(GT1) Tích phân xác định suy rộng

Tích phân xác định Bài toán tính diện tích hình thang cong: Cho hàm f(x) liên tục không âm [a,b] Miền D giới hạn đừơng cong y=f(x), đường thẳng x=a, x=b, y=0 gọi hình thang cong Yêu cầu đặt tính diện tích hình thang Chia đoạn [a,b] thành nphần tùy ý điểm a  x0  x1   xn  b y=f(x) S1 S2 S3 a x1 x2 x Sn-1 Sn xn-1 xn Tích phân xác định Ta tính gần diện tích hình thang cong thứ k cách lấy điểm Mk tùy ý [xk,xk+1] f(Mk) Sk Coi diện tích hình thang cong nhỏ xk Mk Xk+1 xấp xỉ với diện tích hình chữ nhật cạnh xkxk+1, f(Mk) , tức f ( M k ).( xk 1  xk ) Với n- điểm chia ta có n-hình thang cong nhỏ với diện tích tính xấp xỉ nên diện tích hình thang cong D tính xấp xỉ với Tích phân xác định n 1 Sn   f ( M k ).xk , xk  xk 1  xk k 0 Rõ ràng, công thức xấp xỉ xác số hình thang cong nhỏ nhiều Ta cho max xk  (khi do: n  , xk  0) Nếu Sn tiến đến giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] cách lấy điểm Mk giới hạn gọi diện tích hình thang cong D S ( D)  n 1 lim  f ( M k ).xk n k 0 max xk 0 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa tích phân xác định: Cho hàm f(x) xác định [a,b] Chia [a,b] thành n-phần tùy ý điểm chia (ta gọi phân hoạch đoạn [a,b]) a  x0  x1   xn  b Lấy điểm M k   xk , xk 1  , lập tổng tích phân n 1 Sn   f ( M k ).xk , xk  xk 1  xk k 0 (Tổng Riemann) Ta cho max xk  , Sn tiến đến giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] cách lấy điểm Mk giới hạn gọi tích phân xác định hàm f(x) [a,b] kí hiệu b  f ( x)dx Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích [a,b] a Tích phân xác định Ví dụ: Tính tích phân sau định nghĩa I1   x dx Chia [0,1] thành n phần điểm chia k  x0  x1    xk    xn  n n n 1 n 1 k Sn   ( xk 1  xk ) f ( xk )   n k 0 k 0 n n 1   1 1 1  n n n        ln  n n n e n 1 n 1    I1  lim Sn  ln n Tích phân xác định Theo định nghĩa, tích phân I1 cho ta diện tích phần mặt phẳng giới hạn trục Ox, Oy, đt x=1 đường S ( D)  cong y=2x ln Tích phân xác định Ta tính cách dùng MatLab Khai báo biến x: syms x Nhập hàm: f=2^x Nhập cận lấy tp: a=0, b=1 Sau thực bước sau Bước 1: Tính giá trị hàm f điểm xk lệnh subs(f,xk) Bước 2: Tính tổng Sn lệnh S=symsum(f(xk).(xk+1-xk),k,0,n-1): Tính tổng số hạng dạng f(xk).(xk+1-xk) theo k, với k từ đến n-1 Bước 3: Tính giới hạn Sn lệnh limit(S,n,inf): tính giới hạn S theo n, n dần đến ∞ (inf) Tích phân xác định Tính chất tích phân xác định Định lý 1: Hàm liên tục [a,b] khả tích [a,b] Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn [a,b] khả tích [a,b] Trong tính chất đây, có f(x), g(x) hàm khả tích [a,b] b 1/  dx  b  a b b a a /  c f ( x)dx  c  f ( x)dx a b b b a a a /   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x )dx Tích phân xác định b a a b b b a b a c b a b a c /  f ( x)dx    f ( x)dx /  f ( x)dx   g ( x)dx, f ( x)  g ( x)x  [a, b] /  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx f(x) khả tích [a,c], [c,b], [a,b] b /  f ( x)dx   f ( x) dx a a 0, f ( x) hàm lẻ a  a /  f ( x)dx   a 2  f ( x)dx, f ( x) hàm chẵn  Tích phân suy rộng loại xdx 1 x Ví dụ: Khảo sát HT I =  Hàm không xác định điểm x = 1, hàm không bị chặn điểm đọan lấy mà hàm không bị chặn Ta xét x → 1-,  x  x x f ( x)   ~  g ( x) 1/2 3(1  x ) 1 x 1 x 1 x  x f ( x)  HT PK Tức là: lim x 1 g ( x ) 1 dx Vậy:  g ( x )dx   HT  I HT 1/2 0 3(1  x ) Tích phân suy rộng loại Tích phân hàm có dấu - Hội tụ tuyệt đối Với hàm f(x) khả tích [a,b) không bị chặn b b b a a Nếu  f ( x) dx HT  f ( x)dx HT ln x Ví dụ: Khảo sát HT I   dx 01 x Xét điểm đặc biệt x=0, x=1 ln x 1 lim  lim  x 1  x x 1 ( 2 x ) x Tức hàm không bị chặn x=0 ln x lim   x 0   x Tp HT PK Tích phân suy rộng loại x  x Ví dụ: Khảo sát HT I   dx sin x  x Ta xét x→0: 3x  x  x f ( x)  ~ sin x  x ( x  x  O ( x ))  x 5/2 ~ 1/2  g ( x ) x 1 Do  g ( x)dx   1/2 dx HT  I5 HT 0 x Tích phân suy rộng loại 2 dx Ví dụ: Khảo sát HT I   x(2  x) Hàm dấu không bị chặn cận dx dx I6    x (2  x) x(2  x) dx 1  , HT Khi x  : f ( x )  ~ 1/2 x(2  x ) 2.x x1/2  Khi x  : f ( x )  ~ x (2  x ) dx , HT  1/ 2.(2  x )1/2 2.(2  x) Như vậy, I6 tổng HT nên I6 HT Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: Khảo sát HT I   dx x e  cos x Tp vừa suy rộng lọai 1, vừa suy rộng loại  dx dx I7   x  x e  cos x e  cos x 1  dx 1  Khi x   : f ( x )  ~ ,  = = HT x x x x e e e  cos x e e dx 1 Khi x  0 : f ( x)   ~ ,  PK x x e  cos x (e  1)  (1  cos x) x x Như vậy, I7 tổng HT PK nên I7 PK Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: Tính I8   ln(sin x)dx (1) Đặt t   x   I8   ln(sin(  t ))(dt )   ln(cos t )dt (2)  Cộng vế (1) (2):    2 sin 2t I8   ln(sin t )dt   ln(cos t )dt   ln dt 0     ln(sin 2t )dt   ln 2dt 0 Đặt u  2t Tích phân suy rộng loại 1  I8   ln(sin u )du  ln 20      ln(sin u )du   ln(sin u )du  ln 2 2 Đặt x  u   2   2 I8  I8  ln   ln(sin( x   ))dx 2 2     I8  ln   ln(cos x)dx  I8  ln 2 2  Vậy:  I8   ln(sin x)dx   ln 2 Tích phân suy rộng loại x  ln(1  x) dx Ví dụ: Tìm α để sau HT I9    x Ta tính x→0   x  O( x ) x  x  x  ln(1  x) f ( x)   ~  2  g ( x )   x x 2x 1 Tp I9 HT  g ( x)dx    2 dx HT 0 2x Vậy I9 HT   1   Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: Tìm α để sau HT I10   dx   5 x  ln(1  x ) x  I10   f ( x)dx   f ( x)dx, f ( x)  Khi x  0 : f ( x ) ~ x5    x  ln(1  x ) x5 1  1    f ( x)dx HT   <   0     Khi x   : f ( x ) ~  5     f ( x)dx HT    x 1  HT+PK -3/5 -1/5 HT+PK  3 1  Rõ ràng, với    ,  I10 HT  5  Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: Cho tích phân I8  dx  x x  1 Tìm α để I8 hội tụ tính tích phân    I8   x  dx x  1  Khi x → 0: f ( x )   dx x x  1 x x  1 4  J1  J ~  x J1 suy rộng loại 2, HT  1 Tích phân suy rộng loại Khi x   : f ( x )    x x  J2 tpsr loại 1, HT ~ x  8 5   1  3 Ta vẽ trục toạ độ để biểu diễn -5/3 Trong khoảng (-5/3,1), J1, J2 HT, khoảng HT, PK nên ta kết 5  1 I8 HT Tích phân suy rộng loại    I8  f ( x)  1 x3  1 x3  4 x2 1   dx tích phân Trebusev 4 x2 1   m 1 : m   , n  2, p     p  1  3 n   Đặt : t  a x  b  t     x x 2 x 2 3 2 Lấy đạo hàm vế: 3t dt  dx  t dt  x 3dx x Biến đổi: n s f ( x )dx  x   x 1   dx  x   2 3 x x x x 1    x 3 dx  Tích phân suy rộng loại f ( x )dx  x x    1  x2   x x3 dx  x    3 t t dt   Vậy: 1 3 3 I8   dt   t 2 t   2  3 x x x x     dt 2t  x 3dx  Tích phân suy rộng - Phụ lục Tính  dx I1   R x  x2   dx R I2   x 1  dx I3   x 1  arctan x I4   dx 3/2 (1  x )  I   xe  x2 dx R I6   I7   x2 dx 2 x dx ( x  1) x  x  dx x  2x  x   dx I9   ,t  1 2 x (1  x )  x  dx I10   2 ( x  1) x  I8    I11   x3 arcsin xdx |1  x | 1 x dx I12   (1  x )  x  dx I13   x  2x  x 1 x dx 3  x2 I14   Tích phân suy rộng - Phụ lục Tìm α để sau HT  dx I1     x sin x I2   I6    x dx ( x  1)( x  2) 2x   4  x    I7    x 1 3 x  x    1 dx 5 x I3   dx,  0,min    x  1   x (1  x )(1  x ) I8   dx   x 4 I4   dx   x 1 x I   e  x x 1dx  dx I5    x dx  2 x 1 x 1 I10    x    dx [...]... tp suy rộng lọai 2 Tích phân suy rộng lọai 1 Cho đường cong 1 y x Giả sử ta cần tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong trên và 2 nửa dương 2 trục Ox, Oy Khi đó, theo phần trên ta có  1 S ( D)   0 x dx Tích phân suy rộng lọai 1 Để có diện tích miền D, ta sẽ phải tính tích phân khi x→∞ và khi x→0 Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy rộng Có 2 loại tích phân suy rộng: Tích. .. Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị chặn (tp suy rộng loại 2) Tích phân suy rộng lọai 1 Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1: Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , b  a  Tích phân b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx b a a Được gọi là tp suy rộng lọai 1 của hàm f(x) trên [a,+∞) Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội tụ, tp không hội tụ thì gọi là tp phân. .. 0 1  x2 2 Tích phân xác định Lưu ý 1: Trong MatLab, để tính tích phân bất định hàm f(x), ta có thể dùng lệnh int(f,x) hoặc int(f) Và để tính tích phân xác định của hàm f trên [a,b] ta dùng lệnh int(f,a,b) Tuy nhiên, có những hàm ta sẽ không thể dùng lệnh int để tính tp bất định cũng như tp xác định (Hàm f trong ví dụ trên) Khi đó, ta chỉ có thể tính được trong MatLab các tích phân xác định bằng cách... chỉ có thể tính được trong MatLab các tích phân xác định bằng cách dùng thêm lệnh double : double(int(f,a,b)) Tức là ta chỉ có thể dùng MatLab để tính gần đúng các tích phân xác định như vậy Tích phân xác định Để tính gần đúng tích phân xác định, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đơn giản nhất là phương pháp hình thang như sau: Ta sẽ chia [a,b] thành lần lượt thành 2 phần, 4 phần, 8 phần, …, 2n phần bằng... Tp hội tụ Nếu 1- α1 và phân kỳ nếu α≤1 1 x Tích phân suy rộng lọai 1 Sử dụng CT Newton – Leibnitz để tính tp suy rộng Nếu hàm f(x) có nguyên hàm là G(x) trên [a,+∞) thì  b b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim G ( x) a b a b a  lim G (b)  G (a)  G ( x)  a b Tích phân suy rộng lọai 1 1 , x  0, y  0 Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y  3...   1: PK a 0 x Tích phân suy rộng loại 1  ln(1  x) Ví dụ: KS sự HT của I 2   dx x 1 ln(1  x ) 1 Khi x > e-1 thì ln(1+x)>1, suy ra  x x  1 Mà  dx PK Vậy I2 PK 1 x  3  sin2x I3   Ví dụ: KS sự HT của 3  sin2x x2  x  4 x2  x Suy ra tp I3 HT  2 1 x  4 x2 dx x  4 Vì  dx HT 2 x 1 Tích phân suy rộng loại 1 Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) f... (t )  b 1 2   1 2  Thì b t2 a t1  f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt Tích phân xác định 6 dx Ví dụ: Tính I3   1 1  3x  2 Đặt 3x  2  t  dx  2t dt , x  1, t  1 3 x  6, t  4 2 4 1  I3     1   dt 3 1 t 1 1 3 1 t 2 4   t  ln t  1  1 3 4 2tdt 1 2 5   3  ln  3 2 Tích phân xác định Phương pháp tích phân từng phần Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì b... a); fb = subs(f, b); I = (fa + fb)*(b-a)/2; sum=0 Lập vòng lặp để tính tổng và vòng lặp để tính tp I Tích phân xác định for n = 2:solan k=2^(n-2) h=(b-a)/(2*k) x = a + h; sum = 0; for i = 1:k fx = subs(f, x); sum = sum + fx; x = x + (b-a)/k; end I=(I/2)+h*sum end Tích phân xác định Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công thức Newton – Leibnitz e dx e  ln | x | e  0  e x Cách tính này sai... 3 S ( D)   ln  arctan   3 3  9  3 x2  x  1 0 Tích phân suy rộng lọai 1 1 , x  1, y  0 Ví dụ: Tính dt miền D ghạn bởi y  2 x  5x  6 1 S ( D)   dx 2 x  5x  6  1  ln x  3  ln x  2   Ta có giới hạn dạng vô định ∞ - ∞ 1  x 3   ln 2 S ( D)  ln   x  2   D Tích phân suy rộng lọai 1 Giả sử hàm f(x)≥0, khả tích trên [a, +∞) b Ta đặt g (b)   f ( x )dx Ta có: a g... x  4 Tích phân xác định Công thức Newton – Leibnitz: Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có b  f ( x)dx  G (b)  G (a) a 2ln 2 dx Ví dụ: Tính tích phân I 2   x ln 2 e  1 x 2ln 2 2ln 2  1 1  x      de I2   x x x x e ( e  1) ln 2  e  1 e  ln 2 e dx 3 x ln 4  ln(e  1)  ln(e )  ln3  ln 4  ln 2  ln ln 2 ln 2 2 x ln 4 Tích phân xác định Phương ... Tích phân suy rộng lọai Để có diện tích miền D, ta phải tính tích phân x→∞ x→0 Ta gọi tích phân tích phân suy rộng Có loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) tích phân. .. giới hạn gọi diện tích hình thang cong D S ( D)  n 1 lim  f ( M k ).xk n k 0 max xk 0 Tích phân xác định Tích phân xác định Định nghĩa tích phân xác định: Cho hàm f(x) xác định [a,b] Chia... chặn (tp suy rộng loại 2) Tích phân suy rộng lọai Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1: Cho hàm f(x) khả tích [a,b] , b  a  Tích phân b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx b a a Được gọi suy rộng