Bài toán tìm tập hợp điểm

Bài tốn tìm tập hợp điểm: Tìm tập hợp điểm biết số giả thiết Chúng ta vận dụng phép hình cách chứng minh tập hợp điểm cần tìm ảnh hình biết qua phép biến hình Sau số tốn ứng dụng: Bài tốn 5.1 Cho đường trịn đường tròn xứng điểm M3 M1 Mà nên Gọi Gọi M1 tam giác ABC điểm đối xứng nên M1 chạy M1 nên (O ) ảnh (O ) chạy ( O) ảnh uuuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r OO1 + O1O2 = 2OA + 2O1B = AO1 + 2O1B = AB D chạy ( O3 ) ảnh trung điểm qua thay đổi A M2 , điểm đối OO3 (O ) qua ĐC ( O) qua hành Do điểm ĐD D Do Quỹ tích điểm Gọi D uuuur uuu r ĐA OO1 = 2OA qua , (O ) qua uuuuu r uuuu r O2O3 = 2O2C , ĐC ( M ) = M ta có trung điểm MM uuur uuur AD = BC cố định Phép đối xứng qua điểm M3 uuuur uuur ĐB O1O2 = 2O1B Mặt khác , uuur uuuur uuuur uuuur uuu r uuur uuur uuu r uuur 2OD = OO3 =OO1 + O1O3 = 2OA + BC , OD = OA + BC ảnh M M M2 C B M3 qua , điểm đối xứng qua Tìm quỹ tích ĐB ( M ) = M M3 Một điểm ĐA ( M ) = M Do ( O) ( O) ảnh đường tròn ( O) D Vậy ( ABCD biến O3 ) là hình bình M thành qua phép đối xứng tâm M3 D Bài toán Cho hai điểm phân biệt kính đường trịn động ( O) ( O) , điểm A trực tâm tam giác B, C cố định ( di động ABC ( O) BC đường Chứng minh có di di dộng đường trịn Có thể hướng dẫn giải toán nhiều cách Cách thứ , gọi tam giác A H trực tâm ( O) D ABC M BC BO , trung điểm Tia cắt đường tròn Ta · BCD = 900 DC / / AH AD / / CH ADCH , tứ giác hình bình hành nên uuur uuur uuuu r AH = DC = 2OM đường trịn Vì ( O) phép tịnh tiến theo uuuu r OM H uuuu r 2OM không đổi nên uuuur ( A ) = H T2OM Vậy (O ) A di chuyển , di chuyển đường tròn ảnh ( O) qua A D O * H C B H’ Hình 2.35 H Ta hướng dẫn theo cách thứ hai sau: Gọi ABC Gọi I,H ' đường trịn Do ( O) VHCH ' giao điểm tia Ta có cân ' · · · · BAH = HCB BAH = BCH C , , H H' Tia có BO cắt uuur uuur uur AH = DC = 2OI ( O) Trong trung bình tam giác ∆AHM chuyển có D BC BC ABC I BC , trung điểm Theo chứng minh cách ta OI / / AH OI = AH nên OI đường AHM I HM H M , trung điểm , và đối xứng qua Vì BC cố định nên ( O) M với đoạn thẳng đối xứng qua Hoặc cách thứ ba, gọi H trực tâm tam giác AO AH trực tâm tam giác I cố định Khi Do A di động ( O) A di động ( O) M di trực tâm tam giác ABC di động đường tròn (O’) ảnh ( O) I qua phép đối xứng tâm A D O H C B I M Bài tốn 5.3 Cho đường trịn thay đổi Giải: ( O) ( O, R ) Tia phân giác , I cố định không nằm O Một điểm · MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm M N Ta có, ON tia phân giác góc M · MOI nên MN OM = NI OI hay IM − IN OM = IN OI N I O Hình 2.37 ( O) , I cố định nên OM =k k OI ( số IM − IN = k , IN = IM IN k +1 Vậy phép vị tự tâm Do M I k +1 chạy đường tròn ảnh đường tròn Bài tốn 5.4: Cho điểm ) Do đó, có tỉ số ( O) k ≠0 biến điểm ( O) qua phép vị tự tâm A N I M thành điểm (O ) ' di động đường tròn tỉ số k +1 ABCD cố định nằm đường trịn đổi đường trịn Dựng hình vng N ( O) điểm Tìm quỹ tích điểm B C thay điểm D Trên đoạn thẳng AM AB = = AC AC V 2  A , ÷ ÷   của V B AC lấy điểm AM = AB = AD Và Khi người ta có: Do phép vị tự Q A,45 ( M ) = B Và phép quay Q cho ( AM , AB ) = 45 , ( AM , AD ) = −45 ( C) = M M F ( C) = B ( o ) Vì quỹ tích Vậy gọi C đường trịn ảnh đường trịn qua phép đồng dạng xác định sau: F F phép hợp thành ( O) , nên quỹ tích Đường trịn quỹ tích B Hình 2.38 Q D * A O R M * C P B AR Gọi với AR đường kính đường trịn (ta kí hiệu điểm đồng dạng kính F biến AR P, Q thành AP ( O) PQ cho ( đường kính ( AR,AP ) = 45 Vậy quỹ tích điểm B ( O) vng góc ) Khi ta thấy phép đường trịn đường AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường trịn đường kính AQ ( O) Bài tốn 5.5 Cho đường trịn đường thẳng thay đổi qua điểm M cho: P điểm P nằm đường trịn Một ( O) , cắt uuuu r uuu r uuu r PM = PA + PB hai điểm A B Tìm quỹ tích uuu r uuu r uur PA + PB PI − AB Gọi I trung điểm , ta có uuuu r uuu r uuu r uur V( p ,2) ( I ) = M PM = PA + PB = PI I AB OI ⊥ AB Và Có Vì trung điểm I Suy quỹ tích điểm điểm (C ) M đường tròn ( C ) = V( ) ( ( C ) ) đuờng trịn p ,2 PO , đường trịn đường kính AB Bài toán 5.6 Cho đoạn thẳng đường thẳng Tìm tập hợp điểm AB M, M Lấy M quan hệ M Nếu ta lấy đường tròn ( O; r ) nằm ( O; r ) Vậy quỹ tích cho uuuu r uuur PO , = PO nằm phía Rồi dựng hình bình hành ( O; r ) AB, ABMM , ( O; r ) O, PO di chuyển Yếu tố cố định gồm đoạn thẳng ( O; r ) đường kính ' , ( C) ABMM , hình bình hành, đường trịn Việc cần tìm mối liên hệ yếu tố cố định với yêu cầu đề Vậy, vận dụng phép biến hình vào giải tốn ? Xét , , uur : Tuuu r ( M ) = M , Tuuu r ( O) = O TuAB BA BA Mặt khác : O, ( O ;r) Khi : , cố định nên cố định O , M , = OM = r ⇒ M , ∈ ( O , ; r ) M Vậy qua TuBAuur di chuyển ( O; r ) M, ( O ;r) , di chuyển ảnh ( O; r ) Nhận xét : Vậy ta thay giả thiết đường tròn ( O; r ) đường tạo tốn có lời giải tương tự Hoặc thay giả thiết cho uuuuur uuu r MM , = k AB ABMM , hình bình hành giả thiết M, Hoặc vài toán sau : Bài 5.6.1 Cho điểm đổi N A, B ( O; r ) A, B ∈ ( O; r ) Điểm ) Hãy xác định hình bình hành M chạy đường tròn (trừ hai ABMN Chứng mih M thay cũg chạy đường tròn cố định Bài 5.6.2 Cho ( O; r ) , A B ∉ ( O; r ) chạy đường trịn cho bình hành ABMN A, M , B Đoạn thẳng AB cắt ( O; r ) Điểm M không thẳng hàng Hãy xác định hình Chứng minh M thay đổi N chạy đường trịn cố định Bài tốn 5.7 Cho điểm đổi N A, B ( O; r ) A, B ∈ ( O; r ) Điểm ) Hãy xác định hình bình hành M AMBN chạy đường tròn (trừ hai Chứng mih M thay cũg chạy đường tròn cố định Yếu tố cố định gồm đoạn thẳng quan hệ M nằm ( O; r ) AB, AMBN hình bình hành, đường trịn ( O; r ) Việc cần tìm mối liên hệ yếu tố cố định với yêu cầu đề Vậy, vận dụng phép biến hình vào giải toán ? Trước hết I AMBN hình bình hành nên gọi I phải cố định I giao điểm hai đường chéo trung điểm đường Xét ĐAB : ĐAB ( M ) = N , ĐAB ( O ) = O , ĐI : ĐI ( M ) = N , ĐI ( O ) = O , O , ( đó, O, N = OM = r Vậy N cố định) Do N ∈ ( O, ; r ) ( O ;r) , di chuyển đường trịn cố định Trong : A, = ĐI ( A ) B , = ĐI ( B ) trừ hai điểm A, , B , Chú ý : Ta thay giả thiết để thành tốn có lời giải tương tự sau : Bài 5.7.1 Cho ( O; r ) định hình bình hành A, B ∉ ( O; r ) AMBN Điểm M chạy đường tròn Hãy xác Chứng mih M thay đổi N cũg chạy đường tròn cố định Bài 5.7.2 Cho ( O; r ) , A B ∉ ( O; r ) chạy đường trịn cho bình hành AMBN trịn cố định A, M , B Đoạn thẳng AB cắt ( O; r ) Điểm M không thẳng hàng Hãy xác định hình Chứng minh M thay đổi N chạy đường ( O; r ) Bài toán 5.8 Cho hai điểm A, B A, B ∈ ( O; r ) N ) Hãy xác định M Chứng mih thay đổi đường tròn quan hệ ∆AMN M chạy đường tròn (trừ A ∆BMN cân B cũg chạy đường tròn cố định AB, ∆BMN Yếu tố cố định gồm đoạn thẳng ( O; r ) cho N M Điểm nằm cân ( O; r ) B ∆AMN cân A , Việc cần tìm mối liên hệ yếu tố cố định với yêu cầu đề Vậy, vận dụng phép biến hình vào giải toán ? Trước hết, ∆AMN cân trung trực đoạn đó, O, N = OM = r Vậy N MN A Xét ∆BMN cân B nên đường thẳng ĐAB : ĐAB ( M ) = N , ĐAB ( O ) = O , O , ( AB đường cố định) Do ( O ;r) , di chuyển đường tròn cố định trừ hai điểm A, B Chú ý : Ta thay đổi giả thiết để thành tốn có lời giải tương tự sau : Bài 5.8.1 Cho định điểm M N thay đổi ( O; r ) ∆AMN cho N Bài 5.8.2 Cho A, B ∉ ( O; r ) ∆AMN A M ∆BMN chạy đường tròn Hãy xác cân B Chứng mih cũg chạy đường tròn cố định ( O; r ) , A B ∉ ( O; r ) chạy đường tròn cho cho Điểm A A, M , B ∆BMN cắt ( O; r ) Điểm M không thẳng hàng Hãy xác định điểm cân chạy đường tròn cố định Đoạn thẳng AB B Chứng minh M N thay đổi N Bài toán 5.9 Cho xAy cố định Trên tia BD = CE Gọi M Ax, Ay cố định Trên tia Bx, Cy theo thứ tự lấy điểm lấy điểm chuyển động DE trung điểm Tìm quỹ tích điểm D, E M B, C cho D,E chuyển động Yếu tố cố định đề : DE · , B, C xAy quan hệ Chúng ta đưa ý tưởng tịnh tiến BCFD dựng hình bình hành CBFE BD = CE , M BD, CF trung điểm chung gốc cách Khi sử dụng tính chất hình bình hành tính chất tam giác cân Hướng dẫn I, N BCFD BC , EF Dựng hình bình hành Lấy trung điểm uuuur uuur uuu r M = T1 uuur ( N ) NM = FD = CB CB ∆CEF C 2 Nhận xét : nên Mặt khác, cân nên N nằm đường phân giác Vậy theo D, E r uuu CB thay đổi M d cố định chạy đường thẳng ảnh d qua phép tịnh tiến Bài tốn 5.10 Cho hình thang A, B · · ECF = xAy cố định Gọi I ABCD ( AB PCD ) AD = a, DC = b giao điểm hai đường chéo a, Tìm tập hợp điểm b, Tìm tập hợp điểm C I khi D C thay đổi D thay đổi câu a hai đỉnh A, B, AD = a, DC = b Yếu tố cố định gồm ( AB PCD ) ABCD mối quan hệ hình thang Việc cần tìm mối liên hệ yếu tố cố định với yêu cầu đề Vậy, vận dụng phép biến hình vào giải tốn nào? Có thể đưa hai cách sau: Cách 1: Trường hợp 1: ABCD AB > CD hình thang, gọi AE BE AB m = = = AD BC CD b Đặt nên , ảnh đường trịn b, Ta có ID IC DC b = = = IB IA AB m AI = kAC ( A '; r ') I = V( A,k ) ( C ) CD > AB A A Vậy và BC AB = m không đổi Khi khơng đổi r bán kính ) Và D BC , CA, AB ( A;r ) thay đổi C chạy đường tròn V qua phép vị tự b  B; ÷  m BD AC DC + AB b + m = = = = IB IA AB m k Do qua phép vị tự tâm Tương tự Cách CD (đường tròn tâm , cố định nên m ma AD = b b BE m b = , BC = BE , C = V b  ( E ) BC b m  B, ÷  m ( A ;r ) A, B giao AE = ma ⇒ E ∈ ( A; r ) b r= E Vì I chạy đường trịn k= tỉ số giải tương tự m m+b ( A ''; r '') khơng đổi ảnh a, Vì với Xét A, B AD cố định nên AB cắt AB = m không đổi Qua C dựng đường thẳng song song AECD tạiậit có hình bình hành uur : Tuuur ( D ) = C Tuuur ( A ) = E TuAE AE AE C b, Có di chuyển đường tròn AI m = AC m + b đường trịn AI = nên ( E; a ) I Khi đó, ( E; a ) m AC m+b D uuur b uuu r AE = AB m di chuyển đường tròn ( A; a ) I = V m   A; ÷  m +b  Do đó, chạy đường trịn ( E; a ) ( C) Vậy C chạy V qua phép vị tự m   A; ÷  m+b  Nhận xét: - Khi phân tích dạng toán cần ý đến yếu tố cố định, yếu tố thay đổi mối quan hệ cố định yếu tố toán - Dựa vào đặc điểm giả thiết để suy đoán phép biến hình cần vận dụng - Ngồi tốn ví dụ trên, nghiên cứu giải thêm toán sau Bài 3.1 Cho M1, M , M ∆ABC nội tiếp ( O) Gọi M điểm di chuyển theo thứ tự điểm đối xứng hợp điểm M1 , M , M M qua ( O) BC , CA, AB Tìm tập Bài 3.2 Tìm quỹ tích điểm có: a) Tổng khoảng cách từ đến hai đường thẳng cho trước đại lượng cho trước b) Hiệu khoảng cách từ đến hai đường thẳng cho trước đại lượng cho trước Bài 3.3 Cho đường trịn Tìm quỹ tích Bài 3.4 Cho Các điểm M, cho ∆ABC D, E trực tâm M ( O; R ) uuuuu r uuur uuur MM , + MA = MB DE ∆MAB Một điểm H P cho A, B theo thứ tự tia đối tia Bx, Cy BA, CA Tìm quỹ cố định điểm ( O; R ) phía đường thẳng M ∆MAB M di động Gọi H A cố định, BD = 2a cố định Tìm quỹ tích đỉnh ∆ABC BC có đỉnh cố định Vẽ hình thoi Hạ M C không đổi BCDE DD1 ⊥ AB, EE1 ⊥ AC Tìm quỹ tích điểm BD = 2CE ABCD cố định o cắt thay đổi ( O) nằm đường tròn ∆ABC M Bài 3.6 Cho hình bình hành DD1 ,EE1 Bx, Cy biết cho hai điểm b, Tìm tập hợp điểm Bài 3.7 Cho A, B thứ tự chuyển động tia a, Tìm tập hợp điểm A, B, D hai điểm cố định Gọi tích trung điểm Bài 3.5 Trên ( O) mà EDA Các đường thẳng Bài 3.8 Cho M ∆ABC tùy ý gọi M1 điểm đối xứng với M1 M2 BC M AB M qua , điểm đối xứng với qua , điểm đối xứng với qua AC I Tìm quỹ tích trung điểm Bài 3.9 Cho đường tròn M M Với điểm không trùng điểm A, B AB ( O) dây cung Hai đường trịn Tìm tập hợp điểm Bài 3.10 Cho điểm O N MM AB cố định, ( O ) ,( O ) M theo thứ tự tiếp xúc giao điểm thứ hai , đường thẳng a di chuyển (O ) cố định Xét đường tròn AB (O ) ( I; R) ( O) ( hai có bán ( I; R) BB ' Pa O BB ' kính khơng đổi ln qua đường kính cho Tìm quỹ tích B B' ... với qua , điểm đối xứng với qua AC I Tìm quỹ tích trung điểm Bài 3.9 Cho đường trịn M M Với điểm không trùng điểm A, B AB ( O) dây cung Hai đường trịn Tìm tập hợp điểm Bài 3.10 Cho điểm O N... tia a, Tìm tập hợp điểm A, B, D hai điểm cố định Gọi tích trung điểm Bài 3.5 Trên ( O) mà EDA Các đường thẳng Bài 3.8 Cho M ∆ABC tùy ý gọi M1 điểm đối xứng với M1 M2 BC M AB M qua , điểm đối... qua phép tịnh tiến Bài tốn 5.10 Cho hình thang A, B · · ECF = xAy cố định Gọi I ABCD ( AB PCD ) AD = a, DC = b giao điểm hai đường chéo a, Tìm tập hợp điểm b, Tìm tập hợp điểm C I khi D C thay