chuyên đề dãy số đã chỉnh

Khai thác toán tính tổng dÃy số viết theo quy luËt Dạng 1: dãy số tự nhiên cách a, + 2+3 + + n = n(n+1)/2 II DÃy số dạng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100…+ n(n+1) §Ĩ tÝnh A ta biến đổi A để xuất hạng tử đối Muốn ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3…+…+ n(n+1)3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + n(n+1)[(n +2 –(n-1)] = 1.2.3 +2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + n(n+1)(n +2)- n(n+1)(n-1) = n(n+1)(n +2) ⇒ A = n(n+1)(n +2)- :3 I Bµi 1: TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Bài toán Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + …+ 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 + 97.33.101 ⇒ A= = 161 651 Trong toán ta nhân A với (a = 3) Trong toán ta nhân A với (a = 6) Ta nhận thấy để làm xuất hạng tử đối ta nhân A với lần khoảng cách thừa số hạng tử 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay ®ỉi số thừa số tích ta có toán Bài toán : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Gi¶i : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 ⇒ A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay đổi khoảng cách thừa số hạng tử ta có toán: Bài toán : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 ⇒ A= 15 + 95.97.99.101 = 11 517 600 Trong ta nhân A với (bốn lần khoảng cách) Trong ta nhân A với n (bốn lần khoảng cách) Nh để giải toán dạng n(n + k)(n + 2k) ta n =1 nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay ®ỉi sù kÕ tiếp lặp lại thừa số toán ta có toán: Bài toán : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = 171650 2500 = 169150 Trong toán ta không nhân A với số hạng mà tách thừa số tích làm xuất dÃy số mà ta đà biết cách tính dễ dàng tính đợc Làm tơng tự với toán: Bài toán : Tính A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Gi¶i : A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = + 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( + + + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách số ta có toán: Bài toán 7: Tính A = 12 + 32 + 52 + … + 992 Gi¶i : A= + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = + 2(3 + + + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = + 4998 + 161651 = 166650 Trong toán sử dơng : (n - a) × ((n + a) = n2 - a2 ⇒ n2 = (n - a)(n + a) + a2 a khoảng cách số Bài toán Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( – 3) + 3.5.( – 3) + 5.7.( -3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay ®ỉi sè mị toán ta có toán: Bài toán : TÝnh A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Gi¶i Sư dơng : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n ⇒ n3 = n + (n - 1)n(n + 1) ⇒ A = + + 1.2.3 + + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 = (1 + + + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách số toán ta có toán Bài toán 10: TÝnh A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Gi¶i : Sư dơng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n ⇒ n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n ⇒ A = + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + + + … + 99) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Với khoảng cách a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n ë bµi toán 8, ta làm nh toán 6, Thay ®ỉi sè mị cđa mét thõa sè toán ta có: Bài toán 11: Tính A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 333300 = 25164150 Với cách khai thác nh ta khai thác, phát triển toán thành nhiều toán hay mà trình giải đòi hỏi học sinh phải có linh hoạt, sáng tạo Trong toán ta thay đổi số hạng cuối dÃy số hạng tổng quát theo quy luật dÃy TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 B Dãy phân số viết theo quy luật (1) D·y 1: Sư dơng c«ng thøc tỉng qu¸t n 1 = − a.(a + n) a a + n - - - Chøng minh - - n ( a + n) − a a+n a 1 = = − = − a.(a + n) a.(a + n) a.(a + n) a.(a + n) a a + n  ∗ Bµi 1.1: TÝnh a) A= B= c) b) 1 1 + + + + 6.10 10.14 14.18 402.406 C= D= 3 3 + + + + 5.8 8.11 11.14 2006.2009 10 10 10 10 + + + + 7.12 12.17 17.22 502.507 d) 4 4 + + + + 8.13 13.18 18.23 253.258 ∗ Bµi 1.2: TÝnh: a) A= B= c) 1 1 + + + + 2.9 9.7 7.19 252.509 b) 1 1 + + + + 10.9 18.13 26.17 802.405 C= 3 − + − + + − 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 Bài 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn: x 1 1 − − − − − = 120 a) 2008 10 15 21 b) 4 4 29 + + + + + = x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 1 1 15 + + + + = (2 x + 1)(2 x + 3) 93 c) 3.5 5.7 7.9 ∗ Bµi 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta ®Ịu cã: 1 1 n + + + + = (3n − 1)(3n + 2) 6n + a) 2.5 5.8 8.11 5 5 5n + + + + = (4n − 1)(4n + 3) 4n + b) 3.7 7.11 11.15 ∗ Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥ ta cã: 3 3 + + + + < 9.14 14.19 19.24 (5n − 1)(5n + 4) 15 ∗ Bµi 1.6: Cho ∗ Bµi 1.7: A= 4 16 16 + + + < A< 15.19 19.23 399.403 chøng minh: 81 80 2 ; ; ; Cho d·y sè : 4.11 11.18 18.25 a) T×m số hạng tổng quát dÃy b) Gọi S tổng 100 số hạng dÃy Tính S ∗ Bµi 1.8: ∗ Bµi 1.9: Cho Cho ∗ Bµi 1.10: Cho ∗ Bµi 1.11: Cho ∗ Bµi 1.12: Cho ∗ Bµi 1.13: Cho ∗ Bµi 1.14: Cho ∗ Bµi 1.15: Cho ∗ Bµi 1.16: Cho A= 1 1 + + + + < A< 9 Chøng minh A= 2 2 1003 + + + + A< 2 2008 2007 Chøng minh: B= 1 1 334 + + + + B< 2 2007 2006 Chøng minh: S= 1 1 + + + S< 2 12 409 Chøng minh: A= 9 9 + + + + A< 2 11 17 305 Chøng minh: B= 24 48 200.202 + + + + 25 49 2012 Chøng minh: B > 99,75 A= 11 18 27 1766 20 20 + + + + 40 < A < 40 16 25 1764 Chøng minh: 43 21 B= 2 32 52 99 + + + + + 98.100 Tìm phần nguyên cña B C= 15 2499 + + + + 16 2500 Chøng minh C > 48 ∗ Bµi 1.17: Cho M < M = 1 + + + 1+ + 1+ + + + + + + 59 Chøng minh N= 98.101 + + + + 3 4 99.100 Chøng minh 97 < N < 98 ∗ Bài1.18: Cho ã Mở rộng với tích nhiều thừa số: 2n 1 = − a (a + n)( a + 2n) a (a + n) ( a + n)(a + 2n) Chøng minh: 2n ( a + 2n) − a a + 2n a 1 = = − = − a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) 3n 1 = − a (a + n)(a + 2n)(a + 3n) a (a + n)( a + 2n) ( a + n)(a + 2n)(a + 3n) S= 2 + + + 1.2.3 2.3.4 37.38.39 A= 1 1 + + + A< 1.2.3 2.3.4 18.19.20 Chøng minh B= 36 36 36 + + + 1.3.5 3.5.7 25.27.29 Chøng minh B < C= 5 + + + C< 5.8.11 8.11.14 302.305.308 Chøng minh 48 ∗ Bµi 1.19: TÝnh ∗ Bµi 1.20: Cho ∗ Bµi 1.21: Cho ∗ Bµi 1.22: Cho ∗ Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n ∈ N; n > ta cã: A= 1 1 + + + + < 4 n ∗ Bµi 1.24: TÝnh M = 1 + + + 4 27.28.29.30 1 + + + 51 52 100 P= 1 1 + + + + 99.100 ∗ Bµi 1.25: TÝnh Bµi 1.26: TÝnh: Q= 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1002.1004 + + + + + + 3.5 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) 2005.2007 Bµi 27: R= TÝnh: Bµi 1.28: Cho S= 2 32 42 2006 + + + + 1.3 2.4 3.5 2005.2007 22 23 n +1 2006 + + + + + + n 2005 2005 + 2005 + 2005 + 2005 + 2005 + 1 So s¸nh S víi 1002  Hướng dẫn: m m mk + m − mk + m 2m m m 2m − = = ⇒ = − k −1 k +1 ( k − 1)(k + 1) k2 −1 k + k −1 k2 −1 Áp dụng vào toán với m ∈ {2; , …., } k ∈ { 2005, 2005 , … 2005 2006 } ta có: 2 22 = − 2005 + 2005 − 20052 − 22 2005 + = 22 2005 − − 23 2005 − ……………… (2) D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh : Bµi 2.2: TÝnh: Bµi 2.3: TÝnh: Bµi 2.4: TÝnh: Bµi 2.5: Cho A= 1  n  a  víi n tù nhiªn 1 1 + + + + 100 2 2 B= 1 1 1 − + − + + 99 − 100 2 2 2 C= 1 1 + + + + 99 2 2 D= 1 1 − + − 10 + − 58 2 2 A= 26 3n − 1 + + + + n A>n− 27 Chøng minh Bµi 2.6: Cho Bµi 2.7: Cho Bµi 2.8: Cho Bµi 2.9: Cho B= 10 28 398 + + + + + 98 27 Chøng minh B < 100 C= 5 5 + + + + 99 C< 4 4 Chøng minh: D= 19 + 2 + 2 + + 2 2 3 10 Chøng minh: D < E= 100 + + + + 100 E< 3 3 Chøng minh: Bµi 2.10: Cho Bµi 2.11: Cho Bµi 2.12: Cho Bµi 2.13: Cho Bµi 2.14: Cho Bµi 2.15: Cho F= 10 3n + 11 + + + + n F< * 3 3 víi n ∈ N Chøng minh: G= 11 302 + + + + 100