Khai thác và phát triển bài toán tìm tập hợp điểm trong chương trình toán phổ thông

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu khoa học tơi, khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người viết cam đoan Nguyễn Thị Hải Hằng i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Nguyễn Hữu Hậu - Trường Đại học Hồng Đức Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thiện đề tài luận văn Từ đáy lịng mình, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy! Tôi xin trân trọng gửi tới thầy, cô Khoa Tốn phịng Đào tạo sau Đại học, Trường Đại Học Hồng Đức thầy, cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2019-2021, lời cảm ơn chân thành lịng nhiệt thành, tận tình công lao dạy dỗ thầy, cô suốt q trình học tập nhà trường Tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12- Phương pháp Toán Sơ Cấp - Trường Đại Học Hồng Đức động viên giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu khoa học hồn thiện luận văn Do hiểu biết thân có hạn khn khổ luận văn, nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận dẫn góp ý q thầy cơ, bạn học viên để tơi hồn thành tốt luận văn TP Thanh Hóa, tháng năm 2021 Học viên Nguyễn Thị Hải Hằng ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I.KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quan hệ hình học phẳng 1.1.1 Quan hệ liên thuộc 1.1.2 Quan hệ song song 1.1.3 Quan hệ vng góc 1.2 Một số vấn đề giải toán Hình học 10 1.2.1 Các phương pháp suy luận giải toán hình học 10 1.2.2 Các bước giải tốn hình học 12 1.3 Bài tốn tìm tập hợp điểm 14 1.3.1 Khái niệm tốn tìm tập hợp điểm 14 1.3.2 Quy trình giải tốn tìm tập hợp điểm 15 1.4 Một số dạng tập hợp điểm 20 1.4.1 Dạng tập hợp điểm 20 1.4.2 Dạng tập hợp điểm không 21 1.5 Một số phương pháp giải Bài tốn tìm tập hợp điểm 21 1.5.1 Phương pháp tập hợp điểm tương giao 21 1.5.2 Sử dụng cơng cụ hình học giải tích 23 1.5.3 Sử dụng cơng cụ hình học tổng hợp 26 1.5.4 Sử dụng phép biến hình 28 CHƯƠNG II.KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN 32 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 32 2.1 Phát triển tốn tìm tập hợp điểm thông qua xác lập mối liên hệ dạng tốn tìm tập hợp điểm chứng họ đường thẳng qua điểm cố định 32 2.2 Sử dụng số thao tác tư khai thác, phát triển Bài toán 37 2.2.1 Bài toán gốc 37 iii 2.2.2 Bài toán gốc 45 2.2.3 Bài toán gốc 53 2.2.4 Sử dụng thao tác khái quát hố, đặc biệt hố hỗ trợ tìm cách giải toán 54 2.3 Sử dụng số cơng cụ khác để giải tốn tìm tập hợp điểm 58 2.3.1 Cơng cụ véc tơ 58 2.3.2 Sử dụng tọa độ 61 2.3.3 Sử dụng công cụ phép biến hình mặt phẳng 63 2.4 Sử dụng số phần mềm định hướng tốn tìm tập hợp điểm 74 2.4.1 Vai trị phương tiện trực quan trình dạy học Toán 75 Tổ chức tìm tịi, phát lời giải tốn hình học nhằm phát huy tính tích cực HS với hỗ trợ PM hình học động 76 KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 iv MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Hình học phẳng mơn học quan trọng trường phổ thông, nội dung quan trọng trương trình tốn phổ thơng Các kết chứng minh thể tương đối hoàn chỉnh, đầy đủ tài liệu nước quốc tế Trong nội dung kiến thức Bài tốn tìm tập hợp điểm dạng tốn thường gặp kì thi học sinh giỏi cấp Các tốn tìm tập hợp điểm đóng vai trị đặc biệt quan trọng việc giúp học sinh hình thành, phát triển lực tư giúp học sinh tiếp cận với đối tượng toán học, mối quan hệ toán học trình vận động biến đổi chúng từ nhận biết yếu tố mang tính quy luật Để giúp học sinh phổ thông, giáo viên tìm hiểu kết tốn tìm tập hợp điểm nhà toán học nghiên cứu, đồng thời nắm kĩ thuật, sáng tạo tìm tịi cách giải số dạng tốn hình học phẳng hệ thống theo trình tự logic định Từ cho em làm quen tập dượt việc nghiên cứu chun đề tốn học sau Chính lý trên, chọn đề tài nhiên cứu luận văn “Khai thác phát triển tốn tìm tập hợp điểm chương trình tốn phổ thơng” Với mục đích có hệ thống tập để giúp học sinh giỏi đứng trước tốn quỹ tích, nhanh chóng xác định công cụ, cách tiếp cận để giải đưa lời giải cho tốn tìm tập hợp điểm Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp giải tốn tìm tập hợp điểm - Nghiên cứu số phần mềm vẽ hình để hỗ trợ chứng minh tốn tìm tập hợp điểm Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Bài tốn tìm tập hợp điểm phổ thơng - Một số phần mềm công cụ liên qua đến tốn tìm tập hợp điểm phổ thơng Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu số lời giải tốn tìm tập hợp điểm để đưa số cách tiếp cận, số công cụ thường sử dụng để giải tốn tìm tập hợp điểm khuôn khổ kiến thức phổthông - Tham khảo đề thi học sinh giỏi, tài liệu tham khảo chọn lọc hệ thống tốn tìm tập hợp điểm để minh họa cách trực quan cách giải tốn Phương pháp nghiên cứu - Phân tích - Tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến tốn tìm tập hợp điểm Dự kiến kết đạt - Biết sử dụng số cách chứng minh tốn tìm tập hợp điểm tập cụ thể - Áp dụng cơng cụ vẽ hình để dự đốn kết để chứng minh số toán liên quan đến tìm tập hợp điểm 7.Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn tơi bao gồm có chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Khai thác phát triển số dạng tốn tìm tập hợp điểm CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quan hệ hình học phẳng 1.1.1 Quan hệ liên thuộc [9] Các toán quan hệ liên thuộc bao gồm : - Các điểm thẳng hàng (các điểm thuộc đường thẳng); - Các điểm đồng phằng(các điểm thuộc mặt phẳng); - Các điểm thuộc đường tròn; - Các điểm thuộc mặt cầu; - Các đường thẳng đồng quy; - Các mặt phẳng đồng quy 1.1.1.1 Các điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng (thuộc đường thẳng) ta sử dụng cách thường dùng sau (được phát biểu dạng thu gọn): Cách 1: A, B, C thẳng hàng B A, C  AB + BC = AC Cách 2: A, B, C thẳng hàng  AB, BC song song với đường thằng  Cách (Bổ đề hình thang): Chứng minh ba điểm giao điểm đường chéo, giao điểm phần kéo dài cạnh bên trung điểm đáy hình thang nằm đương thẳng Cách 4: A, B, C thẳng hàng  A, B, C thuộc hai mặt phẳng phân biệt ( P) (Q) Cách 5: A, B, C thằng hàng  AB = k AC Cách 6: A, B, C thẳng hàng  Chúng ảnh ba điểm thẳng hàng qua phép biến hình Cách 7: A, B, C thẳng hàng  Toạ độ C nghiệm phương trình đường thẳng AB (trong mặt phẳng hay khơng gian) Cách 8: Ngồi quy trình trên, sử dụng định lí Ta-let, định lí Mê-nê-la-t, sử dụng tính chất góc đối đỉnh góc kề bù 1.1.1.2 Các điểm đồng phẳng Chúng ta tiến hành theo cách sau để chứng minh: Cách 1: A, B, C , D thuộc mặt phẳng AB, AC , AD song song với mặt phẳng (  ) vng góc với đường thẳng(  ) đó, AB cắt CD ( AC cắt BD ) Cách 2: A, B, C , D thuộc mặt phẳng  Các vec tơ AB, AC , AD , đồng phẳng Cách 3: A, B, C , D thuộc mặt phẳng phương trình mặt phẳng (  ) qua ba điểm A, B, C hệ toạ độ trực chuẩn không gian nghiệm toạ độ D Cách 4: A, B, C , D thuộc mặt phẳng A, B, C , D ảnh bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 thuộc mặt phẳng qua phép vị tự V( o ,k ) Chú ý Ngoài cách nêu, để nhằm khai thác phương pháp khác giải toán sử dụng Định lý Mê-nê-la-uýt áp dụng cho tứ giác ghềnh sau đây: “Bốn điểm A, B, C , D thuộc cạnh MN , NP, PQ, QM tứ giác ghềnh MNPQ đồng phẳng AM BN CP = 1" AN BP DM 1.1.1.3.Các điểm thuộc đường tròn Để chứng minh điểm A1 , A2 , An thuộc đường trịn ta sử dụng cách sau (được phát biểu dạng thu gọn bước): Cách 1: Chỉ điểm O cách điểm A1 , A2 , , An Cách 2: Chứng minh điểm liên tiếp nằm phía “nhìn” hai đỉnh cịn lại hai điểm góc Cách 3: Chọn ba điểm cố định, chứng minh điểm lại thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh ba điểm chọn Cách 4: Đối với tứ giác, ta chứng minh tổng hai góc đối 1800 có tổng góc đối bắng Cách 5: Sử dụng phép biến hình 1.1.1.4 Các điểm thuộc mặt cầu Các cách chứng minh n đến A1 , A2 , , An thuộc mặt cầu, cần bổ sung thêm kiến thức sách giáo khoa để kết sau: Cách 1: Chỉ điểm O cách n điểm A1 , A2 , , An Cách 2: Chứng minh điểm A1 , A2 , , An nhìn hai điểm góc vng Cách 3: Lấy bốn điểm đó, chẳng hạn A1 , A2 ,A , A4 có mặt cầu ngoại tiếp (S) chứng minh điểm lại thuộc ( S ) Cách 4: Chứng minh n điểm A1 , A2 , , An ảnh n điểm B1 , B2 , , Bn Thuộc mặt cầu qua phép dời hình đồng dạng không gian ' Cách 5: Chứng minh SA1.SA1' = SA2 SA2 ' = = SAn SAn n điểm A1 , A2 , ,A n thuộc mặt cầu Cách 6: Sử dụng nhận xét: “Nếu hai đường tròn cắt thuộc hai mặt phẳng cắt hai đường trịn nằm mặt cầu”,ta chứng minh n điểm A1 , A2 , , An thuộc hai đường tròn 1.1.1.5 Các đường thẳng đồng quy Để chứng minh n đường thẳng mặt phẳng hay không gian đồng quy,có thể sử dụng cách sau: Cách 1: Sử dụng mệnh đề “Cho n đường thẳng, ba đường thẳng chúng đồng quy n đường thẳng đồng quy” Cách 2: Sử dụng mệnh đề : Cho n đường thẳng đơi cách nhau, chúng khơng đồng phẳng đồng quy” Cách 3: Chỉ điểm xác định chứng minh đường thẳng qua điểm Cách 4: Sử dụng phép biến hình Chú ý 2: Có thể sử dụng số định lí quen thuộc: Định lí Xê-va, định lí đường đối cực 1.1.2 Quan hệ song song [9] 1.1.2.1 Sơ lược kiến thức hình học Afin quan hệ song song Cho không gian véc tơ V trường số thực, tập    mà phần tử gọi điểm ánh xạ  : A  A → V Kí hiệu  ( M , N ) = MN với điểm M , N  A Bộ ba ( A, ,V ) gọi không gian Afin hai tiên đề sau thoã mãn: i).Với điểm M  A vec tơ c V có điểm N  A cho c = MN ii) Với ba điểm M , N , P  A ta có MN + NP = MP Không gian Afin( A, ,V ) cịn gọi khơng gian Afin A trường số thực Không gian vectơV gọi không gian vectơ liên kết (nền) khơng gian Afin A kí hiệu A Không gian Afin A gọi n- chiều (kí hiệu dim A = n )nếu dimV = n Khi kí hiệu An Hệ m + 1điểm A0 ,A1 , A2 , , Am (m  1) không gian Afin A gọi độc lập m vectơ A0 , A1 , A0 A2 ,…, A0 An A hệ vec tơ độc lập tuyến tính Hệ gồm điểm M ln xem độc lập Gọi điểm A  khơng gian vec tơ A Khi đó,   tập hợp  = M  A : OM   gọi phẳng qua có phương  Nếu dim  = m  gọi phẳng m-chiều hay m-phẳng Như vây, 0-phẳng điểm, n - phẳng không gian Afin n- chiều An An , 1- phẳng gọi đường thẳng, 2- phẳng gọi mặt phẳng ,(n-1)- phẳng gọi siêu phẳng không gian Afin n- chiều An Qua m+1 điểm độc lập khơng gian Afin A có m- phẳng ( m  ) - Hoạt động Nghiên cứu kiểm tra lời giải (sử dụng cơng cụ đo góc, độ dài, diện tích…để kiểm tra) Như thế, vai trị hình vẽ quan trọng hoạt động 1, 2, Việc khai thác tốn phụ thuộc vào việc hình vẽ xây dựng vị trí khác biến đổi 2.4.1 Vai trò phương tiện trực quan q trình dạy học Tốn PTTQ khơng tham gia vào q trình hình thành khái niệm, mà cịn hỗ trợ đắc lực cho DH định lý, dạy giải tập Toán… PTTQ cầu nối, khâu trung gian giai đoạn trừu tượng hóa (từ cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) giai đoạn cụ thể hóa (tái tạo cụ thể tư duy) [4, tr.141] Từ kết có được, tơi thấy DH Tốn trường phổ thông, việc sử dụng phương tiện trực quan (PTTQ) DH cần thiết, để có hiệu mong muốn cần ý đảm bảo nguyên tắc sau: - Nguyên tắc 1: Việc xây dựng sử dụng PTTQ trước hết phải đáp ứng mục đích việc DH Tốn nhà trường phổ thông; - Nguyên tắc 2: Việc xây dựng sử dụng PTTQ phải đảm bảo tôn trọng kế thừa chương trình, sách giáo khoa hành; - Nguyên tắc 3: Việc xây dựng sử dụng PTTQ phải dựa định hướng đổi phương pháp DH nay, đáng ý phải tạo cho HS mơi trường hoạt động tích cực, tự giác; - Nguyên tắc 4: Việc xây dựng sử dụng PTTQ phải trọng đến việc HS tự lực khám phá, độc lập tìm tịi phát vấn đề độc lập giải vấn đề; Trong phạm vi viết này, đề cập vấn đề sử dụng PM DH làm PTTQ DH số tốn tập hợp điểm tìm điểm cố định dạy học Hình học phổ thơng 75 Tổ chức tìm tịi, phát lời giải tốn hình học nhằm phát huy tính tích cực HS với hỗ trợ PM hình học động Hiện có nhiều PM DH chuyên dụng có khả hỗ trợ cho việc DH Trong phải kể đến PM Geometer’s Sketchpad (GSP), Cabri II plus ví dụ điển hình PM hỗ trợ việc DH hình học máy vi tính PM cho phép tạo hình ảnh khơng gian chiều, HS thấy được, dịch chuyển được, thao tác vật thật, giúp khám phá chất Đây chức tạo đồ dùng DH ảo máy vi tính Với chức tạo đồ dùng DH ảo, tuỳ theo mức độ khai thác GV HS, tạo hoạt động để sử dụng chúng phương tiện để gợi động hình thành kiến thức từ HS hình thành giải vấn đề, để HS dự đốn, tìm kiếm kiểm tra nhanh kết mà HS dự đốn Ví dụ: Cho đường trịn tâm (O), A điểm nằm đường tròn, cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) B C Tiếp tuyến với đường tròn B C cắt I Tìm tập hợp điểm I Sử dụng PM Geometer’s Sketchpad để giải toán Hoạt động GV sử dụng chức PM để vẽ hình, thiết kế nút lệnh tuỳ theo ý đồ sư phạm GV, tạo tình hỗ trợ HS dự đốn, tìm kiếm phát kiến thức Vẽ đường tròn (O), lấy điểm A nằm đường tròn, B nằm đường tròn, vẽ đường thẳng qua A, B cắt (O) điểm thứ hai C Dựng tiếp tuyến (O) B C cắt I Chọn điểm I tạo vết cho điểm I chọn điểm B để tạo nút lệnh thực việc di chuyển đường trịn (O) 76 Hình 2.38 Hoạt động 2: Đặc biệt hoá toán GV cho hiển thị toán đặc biệt tạo hoạt động 1, cho HS quan sát trường hợp A thuộc đường tròn (O) Dùng chuột di chuyển điểm B Bằng hình ảnh chuyển động PM chức lưu vết, HS thấy điểm I chuyển động đường thẳng vng góc với OA A Hình 2.39 77 Hoạt động 3: Dự đốn tập hợp điểm tìm hướng chứng minh HS sử dụng chức biểu thị tập hợp điểm PM để thấy hình ảnh tập hợp điểm dự đốn tập hợp điểm đường thẳng, từ hoạt động đặc biệt hoá toán dẫn tới HS muốn kiểm tra xem góc đường thẳng quỹ tích đường thẳng OA, sử dụng chức đo góc kết cho thấy đường thẳng tập hợp điểm vng góc với đường thẳng OA Từ HS có sở để dự đốn tập hợp điểm đường thẳng vng góc với đường thẳng OA, điều có nghĩa hình chiếu H điểm I đường thẳng OA khơng đổi, hay HS tìm hướng giải tốn chứng minh khoảng cách OH khơng đổi Hình 2.40 Ví dụ: Cho hình thoi ABCD, M điểm thay đổi đoạn thẳng AC Dựng hình bình hành MNBP với N, P thuộc AB, BC Chứng minh đường thẳng a qua M vuông góc với đường thẳng NP ln qua điểm cố định 78 A A E N M B N M I B D O O H D P P C C Hình 2.41 Hình 2.42 Hoạt động (hình 2.41) – Vẽ hình bình hành ABCD cách dùng chức vẽ đường thẳng qua trung điểm vng góc đoạn thẳng, dùng chức lấy điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng (trong Transform vào Mirror để chọn trục đối xứng trục mà ta chọn, đánh dấu điểm cần lấy đối xứng trục đối xứng vào Reflect Tranform) Lấy điểm M thuộc AC, đánh dấu M MC vào Parallel Line Construct ta đường thẳng qua M song song với BC cắt AB, tương tự HS vẽ đường thẳng qua M song song với AB cắt BC P thu hình bình hành MNBP Vẽ đường thẳng qua N P, đánh dấu M đường thẳng NP vào Parallel Line Construct ta đường thẳng M vng góc với NP Hoạt động 2: Dùng chuột di chuyển điểm M AC, quan sát hình vẽ M chuyển động HS dự đốn đường thẳng a qua điểm cố định thuộc đường thẳng BD Di chuyển điểm M đến vị trí bất kì, gọi H giao điểm đường thẳng với BD HS kiểm tra dự đoán vị trí đặc biệt: Khi M  A , N  A, P  B , đường thẳng a trở thành đường thẳng qua A vuông góc với AB Dùng chức kiểm tra, HS kiểm tra đường thẳng qua điểm H Khi M  C , N  B, P  C , đường thẳng A trở thành đường thẳng qua C vng góc với BC HS kiểm tra đường thẳng qua điểm H Như vậy, đến HS cần chứng minh điểm H điểm cố định cần tìm 79 Hoạt động 3: Để chứng minh H điểm cố định, HS cần chứng minh H thuộc đối tượng cố định khác BD chứng minh khoảng cách từ điểm H tới điểm cố định khơng đổi Từ hoạt động 2, HS dự đốn H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Dùng chức vẽ đường tròn biết tâm trung điểm BH qua điểm B (Circle By Center + Point Construcf) dùng chức kiểm tra cho thấy đường tròn qua A, C giao điểm đường thẳng a với đường tròn đối xứng với điểm M qua đường thẳng NP Từ đó, HS tìm cách chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC sau: Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp ABC Lấy E điểm đối xứng với M qua đường thẳng NP Dùng chức đo góc HS kiểm tra thấy hai góc AEM CEM để chứng minh E thuộc đường tròn (I) HS cần chứng 2 minh AEM = ABC CEM = ABC , điều suy từ N tâm đường tròn ngoại tiếp AEM P tâm đường tròn ngoại tiếp CEM Do đó, tứ giác AEBH nội tiếp AEH = ABH = ABC mà A, B, E thuộc (I) nên H  (I) suy K = BD  ( I ) cố định Ví dụ 2.5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác Tìm tập hợp điểm I A chuyển động đường tròn (O) A A p O I B C B I q Hình 2.43 Hình 2.44 80 C GV đặt câu hỏi: Em dựng hình tìm tập hợp điểm I điểm A thay đổi phần mềm Cabri? Hoạt động 1: Dựng hình: - Dựng đường tròn tâm O; - Dựng dây cung BC đường tròn (O); - Dựng điểm A đường này; - Dựng tam giác ABC; - Gọi I giao điểm ba đường phân giác trong; - Ẩn đường không cần thiết Hoạt động 2: Tìm tập hợp điểm Tạo vết cho điểm I, chuyển động điểm A, ta thu vết điểm I hai cung trịn (hình 2.43) Hoạt động 3: Chứng minh GV đặt câu hỏi: Em chứng minh kết dự đoán phần mềm Cabri tập hợp điểm? - Phần thuận: Xét trường hợp A chạy cung lớn BC, có BCA =  Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Theo tính chất góc ngồi tam giác, ta có (hình 2.44): I1 = B1 + A1 (1) I = C1 + A2 (2) Cộng (1) (2) theo vế với vế: I1 + I = B1 + A1 + C1 + A2 900 Vậy, góc BIC = 900 + A2 = 900 + A khơng đổi A Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định  góc (900 + ) không đổi nên tập hợp điểm I thuộc cung G  chứa góc (90 + ) dựng đạn thẳng BC (cung BpC) Xét trường hợp A chạy cun bé BC có O B M BAC = 180 −  Lập luận tương tự, ta có I nhìn đoạn thẳng BC cố định góc 180 −  +   = 180 − không 2 81 Hình 2.45 C đổi nên tập hợp điểm I thuộc cung chứa góc 180 −  dựng đoạn thẳng BC (cung BqC) - Phần đảo: Bạn đọc tự chứng minh Kết luận:Tập hợp điểm I thuộc hai cung chứa góc BpC BqC GV đặt câu hỏi: Em phát biểu BT tương tự ví dụ tìm tập hợp điểm trực tâm tam giác ABC? Ví dụ2.6: Cho tam giác ABC, hai điểm B, C cố định thuộc (O;R), điểm A chuyển động đường tròn Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm G Mục đích: HS dự đoán tập hợp điểm G xác định phép biến hình vận dụng tốn HĐ1: Vẽ hình HĐ2: Dự đốn tập hợp điểm điểm G GV: Hãy dịch chuyển điểm A đến vài điềm khác dự đoán tập hợp điểm G (sử dụng công cụ Vết) HS: Sau cho điểm A dịch chuyển, dự đoán tập hợp điểm G đường trịn HĐ3: Chính xác tập hợp điểm GV: Hãy xác tập hợp điểm vừa tìm (tâm đường trịn bán kính đường trịn) HĐ4: Lựa chọn phép biến hình GV: Hãy quan sát đo đạc, tính tốn đưa kết luận mối liên hệ hai đường tròn HS: HS xác định liên hệ đường tròn (O ;R) tập hợp điểm G (đường tròn) HS biết hai đường trịn ln tồn phép vị tự biến đường trịn thành đường trịn HS: Tìm tâm vị tự phép vị tự 82 HS : Qua phân tích giả thiết tốn suy MG = MA , từ suy V(O; ) biến điểm A thành G Mặt khác A chuyển động (O;R) nên quỹ tích điểm G ảnh đường tròn tâm (O;R) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Mỗi dạng toán “thường gặp” SGK, GV nên xây dựng toán mẫu, xây dựng hệ thống toán từ dễ đến khó, từ đến nâng cao Trong dạy - học giải toán liên quan đến phép đối xứng trục phép vị tự, GV xây dựng hệ thống tốn liên quan sau: Ví dụ2.7: Cho hai điểm B, C đường tròn tâm O điểm A thay đổi đường trịn Tìm tập hợp điểm trực tâm H tam giác ABC HĐ1: Vẽ hình HĐ2: Dự đốn - Cho điểm A di động - HS quan sát Vết điểm H - HS dự đốn quỹ tích điểm H - Chính xác hố dự đốn cơng cụ Hình 2.46 tập hợp điểm HĐ3: Dự đoán mối quan hệ đường tròn (O) tập hợp điểm H- đường tròn (O’) với phương diện ảnh tạo ảnh qua phép biến hình HS: Quỹ tích H đường trịn (O’) có bán kính bán kính (O), qua quan sát (O’) đối xứng với (O) qua BC HĐ4: Chứng minh hai đường tròn (O) (O’) đối xứng với qua đường BC HĐ5: Trình bày lời giải Gọi H’ giao điểm cuả AH đường tròn (O) Gọi AA’ đường kính đường trịn tâm (O) đó.A’H//CH (do vng góc với AB) A’H//BH ( 83 vng góc với AC) nên A’BHC hình bình hành Suy BC qua trung điểm HH’ Ngoài BC vng góc với HH’ Từ ta suy H H’ đối xứng với qua BC Nếu ta gọi ĐBC phép đối xứng qua trục BC ĐBC biến H’ thành H Nhưng H’ nằm (O) tập hợp điểm điểm H’ đường tròn (O’) ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC Bán kính (O’) bán kính (O) Hai tâm O O’ đối xứng với qua BC Trong toán này, phần mềm Cabri II plus giúp dự đoán tập hợp điểm H, HS sử dụng công cụ Cabri II plus để tìm phép biến hình vận dụng tốn Thơng qua hoạt động thực nghiệm quan sát, đo đạc, mị mẫm, dự đốn kích thích HS tích cực hoạt động Hoặc sau giải xong tập sau: “Cho hai điểm B, C đường tròn tâm O điểm A thay đổi đường trịn Tìm tập hợp điểm trực tâm H tam giác ABC” GV thêm tập lớp tập nhà theo hướng phân hóa sau: Bài tốn 1: Cho A thay đổi a Hai điểm B, C thuộc đường thẳng a’, a//a’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm trực tâm H Bài toán 2: Cho A thay đổi a Hai điểm B, C thuộc đường thẳng a’, a cắt a’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm trực tâm H Bài toán 3: Cho A thay đổi a Hai điểm B, C thuộc đường thẳng a’, a vng góc với a’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm trực tâm H Bài toán 4: Cho điểm A di động (P) có phương trình: y=x2+1 điểm B(b;0) , C(c;0) Tìm tập hợp điểm trực tâm H tam giác ABC Bài toán 5: Cho B, C hai điểm cố định Một điểm A thay đổi cho ABˆ C =  không đổi Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm trực tâm H Bài toán 6: Cho điểm B, C cố định Điểm A di động thoả mãn AB AC = d (d  0) Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm trực tâm H 84 Từ Bài toán đến Bài toán theo thứ tự khó dần từ chỗ biết phép biến hình để giải tốn đến khơng cho cụ thể phép biến hình cụ thể giải tốn, từ chỗ quỹ tích đường dễ dàng xác định đến chỗ tập hợp điểm hình khó xác định hơn, từ chỗ sử dụng phương pháp giải toán đến việc phải vận dụng phương pháp khác Chú ý: Sử dụng PM khắc phục số khó khăn sai lầm giải tốn tìm tập hợp điểm Ví dụ 2.8: Cho A thay đổi a Hai điểm B, C thuộc đường thẳng a’, a//a’ Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm tập hợp điểm trực tâm H Nếu giải phương pháp tổng hợp thông thường HS vẽ vài điểm thấy chúng tạo thành đường cong đồng thời qua điểm B, C Điều dễ tạo cho HS nhận định sai lầm tập hợp điểm đường tròn qua BC hay cung trịn đó, nhiên tập hợp điểm H đường Prabol Nếu phương pháp tổng hợp thơng thường khó kết luận tập hợp điểm H Điều thơi thúc HS sử dụng phương pháp giải khác chẳng hạn phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ Sử dụng phần mềm Cabri II plus với chức tạo vết Vết HS dự đốn xác quỹ tích điểm H Nếu giải phương pháp toạ độ thơng qua phương trình tập hợp điểm H kết luận tập hợp điểm H Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho B(x0;y1) ; C(x0;y2) điểm A(0;y) Rõ ràng đường thẳng a trùng với trục Oy, đường thẳng a’ có phương Hình 2.47 trình: x= x0 a//a’ nên x0  Giả sử H(x;y) trực tâm tam giác ABC Từ cách chọn thấy AH ⊥ BC H trực tâm nên BH ⊥ AC  BH AC = 85  (x-x0)x0+(y-y1)(y2-y) =  ( y1 − y2 )   ( y1 + y2 )   x0  x − x0 + =y−  x0     Từ phương trình thấy tập hợp điểm H Parabol Khi sử dụng phần mềm Cabri II plus HS sử dụng công cụ kiểm tra thẳng hàng? Song song? Vng góc? Cách đều? Thuộc? Hay cơng cụ tính khoảng cách độ dài, số đo góc, phương trình toạ độ,… để khắc phục sai lầm HS q trình chứng minh tính chất hình học có sử dụng phép biến hình, tốn dựng hình, hay dự đốn tập hợp điểm Qua ví dụ trên, chưa cho thấy hết tiện ích hỗ trợ phần mềm hình học động việc tìm tịi lời giải tốn Hình học nói chung tốn quỹ tích, điểm cố định nói riêng Tuy nhiên, cho thấy với tính năng: hình ảnh động, để lại vết chuyển động, khả tính tốn, khả kiểm tra…phần mềm tạo môi trường để em hoạt động Ở HS có đủ điều kiện thuận lợi để tìm hiểu, xem xét, phân tích, khám phá, để từ đưa dự đốn kiểm tra dự đốn hay sai, tìm mối liên hệ yếu tố dự đoán Đây q trình tìm tịi, phát lời giải cho toán 86 KẾT LUẬN Luận văn“Khai thác phát triển tốn tìm tập hợp điểm chương trình tốn phổ thơng” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: Tìm hiểu trình bày xây dựng hình học phương pháp tiên đề mối quan hệ hình học phẳng Hệ thống phân loại dạng tốn cách tư tìm tịi lời tốn tìm tập hợp điểm sáng tạo cho dạng tốn Đưa sơ cơng cụ hỗ trợ cho việc tìm tịi lời giải tốn tìm tập hợp điểm Xây dựng lớp tốn thơng qua khai thác Bài tốn gốc Hy vọng nội dung luận văn cịn tiếp tục hồn thiện phát triển nữa, nhằm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh quan tâm đến hình học phẳng 87 CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN Nguyễn Thị Hải Hằng (2021) “Tìm tịi, phát lời tốn tìm tập hợp điểm với hỗ trợ phần mềm hình học động”, Tạp chí “Dạy học ngày nay”, Kì 2–04/2021, Tr 40 – Tr 42 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình (2013), Tìm cách giải tốn hình học cấp THCS, NXB Giáo dục [2] Vũ Hữu Bình (1994), Một số vấn đề phát triển Hình học 8, NXB giáo dục Việt Nam, Hà Nội [3] Lê Hải Châu, Nguyễn Xuân Quỳ (2001), Cách tìm lời giải tốn THCS (Tập 3), Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Văn Như Cương (Chủ biên) (2009), Hình học sơ cấp Thực hành giải toán, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Nguyễn Ngọc Giang (2017), Phương pháp sáng tạo tốn hình học THCS, NXB Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh [6] Lê Quốc Hán (Chủ biên) (2016), Những đường sáng tạo giải toán Hình học, Nxb Giáo dục [7] Nguyễn Đức Tấn (2001), Vẽ thêm đường phụ để giải số toán hình học 8, Nxb Giáo dục [8] Nguyễn Đức Tấn (2003), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Quỹ tích Tập hợp điểm, NXB giáo dục Việt Nam [9] Nguyễn Chiến Thắng, Đào Tam (2017),Giáo trình Hình học sơ cấp Lịch sử Toán, Nxb Đại học Vinh [10] Hứa Thuần Phỏng (1994) (Người dịch: Phạm Hồng Tuất) Quỹ tích: Những tốn mẫu cách chứng minh, NXB Giáo Dục, HàNội [11] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ (2009), Tuyển tập: Các toán chọn lọc 45 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB giáo dục Việt Nam, Hà Nội 89