Bai tap va huong dan cach giai bai toan quy hoach tuyen tinh

MATHEDUCARE.COM Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ví dụ Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau: Nguyên liệu Bánh đậu xanh Bánh thập cẩm Đường Đậu Lãi 0,04kg 0,07kg 3000 Bánh dẻo Lượng dự trữ 0,05kg 0,02kg 2500 500kg 300kg 0,06kg 0kg 2000 Hãy lập mô hình toán tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà lãi đạt cao Giải Gọi x1 , x2 , x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất Điều kiện: x j ≥ , j = 1, 2,3 Khi 1) Tiền lãi thu là: f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + x2 + 2,5 x3 (ngàn) 2) Lượng đường sử dụng là: 0,04 x1 + 0, 06 x2 + 0,05 x3 (kg) Để không bị động nguyên liệu thì: 0,04 x1 + 0,06 x1 + 0,05 x1 ≤ 500 3) Lượng đậu sử dụng là: 0,07 x1 + 0,02 x3 (kg) Để không bị động nguyên liệu thì: 0,07 x1 + 0,02 x3 ≤ 300 Vậy ta có mô hình toán (1) f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + x2 + 2,5 x3 → max (2) 0,04 x1 + 0,06 x1 + 0,05 x1 ≤ 500 0,07 x1 + 0,02 x3 ≤ 300 (3) x j ≥ , j = 1, 2,3 Ta nói toán quy hoạch tuyến tính ẩn tìm max hàm mục tiêu Ví dụ Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau: Chất dinh dưỡng Đạm Đường Khoáng Giá mua A 0,1g 0,3g 0,02g 3000 B 0,2g 0,4g 0,01g 4000 C 0,3g 0,2g 0,03g 5000 MATHEDUCARE.COM Hãy lập mô hình toán học toán xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày Giải Gọi x1 , x2 , x3 khối lượng (g) thức ăn A, B, C cần mua Điều kiện: x j ≥ , j = 1, 2,3 Khi Tổng khối lượng chất dinh dưỡng có thức ăn cần mua Đạm: 0,1x1 + 0, x2 + 0,3 x3 (g) Đường: 0,3x1 + 0, x2 + 0, x3 (g) Khoáng: 0,02 x1 + 0,01x2 + 0,03 x3 (g) Để đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng tối thiểu ngày tổng khối lượng chất dinh dưỡng có thức ăn cần mua nhỏ nhu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng nên ta có điều kiện: 0,1x1 + 0, x2 + 0,3 x3 ≥ 90 0,3x1 + 0, x2 + 0, x3 ≥ 130 0,02 x1 + 0,01x2 + 0,03 x3 ≥ 10 Tổng số tiền để mua số thức ăn 3x1 + x2 + x3 (đồng) Yêu cầu toán số tiền chi cho mua thức ăn nên ta có điều kiện 3x1 + x2 + x3 → Vậy ta có mô hình toán (1) f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + x2 + x3 → (2) 0,1x1 + 0, x2 + 0,3 x3 ≥ 90 0,3x1 + 0, x2 + 0, x3 ≥ 130 0,02 x1 + 0,01x2 + 0,03 x3 ≥ 10 (3) x j ≥ , j = 1, 2,3 Ví dụ (CHLH 2009) Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau: Các yếu tố Bàn Ghế Tủ Chi phí sản xuất (ngàn đồng) 100 40 250 Giá bán (ngàn đồng) 260 120 600 Lao động (ngày công) Hãy lập mô hình toán học toán xác định số sản phẩm loại cần phải sản xuất cho không bị động sản xuất tổng doanh thu đạt cao nhất, biết sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất 40 triệu đồng số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6 MATHEDUCARE.COM Giải Gọi x1 , x2 , x3 số bàn, ghế, tủ cần phải sản xuất Ta có điều kiện: x1 , x2 , x3 ≥ Tổng ngày công chi phí dự định để sản xuất là: x1 + x2 + x3 (ngày công) 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 (ngàn đồng) Để không bị động sản xuất ta có điều kiện sau x1 + x2 + 3x3 ≤ 500 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 ≤ 40000 Theo tỉ lệ số bàn số ghế ta có điều kiện sau 6x1 = x2 Tổng doanh thu theo dự kiến 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 (ngàn đồng) Để tổng doanh thu đạt cao ta có điều kiện 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max Như vậy, mô hình toán học toán 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max (1) x1 + x2 + 3x3 ≤ 500 (2) 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 ≤ 40000 6x1 = x2 (3) x1 , x2 , x3 ≥ 1.2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Dạng tổng quát toán quy hoạch tuyến tính Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn toán có dạng (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max(min) ≥  (2) ai1 x1 + x2 + L + ain xn  ≤  bi , i = 1, 2,K , m  =  ≥  (3) x j ≤  , j = 1, 2,K , n tuy y  Trong • (1) hàm mục tiêu • (2) hệ ràng buộc • (3) ràng buộc dấu • (2) (3) gọi chung hệ ràng buộc toán MATHEDUCARE.COM Khi • Mỗi vector x = ( x1 , x2 ,K , xn ) thõa (2) (3) gọi phương án (PA) toán • Mỗi phương án x thỏa (1), nghĩa hàm mục tiêu đạt giá tị nhỏ (lớn nhất) tập phương án gọi phương án tối ưu (PATU) toán • Giải toán QHTT tìm phương án tối ưu toán vô nghiệm, nghĩa toán PATU 1.2.2 Dạng tắc toán QHTT (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max(min) (2) ai1 x1 + x2 + L + ain xn = bi , i = 1, 2,K , m (3) x j ≥ 0, j = 1, 2,K , n Nhận xét Bài toán QHTT dạng tắc toán QHTT dạng tổng quát • Các ràng buộc phương trình • Các ẩn không âm Ví dụ Bài toán sau có dạng tắc (1) f ( x) = x1 − x2 − x3 + x4 →  x1 − x2 + x4 = 12  (2) 12 x1 − x2 + x3 + x4 =  x − x − x − x = −6  (3) x j ≥ 0, j = 1, 2,3, 1.2.3 Dạng chuẩn toán QHTT Bài toán QHTT dạng chuẩn toán QHTT dạng tắc (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max(min) (2) ai1 x1 + x2 + L + ain xn = bi , i = 1, 2,K , m (3) x j ≥ 0, j = 1, 2,K , n Trong • Các hệ số tự không âm • Trong ma trận hệ số tự có đủ m vector cột đơn vị: e1 , e2 ,K , em 1  0  0       0 1   e1 = , e1 = ,K , em =   M  M  M        0 0 1  Khi đó: • Các ẩn ứng với vector cột đơn vị gọi ẩn Cụ thể ẩn ứng với vector cột đơn vị ek ẩn thứ k MATHEDUCARE.COM • Một phương án mà ẩn gọi phương án • Một phương án có đủ m thành phần dương gọi không suy biến Ngược lại phương án có m thành phần dương gọi suy biến Ví dụ Xét toán QHTT sau (1) f ( x) = x1 − x2 − x3 + x4 →  x1 + x4 + x5 = 12  (2) 12 x1 + x3 + x6 = x + x − x − x =  (3) x j ≥ 0, j = 1, 2,3, 4,5,6 Ta thấy toán có dạng tắc, Các hệ số tự không âm Ma trận hệ số ràng buộc A  0 1 0 A = 12 0   1 −1 −1 0  Có chứa đầy đủ vector cột đơn vị e1 (cột 5), e2 (cột 6), e3 (cột 2) Do toán có dạng chuẩn, • Ẩn thứ x5 • Ẩn thứ hai x6 • Ẩn thứ ba x2 Nhận xét Trong toán trên, cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k, ẩn không 0, nghĩa cho x2 = 15, x6 = 3, x2 = 6, x1 = 0, x3 = 0, x4 = ta phương án toán x = (0,6, 0,0,12,3) Phương án không suy biến có đủ thành phần dương Ta gọi phương án ban đầu toán Chú ý Tổng quát, toán QHTT dạng chuẩn bất kì, cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k ( k = 1, 2,K , m ), ẩn không 0, ta phương án toán Ta gọi phương án ban đầu toán 1.3 BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN QHTT 1.3.1 Dạng tổng quát dạng tắc Ta biến đổi toán dạng tổng quát dạng tắc bước sau Bước Kiểm tra hệ ràng buộc 1) Nếu có ràng buộc dạng ai1 x1 + x2 + L + ain xn ≤ bi ta cộng vào vế trái ràng buộc ẩn phụ xn+ k , nghĩa ta thay ràng buộc ai1 x1 + x2 + L + ain xn ≤ bi toán ràng buộc ai1 x1 + x2 + L + ain xn + xn + k = bi MATHEDUCARE.COM 2) Nếu có ràng buộc dạng ai1 x1 + x2 + L + ain xn ≥ bi ta trừ vào vế trái ràng buộc ẩn phụ xn+ k , nghĩa ta thay ràng buộc ai1 x1 + x2 + L + ain xn ≥ bi toán ràng buộc ai1 x1 + x2 + L + ain xn − xn + k = bi Chú ý Các ẩn phụ ẩn không âm hệ số ẩn phụ hàm mục tiêu Bước Kiểm tra điều kiện dấu ẩn số 1) Nếu có ẩn x j ≤ ta thực phép đổi ẩn số x j = − x j′ với x j′ ≥ 2) Nếu có ẩn x j có dấu tùy ý ta thực phép đổi ẩn số x j = x j′ − x j′′ với x j′ , x j′′ ≥ Chú ý Khi tìm PATU toán dạng tắc ta cần tính giá trị ẩn ban đầu bỏ ẩn phụ PATU toán dạng tổng quát cho Ví dụ Biến đổi toán sau dạng tắc (1) f ( x) = x1 − x2 − x3 + x4 →  x1 − x2 + x3 ≤ 50  (2) 7 x1 + x3 ≥ 30  x + 3x − x = −25  (3) x1 ≥ 0, x2 ≤ Giải Thêm vào toán ẩn phụ x4 ≥ để biến bất phương trình x1 − x2 + x3 ≤ 50 phương trình x1 − x2 + x3 + x4 = 50 Thêm vào toán ẩn phụ x5 ≥ để biến bất phương trình x1 + x3 ≥ 30 phương trình x1 + x3 − x5 = 30 Đổi biến x2 = − x2′ với x2′ ≥ Đổi biến x3 = x3′ − x3′′ với x3′ , x3′′ ≥ Ta đưa toán dạng tắc (1) f ( x) = 3x1 − x2′ + 2,5( x3′ − x3′′ ) → m ax  x + x ′ + 5( x ′ − x ′′ ) + x = 50 3   (2) 7 x1 + ( x3′ − x3′′ ) − x5 = 30   x1 − 3x2′ − 5( x3′ − x3′′ ) = −25 (3) x1 ≥ 0, x2′ ≥ 0, x3′ ≥ 0, x3′′ ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 1.3.2 Dạng tắc dạng chuẩn Từ toán dạng tắc ta xây dựng toán dạng chuẩn sau 1) Khi gặp hệ số tự bi < ta đổi dấu hai vế ràng buộc thứ i MATHEDUCARE.COM 2) Khi ma trận hệ số ràng buộc A không chứa cột đơn vị thứ k ek , ta đưa vào ẩn giả xn + k ≥ cộng thêm ẩn giả xn+ k vào vế trái phương trình ràng buộc thứ k để phương trình ràng buộc mới: ak1 x1 + ak x2 + L + akn xn + xn + k = bk 3) Hàm mục tiêu mở rộng f ( x) xây dựng từ hàm mục tiêu ban đầu sau • Đối với toán min: f ( x) = f ( x) + M (∑ an gia) • Đối với toán max: f ( x) = f ( x) − M (∑ an gia) Trong M đại lượng lớn, lớn số cho trước Ví dụ Biến đổi toán QHTT sau dạng chuẩn (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 →  x1 − x2 + x3 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  x + 3x − x = −25  (3) x j ≥ 0, j = 1,K , Giải Bài toán có dạng tắc, vế phải phương trình ràng buộc thứ ba -25 < Đổi dấu hai vế phương trình ta −2 x1 − 3x2 + x3 = 25 Và (2) trở thành  x1 − x2 + x3 = 50  7 x1 + x3 + x4 =  −2 x − x + x = 25  Ma trận hệ số ràng buộc  −6  A =  1  0  −2 −3    Vì A thiếu vector cột đơn vị e1 e3 nên toán chưa có dạng chuẩn Thêm vào toán hai ẩn giả x5 , x6 ≥ xây dựng toán mở rộng có dạng chuẩn sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 + Mx5 + Mx6 →  x1 − x2 + x3 + x5 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  −2 x − x + x + x = 25  (3) x j ≥ 0, j = 1,K ,6 Ví dụ Biến đổi toán QHTT sau dạng chuẩn (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 → m ax MATHEDUCARE.COM  x1 − x2 + x3 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =   x1 + 3x2 − x3 = −25 (3) x j ≥ 0, j = 1,K , Ta xây dựng toán mở rộng dạng chuẩn sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 − Mx5 − Mx6 → m ax  x1 − x2 + x3 + x5 = 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 =  −2 x − x + x + x = 25  (3) x j ≥ 0, j = 1,K ,6 Chú ý • Ẩn phụ: Tổng quát chuyển thành tắc • Ẩn giả: Chính tắc chuyển thành chuẩn Ví dụ Biến đổi toán QHTT sau dạng chuẩn (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 → m in −9 x1 + 15 x3 ≤ 50  (2) −6 x3 + x4 = −120  x + 3x − x ≥ −45  (3) x j ≥ 0, j = 1,K , Giải Thêm vào toán ẩn phụ x5 , x6 ≥ ta toán có dạng tắc sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 → m in −9 x1 + 15 x3 + x5 = 50  (2) −6 x3 + x4 = −120  x + 3x − x − x = −45  (3) x j ≥ 0, j = 1,K , Bài toán chưa có dạng chuẩn Ta thấy vế phải hai phương trình ràng buộc thứ âm nên cách đổi dấu hai vế phương trình ta −9 x1 + 15 x3 + x5 = 50  (2) 6 x3 − x4 = 120  − x1 − 3x2 + x3 + x6 = 45 Ma trận hệ số ràng buộc  −9 15  A =  0 −2 0   −1 −3 0    MATHEDUCARE.COM Vì A thiếu vector cột e2 nên toán chưa có dạng chuẩn Thêm vào ràng buộc thứ hai ẩn giả x7 ≥ ta toán dạng chuẩn sau (1) f ( x) = 3x1 + x2 + x3 + x4 + Mx7 → m in −9 x1 + 15 x3 + x5 = 50  (2) 6 x3 − x4 + x7 = 120  − x1 − 3x2 + x3 + x6 = 45 (3) x j ≥ 0, j = 1,K , Chú ý Quan hệ toán xuất phát toán mở rộng Mối quan hệ toán xuất phát (A) toán mở rộng (B) sau • B vô nghiệm suy A vô nghiệm • B có nghiệm có hai trường hợp: 1) Nếu ẩn giả PATU bỏ ẩn giả ta PATU A 2) Nếu có ẩn giả > suy A PATU Chương PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 2.1.1 Thuật toán giải toán max Bước lặp thứ (bảng đơn hình thứ nhất) 1) Lập bảng đơn hình xuất phát Vẽ bảng đơn hình ghi vào thành phần sau toán dạng chuẩn • Dòng Ghi ẩn toán (kể ẩn phụ) • Dòng Ghi hệ số ẩn hàm mục tiêu • Cột Ghi ẩn toán theo thứ tự từ ẩn thứ đến ẩn cuối cùng, ta gọi cột cột ẩn • Cột 1: Ghi tương ứng hệ số ẩn hàm mục tiêu, ta gọi cột cột hệ số • Cột Ghi số hạng tự hệ ràng buộc theo thứ tự từ xuống dưới, ta gọi cột cột phương án • Cột Ghi ma trận điều kiện A toán Tính hệ số ước lượng ∆ j ẩn x j ( j = 1, 2,K , n) ghi tương ứng vào dòng cột 4, với ∆ j tính theo công thức sau: ∆ j = (cot1) × ( Aj ) − ( hsx j ) ( hsx j : hệ số ẩn x j hàm mục tiêu) Chú ý Nếu x j ẩn ∆ j = Tính trị số f = (cot1) × (cot 3) ghi cột 2) Xác định phương án xuất phát MATHEDUCARE.COM 10 Với bảng đơn hình vừa lập phương án xuất phát x toán xác định sau: Cho ẩn cột nhận giá trị tương ứng cột 3, ẩn lại nhận giá trị Trị số hàm mục tiêu phương án xuất phát x f ( x ) = f 3) Đánh giá tính tối ưu phương án xuất phát • Dấu hiệu tối ưu Nếu hệ số ước lượng ẩn không âm, ∆ j ≥ 0, ∀j phương án xuất phát x phương án tối ưu toán Thuật toán kết thúc với kết luận: Bài toán có PATU x GTTU f ( x ) • Dấu hiệu toán PATU Nếu có ẩn không xk có hệ số ước lượng âm cột điều kiện Ak ẩn có thành phần không dương, ∆ k < aik ≤ 0; ∀i toán phương án tối ưu Thuật toán kết thúc với kết luận: Bài toán PATU Nếu không xảy hai trường hợp thuật toán tiếp tục bước lặp thứ hai Bước lặp thứ hai (Bảng đơn hình thứ hai) 1) Tìm ẩn đưa vào Trong tất ∆ j < ta chọn ∆ v < nhỏ (ta đánh dấu * cho ∆ v < nhỏ bảng) Khi đó, xv ẩn mà ta đưa vào hệ ẩn Cột Av gọi cột chủ yếu 2) Tìm ẩn đưa Thực phép chia số cột phương án cho số dương cột chủ yếu ghi thương số λi vào cột cuối Xác định λr = min{λi } (Ta đánh dấu * cho λr nhỏ bảng) Khi xr ẩn mà ta đưa khỏi hệ ẩn Dòng có chứa xr gọi dòng chủ yếu Số dương nằm dòng chủ yếu cột chủ yếu gọi hệ số chủ yếu Chú ý Nếu cột chủ yếu có số dương số dương hệ số chủ yếu, dòng có số dương dòng chủ yếu, ẩn nằm dòng chủ yếu ẩn đưa 3) Lập bảng đơn hình thứ hai • Cột 2: Thay ẩn đưa ẩn đưa vào, ẩn lại giữ nguyên Dòng có ẩn đưa vào gọi dòng chuẩn • Cột 1: Thay hệ số ẩn đưa hệ số ẩn đưa vào, hệ số ẩn lại giữ nguyên Các thành phần lại xác định theo dòng sau • Dòng chuẩn = Dòng chủ yếu chia cho hệ số chủ yếu • Dòng thứ i = Dòng thứ i (cũ) – aiv.dòng chuẩn (aiv: số nằm giao dòng i cột chủ yếu) Các hệ số ước lượng trị số hàm mục tiêu bảng thứ hai tính ghi bảng thứ 4) Xác định đánh giá phương án thứ hai (như bước lặp thứ nhất) MATHEDUCARE.COM 15 2x2 + x3 – 2x4 = 12 xj ≥ (j = 1,2,3,4) Giải Đưa toán dạng chuẩn: f(x) = 6x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 + Mx6 + Mx7 → x1 + x2 + x3 - 2x4 + x6 = - x1 + x4 + x5 = 10 2x2 + x3 – 2x4 + x7 = 12 xj ≥ (j = 1,2,3,4,5,6,7) Giải toán mở rộng phương pháp đơn hình M M x6 x5 x7 10 12 M x2 x5 x7 10 -3 x2 x5 x4 8 18 x1 -1 x2 (1) x3 1 x4 -3 -2 -2 x5 0 -6 -3 3* -2 -4 0 -1 -2 -3 -2 -1 -1 -6 0 0 0 -1 -1 1/2 -1/2 -1/2 -2 (2) -3 2* 0 0 0 0 0 PATU: x = (0, 8, 0, 2), f(x) = 18 Ví dụ Giải toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 2x1 - x2 + x3 + x4 → max x1 + x2 + 2x3 - x4 = - x2 - 7x3 + 3x4 ≤ - 3x3 + 2x4 ≤ xj ≥ 0, j = 1,2,3,4 Giải Đưa toán dạng chuẩn: f(x) = - 2x1 - x2 + x3 + x4 → max x1 + x2 + 2x3 - x4 = - x2 - 7x3 + 3x4 + x5 = - 3x3 + 2x4 + x6 = MATHEDUCARE.COM 16 xj ≥ 0, j = 1,2,3,4,5,6 Giải toán mở rộng phương pháp đơn hình -2 0 x1 x5 x6 0 x3 x5 x6 1 x3 x4 x5 11 20 20 31 x1 -2 0 x2 -1 -1 x3 (2) -7 -3 x4 -1 x5 0 x6 0 -1 -5* 0 1/2 7/2 3/2 5/2 1/2 5/2 3/2 3/2 0 0 -1/2 -1/2 (1/2) -3/2* 0 0 0 0 0 1 PATU: x = (0, 0, 11, 20), f(x) = 31 Chương BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 3.1 Định nghĩa Cho (P) toán QHTT có dạng tắc sau f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max(min) a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 KKK am1 x1 + am x2 + L + amn xn = bm x j ≥ 0, j = 1, 2,K , n Từ toán (P) ta lập toán QHTT (D) sau ta gọi toán (D) toán đối ngẫu toán (P) f ( y ) = b1 y1 + b2 y2 + L + bm ym → min(m ax) a11 y1 + a21 y2 + L + am1 ym ≥ (≤)c1 a12 y1 + a22 y2 + L + am1 ym ≥ (≤)c2 KKK a1n y1 + a2 n y2 + L + amn ym ≥ (≤)cn MATHEDUCARE.COM 17 Chú ý Bài toán (D) lập từ toán (P) theo nguyên tắc sau Số ẩn toán (D) số ràng buộc toán (P) số ràng buộc toán (D) số ẩn toán (P) Hệ số ẩn yi hàm mục tiêu toán (D) số hạng tự bi hệ ràng buộc toán (P) Các hệ số ẩn hệ số tự ràng buộc thứ j toán (D) hệ số tương ứng ẩn x j hệ ràng buộc hàm mục tiêu toán (P) Nếu (P) toán max (D) toán hệ ràng buộc toán (D) hệ bất phương trình với dấu ≥ Nếu (P) toán (D) toán max hệ ràng buộc toán (D) hệ bất phương trình với dấu ≤ Các ẩn toán (D) có dấu tùy ý 3.2 Cách lập toán đối ngẫu Bài toán đối ngẫu lập trực quy tắc sau, gọi quy tắc đối ngẫu (P) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max (D) f ( y ) = b1 y1 + b2 y2 + L + bm ym → ≥  ai1 x1 + x2 + L + ain xn  ≤  bi  =  ≤  yi ≥  tuyy  ≥  x j  ≤  tuyy  ≥  a1 j y1 + a2 j y2 + L + amj ym  ≤  c j  =  Ví dụ Tìm toán đối ngẫu toán sau a) (1) f ( x) = 3x1 + x2 − x3 + x4 → m in 4 x1 − x2 + x3 − x4 ≤ 50  (2) 7 x1 + x3 + x4 = 30 2 x + 3x − x ≥ −25  (3) x1 ≥ 0, x2 ≤ b) (1) f ( x) = x1 + x2 − x3 → m ax 7 x1 + x2 + x3 ≤ 28  (2) 3x1 − x2 + x3 = 10 2 x + 3x − x ≥ 15  (3) x1 , x2 , x3 ≥ Giải a) Bài toán đối ngẫu MATHEDUCARE.COM 18 (1) g ( y ) = 50 y1 + 30 y2 − 25 y3 → m ax 4 y1 + y2 + y3 ≤  −6 y + y ≥  (2)  5 y1 + y2 − y3 = −5 −5 y1 + y2 = (3) y1 ≤ , y2 tùy ý, y3 ≥ b) Bài toán đối ngẫu (1) g ( y ) = 28 y1 + 10 y2 + 15 y3 → m in 7 y1 + y2 + y3 ≥  (2) 4 y1 − y2 + y3 ≥  y + y − y ≥ −8  (3) y1 ≥ , y3 ≤ 3.3 Cặp ràng buộc đối ngẫu Trong cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (D) định nghĩa ta có n cặp ràng buộc đối ngẫu sau: Trường hợp f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max x j ≥ ↔ a1 j y1 + a2 j y2 + L + amj ym ≥ c j , j = 1, 2,K , n Trường hợp f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → x j ≥ ↔ a1 j y1 + a2 j y2 + L + amj ym ≤ c j , j = 1, 2,K , n Ví dụ Tìm toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu toán QHTT sau: a) (1) f ( x) = x1 + x2 + 3x3 → m in 2 x1 + x2 − x3 =  x − x − x ≤ −3  (2)   x1 + x2 − x3 ≥ 3 x1 + x2 − x3 ≤ (3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ b) (1) f ( x) = x1 − x2 + 3x3 − x4 → m ax 5 x1 + x2 + x3 + x4 ≤  (2) 10 x1 − 11x2 + 12 x3 − 13x4 = 14 −15 x + 16 x − 17 x + 18 x ≥ −19  (3) x1 , x2 , x3 ≥ Giải a) Bài toán đối ngẫu MATHEDUCARE.COM 19 (1) g ( y ) = y1 − y2 + y3 + y4 → m ax 2 y1 + y2 + y3 + y4 ≤  (2) 3 y1 − y2 + y3 + y4 ≤   y1 + y2 + y3 + y4 ≥ −3 (3) y2 , y4 ≤ , y3 ≥ Hệ ràng buộc toán (P) có bất phương trình toán (P) có điều kiện dấu ẩn số nên cặp toán đối ngẫu (P) (D) có cặp ràng buộc đối ngẫu x1 − x2 − x3 ≤ −3 ↔ y2 ≤ x1 + x2 − x3 ≥ ↔ y3 ≥ 3x1 + x2 − x3 ≤ ↔ y4 ≤ x1 ≥ ↔ y1 + y2 + y3 + y4 ≤ x2 ≥ ↔ y1 − y2 + y3 + y4 ≤ x3 ≥ ↔ y1 + y2 + y3 + y4 ≥ −3 b) Bài toán đối ngẫu (1) g ( y ) = y1 + 14 y2 − 19 y3 → m in 5 y1 + 10 y2 − 15 y3 ≥ 6 y − 11 y + 16 y ≥ −2  (2)  7 y1 + 12 y2 − 17 y3 ≥ 8 y1 − 13 y2 + 18 y3 = −4 (3) y1 ≥ , y2 tùy ý, y3 ≤ Hệ ràng buộc toán (P) có hai bất phương trình toán (P) có ba điều kiện dấu ẩn số nên cặp toán đối ngẫu (P) (D) có cặp ràng buộc đối ngẫu sau: x1 + x2 + x3 + x4 ↔ y1 ≥ −15 x1 + 16 x2 − 17 x3 + 18 x4 ≥ −19 ↔ y3 ≤ x1 ≥ ↔ y1 + 10 y2 − 15 y3 ≥ x2 ≥ ↔ y1 − 11y2 + 16 y3 ≥ −2 x3 ≥ ↔ y1 + 12 y2 − 17 y3 ≥ 3.4 Định lý đối ngẫu Định lý độ lệch bù yếu Điều kiện cần đủ để phương án x toán (P) phương án y toán (D) phương án tối ưu cặp ràng buộc đối ngẫu toán đó: Nếu ràng buộc thỏa mãn phương án với dấu bất đẳng thức thực ràng buộc lại phải thõa mãn phương án với dấu Ứng dụng Nhờ định lý độ lệch bù yếu, ta biết phương án tối ưu hai toán cặp toán đối ngẫu ta tìm tập phương án tối ưu toán lại Ứng dụng thường sử dụng việc giải vấn đề toán QHTT Ví dụ Cho toán quy hoạch tuyến tính sau MATHEDUCARE.COM 20 f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 → max 2x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 20 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 16 xj ≥ (j = 1,2,3,4) a Giải toán b Hãy lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu Giải a Đưa toán dạng chuẩn: f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 – Mx7 – Mx8 → max 2x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 20 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + x7 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 – x6 + x8 = 16 xj ≥ (j = 1,2,3,4,5,6,7,8) Giải toán mở rộng phương pháp đơn hình -M -M x5 x7 x8 20 18 16 -M x5 x3 x8 14 x5 x3 x1 18 x1 2 x2 2 x3 (3) x4 x5 0 x6 0 -1 -1 -3 -2 -3 -3 -5* -3 -5 0 5/3 1/3 (4/3) -4/3* 0 1/3 2/3 -1/3 1/3 3/4 3/4 -1/4 0 0 0 0 2/3 4/3 -5/3 5/3 11/4 7/4 -5/4 1 0 0 0 0 -1 5/4 1/4 -3/4 PATU: x = (3, 0, 5, 0), f(x) = 18 b Bài toán đối ngẫu g(y) = 20y1 + 18y2 + 16y3 → 2y1 + y2 + 2y3 ≥ y1 + 2y2 + y3 ≥ y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 2y1 + 4y2 + y3 ≥ y1 ≥ 0, y3 ≤ MATHEDUCARE.COM 21 Theo định lý độ lệch bù yếu, ta có hệ phương trình tối ưu sau 2 y1 + y + y3 =   y1 + y + y3 = y =  Giải hệ phương trình ta PATU: y = (0, 1, 0) g(y) = 18 Ví dụ Cho toán quy hoạch tuyến tính sau f(x) = 6x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 → x1 + x2 + x3 - 2x4 = - x1 + x4 ≤ 10 2x2 + x3 – 2x4 = 12 xj ≥ (j = 1,2,3,4) a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu Giải a Đưa toán dạng chuẩn f(x) = 6x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 + Mx6 + Mx7 → x1 + x2 + x3 - 2x4 + x6 = - x1 + x4 + x5 = 10 2x2 + x3 – 2x4 + x7 = 12 xj ≥ (j = 1,2,3,4,5,6,7) Giải toán mở rộng phương pháp đơn hình M M x6 x5 x7 10 12 M x2 x5 x7 10 -3 x2 x5 x4 8 18 x1 -1 x2 (1) x3 1 x4 -3 -2 -2 x5 0 -6 -3 3* -2 -4 0 -1 -2 -3 -2 -1 -1 -6 0 0 0 -1 -1 1/2 -1/2 -1/2 -2 (2) -3 2* 0 0 0 0 0 MATHEDUCARE.COM 22 PATU: x = (0, 8, 0, 2), f(x) = 18 b Bài toán đối ngẫu g(y) = 4y1 + 10y2 + 12y3 → max y1 - y2 ≤ y1 + 2y3 ≤ y1 + y3 ≤ - 2y1 + y2 – 2y3 ≤ - y2 ≤ Theo định lý độ lệch bù yếu, ta có hệ phương trình tối ưu sau:  y1 + y3 =   y2 =  −2 y1 + y2 − y3 = −3 Giải hệ phương trình ta PATU: y = (0, 0, 3/2) g(y) = 18 Ví dụ (CHLH 2009) Cho toán quy hoạch tuyến tính sau x1 − x2 − x3 + x4 + x5 → max x1 + x2 − x3 + x4 = 30 x2 − x3 + x4 − x5 = 23 3x1 − x2 + x3 + x4 + x5 ≥ −10 x j ≥ 0; j = 1, 2,3, 4,5 a Hãy giải toán phương pháp đơn hình b Hãy lập toán đối ngẫu toán tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu Giải a Thêm vào toán ẩn phụ x6 đổi dấu ràng buộc thứ ba, ta toán phụ sau: x1 − x2 − x3 + x4 + x5 → max x1 + x2 − x3 + x4 = 30 x2 − x3 + x4 − x5 = 23 −3 x1 + x2 − x3 − x4 − x5 + x6 = 10 x j ≥ 0; j = 1, 2,3, 4,5,6 Ma trận điều kiện  −3 0  A =  −1 −1   −3 −1 −1 −4  0   Thêm vào toán hai ẩn giả x7 , x8 ta toán mở rộng sau MATHEDUCARE.COM 23 x1 − x2 − x3 + x4 + x5 − Mx7 − Mx8 → max x1 + x2 − 3x3 + x4 + x7 = 30 x2 − x3 + x4 − x5 + x8 = 23 −3 x1 + x2 − x3 − x4 − x5 + x6 = 10 x j ≥ 0; j = 1, 2,3, 4,5,6, 7,8 Giải toán mở rộng phương pháp đơn hình -M -M -M -4 x7 x8 x6 x4 x8 x6 x4 x3 x6 30 23 10 x1 -3 x2 -3 1 x3 -4 -3 -1 -1 x4 (2) -1 x5 -1 -4 x6 0 -1 -1 -5 -53 -2 -2 -3* 15 25 15 -8 39 16 65 -25 -1 -2 -2 -2 -7 -1 -4 -5 -3 -2 -9 0 ½ 1/2 5/2 7/2 -1/2 -3/2 (1/2) -5/2 5/2* -1/2 0 1 0 0 λi 15* 23 0 0 Trong bảng đơn hình thứ ba ta thấy hệ số ước lượng ẩn không âm nên toán mở rộng có nghiệm là: x = (0,0,16,39, 0,65,0, 0); f = −25 Ta thấy PATU toán mở rộng ẩn giả nhận giá trị nên toán cho giải có nghiệm sau: x = (0,0,16,39, 0,65,0, 0); f = −25 b) Bài toán đối ngẫu với toán cho là: 30 y1 + 23 y2 − 10 y3 → y1 + y3 ≥ y1 + y2 − y3 ≥ −3 −3 y1 − y2 + y3 ≥ −4 y1 + y2 + y3 ≥ − y2 + y3 ≥ y3 ≤ Do toán cho có PATU x = (0, 0,16,39,0,65,0,0) nên ta có hệ phương trình tối ưu sau: MATHEDUCARE.COM 24  y3 =  y1 =    −3 y1 − y2 + y3 = −4 ⇔  y2 = −5  y =  y1 + y2 + y3 =  Vậy toán đối ngẫu có PATU y = (3, −5,0) GTTU là: g ( y ) = −25 BÀI TẬP Phần I 1.1 Để nuôi loại gia súc người ta sử dụng loại thức ăn A1, A2, A3 Tỷ lệ (%) chất dinh dưỡng D1, D2 có loại thức ăn A1, A2, A3 giá 1kg loại sau: Chất dinh dưỡng D1 D2 Giá mua A1 30 20 8000 đ Loại thức ăn A2 20 20 6000 đ A3 20 30 4000 đ Yêu cầu phần thức ăn loại gia súc là: chất dinh dưỡng D1 phải có 70g nhiều 100g, chất dinh dưỡng D2 phải có 50g nhiều 80g Hãy lập mô hình toán học toán xác định khối lương thức ăn loại cần mua cho tổng chi phí thấp bảo đảm chất lượng theo yêu cầu 1.2 Có hai loại thức ăn I II chứa loại vitamin A, B, C Hàm lượng vitamin đơn vị thức ăn sau: Loại thức ăn I II A Vitamin B C Giá đơn vị thức ăn thứ I 3đ, II 7đ Một phần ăn phải có tối thiểu đơn vị A, đơn vị B đơn vị C Tìm cách ăn tốt (ít tiền đủ dinh dưỡng) Hãy lập mô hình toán học toán 1.3 Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất ba loại sản phẩm A1, A2, A3 từ loại nguyên liệu N1, N2, N3 có trữ lượng tương ứng 50kg, 70kg 100kg Định mức tiêu hao nguyên liệu (kg/SP) lợi nhuận (ngàn đồng/SP) sản xuất sản phẩm cho bảng sau Nguyên liệu Sản phẩm A1 A2 A3 N1 0.2 0.1 0.1 N2 0.1 0.2 0.1 N3 0.1 0.3 0.0 Lợi nhuận 8000 6000 4000 Hãy lập mô hình toán học toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu biết lượng sản phẩm A3 tiêu thụ tối đa 400 sản phẩm 1.4 Để nuôi loại gia súc 24h cần có khối lượng tối thiểu chất: Protit, Gluxit, khoáng tương ứng là: 90, 130, 20 gram Tỷ lệ phần trăm theo khối lượng chất có loại thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại sau: Chất Loại thức ăn MATHEDUCARE.COM 25 dinh dưỡng Protit Gluxit Khoáng Giá mua A 10 30 3000 đ B 20 40 4000 đ C 30 20 5000 đ Hãy lập mô hình toán học toán xác định khối lương thức ăn loại cần mua cho tổng chi phí thấp bảo đảm chất lượng theo yêu cầu 2.5 Có hai loại sản phẩm A, B gia công máy I, II, III Thời gian gia công loại sản phẩm máy cho bảng: Loại Máy SP I II III A B Thời gian cho phép máy I, II, II 100, 300, 50 Một đơn vị sản phẩm A lãi 6000 đ, B lãi 4000 đ Vậy cần phải sản xuất sản phẩm loại để lãi tối đa Hãy lập mô hình toán học toán 1.6 Trong chu kì sản xuất, nhà máy sử dụng hai loại vật liệu V1, V2 để sản xuất loại sản phẩm S1, S2, S3 Lượng vật liệu Vi dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm Sj giá bán đơn vị sản phẩm Sj cho bảng sau: VL V1 V2 Giá bán S1 12000 đ SP S2 8000 đ S3 14000 đ Biết số đơn vị vật liệu V1, V2 nhà máy có 10000 14000 Yêu cầu lập kế hoạch sản xuất nhà máy, xác định số lượng sản phẩm loại cần sản xuất cho tổng thu nhập lớn 1.7 Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, béo cho loại gia súc tương ứng 50g, 80g 20g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua kg thức ăn loại bảng sau: Chất Loại thức ăn Dinh dưỡng A B C Đạm 0.1g 0.2g 0.2g Đường 0.3g 0.1g 0.1g Béo 0.05g 0.02g 0.01g Giá mua 8000 đ 6000 đ 4000 đ Hãy lập mô hình toán học toán xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày 1.8 Một xí nghiệp có kế hoạch sản xuất ba loại sản phẩm A, B, C từ loại nguyên liệu N1, N2 có trữ lượng tương ứng 50kg, 70kg Định mức tiêu hao nguyên liệu (kg/SP) lợi nhuận (ngàn đồng/SP) sản xuất sản phẩm cho bảng sau Nguyên Sản phẩm MATHEDUCARE.COM 26 liệu N1 N2 Lợi nhuận A 0.2 0.1 5000 B 0.1 0.1 2000 C 0.1 0.2 6000 Hãy lập mô hình toán học toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu biết lượng sản phẩm B tiêu thụ tối đa 300 sản phẩm Phần II 2.1 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau f(x) = 6x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 → x1 + x2 + x3 - 2x4 = - x1 + x4 ≤ 10 2x2 + x3 – 2x4 = 12 xj ≥ (j = 1,2,3,4) a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu 2.2 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 2x1 - 5x2 + 4x3 + x4 → 3x1 + x2 + 4x3 - 6x4 ≤ 20 x1 + x3 - 2x4 ≤ 3x1 - x2 + 2x3 – 5x4 = 24 xj ≥ (j = 1,2,3,4) a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu 2.3 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = x1 + 3x2 - x3 + 3x4 → x1 + x2 - 2x3 + x4 ≥ - x1 + x3 ≤ 10 2x2 - 3x3 + x4 = 20 xj ≥ (j = 1,2,3,4) a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu 2.4 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 2x1 + 3x2 + x3 + x4 – 4x5 → max 3x1 - 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 7x1 - 3x2 - 7x4 + 5x5 = 14 4x1 - 2x2 – 4x4 + 3x5 = xj ≥ 0, j = 1,2,3,4,5 a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán hệ phương trình tối ưu toán đối ngẫu 2.5 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 3x1 - 2x2 - 3x3 - 5x4 → x1 + x2 + 2x3 + 2x4 ≤ 18 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 12 x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 ≥ 11 MATHEDUCARE.COM 27 xj ≥ 0, j = 1,2,3,4 a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu 2.6 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 2x1 - x2 + x3 + x4 → max x1 + x2 + 2x3 - x4 = - x2 - 7x3 + 3x4 ≤ - 3x3 + 2x4 ≤ xj ≥ 0, j = 1,2,3,4 a Giải toán b Lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu 2.7 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 → max 2x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 20 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 16 xj ≥ (j = 1,2,3,4) a Giải toán b Hãy lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu 2.8 Cho toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 15x1 + 8x2 + 10x3 → max - 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 2x1 - x2 + 2x3 ≤ - 4x1 - 5x2 + 2x3 ≥ xj ≥ (j = 1,2,3) a Giải toán b Hãy lập toán đối ngẫu toán giải toán đối ngẫu Hướng dẫn Đáp số Phần I 1.1 Gọi xj, i = 1, 2, số gam thức ăn A1, A2, A3 cần phải mua Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 8x1 + 6x2 + 4x3 → 0.3x1 + 0.2x2 + 0.2x3 ≥ 70 0.3x1 + 0.2x2 + 0.2x3 ≤ 100 0.2x1 + 0.2x2 + 0.3x3 ≥ 50 0.2x1 + 0.2x2 + 0.3x3 ≤ 80 x1 , x2 , x3 ≥ 1.2 Gọi x1, x2 lượng thức ăn I II phần Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 3x1 + 7x2 → 2x1 + 4x2 ≥ 3x1 + x2 ≥ 4x1 + 5x2 ≥ x1, x2 ≥ 1.3 Gọi x1, x2, x3 số sản phẩm A1, A2, A3 cần sản xuất Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 8x1 + 6x2 + 4x3 → max 0.2x1 + 0.1x2 + 0.1x3 ≤ 50 MATHEDUCARE.COM 28 0.1x1 + 0.2x2 + 0.1x3 ≤ 70 0.1x1 + 0.3x2 ≤ 100 x3 ≤ 400 xj ≥ (j = 1,2,3) 1.4 Gọi xj, i = 1, 2, số gam thức ăn A, B, C cần mua Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 3x1 + 4x2 + 5x3 → 0.1x1 + 0.2x2 + 0.3x3 ≥ 90 0.3x1 + 0.4x2 + 0.2x3 ≥ 130 0.02x1 + 0.01x2 + 0.03x3 ≥ 20 xj ≥ (j = 1,2,3) 1.5 Gọi x1, x2 số đơn vị sản phẩm loại A B cần sản xuất Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 6000x1 + 4000x2 → max 4x1 + 2x2 ≤ 100 3x1 + x2 ≤ 300 2x1 + 4x2 ≤ 50 x1 , x2 ≥ 1.6 Gọi xj (j = 1,2,3) số đơn vị sản phẩm Sj cần sản xuất Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 12000x1 + 8000x2 + 14000x3 → max 4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 10000 2x1 + 6x2 + 3x3 ≤ 14000 xj ≥ 0, j = 1,2,3 1.7 Gọi xj, i = 1, 2, số gam thức ăn A, B, C cần mua Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 8x1 + 6x2 + 4x3 → 0.1x1 + 0.2x2 + 0.2x3 ≥ 50 0.3x1 + 0.1x2 + 0.1x3 ≥ 80 0.05x1 + 0.02x2 + 0.01x3 ≥ 20 x1 , x2 , x3 ≥ 1.8 Gọi xj, i = 1, 2, số sản phẩm A, B, C cần sản xuất Khi mô hình toán học toán là: f(x) = 5x1 + 2x2 + 6x3 → max 0.2x1 + 0.1x2 + 0.1x3 ≤ 50 0.1x1 + 0.1x2 + 0.2x3 ≤ 70 x2 ≤ 300 x1 , x2 , x3 ≥ Phần II 2.1 a PATU: x = (0, 8, 0, 2), f(x) = 18 b PATU: y = (0, 0, 3/2) g(y) = 18 2.2 a PATU: x = (18, 0, 0, 6), f(x) = 42 b PATU: y = (0, -13, 5) g(y) = 42 2.3 a PATU: x = (0, 10, 0, 0), f(x) = 30 b PATU: y = (0, 0, 3/2) g(y) = 30 2.4 a PATU: x = (2, 0, 3, 0, 0), f(x) = -1 2.5 a PATU: x = (0, 4, 0, 1), f(x) = -13 b PATU: y = (0, -2, 1) g(y) = - 13 MATHEDUCARE.COM 29 2.6 2.7 2.8 a PATU: x = (0, 0, 11, 20), f(x) = 31 b PATU: y = (5, 0, 3) g(y) = 31 a PATU: x = (3, 0, 5, 0), f(x) = 18 b PATU: y = (0, 1, 0) g(y) = 18 a PATU: x = (1/5, 0, 9/10), f(x) = 12 b PATU: y = (7, 0, -9) g(y) = 12 [...]... max và hệ ràng buộc chính của bài toán (D) là hệ bất phương trình với dấu ≤ 5 Các ẩn của bài toán (D) đều có dấu tùy ý 3.2 Cách lập bài toán đối ngẫu Bài toán đối ngẫu được lập trực tiếp theo quy tắc sau, gọi là quy tắc đối ngẫu (P) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max (D) f ( y ) = b1 y1 + b2 y2 + L + bm ym → min ≥  ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn  ≤  bi  =  ≤ 0  yi ≥ 0  tuyy ... tối ưu của một trong hai bài toán của cặp bài toán đối ngẫu thì ta có thể tìm được tập phương án tối ưu của bài toán còn lại Ứng dụng này thường được sử dụng trong việc giải quy t các vấn đề của bài toán QHTT Ví dụ 1 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau MATHEDUCARE.COM 20 f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 → max 2x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 20 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 16 xj ≥ 0 (j = 1,2,3,4)... phẩm B chỉ có thể tiêu thụ được tối đa 300 sản phẩm Phần II 2.1 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau f(x) = 6x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 → min x1 + x2 + x3 - 2x4 = 4 - x1 + x4 ≤ 10 2x2 + x3 – 2x4 = 12 xj ≥ 0 (j = 1,2,3,4) a Giải bài toán trên b Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó 2.2 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 2x1 - 5x2 + 4x3 + x4 → min 3x1 + x2 + 4x3 -... toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó 2.3 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = x1 + 3x2 - x3 + 3x4 → min x1 + x2 - 2x3 + x4 ≥ 6 - x1 + x3 ≤ 10 2x2 - 3x3 + x4 = 20 xj ≥ 0 (j = 1,2,3,4) a Giải bài toán trên b Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó 2.4 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 2x1 + 3x2 + x3 + x4 – 4x5 → max 3x1 - 2x2... phương trình tối ưu của bài toán đối ngẫu đó 2.5 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 3x1 - 2x2 - 3x3 - 5x4 → min x1 + x2 + 2x3 + 2x4 ≤ 18 2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 12 x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 ≥ 11 MATHEDUCARE.COM 27 xj ≥ 0, j = 1,2,3,4 a Giải bài toán trên b Lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó 2.6 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = - 2x1 - x2 + x3 + x4 →... ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó 2.7 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 → max 2x1 + x2 + x3 + 2x4 ≤ 20 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 18 2x1 + x2 + 2x3 + x4 ≥ 16 xj ≥ 0 (j = 1,2,3,4) a Giải bài toán trên b Hãy lập bài toán đối ngẫu của bài toán trên và giải bài toán đối ngẫu đó 2.8 Cho bài toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 15x1 + 8x2 + 10x3 → max - 3x1 + 2x2... PATU: x = (3, 0, 5, 0), f(x) = 18 b PATU: y = (0, 1, 0) và g(y) = 18 a PATU: x = (1/5, 0, 9/10), f(x) = 12 b PATU: y = (7, 0, -9) và g(y) = 12 MATHEDUCARE.COM 1 Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ví dụ 1 Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm và bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên... toán học của bài toán là 260 x1 + 120 x2 + 600 x3 → max (1) 2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 500 (2) 100 x1 + 40 x2 + 250 x3 ≤ 40000 6x1 = x2 (3) x1 , x2 , x3 ≥ 0 1.2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn là bài toán có dạng (1) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max(min) ≥  (2) ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn  ≤... tương tự cho bảng II Trong bảng III ta thấy ∆ j ≥ 0, ∀j = 1, 2,K ,5 nên bài toán đang xét có PATU là x 0 = (0,34 / 3, 22 / 3,0, 2) với f ( x 0 ) = 310 / 3 2.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC Thuật toán đơn hình mở rộng giải bài toán QHTT dạng chính tắc tương tự như thuật toán đơn hình giải bài toán QHTT dạng chuẩn nhưng có một số lưu ý như sau 1) Do hàm... có dạng aM + b , do đó người ta thường chia dòng cuối thành hai dòng nhỏ: Dòng trên ghi a và dòng dưới ghi b 2) Vì M là một đại lượng dương rất lớn, nên khi so sánh các số hạng aM + b và cM + d ta có quy tắc sau a = c aM + b = cM + d ⇔  b = d a > 0  ∀b aM + b > 0 ⇔  a = 0   b > 0 a > c  ∀b, d aM + b > cM + d ⇔  a = c   b > d 3) Trong bảng đơn hình đầu tiên các ẩn giả đều ... 250 x3 ≤ 40000 6x1 = x2 (3) x1 , x2 , x3 ≥ 1.2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Dạng tổng quát toán quy hoạch tuyến tính Bài toán QHTT dạng tổng quát với n ẩn toán có dạng... dấu ≤ Các ẩn toán (D) có dấu tùy ý 3.2 Cách lập toán đối ngẫu Bài toán đối ngẫu lập trực quy tắc sau, gọi quy tắc đối ngẫu (P) f ( x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn → max (D) f ( y ) = b1 y1 + b2... = 12 b PATU: y = (7, 0, -9) g(y) = 12 MATHEDUCARE.COM Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ví dụ Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu