PHẦN 2 –CHƯƠNG 4 4.9 PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH ĐUƯỜNG MẶT NƯỚC

PHẦN –CHƢƠNG 4.9 PHƢƠNG PHÁP SỐ TÍNH ĐUƢỜNG MẶT NƢỚC 4.9.1 Phƣơng pháp số tính đƣờng mặt nƣớc cho dòng ổn định Gồm bước sau: (1) Biết kích thước kênh, dốc đáy S0, nhám n, lưu lượng Q (2) Xác định chiều sâu chảy (h0) hay (y0); chiều sâu phân giới (hc) hay (yc) (3) Xác định điểm kiểm tra hay khống chế (chiều sâu dòng chảy) đầu hay cuối kênh (4) Tích phân phương trình: dh S0  Se tìm chiều sâu h lượng  dx  Fr (5) E = E(x) (1.1) Đối với kênh lăng trụ áp dụng cơng thức Chezy-Manning tìm h0: nQ 1  AR 2/3 S0 (1.2) Q2 B 1  gA3 (1.3) tìm hc theo: Độ dốc lượng dòng khơng chiều sâu h xác định theo: S(h )  n 2Q2  A  h    R  h   4/3 (1.4) Phương pháp cộng trực lượng đơn vị mặt cắt de d  v2    h    S0  S(h) dx dx  2g  (1.5) Đối với thay đổi nhỏ h v xi xi+1 thì: ei 1  ei  x i1  S  S(h) dx  x i1  xi  S0  S(hm)  (1.6) xi đó: hm = (hi+1 + hi)/2 Vậy: x i 1  x i  Các bước: ei 1  ei S0  S(h m ) (1.7) 1- Chọn hi+1 Q2 2- Tính ei 1  h i  S(hm) biết hm 2gAi2 3- Tính xi+1 4- Tại vị trí k, giả thiết xk tới lúc thỏa mãn xk Thí dụ: Biết Q = 22 (m3/s) chẩy kênh mặt cắt hình thang có b = 7.5 (m); m1 = m2 = 2.5; x = 2000 (m) kênh hạ bậc thẳng đứng Tìm đường mặt nước đường lượng cách cuối kênh 800 (m) n = 0.015 S0 = 0.0006 Lời giải: + Tìm h0 hc từ phương trình (1.2) & (1.3) 2/3 22  0.015  7.5  2h  2.52    1  5/   0.0006 7.5h  h  2.5  2.5   222  7.5  h c  2.5  2.5   & 1    9.81 7.5h c  h c  2.5  2.5     Giải h0 = 1.292 (m) hc = 0.865 (m) + Giả thiết cuối kênh có hc = 0.865 (m) tương ứng với x = 2000 (m) Chọn trước chiều sâu h1 = 0.085 (m); h2 = 0.1 (m) = h3 = h4; h5 = 0.02 (m) Kết cho bước có h6 = 1.27 (m) x = 1230 (m) e = 1.404 (m), v = 1.623 (m/s), A = 13.557 (m2), hm = 1.26 (m), S(hm) = 6.574E-04 (Người đọc tự tính Excel) Tích phân phương trình sử dụng phép cầu phương Gauss-Lengendre (Chapra & Canale, 1998) Từ phương trình (1.1): x i 1  x i  h i1  hi h i1  G  h dh  hi h i 1  h i i1  Fr dh  x i   G  h dh S0  Se hi h   h i 1  h i  /  h i 1  h i    h i 1  h i  /  h i 1  h i    G  G     2      (1.8) Với thí dụ có số liệu vào: Q = 22 (m3/s), M = 2.5, b = 7.5 (m), L = 2000 (m), S0 = 0.0006, n = 0.015, g = 9.81 (m/s2) + Xác định: A(h) = bh + Mh , B(h) = b + 2Mh, P(h) = b +2h  M , S h  Gh  + + Q2 B h  Q2 n  3.3333 1.333 , Fr h   , A h  P h  gA3 h   Fr Q2  , e h S0  S h   h  2gA2h  Tính h0  h0 = 1.292 (m); hc  hc = 0.865 (m) Tính đường mặt nước với x0 = 2000 (m), h0 = hc, h = 0.1 (m), N = 4, i = 1, 2,…N x i  x i 1   h i  h i 1  / 3h   h   h i  h i 1  / 3h  G    G    kết tương tự   2     Ngoài phương pháp tính tích phân trực tiếp cách sử dụng bảng kết tích phân 4.9.2 Dòng khơng ổn định thay đổi chậm (a) Phương trình liên tục rút từ định luật bảo toàn khối lượng Trong không gian vô bé giới hạn mặt cắt đáy khơng xói, khơng dòng nhánh: Tại t có đường mặt nước a-a, lưu lượng Q; (t + dt) có đường mặt nước b-b  có lưu lượng Q  Q A dx đồng thời A thay đổi dt x t A dt t h(x,t) Q   Q dx x Q  Q dx  dt   dxdt Đi đoạn dS cần dt, chênh mực nước dt là: Q   Q  x   x   Trong thời gian dt không gian mặt cắt thay đổi lượng thể tích: A A h h dtdx  dtdx  bs dtdx t h t t (2.1) (2.2) Nước không chịu nén nên (2.1) = (2.2) suy ra: Q A Q h q h   hay:  bs  hay:  0 x t x t x t (2.3) (kênh chữ nhật rộng) q  Q - lưu lượng qua đơn vị chiều rộng bs Thay Q = Av (2.3) cho: v A h v  bs 0 x x t A v h h h  & A  bs h  h  v   bs x x t Q A Nếu có dòng nhánh thì:  q'  x t A (2.4) (2.5) (2.6) q’ lượng lượng chảy hay vào đơn vị dài dòng chảy Nếu sơng có bãi nơng coi bãi khơng đóng góp lưu lượng (b) Phương trình động lượng Chất lỏng trọng lực chịu gia tốc g Phương trình Euler cho đường dòng đơn vị khối lượng: f    gz  đó: x p du u   u  f       x dt t x   (2.7)   p u2  u gz     x    t (2.8) hay cho đơn vị trọng lượng (x1/g):    p u2  u z     x   2g  g t (2.9) Chất lỏng thực có nhớt (ma sát):   p u2  u h f z      x   2g  g t x (2.10) Tích phân cho tồn dòng có:   p v2   v h f  z    x   2g  g t x (2.11) Dòng sơng thay đổi chậm hc  0, hl h l V2 Q2 Q Q V V     x C R K K CR Z h Sw    S0  Do (2.11) là: x x Z h  v v v Q Q  S0     x x g t g x K Se  Vì Vì (2.12) (c)Cách viết khác: Phương trình lượng p u2 E'  z    2g Năng lượng cho phần tử chất lỏng: p v2 E z   2g Cho tồn dòng:  (i)  50  (ii) Nếu dòng khơng ổn định, đổi dần lượng mặt cắt cách dx là: zh   v2   v   v e v2 0 dP   z  dz    h  dh    e  d  e    dx  dx 2g g  dA  2g   g t  2g v dx : gia tốc; g t dA h f 0 dP dx  h f  Sedx 0  g dP dx g  dA v2 2g v dx g t  v2  v2  d  2g  2g   v  dv  2g Do đó: hay:   v2  v d  z  h  e   h f  dx 2g  g t  z v v v h (  S0 )    Sf  S0  x g t g x x Sf  f Thay v  (iii) (iv) v2 8g v hay dạng Chézy: Sf  4R 2g C 4R 2g Q có: A Q   Q2  h z     A  A  ASf  g t g x  A  x x (2.13) Q   Q2  h z gQ Q   0   gA  gA  t x  A  x x C RA (2.14) hay: nhân vế với g  đó: h = f1(x,t) Q = f2(x,t) Lời giải số phương trình Saint Venant có cách : Chuyển đạo hàm riêng sang thường nhờ phương pháp đặc trưng Thay đạo hàm riêng thương số sai phân hữu hạn sử dụng phương pháp sơ đồ hay phương pháp sơ đồ ẩn Trước hết tìm hiểu lý thuyết 4.9.3 Phƣơng pháp số giải phƣơng trình Saint Venant (a) Giới thiệu chung Ra đời 1871, song lời giải giải tích khơng thể Giải phương pháp sai phân hữu hạn (FD), phương pháp đặc trưng phương pháp số dọc theo đường (NMOL) Phương pháp phần tử hữu hạn (FE) khơng hiệu cho dòng chiều FD Courant, Friedrichs & Leavy khởi thảo năm 1928 Song 20 năm sau Isaacson, Troesch & Stoker tạo mơ hình tốn từ mặt cắt định sông Ohio & Mississippi 1961 lời giải hay Preissmann & 1970 sử dụng máy tính từ có hàng trăm lời giải khác mà chủ yếu FD Các mơ hình trội là:  CARIMA & CAREDAS SOGREAH (1961, Liggett Ja Cunge 1975)_ Pháp  Delft 1973, Hà Lan  DHI với 11 SIVA 1971 & thành công trội MIKE 11  DAMBRK NWS (Cục thời tiết Mỹ, 1978, 1982)  HEC, 1981, HEC-RAS (b) Cơ sở lý thuyết phương pháp FD Sử dụng gần Q x lim x 0 Q Q  x x (3.1) Giả thiết f(x) liên tục có đạm hàm tùy ý Nên thay chuỗi Taylor df  x  d 2f f  x  x   f  x   x   dx 2! dx df df f  x  x   f  x  Giải (2.2) theo      x  dx dx x (3.2) (3.3) Gần FD phía phải là: df dx f  x  x   f  x  x (3.4) Phía trái là: df  x  d 2f f  x  x   f  x   x   dx 2! dx df f  x   f  x  x  dx x (3.5) (3.6) (3.2) – (3.5) được: df  x  d3f f  x  x   f  x  x   2x   dx 3! dx 3 (3.7) Gần FD dây cung AC là: df dx f  x  x   f  x  x  2x (3.8) Thường áp dụng gần phía phải Trong FD gần lưới toại độ song song grid (x,t) Đối với phương trình Saint Venant biến Q (v) mặt nước (y) hay chiều sâu (h) Đạo hàm riêng thay FD (3.1) & (3.4); (3.6) & (3.8) song thường (3.4) Vậy có:iu Thí dụ: Lưu lượng E Q nj mực nước C y nj11 Vậy có:  df     dx E f jn1  f jn  df     dx E f f x j (3.9) n j n j1 x j1 f jn1  f jn1  df     dx E x j1  x j f đại diện cho (Q, v, y, h) df Tương tự cho    dt E f jn 1  f jn t Các biến (A, B,…) sơ đồ gần là: A  x, t   0.5  A nj  A nj11  hay: A  x, t   0.5  A nj  A nj1  A nj 1  A nj11  Từ có lời giải tường hay ẩn: n 1 n 1 n n f f j  f j1  f j  f j1  t 2t n 1 n 1 n n f   f j1  f j   1     f j1  f j   x x j f   f jn 1  f jn11   1     f jn  f jn1   = 0.6 ÷ 0.8 ổn định 04 điểm Sơ đồ Biết vl, hl vr, hr t Tìm vp, hp t+t v  vL v  R x M 2x v  vM v  P t P t h  hL h  R x M 2x h  hM h  P t P t Kênh chữ nhật thì: q h v h h  h v   (bs = const) x t x x t  v  vL   hR  hL  hP  hM hM  R 0   vM   t  2x   2x  t hP  hM   h M  vL  vR   vM  h L  h R   2x  v  vM v v v h  v  vL   hR  hL   vM  R    S0  Se là: P   g   g S0  Se  t g t g x x  2x   2x  v v n2 Biết Se  P / 3P n đặt / gt   1 R hp R hp v2P  vP    t gt     vM  vM  vL  vR    h L  h R   gtS0  2x 2x   1/  vP        4    2 x t   v  C với: Điều kiện: t = (tP - tR) hay t = (tP – tL); x = (xP - xR) hay x = (xP – xL) Sơ đồ ẩn n 1 n n 1 n h h j1  h j1 h j  h j y   t 2t 2t n 1 n n 1 n Q Q j1  Q j1 Q j  Q j   t 2t 2t n 1 n 1  h  hj   h nj1  h nj  h    j1          x x    x   Qn 1  Qnj 1   Qnj1  Qnj Q    j1         x x    x x  x j1  x j     n 1 1  n B j1  Bnj 1     B j1  Bnj  2 Biết S0 K  Q Q h = (h + z) cao độ mặt nước tọa độ cố định B Phương trình động lượng: n 1 n 1 n n  Qnj11  Qnj1 Qnj 1  Qnj    Q        Q   Q2       Q                    2t 2t   x  A  j1  A  j   x   A  j1  A  j           1   n  1   n n    n 1 n 1 n  g   A nj11  A nj 1      A j1  A j       h j1  h j      h j1  h j      x  2   x      1   n n n n   n 1 n 1   Qnj11 Qnj11  Qnj 1 Qnj 1    Q j1 Q j1  Q j Q j     K j1    K j     2  2 1  1   n n      K j1    K j              Là phương trình đại số phi tuyến h nj , Qnj , h nj 1 & Qnj 1 Phương trình liên tục:  h j1  h j     Q j1  Q j    Q j1  Q j   0   2t    x   B j1  B j    B j1  B j   Thí dụ tính mơ hình cho cầu Vĩnh Tuy qua sơng Hồng Hà Nội Phương trình Saint Venant cho chất lỏng đồng khơng chịu nén phương trình bảo toàn khối lượng động lượng MIKE 11 viện Thủy lực Đan Mạch viết Q A  q x t (1)  Q    A  Q h g Q Q    gA  0 t x x C AR (2) Phương trình sai phân hữu hạn thơng qua lưới điểm Q & h Q x   Qnj11  Qnj1   Qnj11  Qnj1      2   2x j (3) A h  bs t t h h n j t Q  Q  Q  t t n 1 j n 1 j n j (4)  (5)  Q     A  x  2   Q    Q     A   A  j1 j1  2x j n n     (6)  h nj11  h nj1   h nj11  h nj1         2 h       x 2x j (7) (n, j bước thời gian khoảng cách; bs chiều rộng sông) 10 .. .2/ 3 22  0. 015  7.5  2h  2. 52    1  5/   0.0006 7.5h  h  2. 5  2. 5   22 2  7.5  h c  2. 5  2. 5   & 1    9.81 7.5h c  h c  2. 5  2. 5     Giải h0 = 1 .29 2 (m)... (m) hc = 0.865 (m) + Giả thiết cuối kênh c hc = 0.865 (m) tương ứng với x = 20 00 (m) Ch n trư c chiều sâu h1 = 0.085 (m); h2 = 0.1 (m) = h3 = h4; h5 = 0. 02 (m) Kết cho bư c có h6 = 1 .27 (m)... 1 23 0 (m) e = 1 .40 4 (m), v = 1. 6 23 (m/s), A = 13. 557 (m2), hm = 1 .26 (m), S(hm) = 6.574E- 04 (Người đ c tự tính Excel) T ch phân phương trình sử dụng phép c u phương Gauss-Lengendre (Chapra & Canale,