với hệ số khuyếch đại tần số cắt /2, nh hình 4.25(d) Nói chung, hệ số khuyếch đại cần yêu cầu L , L(1/T) = [1/(T/L)] = 1/T' , tần số cắt phải /L Ví dụ hệ thống hình 4.24 thực cho lối thoả mãn phơng trình (4.81) dãy lối vào x[n] = xc(nT) thu đợc lấy mẫu chồng phổ Do đó, hệ thống có tên gọi nội suy, điền thêm vào mẫu thiếu, hoạt động lấy mẫu tăng đợc coi đồng nghĩa với nội suy Cũng giống nh trờng hợp chuyển đổi D/C, thu đợc công thức nội suy xi[n] theo số hạng x[n] Trớc hết, lu ý đáp ứng xung mạch lọc thông thấp hình 4.24 h i [ n] = sin( n / L ) n / L (4.88) Sử dụng phơng trình 4.85, ta thu đợc x i [ n] = x[ k ] k = sin[ ( n kL ) / L ( n kL ) / L (4.89) Đáp ứng xung hi[n] có tính chất hi[0] = hi[n] = 0, n = L, 2L, (4.90) Vì thế, mạch lọc nội suy thông thấp lý tởng , có xi[n] = x[n/L] = xc(nT/L) = xc(nT'), n =0, L, 2L (4.91) nh mong đợi Thật xi[n] = xc(nT') với n , đợc suy từ lập luận lĩnh vực tần số Trong thực tế, mạch lọc thông thấp đợc thực thi cách hoàn toàn xác, nhng, nh thấy chơng mạch lọc đợc thiết kế gần tốt ( xem thêm Schafer Rabiner, 1973, Oetken đồng tác giả, 1975) Trong số trờng hợp thủ tục nội suy đơn giản lại thoả đáng Bởi nội suy tuyến tính thờng đợc sử dụng (mặc dù trờng hợp tổng quát không xác ), nên đáng bỏ công để kiểm tra nội suy tuyến tính khung cảnh chung mà vừa phát triển Sự nội suy tuyến tính đợc thực hệ thống cho hình 4.24 mạch lọc có đáp ứng xung | n | / L, | n | L hlin[n] = (4.92) 0, cá c gía trị kh c Nh hình 4.26 với L=5 Với mạch lọc loại này, lối đợc nội suy xlin[n] = k = x e [ k ]h lin [ n k ] = x[ k]h lin [n kL] k = (4.93) Hình 4.27(a) vẽ xe[n] xlin[n] cho trờng hợp L=5 Từ hình vẽ thấy xlin đồng với dãy thu đợc nội suy tuyến tính mẫu 224 4/5 3/5 2/5 1/5 n Hình 4.26 Đáp ứng xung cho phép nội suy tuyến tính xe[n] L=5 n xlin[n] (a) L n Hi(ej) =5 Hlin(ej) 4/5 2/5/5 /5 (b) 4/5 Hình 4.27 (a) Minh họa phép nội suy tuyến tính việc lọc (b) Đáp ứng tần số nội suy tuyến tính đợc so sánh với mạch lọc nội suy thông thấp lý tởng Chú ý hlin = hlin[n] = 0, nh có nghĩa n =L, 2L, (4.94) xlin[n] = x[n/L] n = 0, L, 2L, (4.95) Lợng biến dạng mẫu dẫn đến điều đợc đánh giá việc so sánh đáp ứng tần số nội suy tuyến tính với đáp ứng tần số nội suy thông thấp lý tởng với thừa số nội suy L Cũng (bài toán 4.50) 225 sin(L / 2) (4.96) H lin (e ) = L sin( / 2) Hàm số đợc vẽ hình 4.27(b) cho L = 5, với mạch lọc nội suy thông thấp lý tởng Từ hình vẽ, thấy tín hiệu gốc đợc lấy mẫu tốc độ Nyquist, nội suy tuyến tính không hoàn toàn tốt, lối mạch lọc chứa lợng đáng kể dải /L < || Tuy nhiên, tốc độ lấy mẫu gốc cao nhiều tốc độ Nyquist, nội suy tuyến tính thành công việc lấy ảnh đợc chia thang tần số Xc(j) điểm bội 2/L Chính Hlin(ej) nhỏ tần số đợc chuẩn hoá tốc độ lấy mẫu cao phiên bị dịch chuyển Xc(j) đợc định xứ nhiều tần số Về phơng diện trực giác điều hoàn toàn hợp lý, vì, tốc độ lấy mẫu gốc v ợt xa tốc độ Nyquist, tín hiệu khác nhiều mẫu nữa, thế, nội suy tuyến tính xác cho tín hiệu đợc lấy mẫu vợt j 4.6.3 Sự thay đổi tốc độ lấy mẫu thừa số không nguyên Chúng ta làm để tăng giảm tốc độ lấy mẫu dãy thừa số nguyên Bằng cách kết hợp làm giảm tốc độ lấy mẫu nội suy, thay đổi tốc độ lấy mẫu thừa số không nguyên Đặc biệt, xét hình 4.28(a), nội suy làm giảm chu kỳ lấy mẫu từ T tới T/L, sau làm giảm tốc độ lấy mẫu ;làm tăng chu kỳ x d [ n] có chu kỳ lấy mẫu hiệu dụng T' lấy mẫu tăng M lần, tạo dãy lối ~ =TM/L Bằng cách chọn L M cách thích hợp, đạt đợc tỉ số mong muốn chu kỳ lấy mẫu Chẳng hạn, L = 100 m = 101, T' = 1, 01T Nếu M > L, có tăng tổng thể chu kỳ lấy mẫu ( giảm tốc độ lấy mẫu), M < L, điều ngợc lại Bởi mạch lọc nội suy mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu hình 4.28(a) nối tiếp với nhau, nên chúng đợc phối hợp lại với nh hình 4.28(b) vào mạch lọc thông thấp có hệ số khuyếch đại L tần số cắt cực tiểu /L /M Nếu M > L, /M tần số cắt ngự trị , có giảm bớt tốc độ lấy mẫu Nh đợc phát biểu phần 4.6.1, x[n] thu đợc x d [ n] phiên đợc lấy mẫu với tốc độ Nyquist, dãy ~ lọc thông thấp tín hiệu giới hạn dải sở gốc tránh chồng phổ Mặt khác, M < L , /L tần số cắt ngự trị , không cần giới hạn độ rộng dải tín hiệu dới tần số Nyquist gốc Bộ nội suy x[n] L Bộ giảm tốc độ lấy mẫu Mạch lọc Mạch lọc thông thấp thông thấp x i [ n] xe[n] HSKĐ=L xi[n] HSKĐ=1 ~ tần số cắt tần số cắt 226 M ~ x d [ n] - 0 Hình P4.48-1 a) Dãy tự tơng quan qúa trình ngẫu nhiên thời gian-rời rạc nh ? b) Đối với phổ mật độ công suất thời gian-liên tục cho hình P4.481, T phải đợc chọn nh để qúa trình thời gian-rời rạc trắng; tức phổ công suất số với ? c) Nếu phổ mật độ công suất thời gian -liên tục nh hình P4.48-2, T phải đợc chọn nh để cho phổ trình thời gian-rời rạc trắng ? Pxcxc() 0 Hình P4.48-2 d) Yêu cầu tổng quát trình thời gian-liên tục chu kỳ lấy mẫu nh để trình thời gian-rời rạc trắng ? 4.49 Bài toán nàynghiên cứu ảnh hởng trao đổi thứ tự hai phép toán tín hiệu, lấy mẫu tạo dạng phép toán phi tuyến nhớ a) Xét hai hệ thống xử lý tín hiệu hình P4.49-1, chuyển đổi C/D D/C lý tởng Phép ánh xạ g[x] = x2 biểu thị thiết bị phi tuyến nhớ Đối với hai hệ thống hình vẽ, vẽ phổ tín hiệu điểm 1, 2, tốc độ lấy mẫu đợc lựa chọn 1/T = 2fm Hz xc(t) có biến đổi Fourier cho hình P4.492 y1(t) = y2(t) không ? Nếu không, không ? y 1(t) = x2(t) không ? Giải thích câu trả lời bạn Hệ thống 1: x[n] xc(t) y[n] g[x]=x2 C/D D/C T Hệ thống 2: y1(t) T 288 wc(t) w[n] g[x]=x2 xc(t) C/D D/C T y2(t) T Hình P4.49-1 X(j) -2fm 2fm Hình 4.49-2 b) Xét hệ thống 1, giả sử x(t) = Acos(30t) Nếu tốc độ lấy mẫu 1/T = 40 Hz, y1(t) = xc2(t) không ? Giải thích có, không c) Xét hệ thống xử lý tín hiệu hình P4.49-3, g[x] = x g-1[v] nghịch đảo nhất; tức g -1[g(x)] = x Giả sử x(t) = Acos(30t) 1/T = 40 Hz Hãy biểu thị v[n] theo số hạng x[n] Có chồng phổ hay không ? Biểu thị y[n] theo số hạng x[n] Bạn có kết luận với tới ví dụ ? Bạn tìm thấy đồng thức hữu ích sau cos3ot = g[x]=x3 xc(t) cos o t + cos 3o t g-1[v] C/D vc(t) v[n] y[n] T Hình P4.49-3 d) Một vấn đề thực tế việc số hoá tín hiệu có vùng động lực lớn Giả sử nén vùng động lực cách chuyển tín hiệu qua thiết bi phi tuyến nhớ trớc chuyển đổi A/D sau đợc giản nở sau chuyển đổi A/D Tác động phép phi tuyến trớc chuyển đổi A/D với lựa chọn tốc độ lấy mẫu nh ? 4.50 Hình 4.24 vẽ hệ thống để nội suy tín hiệu với thừa số L, x[ n / L], n = 0, L,2 L, 0, cá c gía trị kh c xe[n] = 289 mạch lọc thông thấp nội suy giá trị khác không xe[n] để phát sinh tín hiệu đợc nội suy hay gọi đợc lấy mẫu tăng xi[n] Khi mạch lọc thông thấp lý tởng, nội suy đợc giả thiết đợc giới hạn dải Nh đợc phần 4.6.2, thủ tục nội suy đơn giản thích hợp nhiều ứng dụng Hai thủ tục đơn giản thờng đợc sử dụng nội suy tuyến tính nội suy trì - bậc không Đối với nội suy trì - bậc không, giá trị x[n] đợc lặp lại cách đơn giản L lần ; tức là: x e [0], n = 0,1, , L 1, x [L], n = L, L + 1, ,2 L 1, x i [ n] = e x e [2 L], n = L,2 L + 1, Sự nội suy tuyến tính đợc mô tả phần 4.4.2 a) Xác định lựa chọn thích hợp cho đáp ứng xung mạch lọc thông thấp hình 4.24 để thực thi nội suy trì - bậc không Cũng nh vậy, xác định đáp ứng tần số tơng ứng b) Phơng trình (4.92) định rõ đáp ứng xung cho nội suy tuyến tính Hãy xác định đáp ứng tần số tơng ứng ( Bạn tìm thấy cách hữu hiệu dùng thực thể h in[n] có dạng tam giác tơng đơng với phép nhân chập hai dãy vuông góc) c) Hãy vẽ biên độ pha đáp ứng tần số mạch lọc cho nội suy tuyến tính trì - bậc không Cái gần tốt cho nội suy giới hạn dải lý tởng ? 4.51 Chúng ta muốn tính hàm tự tơng quan tín hiệu đợc lấy mẫu tăng, nh đợc hình P4.51-1 Cần gợi ý hình đợc thực cách tơng ứng với hệ thống hình P4.51-2 Có thể chọn H2(ej) nh để 3[n] = 1[n] đợc không ? Nếu không, không ? Nếu j đợc, định rõ H2(e ) L x[n] xu[n] Mạch lọc thông thấp lý tởng tần số cắt /L Tự xi[n] hiệu chỉnh 1[n] Hình P4 51-1 x[n] Tự hiệu chỉnh H2(ej) L 2[n] Hình P4.51-2 290 2e[n] 3[n] 4.52 Trong lấy mẫu tăng với thừa số 2, quan tâm tới việc sử dụng hệ thống có dạng nh hình 4.24 Tuy nhiên, mạch lọc thông thấp hình mạch lọc đợc làm gần năm điểm với đáp ứng xung cho hình P4.52-1 Trong hệ thống này, lối y1[n] thu đợc cách thực phép nhân chập cách trực tiếp h[n] với w[n] c h[n b d a c x[n] w[n] h[n] n y1[n] Hình P4.52-1 a) Sự thực thi hệ thống đề nghị với lựa chọn h[n] đợc hình P4.52-2 Ba đáp ứng xung h1[n], h2[n], h3[n] , tất ba đợc giới hạn không miền n Hãy xác định kiểm chứng cách rõ ràng lựa chọn h 1[n], h2[n], h3[n] để cho y1[n] = y2[n] với x[n] ; tức để cho hại hệ thống đồng nh b) Xác định số lợng phép tính nhân điểm lối phải yêu cầu hệ thống hình P4.52-1 hệ thống hình P4.52-2 Bạn thấy hệ thống hình P4.52-2 hiệu dụng h1[n] + y2[n] x[n] h2[n] h3[n] w2[n] w3[n] Hình P4.52-2 4.53 Xét hệ thống phân tích-tổng hợp hình P4.53-1 Mạch lọc thông thấp ho[n] nh phân tích lẫn tổng hợp, mạch lọc thông cao h1[n] nh phân tích lẫn tổng hợp Các biến đổi Fourier ho[n] h1[n] liên hệ với hệ thức H1(ej) = Ho(ej(+)) 291 ho[n] ro[n] h0[n] xo[n] go[n] LPF yo[n] LPF x[n] y[n]= + yo[n]+y1[n] h1[n] r1[n] x1[n] h1[n] g1[n] HPF y1[n] HPF Bộ phân tích Bộ tổng hợp Hình P4.53-1 a) Nếu X(ej) Ho(ej) nh đợc cho hình P4.53-2, vẽ Xo(ej) ,Go(ej) , Yo(ej) ( phạm vi thừa số định mức) b) Hãy viết biểu thức tổng quát cho Go(ej) theo số hạng X(ej) Ho(ej) Không cần giả thiết X(e j) Ho(ej) nh cho hình P4.53-2 c) Xác định điều kiện Ho(ej) , tổng quát tốt, đảm bảo y[n] tỉ lệ với x[n - nd] lối vào x[n] Ghi : Dàn lọc phân tích-tổng hợp có dạng đợc phát triển toán giống với dàn lọc ảnh gơng vuông góc Muốn đọc kỹ hơn, xem Crochiere Rabiner (1983) , trang 378-392 X(ej) A Ho(ej) -2 Hình P4.53-2 4.54 Xét dãy giá trị thực x[n] mà 292 X(ej) = 0, với | | Một giá trị x[n] bị h hại, muốn khôi phục lại ~ cách gần xác Với x[ n] ký hiệu tín hiệu bị h hỏng ~ x[ n] = x[ n], với n n o ~x[ n o ] thực nhng không liên quan với x[no] Với ba trờng hợp sau , định rõ thuật toán thực tế để khôi phục lại cách xác hay gần x[n] từ ~x[ n] : a) Giá trị thực nođã biết b) Giá trị xác no cha biết, nhng biết no số chẵn c) Cha biết no 4.55 Các hệ thống thông tin thờng đòi hỏi chuyển đổi từ ghép kênh phân chia theo thời gian (TDM) thành ghép kênh phân chia theo tần số (FDM) Trong toán này, kiểm tra ví dụ đơn giản hệ thống nh Giản đồ khối hệ thống cần nghiên cứu đợc hình P4.55-1 Lối vào TDM đợc giả thiết là dãy mẫu đợc chèn vào x1[ n / 2], với n chẵ n x2[( n 1) / 2], với n lẻ w[n] = Giả thiết dãy x1[n] = xc1(nT) x2[n] = xc2(nT) thu đợc cách lấy mẫu tín hiệu thời gian -liên tục xc1(t) xc2(t), cách tơng ứng, chồng phổ.Cũng giả thiết rằng, hai tín hiệu có tần số cao nhất, N, chu kỳ lấy mẫu T = /N a) Vẽ giản đồ khối hệ thống mà tạo x1[n] x2[n] nh lối ra; tức thu đợc hệ thống để phân kênh tín hiệu TDM cách sử dụng phép toán đơn giản Hãy cho biết hệ thống bạn có tuyến tính, nhân , ổn định bất biến với thời gian không ? Bộ Tín hiệu TDM w[n] Bộ điều chế x1[n] y1[n] phân kênh TDM + D/C yc(t) x2[n] Bộ điều chế y2[n] T'=T/L Hình P4.55-1 b) Hệ thống điều chế thứ k ( k = 2) đợc định nghĩa giản đồ khối hình P4.55-2 Mạch lọc thông thấp H i(ej) nh cho hai kênh, có hệ số khuyếch đại L tần số cắt /L , 293 mạch lọc cao tần Hk(ej) có hệ số khuyếch đại đơn vị tần số cắt k Các tần số điều chế nh sau = + /L + /L (giả sử > /2) L Hi(ej) X Hk(ej) xk[n] yk[n] LPF cos kn HPF Hình P4.55-2 c) Giả sử N = x 5x103 Hãy tìm L để cho, sau chuyển đổi D/C lý tởng với chu kỳ lấy mẫu T/L, biến đổi Fourier yc(t) không, ngoại trừ vùng tần số x105 || x105 + 2N Xc1(j) A Xc2(j) B Hình P4 55-3 c) Giả thiết biến đổi Fourier thời gian-liên tục hai tín hiệu lối vào gốc đợc mô tả nh hình P4.55-3 Hãy vẽ biến đổi Fourier điểm hệ thống d) Dựa lời giải bạn phần (a) - (c), thảo luận xem hệ thống đợc tổng quát hoá để thực kênh có độ rộng dải M 4.56 Trong phần 4.8.1, khảo sát việc sử dụng trình lọc trớc để tránh chồng phổ Trong thực tế, mạch lọc chống chồng phổ làm đợc cách lý tởng Tuy nhiên, đặc trng không lý tởng đợc cân phần hệ thống thời gian-rời rạc tác động vào dãy x[n] mà dãy lại lối chuyển đổi C/D Hãy xét hai hệ thống cho hình P4.56-1 Các mạch lọc chống chồng phổ 294 Hideal(j) Haa(j) đợc hình P4.56-2 H(ej) hình P4.56-1 đợc định rõ để cân với đặc trng không lý tởng Haa(j) Hãy vẽ H(ej) để cho hai dãy x[n] w[n] đồng nh Hệ thống 1: Hideal(j) C/D xc(t) xa(t) x[n] T Hệ thống 2: Haa(j) xc(t) H(ej) C/D wa(t) w[n] T Hình P4.56-1 Hideal(j) / -/ Haa(j) 1/10 -/ p p / Hình P4.56-2 4.57 Nh thảo luận phần 4.8.2, để xử lý dãy máy tính số, phải lợng tử hoá biên độ dãy thành mức rời rạc Sự lợng tử hoá đợc biểu thị số hạng qúa trình chuyển từ dãy x[n] qua lợng tử hoá Q(x) có quan hệ vào-ra nh hình 4.48 295 Nh thảo luận phần 4.8.3, khoảng lợng tử hoá nhỏ so với thay đổi mức dãy lối vào, giả thiết lối lợng tử hoá có dạng y[n] = x[n] + e[n], e[n] = Q(x[n] ) - x[n] e[n] trình ngẫu nhiên dừng với mật độ xác suất bậc đợc phân bố đồng /2 /2, không tơng quan mẫu với không tơng quan với x[n], cho {e[n]x[m]} = với n m Giả sử x[n] trình tạp âm trắng , dừng với giá trị trung bình không phơng sai x2 a) Tìm giá trị trung bình, phơng sai tự tơng quan dãy e[n] b) Tỉ số tín hiệu tạp âm lợng tử hoá x2/e2 ? c) Tín hiệu đợc lợng tử hoá y[n] đợc lọc mạch lọc số với đáp ứng xung h[n] = n [a + (a ) n ]u[ n] Xác định phơng sai tạp âm tạo lối tạp âm lợng tử hoá lối vào, xác định tỉ số tín hiệu tạp âm lối Trong số trờng hợp, muốn sử dụng bớc lợng tử hoá phi tuyến, chẳng hạn, bớc lợng tử hoá logarit Điều đợc thực cách áp dụng lợng tử hoá đồng cho logarit lối vào nh vẽ hình P4.57-1, Q[.] lợng tử hoá đồng nh đợc định rõ hình 4.48 Trong trờng hợp này, giả thiết nhỏ so với thay đổi dãy ln(x[n]), giả thiết lối lợng tử hoá ln(y[n]) = ln(x[n]) + e[n], y[n] = x[n] exp(e[n]) Với e nhỏ, lấy gần exp(e[n]) (1 + e[n]), y[n] x[n](1+ e[n]) = x[n] + f[n] (P4.57) Phơng trình đợc sử dụng để mô tả hiệu ứng lợng tử hoá logarit Chúng ta giả thiết e[n] trình ngẫu nhiên dừng, không tơng quan mẫu với nhau, độc lập với tín hiệu x[n], với mật độ xác suất bậc đợc phân bố đồng /2 d) Xác định giá trị trung bình, phơng sai, dãy tự tơng quan tạp âm bổ sung f[n] đợc định nghĩa phơng trình P4.57 ln[.] x[n] Q[.] ln(x[n]) exp[.] ln(y[n]) Hình P4.57-1 296 y[n] e) Tỉ số tín hiệu tạp âm lợng tử hoá x2/f2 ? Chú ý trờng hợp x2/f2 độc lập với x2 Do , giới hạn giả thiết , tỉ số tín hiệu tạp âm lợng tử hoá độc lập với mức tín hiệu lối vào , khi, lợng tử hoá tuyến tính, tỉ số x2/e2 lại phụ thuộc vào x2 cách trực tiếp f) Tín hiệu đợc lợng tử hoá y[n] đợc lọc giá trị trung bình mạch lọc số với đáp ứng xung h[n] = n [a + (a ) n ]u[ n] Hãy xác định phơng sai tạp âm tạo lối tạp âm lợng tử hoá lối vào, xác định tỉ số tín hiệu tạp âm lối 4.58 Hình P4.58-1 hệ thống mà hai tín hiệu thời gian-liên tục đợc nhân với sau tín hiệu thời gian-rời rạc thu đợc từ tích lấy mẫu tích tần số Nyquist; tức y1[n] mẫu yc(t) lấy tốc độ Nyquist Tín hiệu x1(t) bị giới hạn dải tới 25 kHz ( X1(j) = với || 5x 104 ), x2(t) bị giới hạn tới 2,5kHz ( X2(j) = với || (/2) x 104 ) x1(t) X C/D yc(t) x2(t) y1[n] = yc(nT) T= tốc độ Nyquist Hình P4.58-1 Trong số tình ( chẳng hạn nh truyền số), tín hiệu thời gian-liên tục đợc lấy mẫu với tốc độ Nyquist riêng chúng, phép nhân đợc thực lĩnh vực thời gian-rời rạc, có xử lý bổ sung trớc sau thực phép nhân, nh đợc hình P4.58-2 Mỗi hệ thống A, B, C nh đợc thực thi cách sử dụng nhiều mô-đun nh hình P4.58-3 x1(t) x1[n] C/D w1[n] A 297 T1=2x10-5 s y2[n] X x2(t) x2[n] C/D C w2[n] B T2=2x10-4 s Hình P4.58-2 Mô-đun s[n] s[ n / L] n = 0, L, L, 0, cá c giá trị kh c L g[n] = M g[n] = s[nM] Mô-đun s[n] Mô-đun H(ej) s[n] -c c g[n] Hình P4.58-3 Cũng nh thế, tất thông số có liên quan định rõ Các hệ thống A,B, C phải đợc xây y2[n] tỉ lệ với y1[n], tức L,M, c đợc dựng nh để y2[n] = ky1[n] = kx1(nT) x x2(nT) mẫu tốc độ Nyquist; có nghĩa y 2[n] không biểu diễn lấy mẫu tăng lấy mẫu giảm yc(t) 4.59 Giả sử s(t) tín hiệu tiếng nói với biến đổi Fourier thời gian-liên tục Sc(j) hình P4.59-1 Chúng ta thu đợc dãy thời gian-rời rạc sr[n] từ hệ thống cho hình P4.59-2, H(e j) mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc lý tởng với tần số cắt c có hệ số khuyếch đại đơn vị dải thông, nh hình 2.17 Tín hiệu sr[n] đợc sử dụng nh tín hiệu lối vào mã hoá tiếng nói, hoạt động trực tiếp với mẫu thời gian-rời rạc biểu diễn tiếng nói đợc lấy mẫu với tốc độ lấy mẫu kHz Hãy chọn giá trị L, M, c để tạo tín hiệu lối vào sr[n] xác cho mã hoá tiếng nói Sc(j) 298 2.4000 2.4000 (rad/s) Hình P4.59-1 C/D sr(t) H(ej) L s[n] su[n] M sf[n] sr[n] T= (1/44,1)ms Hình P4.59-2 4.60 Trong nhiều ứng dụng audio, điều cần thiết phải lấy mẫu tín hiệu thời gian-liên tục xc(t) với tốc độ lấy mẫu 1/T = 44 kHz Hình P4.60- hệ thống trung thực nh , bao gồm mạch lọc chống chồng phổ Hao(j) , để thu nhận mẫu Trong nhiều ứng dụng, hệ thống "lấy mẫu tăng 4x " đợc hình P4.60-2 đợc sử dụng để thay cho hệ thống qui ớc hình P4.60-1 Trong hệ thống hình P4.60-2 H(e j ) 1, | | = 0, cá c gía trị kh c Hao(j) C/D xc(t) x[n] 1/T=44 kHz Hình P4.60-1 mạch lọc lý tởng , 1, | | p | |> s Ha1(j) = với p s xc(t) x[n] Ha1(j) C/D 299 H(e j) (1/T)=4x44kHz=176kHz Hình P4.60-2 Giả thiết H(ej) lý tởng, tìm qui định tối thiểu cho mạch lọc chống chồng phủ Ha1(j) , tức p nhỏ s lớn nhất, để cho hệ thống tổng thể hình P4.60-2 tơng đơng với hệ thống hình P4.60-1 4.61 Trong toán náy, khảo sát hệ thống " tích phân kép" cho lợng tử hoá với định dạng - tạp âm cho hình P4.61-1 Trong hệ thống này, H1 (z ) = 1 z H (z ) = z 1 z đáp ứng tần số mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu 1, | |< / M 0, / M | | H3(ej) = Nguồn tạp âm e[n] , biểu diễn lợng tử hoá, đợc giả thiết tín hiệu tạp âm trằng có giá trị trung bình không ( phổ công suất số) đợc phân bố đồng dều biên độ có công suất tạp âm e2 = 2/12 e[n] x[n] y[n] + - H1(z) + H2(z) + d1[n] v[n] - d2[n] u[n] H3(z) M w[n] v[n]=w[nM] Hình P4.61-1 a) Xác định phơng trình Y(z) theo số hạng X(z) E(z) Giả thiết cho phần E(z) tồn Từ hệ thức biến đổi -z , y[n] đợc biểu thị dới dạng y[n] = x[n - 1] + f[n], f[n] lối nguồn tạp âm e[n] Quan hệ lĩnh vực thời gian f[n] e[n] nh ? b) Bây giả sử e[n] tín hiệu tạp âm trắng nh mô tả trớc cho phần (a) Hãy sử dụng kết từ phần (a) để phổ công suất tạp âm f[n] 300 Pff(ej) = 16e2sin4(/2) Công suất tạp âm tổng cộng (f2) thành phần tạp âm tín hiệu y[n] ? Trên trục , vẽ phổ công công suất Pee(ej) Pff(ej) với c) Bây giả thiết X(ej) = với / < Hãy chứng tỏ lối H3(z) w[n] = x[n - 1] + g[n] Phát biểu lời g[n] ? d) Xác định biểu thức cho công suất tạp âm g2 lối của mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu Giả thiết / [...]... Để th c thi hệ th ng trong hình 4. 38 một cách có hiệu quả hơn, chúng ta lại sử dụng phép khai triển đa pha cho H(z) Chẳng hạn, chúng ta có th biểu th H(z) nh trong dạng của phơng trình (4. 107) và biểu diễn hình 4. 38 nh đã chỉ trong hình 4. 39 áp dụng đồng nhất th c trong hình 4. 31, chúng ta có th sắp xếp lại hình 4. 39 nh đã chỉ trên hình 4. 40 Để minh họa những u điểm của hình 4. 40 so với hình 4. 38... áp dụng đồng nhất th c trong hình 4. 30 cho hệ th ng trong hình 4. 36, th khi đó chúng ta th y rằng hệ th ng sau trở th nh hệ th ng chỉ ra trên hình 4. 37 Để minh họa sự u việt của hình 4. 37 so với hình 4. 35, hãy giả thiết rằng lối vào x[n] đợc tạo nhịp tại tốc độ một mẫu trên một đơn vị th i gian và rằng H(z) là một mạch lọc FIR N điểm Trong sự th c thi trực tiếp hình 4. 35, chúng ta đòi hỏi N phép nhân... -1 E(M-1)(zM) Hình 4. 34 Cấu trúc th c hiện dựa trên sự khai triển đa pha của h[n] Hình 4. 32 không th c hiện trên các mạch lọc, nhng chúng cho th y làm th nào để mạch lọc có th đợc khai triển th nh M mạch lọc song song Chúng ta th y đợc điều này nhờ sự lu ý rằng các hình 4. 32 và 4. 33 cho th y , trong lĩnh vực tần số hoặc trong biến đổi -z , biểu diễn đa pha tơng ứng với việc biểu th H(z) nh sau M... hệ th ng th i gian-rời rạc tuyến tính và bất biến với th i gian có th đợc sử dụng trong cấu hình của hình 4. 41(a) để th c thi các hệ th ng th i gian- li n tục tuyến tính và bất biến với th i gian nếu lối vào đợc giới hạn dải và tốc độ lấy mẫu vợt quá tốc độ Nyquist Trong th c tế , các tín hiệu th i gian -li n tục không bị giới hạn dải một cách hoàn toàn chính xác , nên các mạch lọc lý t ởng không th ... 4. 45 Cấu hình vật lý của bộ chuyển đổi tơng tự - số Lối ra của mạch lọc th i gian- rời rạc có th đợc lấy mẫu giảm bởi th a số M để thu đợc dãy mẫu xd[n] mà biến đổi Fourier của nó cho trên hình 4. 44( d) Nh vậy, tất cả các việc lọc cắt sắc đã đợc th c hiện bởi một hệ th ng th i gian-rời rạc và chỉ có sự lọc th i gian- li n tục danh nghĩa là đợc yêu cầu Bởi vì các mạch lọc FIR th i gian -rời rạc có th ... xa(t) có th đợc đa ra theo kiểu phân tích nh trong phần 4. 2 và chúng ta sẽ làm kiểu phân tích giống nh th khi chúng ta th o luận bộ chuyển đổi D/A Tuy nhiên, ở điểm này th sự phân tích là không cần thiết , bởi vì mọi th mà chúng 240 ta cần biết về các tính chất của hệ th ng có th th y đợc từ các biểu th c trên lĩnh vực th i gian Đặc biệt, lối ra của bộ duy trì - bậc không có dạng sóng nhẩy bậc theo... Tổ hợp các phơng trình (4. 108) và (4. 38) cho ta H(e jT ), | |< c H eff ( j) = (4. 109) | |> 0, Mạch lọc chống C/D xc(t) chồng phổ xa(t) Hệ th ng th i gian x[n] rời rạc D/C y[n] yr(t) Han(j) T T Hình 4. 42 Dùng sự lọc trớc để tránh chồng phổ Vì th , đối với mạch lọc chống chồng phổ lý tởng , th hệ th ng của hình 4. 42 có tính chất nh một hệ th ng tuyến tính bất biến với th i gian với đáp ứng tần... giảm nh đã chỉ trên hình 4. 35 232 Trong sự th c thi trực tiếp hình 4. 35, th mạch lọc tính một mẫu lối ra tại mỗi một giá trị của n, nhng sau đó chỉ có một trong mỗi M điểm lối ra là đợc giữ lại Về mặt trực giác , chúng ta có th hy vọng rằng có th thu đợc sự th c thi hiệu dụng hơn mà không cần tính các mẫu đã bị bỏ đi Để thu đợc sự th c thi hiệu quả hơn, chúng ta phải khai th c phép khai triển đa... chúng ta lại có th hy vọng rằng sự th c thi hiệu quả hơn là khả dĩ L H(z) x[n] w[n] y[n] Hình 4. 38 Các hệ th ng nội suy E0(zL) L + z-1 x[n] L L E1(z ) + z-1 L L E2(z ) 2 34 + z-1 y[n] E(M-1)(zL) L Hình 4. 39 Sự th c thi mạch lọc nội suy dùng khai triển đa pha + x[n] E0(z) L E1(z) L E2(z) L -1 z y[n] + + z-1 z-1 E(L-1)(z) L Hình 4. 40 Sự th c thi mạch lọc nội suy sau khi áp dụng đồng nhất th c lấy mẫu... 4. 8 .4 4.8 .4. Chuyển đổi D/A Trong phần 4. 3, chúng ta đã th o luận làm th nào một tín hiệu giới hạn dải có th đợc khôi phục lại từ một dãy mẫu khi sử dụng việc lọc th ng th p lý tởng Theo các số hạng của biến đổi Fourier, sự khôi phục lại đợc biểu diễn nh sau Xr(j) = X(ej)Hr(j) (4. 127) 249 ở đây X(ej) là biến đổi Fourier th i gian - rời rạc của dãy mẫu và X r(j) là biến đổi Fourier của tín hiệu th i ... th c hình 4. 30 cho hệ th ng hình 4. 36, th y hệ th ng sau trở th nh hệ th ng hình 4. 37 Để minh họa u việt hình 4. 37 so với hình 4. 35, giả thiết lối vào x[n] đợc tạo nhịp tốc độ mẫu đơn vị th i gian... hạn, biểu th H(z) nh dạng phơng trình (4. 107) biểu diễn hình 4. 38 nh hình 4. 39 áp dụng đồng th c hình 4. 31, xếp lại hình 4. 39 nh hình 4. 40 Để minh họa u điểm hình 4. 40 so với hình 4. 38 , cần... hạn, phần 4. 4, hệ th ng chuyển đổi D/C C/D đợc lý tởng hoá để hệ th ng th i gian-rời rạc tuyến tính bất biến với th i gian đợc sử dụng cấu hình hình 4. 41(a) để th c thi hệ th ng th i gian- li n tục