Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép thế Euler, Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ.
1 Giải tích toán học Tập Lê Văn Trực NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô bé, vô lớn, hàm số hợp, hàm số ngược, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital, tích phân không xác định, tích phân, nguyên hàm, Phép Euler, Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác không chấp thuận nhà xuất tác giả Mục lục Chương Tập hợp số thực 1.1 1.2 1.3 1.4 Khái niệm tập hợp Số thực Ánh xạ 14 Bài tập chương 16 Chương Giới hạn dãy số hàm số 19 2.1 Giới hạn dãy số 19 2.1.1 Định nghĩa dãy số 19 2.1.2 Các tính chất dãy hội tụ 21 2.1.3 Giới hạn vô hạn 24 2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 25 2.2.1 Các định lý 25 2.2.2 Số e 26 2.2.3 Nguyên lý Cantor dãy đoạn thẳng lồng thắt lại 27 2.2.4 Sự hội tụ dãy bị chặn 28 2.2.5 Nguyên lý Cauchy hội tụ dãy số 29 2.2.6 Giới hạn giới hạn 30 2.3 Khái niệm hàm số biến số 32 2.3.1 Định nghĩa 32 2.3.2 Đồ thị hàm số 32 2.3.3 Hàm số hợp 34 2.3.4 Hàm số ngược 34 2.3.5 Các hàm lượng giác ngược 36 2.3.6 Các hàm số hypebol 38 2.3.7 Các hàm hypebol ngược 39 2.4 Giới hạn hàm số 41 2.4.1 Lân cận điểm 41 2.4.2 Các định nghĩa giới hạn 42 2.4.3 Giới hạn phía 45 2.4.4 Giới hạn vô 46 2.4.5 Các tính chất giới hạn 47 2.4.6 Tiêu chuẩn tồn giới hạn hàm số 47 2.4.7 Vô bé Vô lớn 48 2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ 51 2.5 Bài tập chương 54 Chương Hàm liên tục biến số 61 3.1 Định nghĩa liên tục hàm số điểm 61 3.1.1 Các định nghĩa 61 3.1.2 Hàm liên tục phía, liên tục khoảng, đoạn kín 62 3.1.3 Các định lý phép tính hàm liên tục 63 3.1.4 Điểm gián đoạn hàm số 65 3.2 Các tính chất hàm liên tục 68 3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu lân cận điểm 68 3.2.2 Tính chất hàm số liên tục đoạn 68 3.3 Điều kiện liên tục hàm đơn điệu hàm số ngược 72 3.3.1 Điều kiện liên tục hàm đơn điệu 72 3.3.2 Tính liên tục hàm ngược 73 3.4 Khái niệm liên tục 74 3.4.1 Mở đầu 74 3.4.2 Định nghĩa 74 3.4.3 Liên tục hàm số sơ cấp 76 3.5 Bài tập chương 77 Chương Phép tính vi phân hàm biến 81 4.1 Đạo hàm cách tính 81 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm 81 4.1.2 Công thức số gia hàm số 81 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm 82 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm 82 4.2.2 Đạo hàm hàm số hợp 82 4.2.3 Đạo hàm hàm số ngược 84 4.2.4 Đạo hàm theo tham số 85 4.2.5 Đạo hàm phía 85 4.2.6 Đạo hàm vô 87 4.2.7 Đạo hàm hàm số sơ cấp 87 4.3 Vi phân hàm số 88 4.3.1 Định nghĩa 88 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân 89 4.3.3 Vi phân hàm số hợp 89 4.3.4 Ứng dụng vi phân 90 4.4 Các định lí hàm khả vi 90 4.4.1 Cực trị địa phương 90 4.5 Đạo hàm vi phân cấp cao 96 4.5.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao 96 4.5.2 Các công thức tổng quát đạo hàm cấp n 97 4.5.3 Vi phân cấp cao 97 4.6 Công thức Taylor 98 4.6.1 Công thức Taylor 99 4.6.2 Khai triển Maclaurin 101 4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định 103 4.7.1 Dạng vô định 103 4.7.2 Dạng vô dịnh 105 4.8 Khảo sát hàm số 108 4.8.1 Khảo sát đường cong cho dạng phương trình 108 4.8.2 Đường cong cho dạng tham số 110 4.8.3 Khảo sát đường cong tọa độ cực 114 4.9 Bài tập chương 117 Chương Tích phân không xác định 123 5.1 Tích phân không xác định 123 5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 123 5.1.2 Các tính chất 123 5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 123 5.1.4 Các tính chất tích phân không xác định 123 5.1.5 Bảng tích phân 124 5.2 Cách tính tích phân không xác định 125 5.2.1 Dựa vào bảng tích phân 125 5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến 126 5.2.3 Phương pháp tính tích phân phần 127 5.2.4 Công thức truy hồi 129 5.3 Tích phân phân thức hữu tỉ 130 5.3.1 Tích phân phân thức hữu tỉ đơn giản 130 5.3.2 Tích phân phân thức hữu tỉ 132 5.4 Tích phân biểu thức chứa hàm lượng giác hàm hypebol 134 5.4.1 Tích phân biểu thức chứa hàm lượng giác 134 5.4.2 Tích phân biểu thức chứa hàm hypebol 136 5.5 Tích phân vài lớp hàm vô tỉ 137 5.5.1 5.5.2 5.5.3 Tích phân dạng I = ∫ R( x, m ax + b )dx cx + d 137 ⎡ ax + b p ax + b r ⎤ I = ∫ R ⎢ x,( ) q ,( ) s ⎥ dx, cx + d ⎥ ⎢⎣ cx + d ⎦ Tích phân dạng 138 Tích phân nhị thức vi phân 138 5.6 Tích phân biểu thức dạng R( x, ax + bx + c ) với a ≠ 139 5.6.1 Phép Euler thứ 140 5.6.2 Phép Euler thứ hai 140 5.6.3 Phép Euler thứ ba 141 5.6.4 Tích phân eliptic 142 5.7 Bài tập chương 143 Chương Tích phân xác định 145 6.1 Định nghĩa tích phân xác định 145 6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 145 6.1.2 Bài toán tính khối lượng 146 6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định 146 6.1.4 Ý nghĩa hình học tích phân xác định 148 6.2 Điều kiện khả tích 148 6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 148 6.2.2 Các tổng Darboux 149 6.2.3 Các tính chất tổng tích phân Darboux 150 6.2.4 Dấu hiệu tồn tích phân xác định 151 6.3 Các lớp hàm khả tích 152 6.4 Các tính chất tích phân 154 6.4.1 Các tính chất tích phân xác định 154 6.4.2 Các định lí giá trị trung bình 158 6.5 Nguyên hàm tích phân xác định 159 6.5.1 Các định nghĩa 160 6.5.2 Tích phân xác định hàm cận 160 6.6 Tính tích phân xác định 162 6.6.1 Phép đổi biến tích phân xác định 162 6.6.2 Phép lấy tích phân phần 164 6.6.3 Tính gần tích phân xác định 168 6.7 Một số ứng dụng hình học, vật lý tích phân xác định 172 6.7.1 Tính diện tích hình phẳng 172 6.7.2 Tính độ dài đường cong phẳng 177 6.7.3 Tính thể tích vật thể 180 6.7.4 Diện tích mặt tròn xoay 183 6.8 Tích phân suy rộng 186 6.8.1 Tích phân suy rộng loại 186 6.8.2 Tích phân suy rộng loại 195 6.8.3 Thay biến số tích phân suy rộng 199 6.9 Bài tập chương 200 Chương 7.1 Hàm số liên tục Tập hợp n n 206 206 n 7.1.1 Khoảng cách 206 7.1.2 Lân cận điểm 207 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ tập hợp 208 7.1.4 Tập mở, tập đóng 210 7.1.5 Tập liên thông 210 n 7.2 Sự hội tụ , khái niệm hàm số nhiều biến số 211 n 7.2.1 Sự hội tụ 211 7.2.2 Dãy 212 7.2.3 Nguyên lí Canto 213 7.2.4 Chú ý 213 7.2.5 Tập hợp compact 214 7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số 214 7.2.7 Tập xác định hàm nhiều biến số 214 7.2.8 Đường mức mặt mức 215 n 7.3 Giới hạn hàm số 216 7.3.1 Giới hạn hàm số điểm 216 7.3.2 Giới hạn lặp 217 7.3.3 Quan hệ giới hạn theo tập hợp biến giới hạn lặp 218 7.3.1 Chú ý 219 7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 221 7.4.1 Hàm số liên tục điểm 221 7.4.2 Hàm số liên tục 222 7.4.3 Liên tục theo biến 223 7.5 Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 224 7.5.1 Đạo hàm riêng vi phân cấp 224 7.5.2 Đạo hàm vi phân cấp cao 230 7.6 Đạo hàm hàm số ẩn 233 7.6.1 Khái niệm hàm số ẩn biến số 233 7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn hai biến số 235 7.7 Đạo hàm theo hướng 237 7.7.1 Đạo hàm theo hướng 237 7.7.2 Gradien 238 7.8 Công thức Taylor Cực trị hàm số nhiều biến số 239 7.8.1 Công thức Taylor 239 7.8.2 Cực trị hàm nhiều biến số 241 7.8.3 Giá lớn nhỏ hàm số nhiều biến số compac 244 7.9 Cực trị có điều kiện 245 7.9.1 Định nghĩa: 245 7.9.2 Phương pháp tìm cực trị 245 7.10 Ứng dụng phép tính vi phân hình học 250 7.10.1 Tiếp tuyến đường cong 250 7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc mặt cong 251 7.10.3 Độ cong 253 7.10.4 Bao hình họ đườngcong 255 7.11 Bài tập chương 258 7.12 Hướng dẫn giải tập đáp số 262 Tài liệu tham khảo 302 Chương Tập hợp số thực 1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.1 Tập hợp Cho tập hợp M, để x phần tử tập M ta viết x ∈ M (đọc x thuộc M), để x phần tử tập M ta viết x ∉ M (đọc x không thuộc M) Tập hợp M có phần tử a, kí hiệu {a} Tập hợp M phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅ Cho hai tập A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập B ta viết A ⊆ B Nếu A tập B A ≠ B ta nói A tập hợp thực tập hợp B viết A ⊂ B Trong trường hợp tồn phần tử B mà phần tử A Ví dụ tập hợp số nguyên tập tập hợp số hữu tỷ Cho A, B, C ba tập hợp Khi có tính chất sau: a) ∅ ∈A (1.1.1) b) A ⊆ B vµ B ⊆ A ⇒ A = B c) A ⊂ B vµ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C 1.1.2 (1.1.2) (1.1.3) Một số tập hợp thường gặp Trong giáo trình đại số trường phổ thông trung học ta làm quen với tập hợp số tự nhiên ={ 0,1,2,…, n,…} (1.1.4) *={1,2,… n,…} (1.1.5) Để xét nghiệm phương trình x+n = n ∈ ta đưa thêm tập số nguyên : tỷ = {0, ±1, ±2, , ± n, } (1.1.6) Để xét nghiệm phương trình mx + n = m, n ∈ ta đưa thêm tập số hữu m ⎧ ⎫ = ⎨ x | x = , n ≠ 0, m,n ∈ ⎬ n ⎩ ⎭ (1.1.7) Ta biết bốn phép toán sở (cộng, trừ, nhân, chia) số hữu tỷ cách xếp chúng theo độ lớn (nếu a, b hai số hữu tỷ, chúng bé số thứ hai) Tổng a (b ≠ 0) hai số hữu tỷ a,b lại số hữu tỷ, với a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương b phép toán khác xét tập số hữu tỷ, ta thấy điều nêu không Ví dụ phép lấy phép toán Ta tìm bậc hai số 2, tức tìm số x mà bình phương Ta khẳng định số hữu tỷ mà bình phương Giả sử số hữu tỷ x tồn tại, ta viết dạng p2 p phân số tối giản , p q có ước số chung ±1 Khi = 2; p = 2q cho q q nên p số chẵn p số chẵn, p = 2m, m số nguyên, 4m2=2q2, 2m2=q2 q2 số chẵn q số chẵn Như p,q số chẵn, điều mâu thuẫn với giả thiết p,q có ước chung ±1 Mâu thuẫn nhận chứng minh khẳng định Từ nguyên nhân này, toán học ta đưa thêm vào số mới, số vô tỷ Ví dụ vể số vô tỷ 2, 3, lg3, π , sin20o… Tập số hữu tỷ số vô tỷ gọi tập số thực kí hiệu có bao hàm thức: ⊂ 1.1.3 ⊂ Như ta ⊂ (1.1.8) Các phép toán tập hợp a) Hợp A ∪ B tập hợp A tập hợp B, đọc “A hợp B” tập hợp định nghĩa bởi: A ∪ B = {x | x ∈ A hoÆc x ∈ B} (1.1.9) b) Giao A ∩ B hai tập hợp A B, đọc “A giao B” tập hợp định nghĩa bởi: A ∩ B = {x | x ∈ A vµ x ∈ B } c) Hiệu A | B = { x| x ∈ A vµ x ∉ B } (1.1.10) (1.1.11) Ta nói tập A B rời A ∩ B = Φ d) Bổ sung CAB B A ( B ⊆ A ) tập hợp định nghĩa CA B = { x| x ∈ A vµ x ∉ B } (1.1.12) Phép giao, hợp bổ sung có tính chất sau: i) ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (1.1.13) ii) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (1.1.14) iii) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (1.1.15) iv) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (1.1.16) 1.1.4 v) A \ ∅ = A, ∅ \ A=∅ (1.1.17) vi) CA ( B1 ∪ B2 ) = CA B1 ∩ CA B2 (1.1.18) vii) CA ( B1 ∩ B2 ) = CA B1 ∪ CA B2 (1.1.19) Tích Đề Cho hai tập hợp A,B không rỗng Tích Đề hai tập hợp A B, kí hiệu A × B tập hợp cặp (x,y) x ∈ A, y ∈ B , đồng thời (x,y)= (a,b) x = a, y = b Như A × B ={(x,y)| x ∈ A, y ∈ B } (1.1.20) Thay cho A × A ta viết A2 Ví dụ: {1,2} × {2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)} Ngoài {1,2}2 ={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)} 1.1.5 Các kí hiệu lôgic Bây giả sử M tập hợp t tính chất phần tử tập M Nếu phần tử x ∈ M có tính chất t ta viết t(x) Gọi c(t) tập hợp tất phần tử tập M có tính chất t: c(t) ={ x ∈ M |x có tính chất t} (1.1.21) hay c(t) ={ x ∈ M |t(x)} (1.1.22) c( t ) = M phần tử M có tính chất t, ta nói “với x ∈ M , x có tính chất t” ta viết ∀x ∈ M : t(x) hay ∀ t ( x ) x∈M Ký hiệu ∀ gọi ký hiệu phổ biến Nếu c( t ) ≠ ∅ , có phần tử x ∈ M , x có tính chất t” viết ∃x ∈ M : t ( x ) hay ∃ t ( x ) x∈M Ký hiệu ∃ gọi ký hiệu tồn 1.2 Số thực 1.2.1 Phép cộng nhân số thực Xét tập hợp số thực Ta xác định phép cộng nhân hai số thực a b Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a b với số thực ký hiệu a+b, phép 10 nhân cho tương ứng hai số thực a b với số thực kí hiệu a.b cho thoả mãn tính chất sau: Với số thực a,b c a) a+b = b+a (tính chất giao hoán), b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp), c) a.b = b.a (tính chất giao hoán ), d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp), e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối), f) Tồn số cho a+0 = a ∀a ∈ , g) Với a, tồn số – a cho a + (− a) = 0, h) Tồn số ≠ cho a.1 = a ∀a ∈ i) , Với số a ≠ 0, tồn số a-1 cho a.a-1= 1, số a-1 kí hiệu a Chú ý: Số (− a) số a-1 nói tính chất g) i) Thật vậy, ví dụ tồn số b ≠ − a thoả mãn điều kiện a+b =0, a+b+ (− a)= − a, từ a+ (− a)+b=− a hay 0+b = − a b= − a, mâu thuẫn 1.2.2 So sánh hai số thực a b Cho hai số thực a b Khi xảy ba trường hợp sau: a = b (a b), a > b (a lớn b) hay b > a (b lớn a) Mệnh đề “=” có tính chất: a=b b=c a=c Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với số thực a,b c a) Nếu a > b b > c a > c b) Nếu a > b a+c > b+c c) Nếu a > 0, b > ab > Mệnh đề a ≥ b nghĩa a=b, a>b Các mệnh đề a < b, a ≤ b, a > b, a ≥ b gọi bất đẳng thức Các bất đẳng thức a < b, a > b gọi bất đẳng thức thực Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 gọi số dương Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a n dx k =1 k ⎠ ⎝ (1) a, Với n = ta có d ( n ln x ) = ln x + ⇒ Công thức (1) dx b, Giả sử công thức (1) với (n −1) n −1 d n −1 n −1 1⎞ ⎛ = − + x ln x ( n 1)! ln x ( ) ∑ ⎜ ⎟ n −1 dx k =1 k ⎠ ⎝ (2) Khi d d x n ln x ) = n ( xx n −1 ln x ) = n ( dx dx = Cn0 ( x)(0) ( x n −1 ln x ) (n) + Cn1 ( x)′ ( x n −1 ln x ) ( n −1) n −1 1⎞ ⎛ = x(n − 1)! + n(n − 1)!⎜ ln x + ∑ ⎟ x k =1 k ⎠ ⎝ n −1 n −1 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ = (n − 1)!+ n !⎜ ln x + ∑ ⎟ = n !⎜ ln x + ∑ + ⎟ n⎠ k =1 k ⎠ k =1 k ⎝ ⎝ n −1 1⎞ ⎛ = n !⎜ ln x + ∑ ⎟ k =1 k ⎠ ⎝ 4.33 e x − x = + + x − x (2 x − x ) (2 x − x )3 (2 x − x ) + + + 1! 2! 3! 4! (2 x − x )5 + 5! Suy 289 290 e2 x − x = + x + x − 5 x − x − x + ( x5 ) 15 x 4.34 f ( x) = 1+ x + = x x ⎛x x ⎞ x3 + + − 1 + ⎜ + + + ⎟ 2! 3! ⎝ 24 ⎠ 2 ⎛ x x x3 ⎞ ⎛ x x x3 ⎞ = − ⎜ + + + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ − ⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠ ⎛ x x x3 ⎞ x x2 x4 − ⎜ + + + ⎟ = − + − + 0( x ) 24 12 729 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x3 x5 4.35 1) (sin x) = ⎜ x − + + ⎟ = x − x + x + 0( x ) 3! 5! 45 ⎝ ⎠ 2) ⎛ x2 x4 ⎞2 cos x = ⎜ − + − ⎟ = ⎝ 2! 4! ⎠ ⎞ ⎛ x2 x4 ⎞ ⎛ x2 x4 ⎞ ⎛ x2 x4 = + ⎜ − + − ⎟ − ⎜ − + − ⎟ + ⎜ − + − ⎟ − ⎝ 2! 4! ⎠ ⎝ 2! 4! ⎠ ⎝ 2! 4! ⎠ = 1− x2 x4 − + 0( x ) 96 n 4.36 ϕ ′( x) = −∑ 2(ak − x) k =1 n n ϕ ′( x) −∑ ak + nx = ⇒ x = k =1 ∑a k =1 k n n Mặt khác ϕ ′′( x) = n > , hàm số đạt cực tiểu x = 4.37 x = 1+ x −1 = 1+ x − ( x − 1) − + 0(( x − 1) ) 4.38 f ( x) = e x ln x − f ′( x) = e x ln x ( ln x + 1) ⎞ ⎛ f ′′( x) = e x ln x ⎜ ln x + ln x + + 1⎟ x ⎠ ⎝ 290 ∑a k =1 n k 291 ⎞ ⎛ f ( 3) ( x) = e x ln x ( ln x + 1) ⎜ ln x + ln x + + 1⎟ x ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ + e x ln x ⎜ ln x + − ⎟ x x x ⎠ ⎝ Ta thấy f (1) = 0, f ′(1) = 1, f ′′(1) = 2, f (3) (1) = Thay giá trị vào công thức f ′(1) f ′′(1) ( x − 1) + ( x − 1) 1! 2! f ′′′(1) + ( x − 1)3 + 0(( x − 1)3 ) 3! f ( x) = f (1) + ta x x − = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1)3 + 0(( x − 1)3 ) 4.39 1) ; 3) 1; − 2) e ; 4) 4.40 1) Không áp dụng quy tắc L’hospital Tính theo cách khác, giới hạn 2) Không áp dụng Giới hạn 3) Không áp dụng Giới hạn không tồn 4.41 1) ; 2) 1; 3) ; 4) HD: Ta viết ( sin x ) tgx =e ln sin x cot gx Mặt khác: cos x ln sin x = lim sin x = lim ( − sin x cos x ) = lim x → cot gx x →0 x →0 − sin x 5) e ; 6) 1 1− x − arctgx 4.42 1) Do lim = lim +2 x = lim = 1, x →0 x →0 x →0 + x x x suy điều phải chứng minh Các phần 2),3),4) chứng minh tương tự 1 4.43 a) g ′( x) = x sin − x cos với x ≠ x x Ta thấy g’ triệt tiêu vô số lần đồng thời đổi dấu Hàm g cực trị x=0 291 292 b) Hàm f đạt cực tiểu x=0 4.45 Hàm số tăng khoảng (0,e) giảm khoảng ( e, +∞ ) Tiệm cận đứng x=0 Tiệm cận ngang y=0 4.46 Bởi hàm số liên tục toàn trục số nên tiệm cận đứng Tiệm cận ngang y=0 4.47 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên y=2x x → +∞ y=−2x x → −∞ Hàm số điểm dừng 4.48 r hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , cần xét hàm số [ −π , π ] Do r ≥ nên ϕ − 2π r’ 2π − + r tgγ ∞ 0 1 + 2cos ϕ ≥ ⇒ cos ϕ ≥ − Nên tập xác định hàm số là: 2π 2π ≤ϕ ≤ 3 Ta thấy r ′ = −2sin ϕ , r ′ = ϕ = − Suy rCD = r (0) = Gọi γ góc dương vecto OM vecto phương tiếp tuyến với đồ thị M, r tgγ = r′ Đồ thị đường cong kín đối xứng qua trục cực Chương 5.1 1) x x2 − + ln x + x − 292 293 −1 2(1 + x ) 2) (1 + x ) 3) 4) ln x4 − x4 + 5) arctge x 6) x − ln + e x + ( ) ⎛ x⎞ ⎝2⎠ 5.2 1) ln th ⎜ ⎟ 2) 2arctge x x 3) − + sh2 x x 4) + sh2 x 5) −2cth2x + 2x 5.3 1) − (1 − 3x) 10 3 2) (1 + x ) (4 x − 3) 56 5.4 1) x n + ⎛ −1 ⎞ + ln x ⎟ ⎜ n + 1⎝ n + ⎠ ⎛ x3 x ⎞ ⎛ x3 ⎞ 2) ⎜ + ⎟ sh3 x − ⎜ + ⎟ ch3 x ⎠ ⎝ ⎝ 27 ⎠ 3) x chx − xshx + 2chx 4) ln tg x − cos x ln tgx tg x 5.5 1) 2) 3) −2 cot gx + tg x (1 + t )3 (1 + t ) 1− t2 ln − arctg (1 − t )3 (1 − t ) t 293 294 t = 4) sin x ln 2 z2 + z +1 z − arctg z= tgx z −1 z − z +1 ( z + 1) 2z2 −1 5) ln + arctg z= tgx z − z +1 5.6 1) − 2) ( 1+ (1 + + 4ln + x x) − ) x ( 1+ x ) ( ) 1⎡ x + x − x(1 + x) − ln x + + x ⎤ ⎦ 2⎣ HD: Nhân tử số mẫu số biểu thức dấu tích phân với biểu thức 1+ x −1− x 3) n 4) b−a n x−b x−a 5.7 1) ln + x + + x + x 2) x −1 x − x + + ln x − + x − x + 2 Chương 6.1 1) a −1 ln a b−a HD: Đặt ξi = xi xi +1 3) ab b m +1 − a m +1 4) HD: Chọn điểm chia cho tọa độ xi chúng lập thành m +1 cấp số nhân 2) 6.2 1) 2) π π 6n HD: I = n a n ∫ dx n a −x 2n , đặt t= x n , ta có I = 6.4 1) ln2 294 a dt , sau đặt: t = a sin z ∫ n a − t2 295 1 + + n +1 n + n+n Xét hàm y= đoạn ≤ x ≤ Phân đoạn thành n phần lập tổng x tích phân Tổng tích phân biểu thức cần tìm giới hạn HD: đặt an = 2) π HD: Đặt bn = + + 1 + + so sánh số hạng biểu n − (n − 1) 2 n −1 , x = 0, x = , x = , , xn = thức bn với giá trị hàm f ( x) = n n n − x2 3) 1+ α n −0 n −1 n −4 2 6.5 Trước hết dựa vào định nghĩa tích phân tính: lim ln n →∞ n! = nn 1⎡ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ n − ⎞⎤ = lim ⎢ ln1 + ln ⎜1 − ⎟ + ln ⎜1 − ⎟ + + ln ⎜ − ⎟ n →∞ n n ⎠ ⎥⎦ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎝ ⎣ 6.6 1) 2) π2 HD: đặt t = π − x 1 ⎞ ⎛ arctg HD: Đặt t = x − , dt = ⎜1 + ⎟ dx x x ⎠ 2 ⎝ 6.7 1) Đổi biến x = π −t 2) Đổi biến: x = π − t 6.10 1) 2) 2 HD: đặt I = ∫ + ∫ =I1 + I , tích phân I đặt t= 3) 6.12 200 HD: ta viết 100π I= ∫ π 2π 3π 100π π 2π 99π sin x dx = ∫ + ∫ + ∫ + + ∫ 295 x 296 π Do hàm y = sin x tuần hoàn chu kì π nên tích phân I = 100∫ sin x dx π 6.13 1) 3) e2 −1 π3 − 2) 2(1 − e −1 ) π n ⎡ ⎤ 4) (−1) n n ! ⎢1 − e −1 ∑ − e −1 ⎥ k =1 k ! ⎣ ⎦ π π 6.14 212 1) 1.3.5.7.9.11.13 2) 6.15 1) x + x 2) ( sin x − cos x ) cos π sin x 2) 3) 16 32 ( π2 6.16 1) 6.17 Sử dụng quy tắc Lôpitan 6.18 1) − 6.19 1) I < I1 < I 6.22 Ở xk = 2) − ) 3) + 2) I ≥ I k ( k = 0,1, 8) a) Theo phương pháp hình thang: [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x7 ) + f ( x8 )] ≈ 0,6941 16 Phần dư: R8T ≤ = ≤ 0,0027 12 384 I≈ b) Theo phương pháp Simpson: I≈ ≈ 0, 6935 Phần dư: R8S ≤ 6.23 [ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x7 ) + f ( x8 )] 24 M4 ≤ 5.10−5 ≤ 10−4 2880 T a) Theo phương pháp hình thang I ≈ 0,8352 với phần dư R12 ≤ 0,004 a) Theo phương pháp Simpson: I ≈ 0.83565 với phần dư: R12s ≤ 2bh 6.24 S= 6.25 2π a 6.26 3π a 2 296 10 ≤ 10−5 2880.6 297 6.27 3π a 6.28 e2 + 6.29 2π a 6.30 a + m2 m 6.31 3π a 6.32 6a 6.33 1) a) 6.34 1) 6.35 1) 6.36 1) 3) 6.37 π b) 2π ; 2) 8π a 32 32 π a 2b ; 2) π a 2b 105 105 π ⎡ ⎤ ⎢10 − 1⎥ 27 ⎣ ⎦ π 2) 3π π 4) 12 πa < α < , ∞ α ≥ 1−α 2) 3) 16π a 4) ∞ 1) Hội tụ 2) Hội tụ A 3) Phân kì HD: A xdx xdx ∫0 + x sin x >∫0 + x = ln (1 + A ) 4) Hội tụ 2) a a + b2 6.38 1) 6.39 1) Nếu a ≠ hội tụ p>0, a=0 hội tụ p>1 2) Hội tụ p>0 q>0 6.40 1) Hội tụ không hội tụ tuyệt đối 2) Hội tụ không hội tụ tuyệt đối 6.41 Các tích phân hội tụ tuyệt đối α >1 ( < α ≤ không hội tụ tuyệt đối) Khi < α ≤ tích phân bán hội tụ Chương 297 298 7.2 1) Liên thông 2) Không liên thông 7.3 1) x + y > 2) 2kπ ≤ x + y ≤ (2k + 1)π với k ∈ Z 3) Phần mặt phẳng nằm parabol y = − x 4) Miền elipxoit 7.4 lim{lim f ( x, y )} = lim{lim f ( x, y )} = 7.5 lim lim f ( x, y ) = , lim lim f ( x, y ) = 7.6 1) 2; 7.7 1) (0,0) điểm gián đoạn vô cực x →0 y → y →0 x →0 y →∞ x →∞ x →∞ y →∞ 2) ln2 2) Các điểm đường thẳng y=−x điểm gián đoạn khử được, (0,0) điểm gián đoạn vô cực 7.8 1) u′x = x − y , u′y = y − x , du = (3x − y )dx + 2( y − x)dy 2) u′x = du = 3) u′x = , u′y = x2 + y2 dx x +y 2 + y ( x2 + y x + x2 + y ( ydy x2 + y x + x2 + y ) , ) −y x − ydx + xdy , u′y = , du = 2 x +y x +y x2 + y2 4) u′x = yx y −1 , u′y = x y ln x , du = yx y −1dx + x y ln xdy 5) u′x = sh ( x y + shy ) xy, u′y = ( x + chy ) sh ( x y + shy ) , du = ⎡⎣ xydx + ( x + chy ) dy ⎤⎦ sh ( x y + shy ) 6) u ′x = ch ( x + y ) , u ′y = ch ( x + y ) , du = ch ( x + y ) ( dx + dy ) 7.9 7.10 ∂u et +τ + t −1 ∂u et +τ , = = ∂t et +τ + ln t ∂τ et +τ + ln t u′′x2 = − y2 2 ( xy + y ) , u′′xy = xy 2 ( xy + y ) , 298 299 u′′y = 7.12 − x2 2 , d 2u = − (2 xy + y ) ( ydx − xdy ) 2 (2 xy + y ) ∂ 2u ∂ f ∂ 2u ∂ f ∂ 2u ∂ f 1) a , , , = ab =b = ∂η ∂x ∂ξ ∂x∂y ∂ξ∂η ∂y d 2u = a fξ′′2 dx + 2abfξη′′ dxdy + b fη′′2 dy 2) ∂ 2u ∂ f ∂2 f ∂ f ∂ 2u ∂ f ∂ f , , = − = + + ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂x∂y ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂ f ∂2 f ∂2 f = −2 + ∂y ∂ξ ∂ξ∂η ∂η d 2u = 7.14 ∂2 f 2∂ f ∂2 f 2 ( dx + dy ) + ( dx − dy ) + (dx − dy ) 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η dy −2 x + y d y −18 , = , = dx x + y dx ( x + y )3 d3y −162 x ( x ≠ −2 y ) = dx ( x + y )5 ∂ψ ∂ϕ − u ∂u ∂ ∂v , 7.16 = ∂v , = ∂x D(ϕ ,ψ ) ∂y D(ϕ ,ψ ) D(u , v) D(u , v) ∂ψ ∂ϕ − v ∂v ∂ ∂u , = = ∂u ∂x D(ϕ ,ψ ) ∂y D(ϕ ,ψ ) D(u , v) D(u , v) 7.17 c ∂z ∂z c = cosv = − sin v , ∂x u ∂y u 7.18 ∂z (M ) =1− ∂l 7.19 1) α = π 5π 2) α = 3π 7π 3) α = α = 4 299 300 7.20 7.21 x0 + y0 2 ( x0 + y0 ≠ 0) ∂z = cosα +cosβ +cosσ , grad u(M ) = ∂l 7.22 1) α = π 7.23 y + xy + ,β = π 2) α = , π ,β = π (3x y − y ) 3! x + y ( x + y ) ( x + y )3 7.24 + + + 1! 2! 3! 7.25 Điểm (2,0 ) điểm cực tiểu, Z CT = 7.26 Điểm dừng (2,0), AC − B = −8 < , hàm số cực trị 7.27 Tại điểm ( 2, − 2)(− 2, 2) hàm số đạt cực tiểu địa phương Tại điểm (0,0) ta có A=−4, B=4, AC − B = , ta phải xét tiếp tục Ta thấy số gia hàm đường thẳng y=0: Δf = f (Δx, 0) − f (0, 0) = 2Δx (Δx − 2) < Δx < Số gia hàm số đường thẳng y=x Δf = f (Δx, Δx) − f (0, 0) = 2Δx > Vậy điểm (0,0) hàm số cực trị 7.28 uCT = − đạt x = − , y = − , z = 3 ⎧⎪ z 'x = vô nghiệm Mặt khác ta thấy điểm M(0,0) đạo hàm riêng 7.29 Ta thấy hệ ⎨ ⎪⎩ z ' y = Z (Δx, 0) − Z (0, 0) Δx Z (0, Δy ) − Z (0, 0) Δy = cấp không tồn Thật vậy, tỉ số = , Δy Δy Δx Δx giới hạn Vì điểm (0,0) điểm cực trị, Bởi vì: ΔZ (0, 0) = Z (Δx, Δy ) − Z (0, 0) = − Δx + Δy < , nên điểm (0,0) hàm đạt cực trị, đồng thời Z CD = 7.30 Hàm số giá trị lớn , supZ=2 Hàm số gián đoạn 7.31 Miền { x ≤ 1, y ≤ 1} miền đóng, hàm Z liên tục miền nên có giá trị lớn ( 0, ±1) điểm dừng, Z ( 0, ±1) = ± Trên biên hình vuông điểm 1+ x = ±1, y = ± − hàm đạt giá trị lớn 7.32 1) Z CD = 1 x = , y = 2 300 301 2) Z CT Z CD = 3) Z CD = a + b2 x = ab b a + b2 b a a2 + b2 =− x = − ,y =− , 2 ab a +b a + b2 ,y = a a + b2 a 2b a 2b ab x = , y= a + b2 a + b2 a + b2 7.33 Hàm u đạt cực đại điểm M (1,1,1) , M (1, −1, −1) , M (−1,1, −1), M (−1, −1, +1) Tại điểm uCD =1 Hàm u đạt cực tiểu điểm M5=(−1, −1, −1) M (−1,1,1) , M (1, −1,1), M (1,1, −1) uCT = −1 7.34 1) x + 3z − 37 = 2) x0 x y0 y z0 z + + = a2 b c 7.35 x + y + z = ±21 7.36 x + z + a = 0, x y−a z+a = = 1 7.37 1) x + y = p 2) y = ± x 3) y = 4ax 4) Không có bao hình 301 302 Tài liệu tham khảo G.M Phichitengon Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2 (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH THCN Hà Nội, 1975) Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Giáo trình giải tích, Tập 1,2,3, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh Toán học cao cấp, Tập 2,3, NXB Giáo dục, 2004 G.J Silov, Giải tích toán, NXB KH Matscova, 1965 Y.Y Liasko, A.C Boiatricc, I.A.G.Gai,G.P Golovac, Giải tích toán học, Các ví dụ tập, NXB ĐH THCN Hà Nội, 1979 Jean, Maric Moner, Giáo trình toán, Tập (Bản dịch tiếng Việt), NXB Giáo dục, 1999 Jon Mathews, R.L Walker, Toán dùng cho Vật Lý (Bản dịch tiếng Việt), NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội, 1971 B.P Đêmiđôvic, Bài tập giải tích toán học (Đặng Huy Ruận, Lê Đình Thịnh dịch hướng dẫn cách giải), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1975 Đỗ Đình Thanh, Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục 2002 10 Lê Văn Trực, Giáo trình toán dùng cho vật lý, Đại học tổng hợp Hà Nội, 1984 11 Andrew Browder, Mathematical Analysis: An Introduction, Springer, 1995 12 Bourguignon, Le calcul variotionel Ellipses Marketing 2000 13 Vladimir A Zorich, Mathematical Analysis, Springer, 2004 302 [...]... vài ví dụ về dãy: 1 1 1 1 1 ⎫ ⎨ ⎬ : x1 = 1, x2 = , x3 = , x4 = , , xn = , 2 3 4 n ⎩n ⎭ (2 .1. 3) 1 2 n ⎧ n ⎫ , ⎨ ⎬ : x1 = , x2 = , , xn = 2 3 n +1 ⎩n + 1 (2 .1. 4) 1 ⎫ 1 1 1 1 1 , x2 n = , ⎨ , ⎬ : x1 = , x2 = 1, x3 = , , x2 n 1 = 2 4 2n 2n − 1 ⎩ 2 n 2n − 1 ⎭ (2 .1. 5) Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2 .1. 3) và dãy (2 .1. 5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các số hạng của dãy (2 .1. 4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng... 2 .1. 1 Nếu dãy (2 .1. 1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn được gọi là phân kỳ Ví dụ 1 ⎧ n ⎫ Hãy chứng minh dãy ⎨ ⎬ có giới hạn là 1 ⎩n + 1 Ta có: | xn − 1| = 1 1 Với mọi ε cho trước 1 ε ⇔n> 1 ε 1 1 1 ⎤ Nếu ta lấy pε = ⎢ − 1 + 1 (phần nguyên của ( − 1 )) thì ∀n > pε ta có: |xn− 1| < ε ε ⎣ε ⎦ Do đó lim n →∞ n = 1 n +1 Ví dụ 2 Hãy chỉ ra rằng dãy: {( 1) n... dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy xn = 1 + 1 1 1 + 2 + + 2 2 2 3 n Giả sử m > n, ta có xm − xn = 1 1 1 + + + 2 < 2 2 ( n + 1) ( n + 2) m 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + + − = − < 1 ε 1 ⎤ 1 ⎤ Như vậy, khi cho trước ε > 0 bé tuỳ ý, nếu chọn số p > ⎢ ⎥ + 1 (ký hiệu ⎢ ⎥ là phần ⎣ε ⎦ ⎣ε ⎦ 1 nguyên của ), khi đó: ε ∀m, n > p thì | xm − xn | < ε Vậy... n ⎟ ⎝ ⎠ n +1 1 ⎞ ⎛ > 1 + n + 1 ⎟⎠ ⎝ n +2 (2.2 .13 ) Thật vậy, bất đẳng thức (2.2 .13 ) tương đương với bất đẳng thức: ⎛ n +1 ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ n +2 hay ⎛ n +1 ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ hay ⎛ ( n + 1) 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ n( n + 2) ⎠ hay ⎛ ⎞ 1 1 + ⎟ n( n + 2) ⎠ ⎝ ⎛ n +2⎞ >⎜ ⎟ ⎝ n +1 ⎠ n +2 >1+ n +2 n +1 ⎛n +2⎞ >⎜ ⎟ ⎝ n +1 ⎠ n +2 (2.2 .14 ) n +1 n (2.2 .15 ) 1 n n +2 >1+ (2.2 .16 ) 1 n (2.2 .17 ) bởi vì (n +1) 2 =n (n+2) +1 Mặt khác, theo bất đẳng... x5 , x7 , ( k1 = 1, k2 = 3, , kn = 2n − 1) (2 .1. 15) x1 , x4 , x9 , x16 , ( k1 = 1, k2 = 4, , kn = n 2 ) (2 .1. 16) x1 , x3 , x5 , x7 , x 11 , x13 , x17 , ( xn = pn , pn là số nguyên tố) (2 .1. 17) Định lý 2 .1. 3 Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn Chứng minh: Giả sử dãy (2 .1. 1) có cùng giới hạn a và { xk } là một dãy con của dãy (2 .1. 1) Ta hãy n chứng minh dãy { xk } cũng... (2 .1. 1) Hiển nhiên dãy con của dãy (2 .1. 12) cũng là dãy con của dãy (2 .1. 1) Ta chú ý rằng kn ≥ n ∀ n ∈ * (2 .1. 13) Thật vậy k1 ≥ 1, cho nên k2 >1 và do đó k2 ≥ 2, bởi vì k2 là số tự nhiên Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được kn ≥ n, ta nhận được kn +1 > n và do đó kn +1 ≥ n + 1 Các ví dụ về dãy con là: x2 , x4 , x6 , x8 , ,( k1 = 2, k2 = 4, , kn = 2n ) (2 .1. 14) x1 , x3 , x5 , x7 , ( k1 = 1, ... 1) n } : 1, 1, 1, , (2 .1. 8) không có giới hạn Giả sử rằng dãy có giới hạn là a Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |xn – a|< ε =1 Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n +1> p, cho nên |xn +1 – a| p |xn – xn +1| = |(xn − a)+ ( a −xn +1) | ≤ | xn − a|+| xn +1 − a|n< 1+ 1 = 2 điều này mâu thuẫn với tính chất của các số hạng của dãy (2 .1. 8) là: | xn – xn +1| = 2 ∀n ∈ * 21 2 .1. 2 Các... >0, k >1, k nguyên ta có: (1 + h )k > 1 + kh (2.2 .18 ) 1 , k = n + 2 vào (2.2 .18 ) ta thấy rằng bất đẳng thức (2.2 .17 ) n( n + 2) hiển nhiên được chứng minh và do đó dãy {yn} là dãy giảm Hơn nữa dãy {yn} bị chặn dưới (bởi vì yn>0 ∀n ∈ * ) Bằng cách thay h = Do đó tồn tại giới hạn lim yn Mặt khác n →∞ 1 ⎡ 1+ ⎥ n ⎢ 1 n⎦ ⎛ ⎞ lim xn = lim ⎜ 1 + ⎟ = lim ⎣ n →∞ n →∞ 1 n⎠ n →∞ ⎝ 1+ n n +1 n +1 1⎤ ⎡ lim 1 + ⎥... nhất trong số các cận trên của M Ví dụ 1: Tìm cận trên đúng của tập 1 1 1 M = {1, , , , , } 2 3 n 1 ≤ 1 ∀n ∈ * , vì thế tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số 1 là cận n trên Ta hãy chứng minh số 1 là cận trên đúng của M Thật vậy ∀ε > 0 , ta phải tìm được số 1 tự nhiên n sao cho > 1 − ε Số n này, ví dụ là n = 1 n Giải: Ta thấy 0 < Ví dụ 2: sup(0 ,1) = sup[0 ,1] = 1 Bây giờ ta có thể định nghĩa cận trên... ε | xm − xn |< 2 Chọn p = max(p1,p2) và lấy nk>p thì ∀n > p ta có: xn − a = xn − xnk + x n − a ≤ xn − x n + x n − a < k k Vậy lim xn = a n →∞ Ví dụ 1: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy xn = 1 + Ta thấy, với n bất kỳ, m = 2n thì: 1 1 + + 2 n k ε 2 + ε 2 = ε 30 | x2 n − xn | = Do đó x2 n − xn > 1 1 1 1 1 1 + + + > + + = n +1 n + 2 2 n 2n 2n 2 1 ∀n ≥ 1 , vậy dãy {xn} phân kỳ 2 Ví dụ ... ) (1. 1 .13 ) ii) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (1. 1 .14 ) iii) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) (1. 1 .15 ) iv) ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) (1. 1 .16 ) 1. 1.4 v) A ∅ = A, ∅ A=∅ (1. 1 .17 )... kn +1 > n kn +1 ≥ n + Các ví dụ dãy là: x2 , x4 , x6 , x8 , ,( k1 = 2, k2 = 4, , kn = 2n ) (2 .1. 14) x1 , x3 , x5 , x7 , ( k1 = 1, k2 = 3, , kn = 2n − 1) (2 .1. 15) x1 , x4 , x9 , x16 , ( k1 = 1, ... 1 ⎫ ⎨ ⎬ : x1 = 1, x2 = , x3 = , x4 = , , xn = , n ⎩n ⎭ (2 .1. 3) n ⎧ n ⎫ , ⎨ ⎬ : x1 = , x2 = , , xn = n +1 ⎩n + 1 (2 .1. 4) ⎫ 1 1 1 , x2 n = , ⎨ , ⎬ : x1 = , x2 = 1, x3 = , , x2 n 1 = 2n 2n