Giao trinh bai tap c5 phan tich phuong an theo pp khac phan 2

TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Chương 4: LAN TRUYỀN CHẤT Sông ngòi vừa nơi cung cấp nước (nguồn sinh họat), vừa nơi tập trung nước thải (từ nhà máy, khu công nghiệp, cống thải…) Kinh tế phát triển, chất lượng nước sông ngòai giảm Vật chất lan truyền sông có n hiều dạng khác nhau, tóan tính lan truyền vấn đề bắt buộc phải đề cập đến Để nghiên cứu vấn đề này, ta cần hiểu từ lý thuyết truyền chất, phương trình vi phân mô tả lan truyền chất dòng chảy I PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN Jvao C Jra R C+ ∆x ∂C ∆x ∂x x Hình – Sự lan truyền chất qua hai mặt cắt Phương trình lan truyền chất thiết lập từ đònh luật bảo toàn khối lượng không gian vi phân nằm hai mặt cắt ướt kênh Xét đoạn dòng chảy mang vật chất giới hạn hai mặt cắt có toạ độ x (mặt cắt 1-1) x+∆x (mặt cắt 2-2) (hình 1) Nồng độ chất mặt cắt 1-1 C, mặt cắt 2-2 (C+ IV-1 ∂C ∆x ) ∂x TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Chênh lệch nồng độ ra-vào đoạn kênh qua hai mặt cắt ướt thời gian ∆t là: ∂C ∆t ∂t Gọi ∆W thể tích đoạn dòng chảy xét ∆W=A ∆x Biến thiên khối lượng chất đoạn dòng chảy thời gian ∆t là: ∆W ∂C ∆t ∂t (1) Mặt khác, gọi Jvao Jra thông lượng chất, biểu thò cho khối lượng chất vào khỏi đoạn kênh đơn vò diện tích mặt cắt ướt đơn vò thời gian, chuyển tải khuếch tán Nếu dòng chảy xảy đơn chuyển (chuyển tải), thông lượng tính theo phương trình: J = UC (2) U - vận tốc dòng chảy ; với U = Q A A – diện tích mặt cắt ướt đoạn dòng chảy Thông lượng vận tốc dòng chảy gây Nếu dòng chảy dòng rối, tức xảy trình chuyển tải trình khuếch tán, thông lượng tính theo phương trình: J = UC − E ∂C ∂x (3) Với: E - hệ số khuếch tán dọc theo phương x Trong đó, thành phần thứ hai vế phải phương trình (3) có dựa theo đònh luật I Fick IV-2 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Để đảm bảo tính tổng quát, người ta dùng phương trình (3) để tính thông lượng chất vào đoạn kênh, tức dòng chảy đoạn sông xét tính đến trình chuyển tải khuếch tán Gọi R (hình 1) khối lượng chất tăng lên hay đơn vò thời gian đoạn kênh phản ứng Ta suy khối lượng chất thay đổi đoạn kênh khoảng thời gian ∆t là: (J vao A − J A ± R )∆t (4) Cân phương trình (1) (4), ta được: ∆W ∂C = J vao A − J A ± R ∂t (5) Trong đó: ∆W - thể tích C – nồng độ chất Jvao – thông lượng khối chất vào đoạn dòng chảy Jra – thông lượng khối chất khỏi đoạn dòng chảy R – khối lượng chất tăng lên hay đơn vò thời gian phản ứng, phân hủy, lắng đọng, gia nhập, phát triển, … Theo phương trình (3), thông lượng vào xác đònh: J vao = UC − E ∂C ∂x (6) Thông lượng xác đònh cách khai triển bậc theo chuỗi Taylor: ⎡ ∂C ∂ ⎛ ∂C ⎞ ⎤ ∂C ⎞ ⎛ J = U ⎜ C + ∆x ⎟ − E ⎢ + ⎜ ⎟∆x ⎥ ∂x ⎝ ⎠ ⎣ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎦ IV-3 (7) TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Để xác đònh R, xét đến phản ứng phân hủy (phản ứng làm cho vật chất bò đi) bậc (tỷ lệ bậc với khối lượng vật chất biến đổi thể tích xét), : (8) R = − K ∆WC K hệ số phản ứng Thay (6), (7), (8) vào phương trình (5), ta được: ∆W ∂C ∂C ⎞ ∂C ⎡ ∂C ∂ ⎛ ∂C ⎞ ⎤ ⎛ = UAC − UA ⎜ C + ∆x ⎟ − EA + EA ⎢ + ⎜ ⎟ ∆x ⎥ − K ∆WC ∂t ∂x ∂x ⎝ ⎠ ⎣ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ⎦ (9) Chia hai vế phương trình (9) cho ∆W = A∆x , ta được: ∂C ∂C ∂ 2C = −U +E − KC ∂t ∂x ∂x (10) Phương trình (10) phương trình mô tả trình truyền chất Phương trình viết lại dạng hoàn thành thể (kết hợp với phương trình liên tục): ∂ ( AC ) = ∂ ⎛⎜ AE ∂C ⎞⎟ − ∂ ( AUC ) + A( f (C ) + G (C )) ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂t (11) Các số hạng phương trình (11) đặc trưng cho thành phần sau: • ∂ ⎛ ∂C ⎞ ⎜ AE ⎟ - thành phần vật chất khuếch tán ∂x ⎝ ∂x ⎠ • ∂ ( AUC ) - thành phần vật chất chuyển tải ∂x • AG(C) – thành phần vật chất dòng gia nhập hay tách (mg/s/m) - G (C ) = q(Cb − C ) trường hợp bổ sung nước A Với Cb nồng độ nguồn nước bổ sung; q lưu lượng gia nhập đơn vò chiều dài kênh - G(C) = trường hợp lấy nước (bơm, tưới, …), Cb=C IV-4 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM • Af(C) – tính đến thay đổi thành phần Những thay đổi xảy cho thành phần cá nhân phần tử độc lập chuyển tải, khuếch tán, bao gồm: tác động vật lý, hoá học, sinh học tương tác xảy dòng chảy Ví dụ: tái thông khí, phát triển tảo, tốc độ chết Coliform, lắng đọng, tương tác, … Thông thường hai thành phần cuối có dạng chung: f (C ) + G (C ) = − KC + p Với: K - tổng hệ số có liên quan đến nồng độ C, bao gồm: hệ số phản ứng, lưu lượng gia nhập đơn vò chiều dài, hệ số lắng đọng, … p - hệ số tự do, không phụ thuộc vào nồng độ C, bao gồm: thành phần tương quan với yếu tố khác, nồng độ ứng với nguồn gia nhập, … Đối với yếu tố môi trường khác nhau, K p có công thức tính khác để đặc trưng cho tính chất yếu tố mối tương tác với dòng chảy, với môi trường yếu tố với Như vậy, phương trình đạo hàm riêng phần trình lan truyền chất mô tả biến thiên nồng độ chất theo không gian thời gian viết lại sau: ∂C ∂C ∂ 2C +U = E − KC + p ∂t ∂x ∂x (12) II PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN Phương trình vi phân chưa có nghiệm giải tích (trừ số trường hợp đơn giản) Có nhiều phương pháp số giải hệ phương trình lan truyền chất: phương pháp phân rã, phu7ong pháp đường đặc trưng, phương pháp sai phân hữu hạn, thể tích hữu hạn… Việc giải phương trình phương pháp sai phân hữu hạn IV-5 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM phổ biến với nhiều sơ đồ sai phân khác nhằm giải toán lan truyền Phương trình (12) giải được, cần có điều kiện ban đầu hai điều kiện biên nhánh Sau trình bày vài phương pháp 2.1 Các phương pháp số Người ta giải hệ phương trình lan truyền phương pháp số, nghóa xác đònh C số điểm không gian theo thời gian Các phương pháp số sau: phương pháp phân rã (bao gồm phương pháp đường đặc trưng để giải phương trình tải tuý, phương pháp sai phân hữu hạn để giải phương trình khuếch tán tuý), phương pháp sai phân hữu hạn (giải toàn phương trình lan truyền), … ứng với nhiều sơ đồ giải sơ đồ ẩn, sơ đồ 2.1.1 Phương pháp phân rã: Chia phương trình lan truyền ∂C ∂C ∂ 2C +U = E − KC + p làm hai toán lần ∂t ∂x ∂x lượt giải toán: Bài toán 1: Giải phương trình tải tuý: ∂C1 ∂C + U = − KC1 + p ∂t ∂x với điều kiện ban đầu C1=Cn (Cn nồng độ thời điểm t = n trước đó) (giải phương pháp đường đặc trưng) Bài toán 2: Sau giải xong tóan 1, ta lấy kết nồng độ C1n làm ∂C2 ∂ C2 với điều kiện ban đầu C2 để giải phương trình khuếch tán tuý: =E ∂t ∂x điều kiện ban đầu C2=C1n (bài toán giải phương pháp sai phân hữa hạn) C2 nghiệm phương trình lan truyền (12) Cứ ta giải xen kẻ hai tóan 2.1.2 Phương pháp đường đặc trưng ™ Nguyên tắc: IV-6 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Đưa tóan giải trực tiếp phương trình lan truyền toán giải hệ phương trình vi phân toàn phần họ đường đặc trưng Đường đặc trưng đường cong mặt phẳng toạ độ không gian thời gian Trên đường đặc trưng đó, phương trình đạo hàm riêng trở thành phương trình vi phân toàn phần Tuy nhiên, để dẫn đến phương trình vi phân toàn phần, phải đặt số điều kiện, ví dụ bỏ qua thành phần khuếch tán, chuyển tải tuý Nên phương pháp đường đặc trưng không cho kết thực tế Tuy nhiên, phương pháp đường đặc trưng phương pháp bản, có ý nghóa vật lý cụ thể Là tảng mở đầu cho phương pháp đại 2.1.3 Phương pháp sai phân hữu hạn ™ Nguyên tắc: Phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp số để giải phương trình lan truyền có hiệu cao Phương trình đạo hàm riêng sai phân lưới X-t Lưới X-t xác đònh trục khoảng cách X trục thời gian t Theo chiều thời gian, lớp lưới cách khoảng ∆t, theo chiều không gian ∆x Thông thường ∆t không thay đổi từ lớp thời gian sang lớp thời gian kia, nhiên số trường hợp thay đổi Còn ∆x thay đổi từ mặt cắt sang mặt cắt khác t n+1 n ∆t C nj ∆x j-1 j j+1 Hình – Sơ đồIV-7 lưới sai phân X TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Trong hình 2, điểm lưới xác đònh số thời gian (kí hiệu n) không gian ( kí hiệu j) Sơ đồ số trò chuyển phương trình đạo hàm riêng thành phương trình sai phân đại số hữu hạn Các phương trình trình bày sai phân riêng tạm thời điểm chưa biết bước thời gian n+1, bước thời gian n biết Lời giải phương trình lan truyền tính từ thời gian đến thời gian sau cách liên tục Khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, ta dùng nhiều loại sơ đồ sai phân khác Các sơ đồ chia làm hai loại: sơ đồ sai phân ẩn sơ đồ sai phân − Sơ đồ sai phân hiện: yếu tố nồng độ chất bước thời gian sau tính trực tiếp từ yếu tố bước thời gian trước Điều kiện sử dụng ∆t đủ nhỏ toán ổn đònh − Sơ đồ sai phân ẩn: yếu tố nồng độ chất bước thời gian sau phụ thuộc lẫn liên hệ với yếu tố bước thời gian trước Với sơ đồ này, không cần điều kiện cho bước thời gian ∆t III ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN Phương trình lan truyền (11) (hay (12)) phương trình đạo hàm riêng loại parabol Để giải phương trình cho nhánh sông, cần biết giá trò biên đầu nhánh giá trò ban đầu tất mặt cắt Điều kiện ban đầu Áp đặt giá trò nồng độ ban đầu tất mặt cắt: C(x,0) =Ci (với i= 1, 2, 3, …,N) Trong đó, N – số mặt cắt nhánh IV-8 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Trong trình giải toán lan truyền, giá trò biên lan truyền theo hướng dòng chảy với vận tốc U Nếu dòng chảy theo hướng đònh sau khoảng thời gian đó, toàn miền chòu ảnh hưởng biên không chòu ảnh hưởng điều kiện ban đầu Tuy nhiên, dao động tuần hoàn thuỷ triều làm dòng chảy đổi hướng, nên ảnh hưởng điều kiện ban đầu toán truyền chất tồn lâu phụ thuộc vào tốc độ truyền triều, đòa hình, … ; điểm xa nguồn xả, ảnh hưởng điều kiện ban đầu lâu Vì thế, giá trò nồng độ ban đầu tất mặt cắt: C(x,0) =Ci, xác đònh theo phương pháp sau: − Căn vào số liệu thực đo số trạm, cho trước phân bố nồng độ dựa nội suy tuyến tính − Dựa vào nồng độ biên điều kiện thuỷ lực sông, khởi tạo nồng độ biên xa nguồn thải giá trò nhỏ (hay 0), giá trò nồng độ mặt cắt khác nội suy tuyến tính − Giả sử nồng độ ban đầu mặt cắt Sau khoảng thời gian tính, nồng độ bò chi phối nồng độ biên Điều kiện biên Xác đònh điều kiện biên cửa sông xác đònh giá trò nồng độ chất Nồng độ t0 C0 Triều dâng Triều rút T Hình – Điều kiện biên cửa sông IV-9 Thời gian TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM trung bình qua mặt cắt ngang theo thời gian Có thể cho rằng, suốt khoảng thời gian thuỷ triều dâng lên, nồng độ biên cửa sông với nồng độ đo đạc biển Trong khoảng thời gian thuỷ triều rút, nồng độ chi phối sông, cụ thể nồng độ mặt cắt trước phía thượng lưu Nồng độ cần tính toán Vì cuối khoảng thời gian thuỷ triều rút, nồng độ chất nước chảy khỏi cửa sông khác nồng độ biển Do thời gian đầu lúc thuỷ triều dâng, có thay đổi dần từ nồng độ cuối thuỷ triều rút tới nồng độ biển Diễn biến xảy khoảng thời gian t0, phụ thuộc vào điều kiện thực tế biển Hình biểu diễn sực biến thien độ mặn biên cử sông giáp với biển Trong đó: t0 – khoảng thời gian chuyển từ nồng độ (thấp) thời kỳ cuối thuỷ triều rút đến nồng độ biển lúc đầu thuỷ triều dâng, gọi khoảng thời gian chuyển tiếp C0 – nồng độ biển T – chu kì thuỷ triều Thông thường giá trò t0 nhỏ, cho t0/T = 0.05 – 0.15 Dựa sở trình bày điều kiện biên, nồng độ chất biên nói chung (bao gồm biên cửa sông, biên thượng lưu) xử lý sau: − Đối với biên lỏng: Khi dòng chảy hướng từ vào miền tính, nồng độ chất biên nồng độ chất cho trước (thường nội suy từ dãi giá trò theo thời gian) Thông thường, ảnh hưởng thủy triều, bước thời gian tương đối nhỏ, trình lan truyền chuyển tải quan trọng Quá trình lan truyền khuếch tán ảnh hưởng tích luỹ sau khoảng thời gian dài, IV-10 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM • Thành phần biến thiên theo không gian – thành phần chuyển tải- sử dụng sai phân tiến theo U in+1 1.15 0.24 0.36 0.46 0.67 1.15 >1.15 Nguồn: Assessment of sources of air water and land pollution, WHO, 1993 Theo Wrigh McDonnel [3], K1 200C là: K1 = 99.3 Q-0.49 (38) IV-24 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Với Q(m3/h) lưu lượng dòng chảy, K1 có đơn vò 1/ngày Để tính K1 nhiệt độ bất kỳ: K1(T) = K1(20) θT-20 Với (39) θ =1.135 T = - 200C θ =1.056 T > 200C VII CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VỀ TRUYỀN CHẤT CHO MỘT HP LƯU Bài toán truyền chất giải xen kẻ với toán thuỷ lực sau bước thời gian Bài toán mạng sông đưa toán giải nhánh sông yếu tố nồng độ hợp lưu xác đònh Ở đây, việc xét chiều dòng chảy mặt cắt lân cận hợp lưu, nhánh sông nối với hợp lưu, quan trọng Tại thời điểm t, dòng chảy nhánh k có chiều chảy vào hợp lưu, nồng độ J mặt cắt sát hợp lưu … nhánh chi phối nồng độ hợp lưu chi phối nồng độ n-1 n Ghi chú: mặt cắt sát hợp lưu - Nhánh nhánh có chiều dòng chảy - Nút n-1 … - Chiều dương - Chiều dòng chảy khỏi hợp lưu Trên thực tế, việc xem n … Hình - Chiều dòng chảy hợp lưu IV-25 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM xét nhánh sông chảy vào hay chảy khỏi hợp lưu dễ dàng Nhưng tính toán, để xác đònh chiều dòng chảy cần xét đến hai yếu tố: chiều dương chọn giá trò đại số lưu lượng 7.1 Xem xét chiều dòng chảy Khi lưu lượng mang giá trò dương, dòng chảy chảy theo chiều dương chọn Ngược lại, lưu lượng có giá trò âm, dòng chảy chảy theo chiều ngược với chiều dương Xem xét cụ thể ví dụ sau: Xét hợp lưu J, gồm nhánh sông 1, 2, nối với (hình 9) Giả sử, số đánh tăng dần theo chiều dương chọn Chiều dòng chảy nhánh xác đònh theo nguyên tắc sau: − Đối với nhánh có chiều dương hướng vào hợp lưu: mặt cắt sát hợp lưu lưu lượng Q>0 chiều dòng chảy nhánh xét chảy vào hợp lưu; ngươcï lại, Q0 chiều dòng chảy nhánh xét chảy khỏi hợp lưu; ngược lại, Q0; Q2,n0; Trong đó, số trước dấu phẩy cho nhánh, số sau cho nút Theo nguyên tắc trên, dựa vào chiều dương chọn hình (ta hiểu nhánh có chiều dương hướng vào hợp lưu, nhánh ngược lại), chiều dòng chảy nhánh sau: nhánh chảy vào hợp lưu J, nhánh nhánh chảy khỏi hợp lưu J IV-26 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Như vậy, chiều dòng chảy hợp lưu xem xét Vấn đề tính nồng độ mặt cắt biên nhánh chảy vào chảy khỏi hợp lưu trình bày theo sau: 7.2 Nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy Có nhiều phương pháp để tính nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy ra, phương pháp gắn với phương pháp tính thuỷ lực hợp lưu Ta trình bày hai phương pháp sau: ™ Phương pháp 1: Tương ứng với phương pháp phần tính thuỷ lực hợp lưu, để tính nồng độ chất hợp lưu, sử dụng giả thiết sau: − Nồng độ mặt cắt áp sát hợp lưu nhánh dòng chảy hướng vào hợp lưu khác Nhưng dòng chảy khỏi hợp lưu, trình xáo trộn hoàn toàn, nên nồng độ mặt cắt áp sát hợp lưu nhánh chảy − Theo đònh luật bảo toàn khối lượng: ta giả thiết thay đổi vật chất ô chứa hợp lưu, nên tổng lượng chất dòng chảy mang tới hợp lưu tổng lượng chất chảy khỏi hợp lưu Từ hai giả thiết trên, ta có công thức sau để tính nồng độ chất mặt cắt áp sát hợp lưu nhánh chảy sau: iv C = ∑ Qivao Civao (40) i jr ∑ Q j j Chú ý iv ∑ i Qivao jr = ∑ Q j i Trong đó: IV-27 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM iv – số nhánh chảy vào hợp lưu jr – số nhánh chảy khỏi hợp lưu Q j - lưu lượng mặt cắt áp sát hợp lưu nhánh chảy Nồng độ Civao tương ứng với lưu lượng Qivao mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy vào Nhận xét: Theo phương pháp này, nồng độ chất hợp lưu tính dựa cân lưu lượng vào khỏi hợp lưu, bỏ qua thay đổi thể tích hợp lưu Phương pháp cho kết tốt tính cho mạng kênh sông với hợp lưu nhỏ Nhưng tính toán mạng sông có diện tích hợp lưu rộng, kết thu không phù hợp với thực tế Đây nhược đểm phương pháp ™ Phương pháp 2: Phương pháp để tính nồng độ chất hợp lưu có xem xét đến thể tích hợp lưu, tương ứng với phương pháp phần tính thuỷ lực hợp lưu Ta sử dụng giả thiết sau: − Nồng độ mặt cắt áp sát hợp lưu nhánh dòng chảy hướng vào hợp lưu khác Nhưng dòng chảy khỏi hợp lưu, giả thiết xảy trình xáo trộn hoàn toàn ô chứa hợp lưu, nồng độ hợp lưu với nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh có dòng chảy − Theo đònh luật bảo toàn khối lượng, khoảng thời gian dt, tổng khối lượng chất dòng chảy mang tới hợp lưu tổng khối lượng chất chảy khỏi hợp lưu cộng với khối lượng chất thay đổi hợp lưu Từ hai giả thiết trên, ta có phương trình sau viết cho cân nồng độ chất hợp lưu J: IV-28 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM jr iv d (WC J ) = ∑ Qivao Civao − C ∑ Q raj dt i jr (41) Trong đó: C J = C CJ – nồng độ chất hợp lưu J C - nồng độ chất nhánh chảy khỏi hợp lưu W – thể tích hợp lưu J Nhận xét: Phương pháp khắc phục nhược điểm phương pháp 1, phương pháp thay đổi thể tích hợp lưu tính phụ thuộc vào yếu tố dòng chảy nhánh nối với hợp lưu Do đó, phương pháp thể tính ưu việt tính toán cho mạng sông có diện tích hợp lưu lớn Dưới trình bày cách xác đònh biên theo phương pháp 7.3 Xác đònh nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy vào Trong trường hợp chiều dòng chảy nhánh chảy vào hợp lưu qua m/c sát hợp lưu (cũng giống trường hợp biên, dòng chảy từ miền tính hướng biên), nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy vào (hay nồng độ biên) xác đònh theo phương pháp đường đặc trưng trình bày trên: C B = C A e − K∆t (42) Trong đó: CB – nồng độ điểm cần tính CA – nồng độ chân đường đặc trưng bước thời gian trước 7.4 Si phân hợp lưu Sai phân phương trình (41), ta phương trình cân nồng độ chất cho hợp lưu J sau: IV-29 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM (WC J )n+1 − (WC J )n ∆t iv jr i jr = ∑ Qivao Civao − C ∑ Q j (43) Với giả thiết hợp lưu xảy trình xáo trộn hoàn toàn, nồng độ hợp lưu J với nồng độ mặt cắt áp sát hợp lưu nhánh chảy Ta có: C Jn+1 = C (44) Trong đó, C - nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy Kết hợp (43) (44), suy ra: iv C = ∆t ∑ Qivao Civao + (WC J )n i W n +1 jr + ∆t ∑ (45) Q j jr Phương trình (45) dùng để tính nồng độ cho mặt cắt sát hợp lưu nhánh chảy khỏi hợp lưu VIII TRÌNH TỰ GIẢI LAN TRUYỀN CHẤT CHO MỘT MANG KÊNH, SÔNG Khởi tạo điều kiện ban đầu cho nồng độ chất mặt cắt hệ thống kênh sông Tại bước thời gian tính, thực bước sau: − Bước 1: giải toán thuỷ lực, tính giá trò yếu tố lưu lượng Q, mực nước z, vận tốc U dòng chảy mặt cắt hệ thống kênh sông − Bước 2: xác đònh hệ số a, b, c, d hệ phương trình tuyến tính tính nồng độ chất nhánh sông IV-30 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM − Bước 3: dựa vào yếu tố thủy lực nhánh sông, xác đònh chiều dòng chảy nhánh hợp lưu Nếu dòng chảy nhánh chảy vào hợp lưu, nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh tính theo phương trình (4) phương pháp đường đặc trưng Nếu dòng chảy nhánh khỏi hợp lưu, nồng độ mặt cắt sát hợp lưu nhánh tính theo phương trình (7) − Bước 4: sử dụng điều kiện nồng độ biên điều kiện hợp lưu vừa tìm đưa hệ phương trình tuyến tính tính nồng độ C dạng ba đường chéo Các hệ phương trình giải phương pháp truy đuổi để tìm nồng độ chất tất mặt cắt mạng sông (số hệ phương trình cần giải với số nhánh hệ thống sông) Giá trò nồng độ chất tính bước thời gian làm điều kiện ban đầu để tính cho bước thời gian sau IX VÍ DỤ TÍNH TOÁN LAN TRUYỀN CHẤT Ô NHIỄM 9.1 Nghiệm giải tích phương trình lan truyền: Nếu K=0, U, A E số biết, nghiệm giải tích phương trình lan truyền hàm theo phân phối Gauss [J.A.Cung,]: C ( x, t ) = C 0V0 A(πEt ) 1/ ⎡ ( x − Ut )2 ⎤ exp ⎢− ⎥ Et ⎦ ⎣ (46) Trong đó: C0 – nồng độ chất đưa vào qua mặt cắt ngang đầu kênh (mg/l) V0 – thể tích lượng chất đưa vào qua mặt cắt ngang đầu kênh 9.2 Ví dụ tính toán IV-31 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK HCM Bài toán lan truyền thực cho đoạn kênh có chiều dài L=100m, có hệ số khuếch tán E=1.10-3 m2/s, với C 0V0 A(πE )1/ = Dòng chảy có vận tốc U=0.1 m/s Chọn ∆t = 0.01 (s) ∆x = 0.25 (m) Mô hình tính với nhiều sơ đồ phân rã khác Các kết nhận trình bày hình 10 Ta nhận xét thấy: Các sơ đồ Chevereau – Preissmann Upwind không làm cho nồng độ chất mang giá trò âm Có thể nói sơ đồ đảm bảo pha, biên độ giảm đáng kể Đối với sơ đồ Crank Nicolson, đường biểu diễn nồng độ cho thấy kết tốt, đặc biệt vò trí x =70 m, nồng độ chất đạt cực đại gần với nghiệm giải tích C, g/cm3 0.05 Hình - Phâ n phố i nồ ng độ chấ t t =700s giảGiả i tíchi tích nồng độ C 0.04 sơSơ đồđồ CrankGr-N Nicolson 0.03 Upwin sơSơ đồđồ Upwind 0.02 0.01 sơ Sơ đồđồ Chevereau Ch-Pr - Preissmann -0.01 20 40 60 Khoả g cá cácchh xx, m khoảnng 80 H 10 Phân bố nồng độ chất C thời điểm t=700 s IV-32 100 [...]... bậc chính xác là 2 với sai số sai phân 0(∆t 2 , ∆x 2 ) Các đạo hàm riêng được sai phân theo công thức: ∂ C C in +1 − C in = ∂t ∆t (21 ) ∂ 2C ∂ 2Cin + ∂ 2Cin+1 = ∂x 2 2∆x 2 (22 ) Viet lai phuong trinh lan truyen: ∂C ∂C ∂ 2C = −U + E 2 − KC + p ∂t ∂x ∂x (23 ) Lần lượt thay (21 ) và (22 ) vào để sai phân phương trình (23 ) Dùng sai phân tiến cho thời gian và sai phân trung tâm cho không gian, ta được phương... (∆x) 2 U∆t γ = 2 x Sắp xếp lại phương trình (24 ), ta có: − (λ + γ )Cin−+11 + (2 + 2 − Ki ∆t )Cin+1 + (γ − λ )Cin++11 = (λ + γ )Cin−1 + (2 − 2 + Ki ∆t )Cin + (γ − λ )Cin+1 + 2 pi ∆t (25 ) Phương trình (25 ) có dạng: a i C in−+11 + bi C in +1 + c in++11 = d i (26 ) Trong đó: ai = − (λ + γ ) bi = (2 + 2 − K i ∆t ) ci = (γ − λ ) di = (λ + γ )Cin−1 + (2 − 2 + Ki ∆t)Cin + (γ − λ)Cin+1 + 2 pi ∆t Các thành... ∆xi2 ∆t n C i + p i ∆t 2 Các sơ đồ ẩn Crank Nicolsion hay Upwind cùng đưa về hệ phương trình có dạng tương đương nhau: phương trình (26 ) và phương trình (30a) (hay (30b) Theo sơ đồ đoạn sông trong hình 1, đoạn sông đang xét có N mặt cắt Viết lại các phương trình này với i =2 đến i=N-1, ta được hệ phương trình sau: ⎧a2C1 + b2C2 +c2C3 ⎪ a3C2 +b3C3 +c3C4 ⎪ ⎨ ⎪ …… ⎪⎩ aN −1CN 2 +bN −1CN −1 +cN −1CN = d2... chảy, độ sâu IV -23 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM Theo Bennett và Rathbun , K2 được tính theo công thức thực nghiệm sau: K 2 = 2. 33 U 0.674 (37) d1.865 Với: U - vận tốc trung bình của dòng chảy (m/s) d - độ sâu trung bình (m) K2 – giá trò K2 ở 20 0C và đo bằng đơn vò 1/ngày Để tính K2 ở nhiệt độ bất kỳ: K 2 (T) = K 2 (20 )θ T 20 (38) Với θ =1. 024 – 1. 028 Từ công thức trên có thể thấy rằng tốc độ thấm... +1 δ 2 C in + δ 2 C in = −U +E − K + pi i ∆t 2 x 2 x 2 2 Suy ra: ⎡ ( C in+1 − C in−1 ) + ( C in++11 − C in−+11 ) ⎤ C in +1 − C in ⎥ = −U ⎢ 4∆x ∆t ⎢⎣ ⎥⎦ (24 ) ⎡ ( C in+1 − 2C in + C in−1 ) + ( C in++11 − 2C in +1 + C in−+11 ) ⎤ C n + C in ⎥ − Ki i +E⎢ + pi 4∆x 2 ⎢⎣ ⎥⎦ n+1 n i-1 i+1 i Hình 7 – Sơ đồ sai phân theo phương pháp Crank Nicolsion IV-16 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM Ta đặt: λ= E∆t (∆x) 2 U∆t... 18 20 22 23 24 25 10.31 9.87 9.46 9.10 8.74 8.58 8. 42 8 .26 26 27 28 29 30 32 34 36 8.11 7.97 7.83 7.69 7.56 7.30 7.06 6.84 Nguồn: Assessment of sources of air water and land pollution, WHO, 1993 Từ bảng 1 có thể nhận thấy rằng nhiệt độ dòng chảy càng cao thì độ bão hoà oxy Ds càng giảm Hệ số thấm khí (tốc độ thông khí) K2 thường là hàm số theo nhiệt độ, vận tốc dòng chảy, độ sâu IV -23 TS Nguyễn Thò... Chevereau và Preissmann Đây là sơ đồ hiện trung tâm (hình 6) Theo không gian, thành phần khuếch tán tại điểm i-1 /2 được sai phân như sau: IV-14 TS Nguyễn Thò Bảy-ĐHBK tp HCM ∂C AE ∂x i− 1 2 ≈ A 1E i− 2 i− 1 2 Cin − Cin−1 xi − xi −1 (15) Thành phần khuếch tán tại điểm i+1 /2: AE ∂C ∂x i+ 1 2 ≈ A 1E i+ 2 i+ 1 2 Cin+1 − Cin xi +1 − xi (16) Sự chênh lệch nồng độ trong khối thể tích theo thời gian: A C n +1 −... càng khó Bảng 2 - Các giá trò hằng số thấm oxy vào nước [3] Nguồn nước Hồ nhỏ, ao Sông tù nước, hồ lớn Sông lớn, chảy chậm Sông lớn chảy nhanh Chảy xiết Thác nước K2 ở 20 0C(1/ngày) Sâu nông 0. 12 0 .24 0.36 0.46 0.67 >1.15 0 .24 0.36 0.46 0.67 1.15 >1.15 Nguồn: Assessment of sources of air water and land pollution, WHO, 1993 Theo Wrigh và McDonnel [3], K1 ở 20 0C là: K1 = 99.3 Q-0.49 (38) IV -24 TS Nguyễn... số theo nhiệt độ : Ds = 475 / ( 33.5 + T ) (36) Với T là nhiệt độ của dòng chảy và Ds tính bằng mg/l Hoặc Ds được tra trong bảng nồng độ oxy bão hoà trong nước sạch ở các nhiệt độ khác nhau Bảng 1 - Nồng độ oxy bão hoà trong nước sạch ở các nhiệt độ khác nhau Tnước(0C) Ds(mg/l) Tnước(0C) Ds(mg/l) Tnước(0C) Ds(mg/l) 0 2 4 6 8 10 12 13 14. 62 13.83 13.10 12. 44 11.84 11 .29 10.78 10.54 14 16 18 20 22 23 24 ... lớp thời gian n+1 theo (14): C = C0 e − K ∆t V GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LAN TRUYỀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN Cho đến nay, có nhiều sơ đồ được đưa ra để giải bài toán lan truyền chất Phần này trình bày 3 sơ đồ sai phân: Sơ đồ hiện theo Chevereau và Preissmann, sơ đồ ẩn Crank Nicolsion và sơ đồ ẩn Upwind t n+1 n i-1 i-1 /2 i+1 /2 i x i+1 Hình 6 – Lưới sai phân theo sơ đồ Chevereau và Preissmann 5.1 Sơ ... Ds(mg/l) Tnước(0C) Ds(mg/l) 10 12 13 14. 62 13.83 13.10 12. 44 11.84 11 .29 10.78 10.54 14 16 18 20 22 23 24 25 10.31 9.87 9.46 9.10 8.74 8.58 8. 42 8 .26 26 27 28 29 30 32 34 36 8.11 7.97 7.83 7.69 7.56... phân theo công thức: ∂ C C in +1 − C in = ∂t ∆t (21 ) ∂ 2C ∂ 2Cin + ∂ 2Cin+1 = ∂x 2 x (22 ) Viet lai phuong trinh lan truyen: ∂C ∂C ∂ 2C = −U + E − KC + p ∂t ∂x ∂x (23 ) Lần lượt thay (21 ) (22 ) vào... phương trình với i =2 đến i=N-1, ta hệ phương trình sau: ⎧a2C1 + b2C2 +c2C3 ⎪ a3C2 +b3C3 +c3C4 ⎪ ⎨ ⎪ …… ⎪⎩ aN −1CN 2 +bN −1CN −1 +cN −1CN = d2 = d3 ( 32) = dN −1 Hệ phương trình có (N -2) phương trình