Tài liệu Bài tập số phức ( 98 bài tập có lời giải) pptx

TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) Bài tập số phức LỜI GIỚI THIỆU Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên phủ hầu khắp vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến hình học phức Người dịch chọn lọc số vấn đề lý thuyết, tập bản, nâng cao số phức để giới thiệu tiếng Việt, phục vụ đối tượng bạn đọc học sinh trung học phổ thơng, sinh viên, người khơng chun làm tốn với số phức Trong khả có thể, người dịch cố gắng dùng thuật ngữ phổ biến Tuy nhiên không dùng thuật ngữ thiếu khó lịng diễn đạt vấn đề số phức Mọi việc dù muốn hay khơng, gây thiếu, sót (hạn chế sai, lầm) Mong em học sinh, sinh viên quý vị thông cảm Người dịch Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức Mục lục1 Mục lục Dạng đại số số phức 1.1 Định nghĩa số phức 1.2 Tính chất phép cộng 1.3 Tính chất phép nhân 1.4 Dạng đại số số phức 1.5 Lũy thừa đơn vị ảo i 1.6 Số phức liên hợp 1.7 Môđun số phức 10 1.8 Giải phương trình bậc hai 14 1.9 Bài tập 17 1.10 Đáp số hướng dẫn 22 Biểu diễn hình học số phức 25 2.1 Biểu diễn hình học số phức 25 2.2 Biểu diễn hình học Môđun 26 2.3 Biểu diễn hình học phép toán 26 2.4 Bài tập 29 2.4 Đáp số hướng dẫn 30 Dạng lượng giác số phức 31 3.1 Tọa độ cực số phức 31 3.2 Biểu diễn lượng giác số phức 33 3.2 Các phép toán dạng lượng giác số phức 37 3.4 Biểu diễn hình học tích hai số phức 40 3.5 Bài tập 41 3.6 Đáp số hướng dẫn 44 Căn bậc n đơn vị 45 4.1 Định nghĩa bậc n số phức 45 4.2 Căn bậc n đơn vị 47 4.3 Phương trình nhị thức 51 4.4 Bài tập 52 4.5 Đáp số hướng dẫn 53 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức Dạng đại số số phức 1.1 Định nghĩa số phức Xét R2 R R {( x, y) | x, y R} Hai phần tử ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ⇔ x1 x2 y1 y2 ∀ ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ ℝ2: Tổng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℝ2 Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) ∈ ℝ2 Phép tốn tìm tổng hai số phức gọi phép cộng Phép toán tìm tích hai số phức gọi phép nhân Ví dụ a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2) z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 12,10 6) (7,16) 1 b) z1 ( ,1), z2 ( , ) 1 z1 z2 ( ,1 ) ( , ) 1 1 z1z2 ( , ) ( , ) 3 12 Định nghĩa Tập ℝ2, với phép cộng nhân gọi tập số phức ℂ Phần tử (x,y)∈ℂ gọi số phức 1.2 Tính chất phép cộng (1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1, z1, z C (2) Kết hợp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C (3) Tồn phần tử không: (0,0) C , z 0 z z , z C z C : z ( z) ( z) z (4) Mọi số có số đối: z C , Số z1 z2 z1 ( z2 ) : hiệu hai số z1 , z2 Phép tốn tìm hiệu hai số gọi phép trừ, z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ∈ ℂ 1.3 Tính chất phép nhân (1) Giao hốn: z1.z2 z2 z1 , z1 , z2 C Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức (2) Kết hợp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C (3) Tồn phần tử đơn vị: (0,1) C , z.1 1.z z, z C (4) Mọi số khác có số nghịch đảo: z C* , z C : z.z z 1.z Giả sử z ( x, y) C* , để tìm z ( x ', y ') , xx yy Giải hệ, cho ta ( x, y).( x ', y ') (1, 0) yx xy x y Vậy x' ,y x2 y x2 y x y z1 ( , ) z x y x y2 Thương hai số z1 ( x1 , y1 ), z ( x , y ) ∈ ℂ*là z1 x y x x y y x y y1x z1.z ( x1, y1 ).( , ) ( 12 , 12 ) C 2 z x y x y x y x y2 Phép tốn tìm thương hai số phức gọi phép chia Ví dụ a) Nếu z (1,2) 2 z1 ( , ) ( , ) 2 22 5 b) Nếu z1 (1,2), z2 (3,4) z1 11 ( , ) ( , ) z2 16 16 25 25 * Lũy thừa số mũ nguyên số phức: z∈ ℂ , z 1; z1 z; z z.z; z n  , n nguyên dương z.z z n n z ( z ) n , n nguyên âm n , n nguyên dương (5) Tính phân phối phép nhân với phép cộng: z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C Những tính chất phép nhân cộng, chứng tỏ ℂ hai phép toán cộng nhân trường 1.4 Dạng đại số số phức Dạng đại số số phức nghiên cứu sau đây: Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức Xét song ánh2 f :R R {0}, f ( x) ( x,0) Hơn ( x,0) ( y,0) ( x y,0) ; ( x,0).( y ,0) ( xy ,0) Ta đồng (x,0)=x Đặt i=(0,1) z ( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1) x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy Định lý Số phức z=(x,y) biểu diễn dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ , i2=-1 Hệ thức i2=-1, suy từ định nghĩa phép nhân : i i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) Biểu thức x+yi gọi dạng đại số số phức z=(x,y) Do đó: C {x yi | x R, y R, i 1} x=Re(z): phần thực z y=Im(z): phần ảo z Đơn vị ảo i (1) Tổng hai số phức z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C Tổng hai số phức số phức , mà phần thực ( phần ảo) tổng hai phần thực (phần ảo) hai số cho (2) Tích hai số phức z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C (3) Hiệu hai số phức z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C Hiệu hai số phức số phức , mà phần thục ( phần ảo) hiệu hai phần thực(phần ảo) hai số phức cho Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực tương tự quy tắc tính đa thức cần lưu ý i2 đủ Ví dụ 6i, z2 2i a) z1 z1 z2 ( 6i ) (1 2i) 4i z1 z2 ( 6i )(1 2i ) 12 (10 6)i 16i 1 b) z1 i , z2 i 2 f đẳng cấu Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức z1 z2 z1z2 i) ( 1 ( i)( ( 1.5 Lũy thừa đơn vị ảo i i 1; i1 i; i 1 i) 1 i) 1; i3 i i 1 (1 )i i 1 1 ( )i i 3 12 i, i i i 1; i i i i; i i i 1; i i i i Bằng quy nạp : i 4n 1; i 4n i; i 4n 1; i 4n i, ∀ n∈ ℕ* Do i n { 1,1, i, i}, ∀ n∈ ℕ Nếu n nguyên âm , có i n (i ) n ( ) n ( i) n i Ví dụ a) i105 i 23 i 20 i 34 i 4.26 i 4.5 i 4.5 i 4.8 i i 1 b) Giải phương trình : z3 18 26i, z x yi, x, y Z Ta có ( x yi)3 ( x yi)2 ( x yi) ( x2 y 2xyi)( x yi) ( x3 3xy ) (3x2 y y3 )i 18 26i Sử dụng định nghĩa hai số phức nhau, được: x3 3xy 18 3x y y 26 Đặt y=tx, 18(3x2 y y3 ) 26( x3 3xy ) ( cho ta x≠ y≠ 0) ⇒ 18(3t t ) 26(1 3t ) ⇒ (3t 1)(3t 12t 13) Nghiệm hữu tỷ phương trình t=1/3 Do x=3, y=1⇒ z=3+i 1.6 Số phức liên hợp Cho z=x+yi Số phức z x yi gọi số phức liên hợp z Định lý (1) z z z R, (2) z z , (3) z.z số thực không âm, Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức (4) z1 z2 (5) z1.z2 (7) (8) (1) (2) (3) z2 , z1.z2 , (z ) , z C* , (6) z z1 z1 z2 z1 , z2 C* , z2 z z z z Re( z ) , Im(z)= 2i Chứng minh z z x yi x yi Do 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ z x yi, z x yi z z.z ( x yi)( x yi) x2 y (4) z1 z2 ( x1 (5) z1.z2 ( x1 x2 ) ( y1 y1i) ( x2 ( x1x2 y2i) 1 ( z ) z z tức ( z ) ( z ) (6) z z1 x2 ) ( y1 y2 )i z2 x2 y1 ) ( x1x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) z1 z2 z ( ) 1, z 1 z1 ) z1.( ) z1 z2 z2 z2 z2 (8) z z ( x yi ) ( x yi) x z z ( x yi ) ( x yi ) yi z z z z Do đó: Re( z ) , Im(z)= 2i Lưu ý a) Việc tính số nghịch đảo số phức khác 0, tiến hành: z x yi x y i 2 2 z z.z x y x y x y2 b) Tính thương hai số phức: z1 z1.z2 ( x1 y1i )( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 z2 z2 z2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 (7) z1 z2 y2 )i ( x1 y1 y2 ) i( x1 y2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( z1 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page Bài tập số phức Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực tương tự quy tắc tính đa thức cần lưu đủ ý i2 Ví dụ a) Tìm số nghịch đảo z 10 8i z b) Tính z (10 8i) 1 10 8i i 41 10 8i 164 82 5i 20 4i 3i (5 5i)(3 4i) z 16i c) Cho z1 , z2 C Chứng tỏ E E z1 z2 1(10 8i) (10 8i)(10 8i) z1z2 20(4 3i) 35i 16 9i 25 75 25i i 25 z1.z2 z1.z2 số thực z1z2 z1.z2 E 1.7 Môđun số phức Số | z | x y gọi Mơđun số phức z=x+yi Ví dụ Cho z1 3i, z2 3i, z3 | z1 | 42 32 5, | z2 | 02 ( 3)2 E 10 8i 102 82 80 60i 25 R 2, 3, | z3 | 22 Định lý (1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | z (2) | z | 0,| z | (3) | z | | z | | z | (4) z.z z (5) | z1 z2 | | z1 || z2 | (6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | (7) | z | z (8) | | z2 (9) | z1 | | z | , z C* | z1 | , z2 C * | z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 10 Bài tập số phức 10 ) (cos i sin )5 6 z 4 10 210 (cos i sin ) 3 35 35 5 210 (cos i sin )(cos i sin ) 2 6 40 40 10 (cos i sin ) 3 55 55 cos i sin 3 cos5 i sin 40 40 cos i s in 3 10 (cos i sin 3.4 Biểu diễn hình học tích hai số phức Xét số phức z1 r1 (cos i sin ), z2 r2 (cos i sin ) Gọi P , P2 giao điểm đường tròn ℭ (0,1) với tia OM , OM Dựng P3 thuộc đường trịn có argument cực , chọn M thuộc tia OP3 , OM OM 1.OM Gọi z3 tọa độ phức M3 Điểm M (r1r2 , ) biểu diễn tích z1 z2 Gọi A điểm biểu diễn z=1 OM OM OM OM   M 2OM AOM1 Suy hai tam giác OM1 OM OA OAM ,OM M đồng dạng Để xây dựng biểu diễn hình học thương, lưu ý điểm tương ứng Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com z3 M1 z2 Page 40 Bài tập số phức 3.5 Bài tập Dựa vào tọa độ vng góc ,tìm tọa độ cực điểm a) M ( 3,3) b) M ( 3, 4) c) M (0, 5) d) M ( 2, 1) e) M (4, 2) Dựa vào tọa độ cực ,tìm tọa độ vng góc điểm a) P (2, ) 3 arcsin ) b) P2 (4,2 c) P3 (2, ) d) P4 (3, ) e) P5 (1, ) f) P6 (4, ) arg( z ) arg( z ) qua arg(z) Biểu diễn Biểu diễn hình học số phức z: a) | z | ; b) | z i | ; c) | z i | ; argz d) ; e) arg z ; f) arg z ; g) arg( z ) ( , ) |z i| h) argz Viết số sau dạng cực Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 41 Bài tập số phức a) z1 6i 3; i ; 4 c) z3 i ; 2 d) z4 9i 3; e) z5 2i; 4i f) z6 Viết số sau dạng cực a) z1 cos a i sin a, a [0, ) , b) z2 sin a i (1 cos a), a [0,2 ) , c) z3 cos a sin a i (sin a cos a), a [0,2 ) , d) z4 cos a i sin a, a [0,2 ) Sử dụng dạng cực số phức để tính tích sau a) ( i )( 3i)(2 2i); 2 b) (1 i )( 2i)i ; b) z2 c) 2i( 4 3i)(3 3i) ; d) 3(1 i )( 5i) Mô tả kết dạng đại số Tìm | z |,arg z, Argz, arg z ,arg( z ) a) z (1 i)(6 6i ) ; b) z (7 3i)( i) Tìm |z| argument cực z: (2 2i )8 (1 i) a) z , (1 i )6 (2 2i )8 ( i)4 b) z , ( i)10 (2 2i) c) z (1 i 3)n (1 i 3)n 10 Chứng tỏ công thức Moivre với số nguyên âm 11 Tính a) (1 cos a i sin a)n , a [0,2 ), n N , Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 42 Bài tập số phức b) z n , z zn Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com z Page 43 Bài tập số phức 3.6 Đáp số hướng dẫn Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 44 Bài tập số phức Căn bậc n đơn vị 4.1 Định nghĩa bậc n số phức Xét số nguyên n≥ số phức w Như trường số thực ℝ , phương trình zn w dùng định nghĩa bậc n số w Ta gọi nghiệm z phương trình bậc n w i sin ) số phức với r>0 θ∈ [0,2π) Định lý Cho w r (cos Căn bậc n w gồm n số phân biệt, cho 2k 2k zk n r (cos i sin ), k 0,1, , n n n Chứng minh Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức z (cos i sin ) n Theo định nghĩa, ta có z w , nên n (cos n i sin n ) r (cos i sin ) Do n r, n 2k , k Z n r, k n k n Vậy nghiệm phương trình có dạng zk n r (cos k i sin k ), k Z Do k , k {0,1, , n 1} argument cực Lưu ý 0 n Bởi tính tọa độ cực, Ta có n nghiệm phân biệt phương trình z0 , z1 , , zn Đến ta chứng minh phương trình có n nghiệm phân biệt Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q số dư r, tức k=nq+r, q∈ Z, r∈{0,1,2,…,n-1} 2 (nq r ) r 2q 2q k r n n n n Rõ ràng zk zr Do {zk , k Z } {z0 , z1 , , zn 1} Nói cách khác phương trình có n nghiệm phân biệt Biểu diễn hình học bậc n w≠ (n≥ 3) đỉnh n giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính n r , r=|w| Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 45 Bài tập số phức Để chứng minh điều này, ký hiệu M ( z0 ), M ( z1 ), , M n ( zn ) Bởi OM k | zk | n r , k {0,1, , n 1}  M M k Mk C(0, n r ) Mặt khác , số đo cung k , k {0,1, , n 2} n n 2  ⇒ M n 1M (n 1) n n   Bởi cung M M1, M1M , , M n 1M nên đa giác M M M n Ví dụ 16 Tìm bậc ba z=1+i biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức Dạng lượng giác z arg zk argzk 2(k 1) z 2(cos Các bậc ba z zk ( 2k ) i sin ) 2 2[cos( k ) i sin( k )], k 12 12 ⇒ z0 ), 12 3 z1 (cos i sin ), 4 17 17 z2 2(cos i sin ), 12 12 Dùng tọa độ cực, điểm biểu diễn z0 , z1 , z2 17 M ( 2, ) , M ( 2, ) , M ( 2, ) 12 12 Tam giác biểu diễn kết hình 2.6 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com 2(cos 0,1,2 12 i sin Page 46 Bài tập số phức 4.2 Căn bậc n đơn vị Một nghiệm phương trình z n gọi bậc n đơn vị Biểu diễn dạng lượng giác , cos0 i sin 0, từ cơng thức tìm bậc n số phức, ta có bậc n đơn vị 2k 2k , k {0,1, , n 1} cos i sin k n n ⇒ cos0 i sin , 2 2 (đặt ) cos i sin cos i sin n n n n 4 , cos i sin n n 2(n 1) 2(n 1) n cos i sin n n n 2 Ký hiệu Un {1, , , , n 1} ,cũng cần nhắc lại cos i sin n n Như phần trước đề cập, Biểu diễn hình học bậc n đơn vị (n≥ 3) điểm tạo thành n giác nội tiếp đường trịn tâm O bán kính Chẳng hạn i) Với n=2, hai bậc hai 1(nghiệm phương trình z ) -1,1 ii) Với n=3, bậc ba 1( nghiệm phương trình z )cho 2k 2k , k∈ {0,1,2}, cos i sin k n n ⇒ 1, 2 , i sin i 3 2 4 cos i sin i 3 2 Biểu diễn lên mặt phẳng phức tam giác nội tiếp đường tròn ℭ (O,1) Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com cos Page 47 Bài tập số phức iii) Với n=4, bậc bốn 2k cos k Ta có i sin 2k , k {0,1, 2, 3} cos0 i sin , cos i sin i, cos i sin 1, 3 cos i sin i 2 Tức U4 {1, i, i , i3} {1, i, 1, i} Biểu diễn hình học chúng hình vng nội tiếp đường tròn ℭ (O,1) Số m k k U n gọi nguyên thủy bậc n đơn vị , số nguyên dương m