luận văn một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ  TIỂU LUẬN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực tập: Võ Hoàng Ân Cần Thơ, tháng 04/2015 Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: IV HẠM VI NGHIÊM CỨU: V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A Tóm tắt lũy thừa hàm số mũ: B Tóm tắt hàm số Logarit: CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ 12 II.1 ƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 12 II.2 ƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA 13 II.3 ƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 14 II.4 ƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG 15 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 15 II.5 ƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC 18 II.6 ƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ 19 BÀI TẬP VẬN DỤNG 20 CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 23 III.1 ƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 23 III.2 ƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA 24 III.3 ƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 26 III.4 ƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG 28 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 28 III.5 ƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC 30 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ 31 BÀI TẬP VẬN DỤNG 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Trang MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Có thể nói rằng, hàm số mũ hàm số logarit với toán liên quan đến hai hàm số phần kiến thức khó phân phối chương trình Tốn phổ thơng Khi tìm hiểu phần kiến thức đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan để giải dạng toán Nhiều dạng tập, thường gặp phải nhiều sai lầm giải toán mũ logarit có nét đẹp riệng chúng Là sinh viên nghành Tốn, tơi nhận thức khó mũ logarit thơng qua tiểu luận tơi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy trường THPT sau Do đó, chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình Mũ Logarít” Trong đề tài này, tơi trình bày sơ lược kiến thức hàm số mũ logarit dạng toán điển hình phần qua tích lũy thêm kinh nghiệm kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục tiêu đề tài mà tơi chọn tổng hợp tất dạng tốn có liên quan muc logarit tìm tập xác định, tính rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình tốn biện luận Tơi hy vọng khn khổ hạn hẹp đề tài, tơi giới thiệu đầy đủ dạng toán phần kiến thức III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này, xây dựng xoay quanh vấn đề mũ logarit mà trọng tâm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ logarit Theo đó, phương pháp giải dạng tốn đề cập đến đề tài IV PHẠM VI NGHIÊM CỨU: Phạm vi nghiên cứu đề tài xoay quanh vấn đề mũ logarit nêu V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích tập giải minh họa, tham khảo ý kiến cán hướng dẫn Trang CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A Tóm tắt lũy thừa hàm số mũ: Các phép tính lũy thừa với hàm số mũ thực: Định lý: Gọi a, b l;à số thực dương; x, y số thực tùy ý Ta có: ax a x a y a xy a  y y a xy x a  x a    x b  b Chú ý rằng: 1) x0 1,x 0 x a xy a  ab  x a x bx 2) Nếu xác định với Hàm số mũ: a Định nghĩa: Hàm số mũ số a  a 0 hàm số xác định công thức y a x x 1  Ví dụ: y 2 , y  ,  b Các tính chất: + Hàm số y a x liên tục điểm x R + a x 0 với x R + Nếu a 1 hàm số không đổi R : y 1 + Nếu a 1 hàm số đồng biến R + Nếu a 1 hàm số nghịch biến R c Từ tính chất đơn điệu hàm số mũ, ta suy với a 0 thì:  a 1   a 1 M, N M N * a M a N  * a M a N  a 1  0 a 1       M N M N x  a 1   x * a 1  x 0  0 a 1     x 0 a 1   * a x 1  x 0 0 a 1   x 0 Các tính chất thường dùng để giải phương trình bất phương trình mũ d Công thức đổi số: Từ hàm số mũ số a đổi sang hàm số số b ta có cơng thức: Trang a x bxlog ba  a,b 1 Ví dụ: 2x 3xlog ; a x exln a ,… e Đồ thị hàm số mũ: y a x * Với a 1 : Bảng biến thiên: x    y a x Đồ thị: * Với a 1: Bảng biến thiên: x    y a x Đồ thị: Trang Nhận xét rằng: + Đồ thị hàm số y a x luôn qua điểm A  0,1 + Đồ thị hàm số y a x ln ln nằm phía trục hoành x 1  x + Các hàm số y a y   có đồ thị đối xứng qua trục tung  a  B Tóm tắt hàm số Logarit: Định nghĩa: Cho số thực a 0 a 0 , logarit số a số dương N số M cho M N a Kí hiệu log a N Ta có: loga N M N aM 1 2 2 Ví dụ: log2 32 5 32 ;  nên log3 9 Tính chất: + Cơ số a 0 a 1 + loga N có nghĩa N 0 + log 10 ; log a 1 ; log an n a a a loga N + loga a M, M R ;a M Ví dụ: N,N 0 log2  x2  xác định x2 0 2 x 2  x 1 0  x 1 1 x 5   log x1 5 x  xác định  x 1 1  x 2   x 2   5 x 0  x 5 4 3log 2 ; log 53 3 ; log 16 log 1  4   1  2  Trang Các phép tính logarit: Giả sử a 1 ; A, B, N 0 , ta có công thức sau: * loga ABloga A loga B Mở rộng: loga A1.A2 An loga A1 loga A2  loga An * log A  log A log B a   a a  B  Hệ quả: log   log a N a   N   * loga N  loga N R n * loga  N  log N n a Công thức đổi số: Giả sử a,b 1 ; c, x 0 ta có: * loga c loga b.logb c Hệ quả: log a log a log a1 a2 an2 a log n1 an1 a log a n a1 n a * log b  * log x logb x a logb a a logb a * log x  log x a  a * log a x nloga x * log x log a x * logab x  n a Hàm số logarit: a Định nghĩa: Hàm số logarit số a y log a x Ví dụ: y log x , y log x 1  loga x logb x x 1  a 0, a 1 hàm số xác định cơng thức b Các tính chất: Trang * Hàm số y loga x có tập xác định  0; * Hàm số y loga x liên tục điểm x 0 * Nếu a 1 hàm số y loga x đồng biến khoảng  0; * Nếu a 1 hàm số y loga x nghịch biến khoảng  0; * Hàm số y loga x có tập giá trị R c Từ tính chất đơn điệu hàm số logarit ta suy đẳng thức bất đẳng thức sau: M N  * log a M log a N N 0  a 0, a 1 a 1 0 M N   log M log N  * a a 0 a 1  M N 0 a 1  M 1  * log a M 0   0 a 1   0 M 1 a 1 0 M 1  * loga M 0  0 a 1  M 1 Các tính chất nầy thường dùng để giải phương trình bất phương trình logarit Đồ thị hàm số logarit: * Với a 1 : Bảng biến thiên: x a y loga x  Đồ thị: Trang   * Với a 1 Bảng biến thiên: x y loga x  a   Đồ thị: Nhận xét: * Đồ thị hàm số y loga x luôn qua điểm A 1, 0 * Đồ thị hàm số y loga x luôn beeb phải trục tung Trang * Các hàm số y loga x y log x đối xứng qua trục hồnh a * Vì y loga x x a y nên hàm số y loga x y a x hàm số ngược nên đồ thị chúng đối xứng qua đường phân giác y x Trang 10 CHƯƠNG III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I II PHƯƠNG PHÁP : PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Thường áp dụng phép tính lũy thừa hay phép tính logarit để biến đổi Để đồng hóa số để khử biểu thức logarit chứa ẩn số, ta thường lấy logarit hai vế Ta áp dụng công thức sau: Với a 1 ta có: + loga M loga N M N 0 + loga N M N aM Ngoài ta cần ý đến số tính chất sau: b 0   + log a b có nghĩa a 0; a 1 + log b  logc b a logc a + log a bm m log b a n + loga b2k 2k loga b ;k Z 2a x Ví dụ 1: Giải phương trình: log a log x 0 a Giải Ta có:  2a x log 2a x a log log x 0  a a2 log x x a ;  a 1 a a 0 x 2a Vậy nghiệm phương trình x a Ví dụ 2: Giải phương trình: log2 x log4 x log8 x 11 Giải Phương trình cho tương đương với: n 1 log2 x log 22 x log 23 x 11 log x  log x  log x 11 2 11  log x 11 log x 6 x 64 Vậy nghiệm phương trình x 64 Ví dụ 3: Giải phương trình: log x2 2log  3x 4 Giải Trang 23 Ta có: log x2 2log  3x 42log x 2log 2  3x 4log x log  3x 4  2  x 2   x 1 x  3x 4  x 1     3x 4 0 x    Vậy nghiệm phương trình x 1 Ví dụ 4: Giải phương trình: 1log x 1 1 log  x 1 x 7 Giải x 1 0  x R \ 1;7 Điều kiện: x 7 x 1 0  x 1 x 1  log 6x 1 1 log log x 1 1log6 x 7 x 7 x 1 x 1   x 7  x 1 6 x 1 Khi ta có: log6 x 7 x 1 x 7 x 1  x 1  x 13 x   Vậy nghiệm phương trình x 13 Ví dụ 5: Giải phương trình: log x2 2x 3 Giải Phương trình cho tương đương với hệ sau:  x 2  x 2 x 2     x 3  x 3  x 2 1  x3 6x2 12x 8 0  2x x 2 x 4  x 2x 20 x 4 Vậy nghiệm phương trình x 4 I II PHƯƠNG PHÁP : PHƯƠNG PHÁP LOGARI T HĨA Để giải phương trình phương pháp logarit hóa phải nắm vững tính chất nêu mục Tuy nhiên trước logarit hóa, cần biến đổi để rút gọn hai vế phương trình dạng gọn Phương pháp logarit hóa tỏ hiệu lực hai vế phương trình có dạng tích lũy thừa Trang 24 Ví dụ 1: Giải phương trình: log x1  x2 3x 11 Giải   x 1 x 1 0     x 0 Điều kiện: x 1 1 x     x2 3x 1 0  5 5  x  x    2 Khi phương trình cho tương đương với:  x 0 x 3x 1 x 1 x 4x 0   x 4 So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm x 4 Vậy nghiệm phương trình x 4 Ví dụ 2: Giải phương trình: log  x 1log  x 1log 2  x 1 Giải  x 1 0  Điều kiện: x 1 0 1 x 7  7 x 0 Khi phương trình cho tương đương với: log 1 x2 1 2log 1 x 1 log  x 1 log  x  2  x 11   x 1  x 2 1  x 3 14x 51 0   x 2 2  x   x 17 So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm x 3 Vậy nghiệm phương trình x 3 log Ví dụ 3: Giải phương trình: 2  x 22 3 log  x3 log  x 63 log 4 Giải Phương trình cho tương đương với: 3log x 2 3 3log  x 3log x 6  4 log x 2 1 log  x log x 6  4 Trang 25 ... CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ 12 II.1 ƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 12 II.2 ƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA 13 II.3 ƯƠNG PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT... 28 III.5 ƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC 30 II.6 PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ 31 BÀI TẬP... ƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG 15 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 15 II.5 ƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC 18 II.6 ƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BIỆN LUẬN