Rèn luyện kỹ năng chứng minh cho học sinh THCS trong dạy học hình học lớp 9

Chính vìvậy việc rèn luyện cho HS hình thành và phát triển tư duy hình học, có kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học cơ bản từ đó có khả năng khám phá những b

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

TS BÙI THỊ HẠNH LÂM

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác đã công bố ở Việt Nam Tôicũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõnguồn gốc

Thái nguyên, 18 tháng 4 năm 2016

Tác giả Luận văn

Lê Sỹ Hiếu

của khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

TS Bùi Thị Hạnh Lâm

em trong suốt quá trình thực nghiệm.

Dù đã rất cố gắng, xong Luận văn cũng không tránh khỏi nhữngkhiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo vàcác bạn

Tác giả Luận văn

Lê Sỹ Hiếu

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục kí hiệu viết tắt v

Danh mục các bảng vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng 5

1.1.1 Khái niệm kỹ năng 5

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng 7

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng 9

1.1.4 Phân loại kỹ năng 10

1.2 Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng chứng minh 12

1.2.1 Khái niệm chứng minh 12

1.2.2 Cấu trúc của chứng minh 13

1.2.3 Phân tích một chứng minh 16

1.2.4 Các yêu cầu của chứng minh 19

1.2.5 Phân loại chứng minh 21

1.3 Kỹ năng chứng minh toán học 29

1.4 Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng chứng minh hình học đối với GV và HS THCS 30

1.4.1 Đối với GV 30

1.4.2 Đối với HS 31

1.5 Kết luận chương 1 35

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THCS TRONG DẠY HỌC

HÌNH HỌC LỚP 9 36

2.1 Một số định hướng xây dựng biện pháp 36

2.1.1 Cơ sở đề xuất biện pháp 36

2.1.2 Một số nguyên tắc khi đề xuất biện pháp 37

2.2 Một số biện pháp sư phạm cụ thể 40

2.2.1 Biện pháp 1: Biện pháp về gợi động cơ 40

2.2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình 44

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng dự đoán, quan sát 51

2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện những hoạt động trí tuệ chung 57

2.2.5 Biện pháp 5: Hình thành tri thức phương pháp cho học sinh trong quá trình chứng minh 67

2.2.6 Biện pháp 6: Phân bậc hoạt động chứng minh 75

2.2.7 Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng khai thác, nghiên cứu sâu lời giải 78

2.3 Kết luận chương 2 93

Chương 3 THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 95

3.1 Mục đích và nội dung thử nghiệm 95

3.1.1 Mục đích thử nghiệm 95

3.1.2 Nội dung thử nghiệm 95

3.2 Tổ chức thử nghiệm 96

3.2.1 Đối tượng thử nghiệm 96

3.2.2 Thời gian thử nghiệm 96

3.2.3 Tiến hành thử nghiệm 96

3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm 99

3.3.1 Đánh giá định tính 99

3.3.2 Đánh giá định lượng 99

3.4 Kết luận chương 3 100

Kết luận 101

Tài liệu tham khảo 101

Phụ lục 104

Danh sách bảng

1.1 Bảng so sánh kỹ năng và kỹ xảo 8

1.2 Mức độ thích học môn Toán 32

1.3 Phân môn thích học nhất trong môn Toán 32

1.4 Hoạt động của HS trong giờ Hình học 33

1.5 Cảm nhận của HS trong giờ Hình học 33

1.6 Khó khăn đối với bài toán chứng minh Hình học 34

3.1 Điểm bài kiểm tra số 1 lớp thử nghiệm 9B 98

3.2 Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 9A 98

3.3 Điểm bài kiểm tra số 1 lớp đối chứng 9C 98

3.4 Điểm bài kiểm tra số 2 lớp thử nghiệm 9B 100

3.5 Điểm bài kiểm tra số 2 lớp 9A 100

3.6 Điểm bài kiểm tra số 2 lớp 9C 100

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, đổi mới phương pháp dạy và học trongnhà trường phổ thông đang được rất coi trọng Nghị quyết Hội nghị Trungương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêurõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiệnđại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹnăng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớmáy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ

sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển nănglực” Qua đó cho thấy việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng pháttriển năng lực người học là nội dung căn bản, trọng tâm của đổi mới giáodục

Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chươngtrình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học,nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái gì đến chỗ quan tâm

HS vận dụng được cái gì qua việc học Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toànthì “dạy học là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách, ” trong đódạy học kỹ năng chiếm vị trí rất quan trọng bởi nếu không có kỹ năngthì sẽ không phát triển được tư duy Do đó việc rèn luyện cho HS những

kỹ năng là một yêu cầu thiết thực và quan trọng Nếu kỹ năng được rènluyện tốt thì sẽ đạt kết quả cao trong học tập Ngược lại, nếu kỹ năng

bị hạn chế thì việc học tập sẽ mắc phải nhiều khó khăn trong quá trìnhchiếm lĩnh, kiến tạo và vận dụng tri thức

Đối với chương trình toán THCS, HS được học về số học, đại số vàhình học Riêng hình học là một phân môn rất khó với lứa tuổi HS THCS

vì tính trừu tượng của hình học khá cao Ở cấp học này, hình học suydiễn đã thay thế hình học quy nạp - thực nghiệm Thực trạng hiện naycho thấy phần lớn HS hiện nay gặp rất nhiều khó khăn trong việc họctập hình học, từ phần nắm bắt lý thuyết, các định nghĩa, các định lý, tiênđề, đến kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện các lập luận, suy luận.

Trong chương trình hình học THCS nói chung và Hình học 9 nóiriêng toán chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu đối với GV là hướngdẫn HS tìm cách chứng minh bài toán chứ không phải là giúp HS có đượclời giải cho bài toán Thông qua việc hướng dẫn của GV giúp HS đúc kếtđược phương pháp chứng minh, tiến tới đó là đúc kết được phương pháphọc tập bộ môn Hình học

Đối với các dạng toán chứng minh hình học, các em thường không

có kỹ năng phân tích đề bài, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng phân tích để tìmhướng chứng minh Khi gặp các bài toán chứng minh hình học các emkhông biết bắt đầu từ đâu, giải quyết bằng cách nào cho đúng Chính vìvậy việc rèn luyện cho HS hình thành và phát triển tư duy hình học, có

kỹ năng chứng minh thành thạo một số bài toán chứng minh hình học

cơ bản từ đó có khả năng khám phá những bài toán nâng cao là một yêucầu cơ bản đối với việc giảng dạy hình học ở bậc THCS

Xuất phát từ tầm quan trọng của bộ môn Hình học 9 và tình hìnhthực tế của nhà trường, yêu cầu đổi mới phương pháp dạy và học của BộGiáo dục và Đào tạo, với mong muốn giúp HS học tốt hơn bộ môn Hìnhhọc để có được nền tảng vững chắc cho những năm học sau, đặc biệt giúp

HS có được kỹ năng trong các dạng toán chứng minh hình học 9 nên tôichọn đề tài:

“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH CHO HỌC SINHTHCS TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 9”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu về kỹ năng, kỹ năng chứng minh, cách rènluyện phát triển kỹ năng và nội dung Hình học 9, đề xuất một số biệnpháp sư phạm nhằm rèn luyện và phát triển kỹ năng chứng minh Hìnhhọc 9 cho HS THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, luận văn có nhiệm vụ làm

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm cần thiết để rèn luyện và phát triển

kỹ năng chứng minh cho HS thông qua dạy học Hình học 9

- Thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệuquả của biện pháp đề ra

4 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu:

Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS

4.2 Đối tượng nghiên cứu:

Kỹ năng chứng minh hình học của HS THCS

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, tài liệu liênquan đến dạy học chứng minh và chứng minh định lý, chứng minh mộtbài toán.

- Nghiên cứu SGK, sách giáo viên và SBT Toán lớp 9

- Tìm hiểu về sách báo, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài.5.2 Phương pháp điều tra phỏng vấn

- Khảo sát điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng kỹ năng chứng minh hìnhhọc của HS lớp 9 THCS

- Dự giờ GV dạy Toán nhằm tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng chứngminh trong dạy học hình học cho HS lớp 9 THCS

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tổ chức dạy thực nghiệm để bước đầu đánh giá hiệu quả và tínhkhả thi của một số biện pháp sư phạm đã đề xuất

6 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năngchứng minh hình học cho HS lớp 9 và thực hiện chúng một cách hợp lýthì sẽ góp phần phát triển năng lực chứng minh hình học cho HS lớp 9nói riêng và cho HS THCS nói chung

7 Cấu trúc của luận văn

Mở đầu

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng chứng minh chohọc sinh THCS trong dạy học hình học lớp 9

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về kỹ năng vàđưa ra nhiều khái niệm khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên khi xem xét cáctài liệu về kỹ năng tác giả nhận thấy các nhà triết học, tâm lý học, giáodục học, trong nước cũng như trên thế giới thường đưa ra khái niệm

về kỹ năng theo hai quan điểm chính như sau:[12]

a Quan điểm 1: Kỹ năng được xem xét dưới góc độ kỹ thuật, phươngthức hành động của con người trong các hoạt động Một số tác giảtheo quan điểm 1: Trần Trọng Thủy, V.A.Kruchexki, A.G Côvaliôv, V.XRadic, Xavier Roegier,

Tác giả Trần Trọng Thủy cho rằng: “Kỹ năng là mặt kỹ thuật củahành động Con người nắm được cách thức hành động – tức kỹ thuật củahành động là có kỹ năng” [18, tr.2]

V.A.Kruchexki quan niệm: “Kỹ năng là các phương thức thực hiệnhành động - những cái mà con người đã nắm vững” [1, tr.78]

Trong cuốn “Tâm lý học cá nhân” A.G Côvaliôv cũng cho rằng: “Kỹnăng là phương thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và điềukiện của nó”[1, tr.11]

Theo quan điểm thứ nhất các tác giả đều không đề cập đến kết quả

của hành động do kết quả của hành động phụ thuộc vào nhiều yếu tố,trong đó quan trọng nhất là yếu tố năng lực của con người chứ không hẳn

cứ nắm vững phương thức hoạt động là đem lại kết quả tương ứng Theo

đó, con người cứ nắm được phương thức hành động là có kỹ thuật hànhđộng, có kỹ năng

b Quan điểm 2: Kỹ năng được xem xét dưới góc độ năng lực hành độngcủa con người Một số tác giả theo quan điểm 2: Vũ Dũng, Nguyễn QuangUẩn, A.V Petrovski, K.K Platônôv, N.D.Lêvitôv, G.G Gôbulev,

Theo Từ điển Tiếng việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng nhữngkiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [14,tr.426]

Theo từ điển Tâm lý học do Vũ Dũng chủ biên: “Kỹ năng là nănglực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủthể lĩnh hội để thực hiện nhiệm vụ tương ứng” [6, tr.132]

A.V Petrovski cho rằng: “Năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thứchay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộctính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụhay lý luận hay thực hành xác định, gọi là kỹ năng” [2, tr.149]

Ngoài ra còn có một số quan điểm khác về kỹ năng của các nhà tâm

lý học Chẳng hạn, K.K Platônôv cho rằng “Cơ sở tâm lý của kỹ năng

là sự thông hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện vàphương thức hành động”[9, tr.77], N.D.Lêvitôv quan niệm “Kỹ năng là sựthực hiện có kết quả một động tác hay một hoạt động phức tạp bằng cáchlựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điềukiện của nó”[10, tr3], G.G Gôbulev nhấn mạnh “Kỹ năng là năng lực củacon người thực hiện hành động có kết quả với một chất lượng nhất địnhtrong những điều kiện khác nhau”[9, tr12],

Theo quan điểm thứ hai, các tác giả đều chú trọng tới mặt kết quảcủa hành động

Dù xét theo quan điểm nào thì khái niệm kỹ năng ở mỗi quan điểmđều không hề phủ định lẫn nhau Sự khác biệt của hai quan điểm trên là

do sự mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của kỹ năng

Như vậy, vấn đề kỹ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song

cơ bản các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau Các tác giả tùytheo cách nhìn chủ quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh này hay khíacạnh khác Từ những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kỹ năng một cáchtổng quát như sau: Kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hànhđộng hay một hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vận dụng nhữngtri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điềukiện thực tiễn cho phép Kỹ năng thể hiện các thao tác tư duy, năng lựchành động và mặt kỹ thuật của hành động

Trong toán học, kỹ năng là “khả năng” giải các bài toán, thực hiệncác chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải vào chứngminh nhận được

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

Theo Tâm lý học, nếu tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêngtừng các tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn

kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”

Như vậy, kỹ năng chứa đựng những đặc điểm sau:

- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kếtquả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ cácthuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn vàtồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động Cùng với vaitrò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng Bởi vìmôn Toán là môn học công cụ có đặc điểm và vị trí đặc biệt trong việc

thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong trường phổ thông Vì vậy,cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng,

vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động

- Qua đặc điểm và vị trí của kỹ năng trên, ta thấy kỹ năng giải toáncũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng,phương pháp), do đó nói kỹ năng giải toán không thể tách rời với phươngpháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó

Để hiểu rõ về kỹ năng ta cần phân biệt khái niệm kỹ năng và kỹxảo Kỹ năng và kỹ xảo đều là cách thức của hành động, là thành phầnkhông thể thiếu của hành động, song giữa chúng có những khác biệt sauđây:

Bảng 1.1: Bảng so sánh kỹ năng và kỹ xảo Tiêu chí so sánh Kỹ năng Kỹ xảo

Độ linh hoạt sáng tạo Cao Thấp, máy móc, khuôn mẫu

Sự tham gia của ý thức Có sự tham gia của ý thức Ý thức được giải phóng Thời gian xuất hiện Có sau Có trước

Cơ sở hình thành

Các tri thức và kỹ xảo, rèn luyện trong hoạt động có

ý thức

Các tri thức và kỹ năng nguyên sinh, luyện tập có ý thức dẫn đến tự động hóa

Điều kiện hình thành

Từng bước phức tạp dần trong những điều kiện khác nhau

Trong điều kiện, yêu cầu nhất định không thay đổi

“Nguồn: Đặng Việt Phú - 2014 [15]”

Qua bảng so sánh ta có thể thấy sự khác nhau giữa kỹ năng và kỹ xảo,

kỹ năng được hình thành và phát triển dựa trên cơ sở tri thức và kỹ xảo

Sự khác nhau giữa kỹ năng và phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơthể với môi trường Phản xạ mang tính thụ động Kỹ năng là phản ứng

có ý thức và hoàn toàn mang tính chủ động

Sự khác nhau giữa kỹ năng và thói quen: Hầu hết các thói quenhình thành một cách vô thức và khó kiểm soát Trong khi đó kỹ năngđược hình thành một cách có ý thức do quá trình luyện tập.

Thói quen rất khác với kiến thức Bởi vì, kiến thức là biết, là hiểunhưng chưa bao giờ làm, thậm chí không bao giờ làm Trong khi đó kỹnăng lại là hành động thuần thục trên nền tảng kiến thức Vì không tácđộng vào thực tại khách quan nên kiến thức thường ít tạo ra những thànhquả cụ thể

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Kỹ năng có ở mỗi con người đều trải qua quá trình hình thành vàphát triển lâu dài, phức tạp, qua nhiều giai đoạn Để hình thành bất kìmột kỹ năng nào cũng cần được tiến hành thông qua các hoạt động luyệntập, củng cố, vận dụng nhờ việc tiến hành các thao tác, hành động vàdiễn ra theo quy trình trong thời gian nhất định Theo K.K Platônôv vàG.G Gôbulev (1963) quá trình hình thành kỹ năng thường trải qua nămgiai đoạn:

Giai đoạn 1: Con người được đặt trước tình huống mới, nhận thức đượctình huống và mục đích của hành động, từ đó tìm kiếm cách thức hànhđộng từ sự hiểu biết, kinh nghiệm và hệ thống kỹ xảo đã có Chủ thể vậndụng chúng thành những kỹ năng sơ đẳng có tính kinh nghiệm

Giai đoạn 2: Chủ thể đã có hiểu biết và phương thức hành động nhờviệc sử dụng các tri thưc, kỹ xảo đã có Nhưng đó không phải những kỹxảo và những kỹ năng chuyên biệt nhằm hành động để giải quyết tìnhhuống Chủ thể đã biết phương thức hành động nhưng chưa đầy đủ, cònnhiều thiếu sót, sai lầm cũng như những thao tác thừa,

Giai đoạn 3: Có sự hình thành ở mức độ cao những kỹ năng riêng rẽ và

có tính chất chung, cần cho nhiều hoạt động khác nhau

Giai đoạn 4: Chủ thể có thể vận dụng một cách có sáng tạo vốn hiểu

biết và những kỹ năng cụ thể, những kỹ xảo đã có Chủ thể không chỉ ýthức về mục đích mà còn cả về lựa chọn phương thức hành động hợp lý

để hướng tới mục đích, kết quả cần đạt Cuối giai đoạn này, kỹ năng cụthể đã ở trình độ phát triển cao

Giai đoạn 5: Hình thành kỹ năng thực sự Khi đó các kỹ năng cụ thểkết hợp lại, tạo thành những nhóm kỹ năng Vì vậy, chủ thể có thể sửdụng một cách sáng tạo các kỹ năng, kỹ xảo đã được hình thành vàoviệc giải quyết các tình huống khác nhau của nghề nghiệp Dẫn theo [20,tr.20] M.A.Đanilov và M.N.Xcatkin quan niệm rằng: “Kỹ năng bao giờcũng xuất phát từ kiến thức, kỹ năng chính là kiến thức trong hành động

Kỹ năng là khả năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích vàsáng tạo những kiến thức” Như vậy, kỹ năng là phương thức hành độngdựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các nội dung cụ thể

Kỹ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập Kỹ năng làmột bộ phận cấu thành năng lực Sự hình thành kỹ năng là làm cho ngườihọc nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làmsáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài tập Vì vậy, muốn hìnhthành kỹ năng cho HS, chủ yếu là kỹ năng học tập và kỹ năng giải toán,

1.1.4 Phân loại kỹ năng

Nếu xét theo tổng quan thì kỹ năng phân ra làm 3 loại:

+ Kỹ năng chuyên môn

+ Kỹ năng sống

+ Kỹ năng làm việc

Nếu xét theo liên đới chuyên môn thì kỹ năng được phân làm cácloại sau:

kỹ năng sống là những nhóm kỹ năng thiết yếu giúp cho chủ thể tồn tại

và thăng hoa trong cuộc sống

Kỹ năng “mềm” (soft skills): là loại kỹ năng mà chúng ta có được từhoạt động thực tế cuộc sống hoặc thực tế nghề nghiệp, là thuật ngữ dùng

để chỉ các kỹ năng quan trọng trong cuộc sống con người (kỹ năng sống,giao tiếp, lãnh đạo, làm việc theo nhóm, sáng tạo và đổi mới, ) Kỹ năng

“mềm” liên quan tới tập hợp các đặc tính con người, thái độ xã hội, thóiquen cá nhân, tính thân thiện, sự lạc quan, sử dụng ngôn ngữ, mà dựavào đó con người được đánh giá theo nhiều mức độ khác nhau Kỹ năngmềm thiên khá nhiều về yếu tố bẩm sinh, tuy nhiên phần lớn con ngườinếu chịu khó rèn luyện thì vẫn có thể nâng cao đáng kể kỹ năng của bảnthân

Kỹ năng “cứng” (hard skills): là kỹ năng mà chúng ta có được dođược đào tạo từ nhà trường hoặc tự học, đây là kỹ năng có tính nền tảng

* Trong Toán học có thể phân chia kỹ năng thành các loại:

1.2 Một số vấn đề cơ bản về kỹ năng chứng minh

1.2.1 Khái niệm chứng minh

Trong phạm vi khoa học Toán học: Trong Toán học, một chứngminh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đãđược chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu Toán học là đúngđắn Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranhluận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm Có nghĩa là, một chứng minhphải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không

có ngoại lệ

Theo từ điển Toán học: “Chứng minh là phép suy luận để thiết lập

sự đúng hay sai của một khẳng định (phán đoán, mệnh đề, định lý)”

Trong dạy học Toán ở trường THCS: Đối với chương trìnhToán THCS (lớp 7), HS bước đầu được làm quen với định lý, thấy được

sự cần thiết phải chứng minh định lý, bước đầu làm quen với bài toánchứng minh hình học Khi đó HS đã được tiếp cận với khái niệm chứngminh định lý: “Chứng minh định lý là dùng lập luận để suy từ giả thiết rakết luận Lập luận là nêu những khẳng định và vạch rõ vì sao, căn cứ vàođâu mà có những khẳng định đó”, “Chứng minh định lý là dùng suy luận

để khẳng định kết luận (được suy ra từ giải thiết) là đúng” [17, tr.100]

Trong phạm vi logic Toán: Trong cuốn “Tập hợp và logic”, cáctác giả Hoàng Xuân Sính và Nguyễn Mạnh Trinh định nghĩa: “Ta gọi làmột chứng minh một dãy hữu hạn những lập luận (mệnh đề) được kí hiệudưới dạng các công thức như sau: A1, A2, A3, An

Sao cho, với mọi i (i=1, 2, , n) Ai phải thỏa mãn một trong các điềukiện sau:

(i) Hoặc Ai là tiên đề, hoặc Ai là một định lý, hoặc Ai là giả thiết (hayđiều kiện) đã cho trước

(ii) Hoặc Ai là công thức tương đương với một công thức có mặt trong

dãy đứng trước nó.

(iii) Hoặc Ai là hệ quả logic được suy ra từ các công thức có mặt trongdãy đứng trước nó.”

Tác giả Nguyễn Bá Kim định nghĩa:

“Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra một dãy hữu hạn A1, A2, A3,

An thỏa mãn các điều kiện sau:

• Mỗi Ai (i=1, 2, , n) của dãy đó hoặc là tiên đề hoặc định nghĩa, hoặcsuy ra từ một số trong các A1, A2, A3, An−1 nhờ những quy tắc kếtluận logic

• An chính là mệnh đề T” [8, tr.368]

1.2.2 Cấu trúc của chứng minh

Mỗi một chứng minh gồm các thành phần:

1) Luận đề: Các kết luận, kết quả của các bước thay thế, trong đó mệnh

đề cần chứng minh gọi là luận đề

Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh cái gì” Ta còn gọi luận đề là kếtluận

2) Luận cứ: Các mệnh đề mà dựa vào nó để suy ra mệnh đề cần chứngminh

Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh dựa vào cái gì?” Trong các bài toánchứng minh, luận cứ còn là các định nghĩa, định lý, tiên đề, quy tắc, côngthức đã biết

3) Luận chứng: Các quy tắc suy luận logic được dùng trong chứng minh

Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh như thế nào?”, “theo những quy tắcsuy luận nào?”

Một số quy tắc suy diễn logic thường gặp:

+ Quy tắc tam đoạn luận:

A ⇒ B; B ⇒ C

A ⇒ C

+ Quy tắc tam đoạn luận bắc cầu:

A ⇒ B; B ⇒ C

A ⇒ C+ Quy tắc tam đoạn luận phủ định:

A ⇒ B; BA+ Các quy tắc phản chứng:

4) Các điều kiện vào (các tiền đề - prémisses): đó là các mệnh đề đã cho(giả thiết), các mệnh đề kết luận của các bước trước đó, mệnh đề đúng

đã biết Như vậy, chứng minh được hiểu là một dãy hữu hạn các bộ basau đây:

Hình 1.1: Sơ đồ chứng minh

“Nguồn: Lê Văn Tiến - 2005 [19, tr.62]”

1.2.3 Phân tích một chứng minh

Phân tích một chứng minh là phân tích cấu trúc của chứng minh

đó Nói cách khác là chỉ rõ trong mỗi bước của chứng minh ta đã có nhữngtiền đề nào, kết luận rút ra là gì, các quy tắc thay thế (luận cứ) và cácquy tắc suy diễn nào đã được sử dụng

Việc phân tích một chứng minh cho phép HS hiểu rõ hơn cấu trúccủa chứng minh, cho phép phát hiện những sai lầm (nếu có) và nguyênnhân của sai lầm ở đâu

Đối với bài toán chứng minh không phải bài toán nào cũng có conđường chứng minh cụ thể Do đó hoạt động tìm tòi, khám phá tìm ra conđường chứng minh có ý nghĩa rất quan trọng Đứng trước yêu cầu chứngminh thì ta có thể nghĩ đến việc chứng minh trực tiếp, hoặc gián tiếp tùytheo yêu cầu và đặc điểm của bài toán Vấn đề đặt ra là cần phải xác địnhđược mệnh đề xuất phát Để giải quyết vấn đề này ta thường sử dụng cácphương pháp phân tích sau đây:

a Phương pháp phân tích đi lên: Phân tích đi lên từ kết luận của bàitoán, cách phân tích này giúp HS hiểu được mối quan hệ logic giữa điềucần phải chứng minh và điều cần để chứng minh, phát triển tư duy suyluận, óc sáng tạo và tính chủ động cao khi giải một bài toán chứng minh

Sơ đồ của phân tích đi lên: T ⇐ T1 ⇐ T2 ⇐ ⇐ Tn

Trong đó, T là mệnh đề cần chứng minh, Tn là mệnh đề đúng đã biết.Hay nói cách khác, để phân tích đi lên ta làm như sau:

- Xuất phát từ T, xem nó có là hệ quả logic của mệnh đề T1 nào đó haykhông (T ⇐ T1) Ở bước này ta cần trả lời câu hỏi muốn chứng minh T

ta cần chứng minh cái gì?

- Xuất phát từ T1 , xem T1 có là hệ quả logic của mệnh đề T2 nào đó haykhông (T1 ⇐ T2) Tương tự, ta cần đi trả lời câu hỏi muốn chứng minh

T1 ta cần chứng minh cái gì?

-

- Cuối cùng đi tới Tn là mệnh đề đúng đã biết Vì Tn đúng nên T đúng

Ví dụ 1.2.1 Cho (O), dây cung AC và đường kính AB của đường trònlập thành góc 30o Tiếp tuyến với đường tròn tại C cắt AB kéo dài tại D.Chứng minh AC=DC

Ta sẽ phân tích theo sơ đồ:

AC = DC (T)⇐ ∆ACD cân tại C (T1)

Ví dụ 1.2.2 Cho (O), hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AO, OB CN cắt (O) tại I IM cắt (O)tại J CM cắt (O) tại K Khi đó, kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề

\

CM I = 90o

Ta phân tích theo sơ đồ:

(T8) ⇒ ∆AJ B có hai góc vuông (sai) (T9 )

Kết luận mệnh đề trên là sai Hình 1.3

Ví dụ 1.2.3 Bài tập 22 SGK Toán 9 tập 2 trang 76

Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B) Vẽ tiếptuyến của (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C Chứngminh rằng ta luôn có: M A2=MB.MC

* Phân tích đi lên:

Cách 2: dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

BN.BC ⇒ ⇒ M A2 = M B.M C

Dựa vào hai cách phân tích trên đây, GV cho HS trình bày lại hoànchỉnh bài toán chứng minh, bằng cách bổ túc những cơ sở, luận cứ vàcác thuật ngữ thường dùng như: “ta có”, “ta lại có”, “vì”, “bởi vì”, “do đó”,

“nên”, “cho nên”, “mà”, “mặt khác”, “hay”, “suy ra”, “vậy”, Cùng mộtchứng minh nhưng có thể có nhiều cách phân tích khác nhau Cho nên

cứ sau mỗi phân tích GV nhắc HS luôn tự đặt ra câu hỏi là: có còn cáchphân tích nào nữa hay không? Nhờ vậy chúng ta sẽ tìm ra được nhiềucách chứng minh khác nhau, trên cơ sở đó GV chọn ra những cách chứngminh phù hợp nhất với thực lực của lớp để giải cho HS

1.2.4 Các yêu cầu của chứng minh

Xuất phát từ cấu trúc của một chứng minh, trong quá trình chứngminh ta cần đảm bảo các yêu cầu sau:

a Yêu cầu logic của luận đề: Mệnh đề đứng sau của một chứng minhnhất thiết là mệnh đề cần chứng minh Nghĩa là luận đề không được đánhtráo, không được thay thế bằng mệnh đề không tương đương logic Nhưvậy, luận đề cần tuân thủ các quy tắc sau:

Quy tắc 1: Luận đề phải chân thực

Chứng minh là nhằm vạch ra tính đúng đắn, chân thực của luận đề, chứkhông phải là làm cho luận đề trở nên đúng đắn, chân thực Vì thế, nếuluận đề không chân thực thì không thể nào chứng minh được

Luận đề không thể chứng minh được, vì nó không chân thực

Quy tắc 2: Luận đề phải phải rõ ràng, chính xác

Sẽ không thể chứng minh được, nếu luận đề không được xác định rõ ràng.Quy tắc 3: Luận đề phải được giữ nguyên trong suốt quá trình chứng

Giữ nguyên luận đề nhằm thực hiện nhiệm vụ của chứng minh Nếu luận

đề bị thay đổi thì nhiệm vụ chứng minh không hoàn thành, tức là luận

đề được xác định ban đầu thì không chứng minh một luận đề khác

Ở yêu cầu này, sai lầm về luận đề chủ yếu là do thay mệnh đề cần chứngminh bằng một mệnh đề không tương đương với nó

b Yêu cầu logic của luận chứng: Việc rút ra một mệnh đề mới từ cácmệnh đề trước đó trong quá trình chứng minh phải theo các quy tắc suydiễn logic Như vậy, luận chứng cần tuân thủ các quy tắc sau:

Quy tắc 1: Luận chứng phải tuân theo các quy tắc, quy luật logic

Vi phạm các quy tắc, quy luật logic thì kết luận không được rút ra mộtcách tất yếu từ tiền đề, tức là không chứng minh được luận đề

Quy tắc 2: Luận chứng phải bảo đảm tính hệ thống

Các luận cứ phải được sắp xếp, tổ chức chặt chẽ, bảo đảm cho phép chứngminh có sức thuyết phục cao

Quy tắc 3: Luận chứng phải bảo đảm tính nhất quán – phi mâu thuẫn.Nếu trong phép chứng minh có chứa những luận cứ mâu thuẫn với nhautrực tiếp hoặc gián tiếp, thì phép chứng minh ấy chứa mâu thuẫn logic,không thuyết phục

Ở yêu cầu này, sai lầm về mặt luận chứng do việc sử dụng các quy tắcsuy luận không hợp logic

c Yêu cầu logic của luận cứ: Mỗi mệnh đề trong chứng minh đều phải

là một tiên đề, một định nghĩa, một định lý, một mệnh đề trong giả thiếthay một hệ quả logic của mệnh đề đứng trước nó trong quá trình chứngminh được rút ra từ một quy tắc suy luận logic

Hay nói cách khác, luận cứ phải là một mệnh đề đúng Như vậy, luận cứcần tuân thủ các quy tắc sau:

Quy tắc 1: Luận cứ phải là những phán đoán chân thực

Tính chân thực của luận cứ là yếu tố bảo đảm cho tính chân thực củaluận đề Vì vậy, không thể khẳng định tính chân thực của luận đề dựatrên cơ sở những luận cứ giả dối.

Quy tắc 2: Luận cứ phải là những phán đoán có tính chân thực đượcchứng minh độc lập với luận đề

Luận đề chỉ được chứng minh khi lấy tính chân thực của luận cứ làm cơ

sở Nếu tính chân thực của luận cứ lại được rút ra từ luận đề thì như thế

là chẳng chứng minh được gì cả Lỗi logic này gọi là lỗi “chứng minh vòngquanh”

Quy tắc 3: Luận cứ phải là lý do đầy đủ của luận đề

Giữa các luận cứ phải có mối liên hệ trực tiếp và tất yếu đối với luận đề.Các luận cứ không chỉ chân thực mà còn phải không thiếu, không thừa,bảo đảm cho luận đề được rút ra một cách tất yếu khách quan nhờ vàocác lập luận logic

Do vậy, sai lầm chủ yếu của luận cứ thường do chỉ dựa vào trực giác hay

sử dụng các mệnh đề chưa được chứng minh

1.2.5 Phân loại chứng minh

Trong Toán học, chứng minh được phân thành hai loại: chứng minhtrực tiếp và chứng minh gián tiếp

a Chứng minh trực tiếp: là phương thức áp dụng các quy tắc suydiễn, xuất phát từ các giả thiết, tiền đề hay các mệnh đề đúng đã biết đểsuy ra tính đúng đắn của mệnh đề cần chứng minh

Nói cách khác, chứng minh trực tiếp là đưa ra các luận cứ, dùng quy tắcsuy luận để rút ra luận đề Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các quy tắcsuy luận và suy luận bắc cầu

Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A ⇒ B là đúng (A là giả thiết, B

là kết luận), ta lập các mệnh đề mới A1, A2, A3, , An gọi là các mệnh

đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng: A ⇒ A1, A1 ⇒

A2, , An ⇒ B Tức là đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:

Theo quy tắc bắc cầu, ta có: (A ⇒ A1), (A1 ⇒ A2), , (An ⇒ B)

B

Ví dụ 1.2.4 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a

sin A =

bsin B =

csin C

Ta xét trường hợp đặc biệt ∆ABC vuông tại A Khi đó:

sin A =

bsin B =

csin C

Từ kết quả của bài toán đặc biệt dẫn tới ý tưởng giải bài toán tổng quátbằng cách tạo ra trong ∆ABC các tam giác vuông có góc B và C Kẻđường cao AH

Hình 1.6

- Trường hợp H trùng với B hay C ta đều có hệ thức trên Tương tự nếu

ta kẻ đường cao BK ta sẽ có hệ thức a

sin A =

csin C(2).

Từ (1) và (2) ta có: a

sin A =

bsin B =

csin C

b Chứng minh gián tiếp:

Trong loại chứng minh này, bao gồm các hình thức chứng minh sau:Chứng minh phản chứng: Phép chứng minh mệnh đề thông qua bác

bỏ mệnh đề phủ định của nó gọi là phép chứng minh phản chứng

Để chứng minh mệnh đề A là đúng, ta giả sử ngược lại A sai và chỉ rarằng việc A đúng sẽ dẫn tới mâu thuẫn Như vậy, A phải sai, nghĩa là Ađúng

A = A1 ∨ A2, A = A1 ∨ A2 = A1 ∧ A2

A = A1 ∧ A2, A = A1 ∧ A2 = A1 ∨ A2

A = ∀x : B(x), A = ∀x : B(x) = ∃x : B(x)

A = ∃x : B(x), A = ∃x : B(x) = ∀x : B(x)

Ví dụ 1.2.5 (Bài 11 SGK Toán 9 tập 1 trang 104)

Cho (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB Gọi H, Ktheo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứngminh: CH = DK

Thêm vào bài 11 ý như sau: chứng minh H và K ở bên ngoài (O)

Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’, H’nằmgiữa C và D Xét ∆ACH0 ta có: ACH\0 = \ACB +BCD = 90\ o+BCD ⇒\

\

ACH0 > 90o

Mà AH\0C = 90o (theo giả sử), do đó tổng

các góc trong ∆ACH0 lớn hơn 180o (vô lý)

Vậy H’ nằm ngoài (O) hay H nằm ngoài (O)

Chứng minh tương tự đối với điểm K

Hình 1.7Chứng minh loại dần: Nếu mệnh đề P chỉ có k khả năng xảy ra, phépchứng minh mệnh đề P xảy ra với k khả năng thứ i thông qua bác bỏ k-1khả năng còn lại được gọi là phép chứng minh loại dần

Giả sử mệnh đề P có k khả năng xảy ra là P1, P2, P3, , Pn Mệnh đề Pkhông xảy ra với khả năng thứ j: Pj

Ta sử dụng sơ đồ của phép chứng minh loại dần:

(P1 ∨ P2 ∨ ∨ Pk), P1P2 Pi−1Pi+1 Pk

PiBước 1: Khẳng định chỉ có k khả năng có thể xảy ra

Bước 2: Bác bỏ k - 1 khả năng xảy ra

Bước 3: Khẳng định P xảy ra ở khả năng thứ k

Phương pháp này không được sử dụng nhiều trong chương trình hình họcTHCS Chỉ xuất hiện trong một số bài toán đại số

Chứng minh quy nạp: Giả sử cần chứng minh mệnh đề P (n), n ∈ Zđúng ∀n ≥ a, a ∈ Z ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chứng minh P (a) đúng

Bước 2: Giả sử P (k), k ≥ a đúng Ta chứng minh P (k + 1) đúng

Bước 3: Kết luận P (n), ∀n ≥ a đúng

Ví dụ 1.2.6 Cho hai đường thẳng song song d, d’ Trên d lấy k điểm

theo thứ tự từ trái qua phải là A1, A2, A3, , Ak và trên d’ lấy n điểmtheo thứ tự từ trái sang phải là B1, B2, B3, , Bn Nối A1 với n điểm B1,

B2, B3, , Bn và nối Bn với k điểm A1, A2, A3, , Ak ta được tất cả(k+n-1) đoạn thẳng Ta chứng minh rằng không thể có nhiều hơn (k+n-1)đoạn thẳng nối các điểm A1, A2, A3, , Ak với các điểm B1, B2, B3, ,

Bn để các đoạn thẳng đó không cắt nhau ở phân trong mặt phẳng giớihạn bởi hai đường thẳng d và d’ đã cho (*)

Hình 1.8

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

+ Với k=1 và n=1: mệnh đề hiển nhiên đúng

+ Giả sử (*) đúng với k+n=m, ta chứng minh (*) đúng với k+n=m+1.Xét hai điểm cuối Ak và Bn, đoạn thẳng AkBn không cắt bất kì đoạnthẳng AiBj (i=1, ,k-1; j=1, ,n-1), do đó tập hợp những đoạn thẳngthỏa mãn yêu cầu bài toán phải chứa đoạn thẳng AkBn Nếu Ak và Bnđều được nối với một vài điểm nào đó thì chúng sẽ cắt nhau Do đó Akhoặc Bn không nối với các điểm khác Giả sử Ak không nối với nhữngđiểm Bs,s<n còn lại mà chỉ nối với Bn

Với (k - 1)+n điểm A1, A2, A3, , Ak − 1 và B1, B2, B3, , Bn từ giảthiết quy nạp, ta kẻ được tối đa là (k-1)+n-1=k+n-2 đoạn thẳng khôngcắt nhau Từ đó, với các điểm A1, A2, A3, , Ak và B1, B2, B3, , Bn

kẻ được tối đa (k+n-2)+1= k+n-1 đoạn thẳng không cắt nhau

Thông qua việc tìm hiểu nội dung chương trình hình học 9, tác giảđưa ra một số dạng bài toán chứng minh thường gặp:

- Dạng 1: chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Một số phương pháp chứng minh: cần chỉ rõ

+ Chúng là hai cạnh tương ứng của hai hình bằng nhau

+ Cùng bằng đoạn thẳng thứ 3 hoặc chúng có số đo bằng nhau

+ Chúng là hai cạnh bằng nhau trong các hình đặc biệt (hình bình hành,hình chữ nhật, hình vuông, )

+ Chúng là bán kính của một đường tròn hoặc hai đường bằng nhau;chúng là 2 tiếp tuyến kẻ từ 1 điểm đến 1 đường tròn

+ Chúng là 2 dây cung bằng trong trong 1 đường tròn hoặc 2 đường trònbằng nhau

+ Khoảng cách từ 1 điểm nằm trên đường trung trực đến hai đầu đoạnthẳng, khoảng cách từ 1 điểm nằm trên đường phân giác đến 2 cạnh củagóc,

- Dạng 2: chứng minh hai góc bằng nhau

Một số phương pháp chứng minh:

+ Chúng là hai góc tương ứng của hai hình bằng nhau, đồng dạng

+ Chúng cùng phụ, bù hoặc bằng góc thứ 3 hoặc chúng có số đo bằngnhau

+ Chúng là hai góc bằng nhau trong các hình đặc biệt

+ Chúng là hai góc nội tiếp chắn cùng 1 cung hoặc chắn hai cung bằngnhau

+ Chúng là các góc so le, đồng vị,

- Dạng 3: chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc.Một số phương pháp chứng minh:

Hai đường thẳng song song:

+ Chứng minh chúng cung song song hoặc vuông góc với đường thẳngthứ 3

+ Sử dụng định lý về hai đoạn thẳng tỉ lệ, định lý Ta-lét

+ Chúng là hai cạnh của các hình đặc biệt (hai cạnh đối diện của hìnhthang, hình bình hành, ); hoặc là đường trung bình trong tam giác, tronghình thang.

+ Chứng minh hai đường thẳng ấy tạo với một cát tuyến những góc so

+ Chúng là 2 đường chéo của hình vuông, hình thoi

+ Đường thẳng này song song với một đường thẳng vuông góc với đườngthẳng kia,

- Dạng 4: chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồngquy

Một số phương pháp chứng minh:

3 điểm A, O, B thẳng hàng:

+ Chứng minh AB là đường kính của đường tròn tâm O

+ Chứng minh OA, OB cùng song song hoặc vuông góc với một đườngthẳng

+ Chứng minh O, A, B cùng thuộc một đường thẳng nào đó hoặc \AOB =

+ Chứng minh chúng là những đường đặc biệt trong tam giác (3 đườngcao, trung tuyến, phân giác, )

- Dạng 5: chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đườngtròn

+ Chứng minh tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau

+ Chứng minh từ hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lai dưới hai gócbằng nhau

+ Chứng minh tổng các góc đối bằng nhau

+ Sử dụng tam giác đồng dạng, tính chất của hình vẽ,

- Dạng 8: chứng minh điểm cố định

+ Di chuyển các điểm di động đến các vị trí đặc biệt để phán đoán rađiểm cố định và chứng minh điều phán đoán

+ Để xác định vị trí đặc biệt của một yếu tố để một hình nào đó có dạngđặc biệt ta giả sử hình đặc biệt đó hình thành sau đó tìm ra mối liên hệvới các yếu tố cố định để tìm ra yếu tố di động cần tìm.

1.3 Kỹ năng chứng minh toán học

* Kỹ năng giải toán: Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng trithức toán học để giải quyết các bài tập toán học (bằng suy luận, chứngminh, )

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường học phổ thông mộttrong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng, cần chú ý nhữngtri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuậttoán và những kỹ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giảitoán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toánhọc, kỹ năng hoạt động tư duy hàm, Cần chú ý là tùy nội dung kiếnthức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn Toán trong nhà trường phổthông, theo lý luận dạy học môn Toán trong khi dạy học môn toán cầnquan tâm rèn luyện cho HS những kỹ năng trên những bình diện khácnhau:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống

Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng lànhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổthông

Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn

mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:

- Giúp HS hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt

chương trình phổ thông.

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sángtạo

- Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,gắnvới việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽhình,vẽ đồ thị

- Giúp HS rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính cẩnthận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp

* Kỹ năng chứng minh: Để có kỹ năng chứng minh toán học, HS cầnđược:

- Hình thành động cơ chứng minh: Sự cần thiết phải chứng minh dù đó

là những bài toán đơn giản nhất

- Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh như phântích, tổng hợp, so sánh, khái quát,

- Tri thức phương pháp về chứng minh: Trước hết là những tri thức vềcác quy tắc kết luận lôgic mà ở trong trường chỉ được truyền thụ theo conđường không tường minh

1.4 Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng chứng

minh hình học đối với GV và HS THCS

1.4.1 Đối với GV

Ở THCS, môn Toán là một trong những môn học luôn được chútrọng và cũng là môn học trừu tượng Hình học là một bộ phận của mônToán, trong đó sự trừu tượng được thể hiện rõ hơn so với phần Đại số

Đặc biệt, với các bài toán như: vẽ thêm đường phụ để chứng minh, có bấtđẳng thức hình học hay cực trị hình học, Đối với phân môn Hình học,phần lý thuyết ít nên việc truyền thụ kiến thức của GV đến HS sẽ gặpnhiều khó khăn.

Để tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ năng chứng minh cho HS, ở học kì 2năm học 2015 - 2016, chúng tôi đã tiến hành dự giờ một số tiết Hình họccủa GV dạy Toán ở THCS Nam Hòa, THCS Cẩm La, THCS Liên Hòa(Quảng Ninh) Kết quả cho thấy:

Một số tồn tại trong việc dạy học chứng minh hình học ở trườngTHCS

- Thiên về cung cấp lời giải cho HS tiếp thu một cách thụ động, chưa chútrọng hướng dẫn HS chiếm lĩnh kiến thức

- Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải bài toán hình học khi đãtìm được một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn HS suy nghĩ tìmtòi cách giải khác, cách giải hay hơn hoặc khai thác thêm ở bài toán vừagiải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng tạo của HS; thường chú ý sốlượng hơn là chất lượng bài giải

- Đôi lúc chú trọng mặt đề cao, cho HS giải những bài toán khó, bài toán

lạ trong khi còn nhiều HS vẫn lúng túng với những bài toán rất cơ bản

và coi nhẹ mặt bảo đảm kiến thức cơ bản

- Đối với các định lý, GV thường cho HS công nhận nội dung của định lý

mà không chứng minh

1.4.2 Đối với HS

Kết quả khảo sát và nhận xét về thái độ, ý thức học tập của HS đốivới môn Toán nói chung và phân môn Hình học nói riêng:

Câu hỏi 1: Em có thích học môn Toán không?

Câu hỏi 2: Trong các phân môn của môn Toán em thích học phân mônnào hơn?

Bảng 1.3: Phân môn thích học nhất trong môn Toán

Tổng số HS Phương án trả lời Số HS lựa chọn

Câu hỏi 3: Trong giờ học toán, cách học của em là gì?

Qua câu hỏi số 3 chúng tôi thấy khoảng 65% số HS chỉ nghe GVgiảng bài và ghi chép một cách thụ động Số HS trao đổi, thảo luận vớibạn bè và thầy cô trong giờ học vẫn còn ít Một số ít HS giỏi lựa chọncách tự giải quyết vấn đề trên cơ sở kiến thức đã có Điều này phản ánh sựtác động qua lại giữa GV và HS trong giờ Hình học vẫn còn chưa nhiều