Slide bài giảng nguyên lý thống kê chương 6 ước LƯỢNG

Chương 6 ƯỚC LƯỢNGNội dung cơ bản của phương pháp điều tra chọn mẫu là dựa vào sự hiểu biết các tham số Ө ’ của tổng thể mẫu điều tra để suy luận thành tham số Ө µ, P, σ 2 của tổng thể

Chương 6 ƯỚC LƯỢNG

Nội dung cơ bản của phương pháp điều tra chọn mẫu là dựa vào sự hiểu biết các tham số Ө ’ của tổng thể mẫu điều tra để suy luận thành tham số

Ө (µ, P, σ 2 ) của tổng thể chung chưa biết Việc làm này được gọi là ước lượng.

2( , , ) X p s

Ước lượng không chệch

• Ө ’ là ước lượng không chệch của Ө

nếu kỳ vọng toán học của Ө ’ bằng Ө,

nghĩa là:

E (Ө ’ ) = Ө

Ước lượng vững

• Ө ’ là ước lượng vững của Ө nếu Ө ’ có

xu hướng ngày càng gần với Ө khi

kích thước mẫu tăng lên

Về mặt toán học thì Ө ’ hội tụ về Ө nếu với mọi ε > 0 bé tuỳ ý ta luôn có :

ε =) 0lim (| ' /

Ước lượng hiệu quả

• Ө ’1 và Ө ’2 là 2 ước lượng không chệch của Ө dựa trên số lượng của mẫu quan sát giống nhau:

Ө ’1 gọi là hiệu quả hơn Ө ’2 nếu:

Var (Ө ’1 ) ≤ Var (Ө ’2 )

Thống kê toán đã chứng minh

• Vì số trung bình mẫu là ước lượng không chệch, vững, hiệu quả của trung bình tổng thể chung µ, do đó nếu chưa biết µ có thể dùng

X

X

p

p

6.1 Ước lượng điểm

Mẫu Tổng thể

 Trung bình = µ

 Tỷ lệ = P

 Phương sai S 2 = σ 2

X

p

6.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

• Trong ước lượng điểm, giá trị ước lượng các đặc trưng của tổng thể chung phụ thuộc vào một giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên, ví dụ như trung bình, tỷ lệ, phương sai mẫu.

• Ứng với mỗi mẫu khác nhau ta sẽ nhận được các giá trị khác nhau Do đó chúng không thể hiện tính chính xác của ước lượng.

• Do đó ta cần thực hiện ước lượng khoảng, nghĩa là dựa vào số liệu của mẫu, với độ tin cậy cho trước, xác định khoảng giá trị mà các đặc trưng của tổng thể có

• Tổng quát, gọi Ө là tham số chưa biết của tổng thể Căn cứ vào mẫu gồm n đơn vị, tìm những biến ngẩu nhiên Ө1và Ө2 sao cho: P(Ө1 ≤ Ө ≤

Nói chung, Độ tin cậy và độ chính xác có xu

hướng đối lập nhau, tức là khoảng ước lượng càng dài (độ chính xác thấp) càng có cơ hội

trúng cao (độ tin cậy cao)

6.2.1 Ước lượng trung bình tổng thể

1 n≥30 Giả sử có 1 mẫu ngẩu nhiên bao gồm

n quan sát được chọn từ 1 tổng thể có phân phối chuẩn có phương sai σ 2 đã biết Với độ tin cậy (1 – α )100% cho trước, trung bình tổng thể µ được xác định bởi:

• Từ công thức trên ta thấy :

 Với độ tin cậy và kích thước mẫu cố định, độ lệch chuẩn càng lớn thì khoảng ước lượng càng rộng, tức là độ chính xác của ước lượng càng thấp

 Với độ tin cậy và độ lệch chuẩn cố định , kích thước mẫu n càng lớn thì khoảng ước lượng càng hẹp, tức là độ chính xác của ước lượng càng cao

 Với độ lệch chuẩn và kích thước mẫu n

cố định , độ tin cậy càng cao thì khoảng ước lượng càng rộng, tức độ chính xác của ước lượng càng thấp

Cũng trường hợp n ≥30 , nhưng σ2

chưa biết, khi đó ta thay σ2 bằng S2

(Phương sai mẫu hiệu chỉnh)

2 n < 30, tổng thể chung có phân phối

* n < 30, tổng thể chung có phân phối

chuẩn, σ2 chưa biết khi đó

Trong đó :

• Có phân phối Student với (n-1) bậc tự do Cho

trước (1- α) và biết n ta tìm được t , α/2 theo



 



• Ví dụ 1: Thực hiện cân thử 100 hộp sửa đặc có đường có trọng lượng trung bình

là 398 gr; σ2 = 400 gr Hãy ước lượng

trọng lượng trung bình của cả lô sửa với

độ tin cậy 95%

• Phân tích: Đây là trường hợp ước lượng trung bình tổng thể,đã biết σ2; n=100>30 ; với độ tin cậy 95% => α =5%

• Ví dụ 2: Để xác định trọng lượng trung bình của các bao bột mì đựoc đóng bao bằng máy tự động, người ta chọn ngẫu nhiên 15 bao và tính được:

Hãy ước lượng trong lượng trung bình của bao bột với độ tin cậy 95%

các bao bột mì là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn => Phân phối trung bình mẫu là phân phối Student với ( n-1) bậc tự

do, khi đó:

39, 8

• α = 0,05 => α/2 =0,025.Tra bảng Student với (15-1) bậc tự do ta tìm được: t=2,145.

• Như vậy :

0,144 0,144 39,8 2,145 39,8 2,145

• Ví dụ: Tuổi thọ SP của nhà máy SX bóng đèn giả

sử có phân phối chuẩn Nhân viên kiểm tra chất

lượng của nhà máy chọn ngẫu nhiên 100 SP trong

1 đợt SX, kiểm tra tuổi thọ của SP cho trong bảng

6.2.2 Ước lượng tỷ lệ tổng thể

• Trong thực tế, nhiều khi ta quan tâm đến

tỷ lệ các đơn vị mang một tính chất nào đó trong tổng thể chung

• Ví dụ: Tỷ lệ khách hàng sử dụng một loại sản phẩm nào đó, tỷ lệ sản phẩm hỏng, tỷ

lệ học sinh bỏ học v.v Tức là có nhu cầu ước lượng tỷ lệ P của tổng thể

• Giả sử có mẫu ngẩu nhiên n quan sát

và là tỷ lệ các quan sát có tính chất

A nào đó Với mẫu lớn ( n ≥ 40), độ tin cậy của khoảng ước lượng ( 1- α ) ta tìm Zα/2.

• Ví dụ: Giả sử khi điều tra chọn mẫu

100 đồ hộp, ta phát hiện 20 sản phẩm không đúng quy cách Hãy ước lượng

tỷ lệ đồ hộp không đúng quy cách với

độ tin cậy 95%

• Giải : n = 100 ; = 20 : 100 = 0,2 ;

Zα/2 =Z0,025 1,96

0,2(1 0,2) 0,2(1 0,2)0,2 1,96 0,2 1,96

   

p

04/18/24 22

6.2.3 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG

SAI CỦA TỔNG THỂ:

Giả sử tổng thể chung có

phân phối chuẩn với

chưa biết Căn cứ vào dữ liệu của mẫu gồm n đơn vị

ta đưa ra 2 giá trị ( số ) và sao cho:



2 2



2 2

2 1 n

2 2

2

,

s ) 1 n

VÍ DỤ:

Một công ty muốn tìm hiểu sự biến thiên về tuổi thọ của một loại SP Chọn

ngẫu nhiên 15 SP để thu dữ liệu và tính được phương sai

mẫu HC là 15,274 Cần ước lượng phương sai về tuổi thọ

SP với độ tin cậy 95% ( Tuổi thọ của loại SP này có

6.2.4 ƯỚC LƯỢNG SỰ KHÁC BIỆT GIỮA 2 SỐ TRUNG BÌNH CỦA HAI

TỔNG THỂ:

6.2.4.1.TRƯỜNG HỢP MẪU PHỐI HỢP

TỪNG CẶP:

Gỉa sử ta có mẫu gồm n cặp

quan sát lấy ngẫu nhiên từ 2

tổng thể X và Y

(x 1 , y 1 ); (x 2 , y 2 ) (x n , y n )

Gọi Là trung bình của 2 tổng

thể.

: Là trung bình của n khác biệt (xi – yi).

S d : Là độ lệch chuẩn của n khác biệt (xi

d

;

x y

 

Gỉa sử sự khác biệt giữa

X và Y trong t.thể có phân

phối chuẩn.

Với độ tin cậy 1 - , chênh

lệch giữa 2 số TB

được xác định Bằng công thức

d n

s t

d - n - 1 , / 2 d  x - y   n - 1 , / 2 d

2 i

d ( d d )

1 n

6.2.4.2 ƯỚC LƯỢNG SỰ KHÁC BIỆT GIỮA 2 SỐ TRUNG BÌNH CỦA HAI

TỔNG THỂ TRONG TRƯỜNG HỢP

MẪU ĐỘC LẬP:

GỌI n x , n y LÀ CÁC MẪU ĐƯỢC CHỌN NGẪU NHIÊN ĐỘC

LẬP TỪ HAI TỔNG THỂ CÓ

PHÂN PHỐI CHUẨN X VÀ Y CÓ TRUNG BÌNH LÀ , PHƯƠNG SAI

x

y

x 



-CÔNG THỨC:

KHOẢNG ƯỚC LƯỢNG

y

2 y x

2 x 2

/

y

x y

2 y x

2 x 2

/

n n

z )

y x

(

n n

z )

y x

TRONG TRƯỜNG HỢP CỠ MẪU LỚN

nx, ny  30 TA CÓ THỂ DÙNG CÁC PHƯƠNG SAI MẪU HIỆU CHỈNH THAY CHO PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ

VÍ DỤ: MỘT TRẠI CHĂN NUÔI TIẾN HÀNH

NGHIÊN CỨU HIỆU QUẢ CỦA HAI LOẠI THỨC ĂN MỚI A VÀ B SAU MỘT THỜI GIAN NUÔI

THỬ NGHIỆM NGƯỜI TA CHỌN 50 CON GÀ

NUÔI BẰNG THỨC ĂN A VÀ THẤY TRỌNG

LƯỢNG TRUNG BÌNH MỘT CON LÀ 1,9 Kg; ĐỘ

LỆCH CHUẨN LÀ 1,25 Kg VÀ CHỌN 40 CON

GÀ NUÔI BẰNG THỨC ĂN B, TRUNG BÌNH

MỘT CON LÀ 1,2 Kg; ĐỘ LỆCH CHUẨN LÀ

1,02 Kg HÃY ƯỚC LƯỢNG SỰ KHÁC BIỆT VỀ TRỌNG LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA 1 CON GÀ

ĐỐI VỚI 2 LOẠI THỨC ĂN A VÀ B VỚI ĐỘ

2 y

6.2.5 ƯỚC LƯỢNG SỰ KHÁC BIỆT

GIỮA HAI TỶ LỆ TỔNG THỂ:

TA CÓ nx, ny LÀ HAI MẪU ĐƯỢC

CHỌN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP TỪ HAI TỔNG THỂ X VÀ Y GỌI Px , Py VÀ LẦN LƯỢT LÀ TỶ LỆ CÁC

ĐƠN VỊ CÓ TÍNH CHẤT NÀO ĐÓ

MÀ TA QUAN TÂM TRONG TỔNG

THỂ VÀ TRONG MẪU VỚI MẪU

LỚN nx , ny  40, SỰ KHÁC BIỆT

GIỮA TỶ LỆ HAI TỔNG THỂ X VÀ

ĐƯỢC XÁC ĐỊNH BẰNG CÔNG

THỨC

KHOẢNG ƯỚC LƯỢNG

y

y y

x

x

x 2

/ y

x

y x

y

y y

x

x

x 2

/ y

x

n

) pˆ 1

(

pˆ n

) pˆ 1

(

pˆ z

) pˆ pˆ

(

p p

n

) pˆ 1

(

pˆ n

) pˆ 1

(

pˆ z

) pˆ pˆ

VÍ DỤ:

MỘT CÔNG TY ĐANG XEM XÉT VIỆC

ỨNG DỤNG MỘT PHƯƠNG PHÁP SẢN

XUẤT MỚI NHẰM GIẢM TỶ LỆ PHẾ

PHẨM Ở PHƯƠNG PHÁP SẢN XUẤT

MỚI NGƯỜI TA CHỌN NGẪU NHIÊN RA

500 SẢN PHẨM THÌ THẤY CÓ 10 PHẾ PHẨM Ở PHƯƠNG PHÁP SẢN XUẤT

CŨ NGƯỜI TA CHỌN NGẪU NHIÊN 400 SẢN PHẨM THÌ THẤY CÓ 7 PHẾ

6.2.6 ƯỚC LƯỢNG MỘT BÊN:

Công thức ước lượng ở trên là ước lượng đối xứng ( 2 bên ):

P (1    2 ) = 1 - 

Khi cần tìm giới hạn tin cậy dưới (  1 ) Hoặc cần tìm giới hạn tin cậy trên (≥  2 )

thì ta tiến hành ước lượng một bên

P(  1 ) = 1 -  HOẶC P(  2 ) = 1

- 

Chẳng hạn công thức ước

lượng bên phải:

P( 

( Lưu ý: Trong ước lượng một

trong ước lượng 2 bên

X

VÍ DỤ:

Một công ty muốn ước lượng mức nhiên liêu tiêu hao tối thiểu để

máy hoạt động bình thường.

Yêu cầu độ tin cậy của ước lượng là 95% Một mẫu ngẫu nhiên

gồm 40 ngày hoạt động của máy được chọn Từ DL thu thập tính được trung bình 1 ngày tiêu thụ 250 lít

nhiên liệu, độ lệch chuẩn S = 125 Lít.

Xóa DL trên máy: Shift – 9 – 3 - =

Mở TK 1 biến: Shift – mode – replay ( dưới )