Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Trong đó lịch sử toán là bộ môn khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển toán học. Đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Trong quá trình phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ về số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng. Trong các lí thuyết toán học hiện đại, các quan hệ về số và hình thường hết sức trừu tượng: người ta nói đến các tập hợp những phần tử mà các tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về chúng được cho bằng một hệ tiên đề. Khuynh hướng trừu tượng hóa đối tượng toán học biểu thị đầy đủ nhất trong lí thuyết tập hợp và liên quan chặt chẽ với phương pháp tiên đề. Vấn đề xây dựng cơ sở của toán học đã làm phát triển lôgic toán, ngành khoa học nghiên cứu những chứng minh toán học, sự cấu tạo của các lí thuyết toán học và các phương pháp toán học. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về toán học hiện đại tôi quyết định lựa chọn đề tài: “ Giai đoạn toán học hiện đại” làm đề tài nghiên cứu của mình. CHƯƠNG 1. KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI Giai đoạn này kéo dài từ nửa thế kỷ XIX đến nay. Đây là thời kì mà khoa học kỹ thuật chuẩn bị và bước vào cuộc cách mạng lớn về vật liệu, năng lượng và điều khiển để đưa nền sản xuất tiến lên tự động hóa. 1.1. Cơ sở của sự phát triển toán học Nhu cầu thực tiễn là cơ sở của sự phát triển toán học. Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mác và Ăng-ghen đã chứng minh rằng khoa học, trong đó có toán học, không những phát minh mà còn luôn luôn phát triển trên một cơ sở vật chất nhất định; đó là thực tiễn của đời sống của những hoạt động sản xuất, là cuộc đấu tranh giai cấp trong xã hội và những vấn đề của các khoa học khác. Lịch sử phát sinh và phát triển của toán học cũng đủ xác minh điều đó. Trong thế kỷ 18 toán học chủ yếu nhằm giải quyết yêu cầu của cơ học. Từ nửa đầu thế kỷ 19 kỹ thuật cơ khí phát triển dựa vào động cơ hơi nước. Vấn đề nâng cao năng suất của máy đưa vật lý lên hàng đầu. Toán học cần phát triển để giải quyết những vấn đề về nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trường của trái đất ... Nhờ đó kho tàng toán học được bổ sung nhiều kết quả quan trọng về giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm phức, đại số ... Cũng ở thời kỳ Phục Hưng sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc đòi hỏi nhiều ở phương pháp vẽ phối cảnh do đó nảy sinh ra môn hình học xạ ảnh. Những bài toán mới của thiên văn, cơ học, trắc địa và các khoa học khác ở thời kỳ này cũng là những nguồn kích thích mới đối với sự phát triển toán học. Khoảng cuối thế kỷ 19, do nhu cầu của nội bộ toán học là xây dựng cơ sở cho giải tích, lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời và thắng lợi. Lý thuyết tập hợp đã tỏ ra là một lý thuyết có hiệu lực và dần dần xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực toán học. Nhờ đó người ta có thể xây dựng phương pháp xử lý mới đối với toán học là phương pháp tiên đề trừu tượng. Rồi chính những mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp đã thúc đẩy sự phát triển của logic toán và tầm quan trọng về lý luận cũng như thực tiễn của nó tăng lên không ngừng trong mấy chục năm gần đây. Gần đây do nhu cầu thực tiễn của sự phát triển khoa học mà các ngành trung gian giữa toán học và các khoa học khác như ngôn ngữ toán, kinh tế toán, sinh vật toán ra đời, đánh dấu một xu hướng mới trong quan hệ giữa toán học và các khoa học khác. Tất cả quá trình phát triển của toán học chứng tỏ rằng nhu cầu thực tiễn là nguyên nhân quyết định sự phát triển của toán học. Từ thời Ơclid đến nay, trải qua hơn 20 thế kỷ toán học đã trở thành một khoa học rất trừu tượng nhưng tác dụng của nó đối với hoạt động thực tiễn của con người ngày càng to lớn vì toán học luôn dựa vào thực tiễn, lấy thực tiễn là nguồn động lực mạnh mẽ và mục tiêu phục vụ cuối cùng. Có thể nói mỗi cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật đều gây nên những biến đổi sâu sắc trong toán học và ngược lại những biến đổi này cũng tác động mạnh mẽ đến sự phát triển của khoa học kỹ thuật. 1.2. Tình hình phát triển của toán học. Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng và vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nhiều lý thuyết toán học mới xuất hiện. Toán học đã trở thành một khối lượng thống nhất với những phương pháp chung. Toán học có uy lực chưa từng thấy về phương diện và ứng dụng. Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học những quan hệ số lượng và hình dạng không gian tổng quát hơn mà các số, các đại lượng và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt. Nội dung của đối tượng toán học trở nên rất phong phú đến mức cần xây dựng lại và thay đổi toàn bộ vấn đề quan trọng nhất của toán học mà một trong những vấn đề đó là cơ sở của toán học. Đó là hệ thống các vấn đề về lịch sử, về logic, về triết học và các hệ thống lí thuyết toán học. Đặc biệt người ta nhận định lại một cách có phê phán các hệ thống các tiên đề của toán học và toàn bộ các phương tiện logic của các chứng minh toán học. Sự nhận định này nhằm mục đích xây dựng hệ thống chặt chẽ các cơ sở của toán học, tương ứng với các kinh nghiệm tiên tiến tích lũy được của tư tưởng loài người làm cho toán học ngày càng tiến lên hơn nữa, nâng cao thêm tư duy toán học của loài người. Các xu hướng phát triển của toán học trong giai đoạn này: - Từ nhu cầu thực tiễn trước mắt hoặc trong tương lai không xa của sản xuất và các khoa học khác đòi hỏi toán học hiện đại gắn chặt với điều kiện học và nêu lên cho nó ba vấn đề chính: khắc phục sự phức tạp, khắc phục tính chất bất định và lựa chọn giải pháp tốt nhất. Bởi vậy, thúc đẩy toán học theo ba hướng chính: toán học rời rạc nhằm khắc phục sự phức tạp, toán học ngẫu nhiên để khắc phục tính chất bất động, các lý thuyết tối ưu hóa để giải quyết điều kiện tốt nhất. - Từ nhu cầu thực tiễn của việc xây dựng bản thân toán học, nhằm hoàn thiện công cụ để chuẩn bị dự trữ lâu dài. Quy luật phát triển của bản thân toán học đòi hỏi không ngừng xây dựng những lý thuyết trừu tượng càng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học, phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao trùm được nhiều hiện tượng, sáng tạo những công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực trong nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức và nâng cao năng suất tư duy toán học nhằm chuẩn bị tiền lực tiến lên làm chủ được mọi tình huống thực tế phức tạp chưa dự đoán được trong tương lai. Những nguyên tắc có tính chất quyết định đối với sự phát triển của toán học: - Không có lí thuyết toán học nào duy nhất. - Cấu tạo lý thuyết của những nghành toán học mới được xác định trên nguyên tắc thay đổi và tổng quát hóa những quan điểm cơ bản từ thực nghiệm. - Tính chân thực của một lý thuyết toán học có thể được thực nghiệm đúng với thí nghiệm nhưng với trình độ khoa học của tương lai, thí nghiệm cũng có thể tìm thấy sự thiếu chính xác trong quan hệ giữa lý thuyết toán học đó với tính chất thực tế. 1.3. Một số sự kiện tiêu biểu của nền toán học hiện đại. Toán học hiện đại tập trung vào một số vấn đề lí luận then chốt ở ranh giới các nghành tôpô đại số, lôgic toán, lấy phạm trù làm ngôn ngữ ngày càng phổ biến, lấy đại số làm công cụ chỉ đạo và lấy nội dung giải tích, số luận, hình học làm xuất điểm. Lúc này ranh giới giữa các nghành toán học không còn tách biệt mà đã là một khối thống nhất, không thể gán cho phần lớn tài liệu toán học hiện đại vào một trong các từ Đại số, Giải tích hay Hình học nữa, đồng thời ranh giới giữa lí thuyết và ứng dụng trong nhiều trường hợp đã không còn rõ ràng dứt khoát như trước nữa. Ba sự kiện toán học lớn có ý nghĩa sâu sắc diễn ra trong thế kỷ XIX là: một sự kiện trong lĩnh vực hình học, một sự kiện trong lĩnh vực đại số và sự kiện còn lại trong lĩnh vực giải tích. Sự kiện đối với hình học là sự kiện khám phá ra hình học Phi-Euclid, môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán, khác với hình học Euclid. Hệ quả tức thời của sự kiện này là đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về định đề song song, một định đề được chứng minh là sự độc lập với các giả định khác của hình học Euclid. Nhưng còn có một hệ quả sâu xa hơn là hình học đã được giải phóng khỏi cái mâu thuẫn cổ truyền của nó. Tính thuyết phục thâm căn cố để của những thế kỉ xưa nói rằng chỉ có thể có một hình học là khả hữu đã bị phá vỡ tan tành và một con đường thênh thang đã mở rộng để có thể sáng tạo nhiều hệ thống hình học khác nhau. Sự kiện ngay sau sự kiện trong hình học là sự kiện trong đại số. Đó là sự sáng tạo ra đại số không giao hoán năm 1843. Đầu thế kỉ XIX, đại số học chỉ được coi đơn giản là số học suy rộng. Đó chính là thay vì làm việc với những con số riêng biệt như ta vẫn thường làm trong số học thì trong đại số học ta dùng các chữ làm kí hiệu biểu thị cho những con số bất kì. Ở phần đầu thế kỉ XIX, người ta dường như không thể tin được lại có thể tồn tại một đại số nhất quán có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường của số học. Vào năm 1843, nhà toán học Ailen W.R Haminton(1805-1865) đã phát minh ra đại số quaternion trong luật giao hoán của phép nhân không còn đúng nữa. Một năm sau, nhà toán học Đức H.Grassman (1809-1877) đã cho xuất bản đầu tiên cuốn sách Ausdehnungslehre nổi tiếng của mình trong đó phát triển toàn bộ các lớp đại số có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số quen thuộc của số học. Năm 1857, nhà toán học Anh A.Caylay (1821-1895) đã nghĩ ra đại số ma trận, đó chính là một ví dụ khác của đại số không giao hoán. Bằng cách làm yếu đi hoặc xóa bỏ những định đề khác nhau của đại số thông thường, hoặc bằng cách thay thế một hay nhiều hơn các định đề đó bằng những đình đề khác nhất quán với những định đề còn lại thì một số lượng lớn khác nhau những hệ thống có thể được nghiên cứu tơi. Chẳng hạn, ta còn có các hệ thống như phỏng nhóm, tựa nhóm, nửa nhóm, nhóm, vành, vành Bool, đại số Bool… Đại bộ phận công trình này thuộc về thế kỉ XX và điều đó phản ánh ý thức về khái quát hóa và trừu tượng hóa rất thường thấy trong toán học ngày nay. Sự kiện cuối cùng là sự kiện số học hóa giải tích. Một số nhà toán học thế kỉ XVIII đã bắt đầu báo động về sự khủng hoảng sâu đậm về cơ sở của giải tích. Năm 1764, Đa-lăm-be nhận thấy rằng phải cần đến lí thuyết giới hạn vào năm 1977 thì Lagrange đã nổ lực làm cho giải tích được chặt chẽ hơn. Năm 1921, một bước tiến khổng lồ do nhà toán học Pháp A.L.Cauchy đã thực hiện thành công gợi ý của Đa-lăm-be bằng cách phát triển một lí thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan niệm về giới hạn. Nhưng yêu cầu cần hiểu sâu hơn nữa về cơ sở giải tích đã được áp dụng và gây ấn tượng mạnh vào năm 1874 khi nhà toán học Đức K.Vâyơstrat đưa ra một ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm hoặc nói cách khác đó là một đường mà không có tiếp tuyến tại bất kì một điểm nào của nó. G.B.Rieman thì đưa ra một hàm liên tục với mọi giá trị vô tỷ của biến nhưng lại gián đoạn với mọi giá trị hữu tỷ . Nhưng ví dụ đó lại gián đoạn với trực giác con người và càng làm cho người ta nghĩ rằng Cauchy chưa thực sự thấy được cái khó khăn tột cùng trên con đường đi tới một cơ sở vững vàng cho giải tích học. Lý thuyết tập hợp và phương pháp tiên đề mở ra cho toán học khả năng nghiên cứu một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát. Sau hàng nghìn năm sàng lọc, toán học xem ba cấu trúc cơ bản: tôpô, đại số, thứ tự là những cấu trúc cơ bản. Do bộ môn toán học được tổ hợp từ ba loại cấu trúc này nên được gọi là cấu trúc cơ bản. Tổ hợp này có thể đơn giản hay phức tạp, càng phức tạp thì nằm trên một bậc càng cao trong cái gọi là thang cấu trúc. Tuy chỉ có ba cấu trúc cơ bản nhưng đưa tất cả các bài toán về ba cấu trúc đó là một quá trình phức tạp cho nên ở mỗi gii đoạn phát triển, người ta dùng cấu trúc phức tạp hơn gọi là cấu trúc cơ sở thay cho ba cấu trúc cơ bản. Đó là đa tạp khả vi, đa tạp đại số và đa tạp giải tích. Sự phát triển kĩ thuật từ cơ khí hóa lên tự động hóa và sự ra đời các lí thuyết một khoa học mới – điều khiển mới – cơ sở của kĩ thuật tự động hóa là nguồn gốc cho sự ra đời các lí thuyết thuật toán. Các lí thuyết thuật toán đã góp phần xây dựng các máy tính điện tử,phát triển các ngành toán học tính toán. Lý thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc ra đời và phát triển các hướng toán học kiến thiết. Quan điểm này cho phép đi sâu vào bản chất phức tạp của các đối tượng thông tin của chúng là cơ sở tốt cho khoa học tính toán. CHƯƠNG 2: TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 2.1. Toán học thế kỉ XIX Thời đại mới bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777-1855), “vị hoàng tử của Toán học”. Giống như Archimedes đã ảnh hưởng sâu đậm nền khoa học của thời đại tiền Hy Lạp và Newton khống chế thời kỳ hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền Toán học thế kỷ 19. Ông vốn là một thần đồng toán học, có thể làm tính số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuỗi vô hạn khi lên 10 tuổi. Lý thuyết số (theory of numbers) hiện đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ của ông tên “Disquisitiones Arithmeticae”, công bố năm 1801. Với công trình về cơ học thiên thể (celestial mechanics), Gauss được công nhận như nhà toán học đứng đầu của châu Âu. Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và đặc trưng bằng việc chứng minh chặt chẽ. Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học đều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi nói rằng “Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”. Cùng với việc mở đầu thế kỷ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng tột bậc, đến năm 1990 đã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai đoạn trước đó. Với sự phong phú cao độ về nguồn tài liệu, Toán học đã trở nên một bộ môn rộng lớn đến nổi mỗi đầu óc riêng lẻ không còn đủ sức để thông hiểu hết tất cả mọi ngành được nữa. Ngoại trừ một ít người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh như Gauss, Riemann, Klein và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tự giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào đó như Đại số, Hình học hay Giải tích. Diện mạo toán học cũng có nhiều thay đổi khác xảy ra. Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học được hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường đại học. Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn. Việc đòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nảy sinh ngành logic tượng trưng và tiên đề hoá. Trong khi khoa vật lý và kỹ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân Toán học cũng bắt đầu hưởng những lợi ích từ tinh thần cách mạng đang lan tràn trong thế giới phương Tây. Ở Pháp, sự đổ nhào của chế độ quân chủ và thời kỳ Napoléon kế đó đã tạo ra một môi trường lý tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới. Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị đuổi học và vào tù, đã được sinh ra. Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois đã dành phần lớn thời giờ của mình cho Đại số, môn học vào lúc đó chỉ gần như là số học khái quát hoá nhưng các bài viết của ông không được chú ý. Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois đã bị giết chết khi dính vào một trận thách đấu. Đêm trước “sự việc vì danh dự” đó, ông đã thảo nhanh một bức thư gửi bạn, trong đó có ghi “Tôi đã hoàn tất một vài khám phá mới trong Giải tích. Tôi hy vọng sau này sẽ có người tìm thấy nó để trình bày lại sáng sủa tất cả mớ hỗn độn này . . .” “Cái mớ hỗn độn này” chính là lý thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện đại. Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng đã độc lập làm ra công trình theo hướng này.
MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng sống Trong lịch sử toán môn khoa học quy luật khách quan phát triển toán học Đối tượng toán học túy quan hệ số lượng hình dạng không gian giới khách quan Trong trình phát triển, toán học khảo sát đối tượng mà quan hệ số lượng hình dạng không gian ngày trừu tượng Trong lí thuyết toán học đại, quan hệ số hình thường trừu tượng: người ta nói đến tập hợp phần tử mà tính chất chúng quy tắc thực phép tính chúng cho hệ tiên đề Khuynh hướng trừu tượng hóa đối tượng toán học biểu thị đầy đủ lí thuyết tập hợp liên quan chặt chẽ với phương pháp tiên đề Vấn đề xây dựng sở toán học làm phát triển lôgic toán, ngành khoa học nghiên cứu chứng minh toán học, cấu tạo lí thuyết toán học phương pháp toán học Với mong muốn tìm hiểu kỹ toán học đại định lựa chọn đề tài: “ Giai đoạn toán học đại” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu trình hình thành thành tựu nhà toán học giai đoạn toán học đại - Nâng cao hiểu biết thân Phạm vi nghiên cứu - Quá trình hình thành phát triển giai đoạn toán học đại - Những thành tựu toán học giai đoạn toán học đại Đóng góp đề tài - Giúp sinh viên hiểu trình hình thành, trào lưu toán học thành tựu toán học giai đoạn toán học đại - Sinh viên tích cực, hoạt động tham gia hoạt động môn học, có lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực, sáng tạo Cấu trúc đề tài Đề tài trình bày theo bố cục sau: Chương 1: Khái quát chung giai đoạn toán học đại Chương 2: Trào lưu toán học giai đoạn toán học đại Chương 3: Thành tựu toán học giai đoạn toán học đại CHƯƠNG KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI Giai đoạn kéo dài từ nửa kỷ XIX đến Đây thời kì mà khoa học kỹ thuật chuẩn bị bước vào cách mạng lớn vật liệu, lượng điều khiển để đưa sản xuất tiến lên tự động hóa 1.1 Cơ sở phát triển toán học Nhu cầu thực tiễn sở phát triển toán học Trong phát triển nhận thức vật biện chứng lịch sử, Mác Ăng-ghen chứng minh khoa học, có toán học, phát minh mà luôn phát triển sở vật chất định; thực tiễn đời sống hoạt động sản xuất, đấu tranh giai cấp xã hội vấn đề khoa học khác Lịch sử phát sinh phát triển toán học đủ xác minh điều Trong kỷ 18 toán học chủ yếu nhằm giải yêu cầu học Từ nửa đầu kỷ 19 kỹ thuật khí phát triển dựa vào động nước Vấn đề nâng cao suất máy đưa vật lý lên hàng đầu Toán học cần phát triển để giải vấn đề nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trường trái đất Nhờ kho tàng toán học bổ sung nhiều kết quan trọng giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm phức, đại số Cũng thời kỳ Phục Hưng phát triển hội hoạ kiến trúc đòi hỏi nhiều phương pháp vẽ phối cảnh nảy sinh môn hình học xạ ảnh Những toán thiên văn, học, trắc địa khoa học khác thời kỳ nguồn kích thích phát triển toán học Khoảng cuối kỷ 19, nhu cầu nội toán học xây dựng sở cho giải tích, lý thuyết tập hợp Cantor đời thắng lợi Lý thuyết tập hợp tỏ lý thuyết có hiệu lực xâm nhập vào tất lĩnh vực toán học Nhờ người ta xây dựng phương pháp xử lý toán học phương pháp tiên đề trừu tượng Rồi mâu thuẫn lý thuyết tập hợp thúc đẩy phát triển logic toán tầm quan trọng lý luận thực tiễn tăng lên không ngừng chục năm gần Gần nhu cầu thực tiễn phát triển khoa học mà ngành trung gian toán học khoa học khác ngôn ngữ toán, kinh tế toán, sinh vật toán đời, đánh dấu xu hướng quan hệ toán học khoa học khác Tất trình phát triển toán học chứng tỏ nhu cầu thực tiễn nguyên nhân định phát triển toán học Từ thời Ơclid đến nay, trải qua 20 kỷ toán học trở thành khoa học trừu tượng tác dụng hoạt động thực tiễn người ngày to lớn toán học dựa vào thực tiễn, lấy thực tiễn nguồn động lực mạnh mẽ mục tiêu phục vụ cuối Có thể nói cách mạng khoa học kỹ thuật gây nên biến đổi sâu sắc toán học ngược lại biến đổi tác động mạnh mẽ đến phát triển khoa học kỹ thuật 1.2 Tình hình phát triển toán học Đặc điểm giai đoạn đối tượng toán học mở rộng vấn đề xây dựng sở toán học có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nhiều lý thuyết toán học xuất Toán học trở thành khối lượng thống với phương pháp chung Toán học có uy lực chưa thấy phương diện ứng dụng Toán học đại trở thành khoa học quan hệ số lượng hình dạng không gian tổng quát mà số, đại lượng hình học thông thường trường hợp đặc biệt Nội dung đối tượng toán học trở nên phong phú đến mức cần xây dựng lại thay đổi toàn vấn đề quan trọng toán học mà vấn đề sở toán học Đó hệ thống vấn đề lịch sử, logic, triết học hệ thống lí thuyết toán học Đặc biệt người ta nhận định lại cách có phê phán hệ thống tiên đề toán học toàn phương tiện logic chứng minh toán học Sự nhận định nhằm mục đích xây dựng hệ thống chặt chẽ sở toán học, tương ứng với kinh nghiệm tiên tiến tích lũy tư tưởng loài người làm cho toán học ngày tiến lên nữa, nâng cao thêm tư toán học loài người Các xu hướng phát triển toán học giai đoạn này: - Từ nhu cầu thực tiễn trước mắt tương lai không xa sản xuất khoa học khác đòi hỏi toán học đại gắn chặt với điều kiện học nêu lên cho ba vấn đề chính: khắc phục phức tạp, khắc phục tính chất bất định lựa chọn giải pháp tốt Bởi vậy, thúc đẩy toán học theo ba hướng chính: toán học rời rạc nhằm khắc phục phức tạp, toán học ngẫu nhiên để khắc phục tính chất bất động, lý thuyết tối ưu hóa để giải điều kiện tốt - Từ nhu cầu thực tiễn việc xây dựng thân toán học, nhằm hoàn thiện công cụ để chuẩn bị dự trữ lâu dài Quy luật phát triển thân toán học đòi hỏi không ngừng xây dựng lý thuyết trừu tượng ngày thống nhiều ngành toán học, phát quy luật khái quát ngày bao trùm nhiều tượng, sáng tạo công cụ tổng hợp ngày có nhiều hiệu lực nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức nâng cao suất tư toán học nhằm chuẩn bị tiền lực tiến lên làm chủ tình thực tế phức tạp chưa dự đoán tương lai Những nguyên tắc có tính chất định phát triển toán học: - Không có lí thuyết toán học - Cấu tạo lý thuyết nghành toán học xác định nguyên tắc thay đổi tổng quát hóa quan điểm từ thực nghiệm - Tính chân thực lý thuyết toán học thực nghiệm với thí nghiệm với trình độ khoa học tương lai, thí nghiệm tìm thấy thiếu xác quan hệ lý thuyết toán học với tính chất thực tế 1.3 Một số kiện tiêu biểu toán học đại Toán học đại tập trung vào số vấn đề lí luận then chốt ranh giới nghành tôpô đại số, lôgic toán, lấy phạm trù làm ngôn ngữ ngày phổ biến, lấy đại số làm công cụ đạo lấy nội dung giải tích, số luận, hình học làm xuất điểm Lúc ranh giới nghành toán học không tách biệt mà khối thống nhất, gán cho phần lớn tài liệu toán học đại vào từ Đại số, Giải tích hay Hình học nữa, đồng thời ranh giới lí thuyết ứng dụng nhiều trường hợp không rõ ràng dứt khoát trước Ba kiện toán học lớn có ý nghĩa sâu sắc diễn kỷ XIX là: kiện lĩnh vực hình học, kiện lĩnh vực đại số kiện lại lĩnh vực giải tích Sự kiện hình học kiện khám phá hình học Phi-Euclid, môn hình học phi mâu thuẫn tự quán, khác với hình học Euclid Hệ tức thời kiện đặt dấu chấm hết cho toán cổ xưa định đề song song, định đề chứng minh độc lập với giả định khác hình học Euclid Nhưng có hệ sâu xa hình học giải phóng khỏi mâu thuẫn cổ truyền Tính thuyết phục thâm cố để kỉ xưa nói có hình học khả hữu bị phá vỡ tan tành đường thênh thang mở rộng để sáng tạo nhiều hệ thống hình học khác Sự kiện sau kiện hình học kiện đại số Đó sáng tạo đại số không giao hoán năm 1843 Đầu kỉ XIX, đại số học coi đơn giản số học suy rộng Đó thay làm việc với số riêng biệt ta thường làm số học đại số học ta dùng chữ làm kí hiệu biểu thị cho số Ở phần đầu kỉ XIX, người ta dường tin lại tồn đại số quán có cấu trúc khác với cấu trúc đại số thông thường số học Vào năm 1843, nhà toán học Ailen W.R Haminton(1805-1865) phát minh đại số quaternion luật giao hoán phép nhân không Một năm sau, nhà toán học Đức H.Grassman (1809-1877) cho xuất sách Ausdehnungslehre tiếng phát triển toàn lớp đại số có cấu trúc khác với cấu trúc đại số quen thuộc số học Năm 1857, nhà toán học Anh A.Caylay (1821-1895) nghĩ đại số ma trận, ví dụ khác đại số không giao hoán Bằng cách làm yếu xóa bỏ định đề khác đại số thông thường, cách thay hay nhiều định đề đình đề khác quán với định đề lại số lượng lớn khác hệ thống nghiên cứu tơi Chẳng hạn, ta có hệ thống nhóm, tựa nhóm, nửa nhóm, nhóm, vành, vành Bool, đại số Bool… Đại phận công trình thuộc kỉ XX điều phản ánh ý thức khái quát hóa trừu tượng hóa thường thấy toán học ngày Sự kiện cuối kiện số học hóa giải tích Một số nhà toán học kỉ XVIII bắt đầu báo động khủng hoảng sâu đậm sở giải tích Năm 1764, Đa-lăm-be nhận thấy phải cần đến lí thuyết giới hạn vào năm 1977 Lagrange nổ lực làm cho giải tích chặt chẽ Năm 1921, bước tiến khổng lồ nhà toán học Pháp A.L.Cauchy thực thành công gợi ý Đa-lăm-be cách phát triển lí thuyết giới hạn chấp nhận sau định nghĩa hội tụ, tính liên tục, tính khả vi tích phân xác định theo quan niệm giới hạn Nhưng yêu cầu cần hiểu sâu sở giải tích áp dụng gây ấn tượng mạnh vào năm 1874 nhà toán học Đức K.Vâyơstrat đưa ví dụ hàm liên tục mà đạo hàm nói cách khác đường mà tiếp tuyến điểm G.B.Rieman đưa hàm liên tục với giá trị vô tỷ biến lại gián đoạn với giá trị hữu tỷ Nhưng ví dụ lại gián đoạn với trực giác người làm cho người ta nghĩ Cauchy chưa thực thấy khó khăn đường tới sở vững vàng cho giải tích học Lý thuyết tập hợp phương pháp tiên đề mở cho toán học khả nghiên cứu cách quán loại phép toán, loại quan hệ cấu trúc mức độ khái quát Sau hàng nghìn năm sàng lọc, toán học xem ba cấu trúc bản: tôpô, đại số, thứ tự cấu trúc Do môn toán học tổ hợp từ ba loại cấu trúc nên gọi cấu trúc Tổ hợp đơn giản hay phức tạp, phức tạp nằm bậc cao gọi thang cấu trúc Tuy có ba cấu trúc đưa tất toán ba cấu trúc trình phức tạp gii đoạn phát triển, người ta dùng cấu trúc phức tạp gọi cấu trúc sở thay cho ba cấu trúc Đó đa tạp khả vi, đa tạp đại số đa tạp giải tích Sự phát triển kĩ thuật từ khí hóa lên tự động hóa đời lí thuyết khoa học – điều khiển – sở kĩ thuật tự động hóa nguồn gốc cho đời lí thuyết thuật toán Các lí thuyết thuật toán góp phần xây dựng máy tính điện tử,phát triển ngành toán học tính toán Lý thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc đời phát triển hướng toán học kiến thiết Quan điểm cho phép sâu vào chất phức tạp đối tượng thông tin chúng sở tốt cho khoa học tính toán CHƯƠNG 2: TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 2.1 Toán học kỉ XIX Thời đại bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777-1855), “vị hoàng tử Toán học” Giống Archimedes ảnh hưởng sâu đậm khoa học thời đại tiền Hy Lạp Newton khống chế thời kỳ hậu Elizabeth, Gauss thống trị Toán học kỷ 19 Ông vốn thần đồng toán học, làm tính số học lúc lên 3, quen thuộc với chuỗi vô hạn lên 10 tuổi Lý thuyết số (theory of numbers) đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ ông tên “Disquisitiones Arithmeticae”, công bố năm 1801 Với công trình học thiên thể (celestial mechanics), Gauss công nhận nhà toán học đứng đầu châu Âu Công trình ông ngắn gọn rõ ràng, đặc trưng việc chứng minh chặt chẽ Mặc dù cột mốc hầu hết ngành toán học mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ ngành nói “Toán học nữ hoàng khoa học lý thuyết số lại nữ hoàng toán học” Cùng với việc mở đầu kỷ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng bậc, đến năm 1990 cho số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành tất giai đoạn trước Với phong phú cao độ nguồn tài liệu, Toán học trở nên môn rộng lớn đến đầu óc riêng lẻ không đủ sức để thông hiểu hết tất ngành Ngoại trừ người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh Gauss, Riemann, Klein Poincaré, nhà toán học nói chung bị buộc phải tự giới hạn cố gắng họ vào ngành Đại số, Hình học hay Giải tích Diện mạo toán học có nhiều thay đổi khác xảy Ưu viện hàn lâm khoa học hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng việc nghiên cứu trở nên chức quan trọng trường đại học Trong nội toán học, nhà toán học ngày trở nên tự phê phán Việc đòi hỏi chặt chẽ tất chứng minh việc không tin cậy vào trực giác họ làm nảy sinh ngành logic tượng trưng tiên đề hoá Trong khoa vật lý kỹ thuật tiếp tục thu lượm phần thưởng từ toán vi tích phân, thân Toán học bắt đầu hưởng lợi ích từ tinh thần cách mạng lan tràn giới phương Tây Ở Pháp, đổ nhào chế độ quân chủ thời kỳ Napoléon kế tạo môi trường lý tưởng cho việc cấy trồng tư tưởng Trong bầu không khí này, Évariste Galois, niên thông minh có tính khí khác thường, bị đuổi học vào tù, sinh Mặc dù có xáo trộn giáo dục trị thường xuyên, Galois dành phần lớn thời cho Đại số, môn học vào lúc gần số học khái quát hoá viết ông không ý Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois bị giết chết dính vào trận thách đấu Đêm trước “sự việc danh dự” đó, ông thảo nhanh thư gửi bạn, có ghi “Tôi hoàn tất vài khám phá Giải tích Tôi hy vọng sau có người tìm thấy để trình bày lại sáng sủa tất mớ hỗn độn ” “Cái mớ hỗn độn này” lý thuyết nhóm, móng giải tích hình học đại Niels Henrik Abel, nhà toán học Na Uy thời trước tuổi 30, độc lập làm công trình theo hướng Việc giải phóng Đại số khỏi phụ phuộc vào Số học đưa môn học tiến bước nhảy vọt với khám phá quaternion William Rowan Hamilton (1805-1865), nhà toán học thiên văn Ireland Hamilton thần đồng, vào tuổi 12 sử dụng 12 ngôn ngữ Ông dùng phần lớn thời gian đầu nghiệp khoa học để ứng dụng toán học vào lý thuyết vật lý, đặc biệt quang học học Năm 1835 ông chuyển ý vào đại số, năm sau khám phá quaternion Hệ quaternion khái quát hóa hệ số phức phép nhân quaternion ví dụ đáng giá phép toán không giao hoán Chẳng lớp tổng quát đại số đời từ công trình nặng hình học Hermann Grassmann, môn học bước hẳn đuờng vào trừu tượng Nước Anh trung tâm thứ đại số kỷ 19 với ứng dụng hình học nó, ứng dụng nở rộ theo dẫn dắt tích cực Arthur Cayley (1821-1895), cha đẻ lý thuyết ma trận, James Joseph Sylvester (1814-1897), động lực phát triển ban đầu Toán học châu Mỹ Hai số tên tuổi bật lý thuyết nhóm Felix Klein (1849-1925) Marius Sophus Lie (1842-1899) Klein nhà hình học nghiên cứu nhóm rời rạc (discrete groups), Lie làm việc với nhóm liên tục (continuous groups) Với xuất Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nhà toán học thời ông, nhà giải tích nói chung trở nên ý thức 10 Như toán học đại, khái niệm không gian mở rộng: Không gian tập hợp đối tượng mà chúng có quan hệ tương tự cấu trúc với quan hệ không gian thông thường Đối với phát triển hình học toán học đại, nguyên tắc có tính chất định ý kiến sau Lôbasépski: - Không phải hình học Ơclit đúng, hợp với lô gic mà có hình học khác - Cấu tạo lí thuyết hình học xây dựng nguyên tắc thay đổi tổng quát háo quan điểm hình học Ơclit - Tính chân thực lí thuyết hình học nghiệm với thí nghiệm với trình độ khoa học tương lai, thí nghiệm tìm thấy thiếu xác quan hệ hình học Ơclit tính chất thực tế không gian 3.1.2 Một vài thành tựu toán học khác a) Hình học Hypecbolic Nhà toán học Hungari J Bolyai (1802-1860) nhà toán học Nga N I Lobatchevski (1792-1856) xây dựng nên loại hình học mặt phẳng bề mặt Hypecbolic; để hình dung bề mặt thế, ta so sánh với mặt yên ngựa b) Hình học Eliptic Nhà vật lý toán học Đức C F Gauss (1777-1855) xây dựng hình học, mặt phẳng xác định bề mặt hình cầu có bán kính vô hạn; hình dung khái niệm so sánh với mặt nước, Trái Đất hình cầu Euclide tưởng B Riemann (1828-1866), người Đức, học trò Gauss Gottingen, tiếp tục công trình Gauss đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic trường hợp lý thuyết tổng quát c) Định nghĩa hình học 20 Những công trình khác đầu kỷ XIX loại hình học phi Euclide làm nảy sinh ham mê bút chiến mạnh mẽ, thực tế chúng cách mạng hóa triết ký tri thức nhiều thân môn hình học Bởi cần phải thống sáng tạo lý thuyết rộng hơn, giới hình học khác tồn Nhà toán học Đức Ch F Klein (1849-1925) phát biểu mở dầu Đại hội Erlangen định nghĩa hình học môn nghiên cứu nhóm phép biến đổi khiến cho số đối tượng hình học đường trung tuyến đường cao trở nên bất biến Chú ý đến cấu trúc nhóm đó, Ch F Klein gộp loại hình học vào lý thuyết đại số d) Phỏng đoán bốn màu Năm 1976, K Appel, W Haken J Koch Đại học Illisois (Mỹ) đưa chứng minh đoán bốn màu Phỏng đoán khẳng định rằng, toàn đồ địa lý vẽ mặt phẳng hay mặt cầu, mà lớp chiếm riêng khoảnh (không có thuộc địa nước khác lọt vào giữa), tô bồn màu cho hai nước khác có màu khác Việc chứng minh điều đoán thực nhờ tính toán 12000 máy tính mạnh nhất; nên đầu óc người kiểm chứng Nhất kích thích nghiên cứu lý thuyết đồ thị chiếm vị trí lớn giải tích tổ hợp 3.2 Các thành tựu đại số 3.2.1 Đại số đại Từ kỉ XIX nảy sinh yếu tố đại số, có khả dẫn đến thay đổi bản, chuẩn bị cho nguyên lí đại số đại, tách khỏi lí thuyết số giải tích 21 Áp dụng phương pháp tiên đề xét cấu trúc đại sô, lí thuyết nhóm trừu tượng Xét hai phép toán sau: - Cộng số thực, tổng số thực (dương, âm, sô không) xác định thông thường - Sự hợp thành phép dời hình không gian Ơclit chiều Kết hợp thành hai phép dời hình T S phép dời hình nhận thực liên tiếp phép T (tịnh tiến) S (đối xứng) Quy ước kí hiệu phần tử thứ ba suy từ hai phần tử x y x y , phép toán Phân tích thấy hai ví dụ, phép toán có tính chất: - Tính kết hợp phép toán x y - Tồn phần tử e cho với x: e y = x e x - Với phần tử x, tồn phần tử x’ cho: x x ' x ' x e Một tập hợp mà phép toán x y đặc trưng tính chất gọi cấu trúc nhóm Các tính chất gọi tiên đề nhóm Lí thuyết nhóm xuất lần nhu cầu đại số Lagơrăng (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813), người pháp khảo sát nhóm phép liên quan đến việc giải phương trình bậc cao Ngày nay, lí thuyết nhóm thâm nhập vào nhiều nghành toán học phi toán Những quan hệ điểm xuất phát định nghĩa cấu trúc Quan hệ cấu trúc nhóm gọi “ quy luật hợp thành” Đó quan hệ phần tử quan hệ xác định cách đơn trị phần tử thứ ba hàm phần tử đầu Khi quan hệ quy luật hợp thành cấu trúc tương ứng gọi cấu trúc đại số cấu trúc đại số bao gồm: nhóm, vành, thể, trường,… Một loại quan 22 trọng khác cấu trúc thứ tự, xác định quan hệ thứ tự, quan hệ “ x nhỏ hay y” Các tiên đề mà quan hệ thứ tự phải thỏa mãn là: 1) x, xRx 2) xRy, yRx x y 3) xRy, yRz xRz Tuy nhiên không sử dụng tiên đề sau “Dù x y xảy x R y yRx” Loại cấu trúc quan trọng thứ ba cấu trúc tôpô Cấu trúc diễn tả khái niệm toán học trừu tượng lân cận, giới hạn, liên tục… Các cấu trúc công cụ nhà toán học đại Nhóm Buốcbaki, trường phái toán học lớn Pháp xem cấu trúc toán học đối tượng toán học nhất: “Với hình thức tiên đề, toán học tự biểu thị dạng trừu tượng, cấu trúc toán học Trong việc nghiên cứu trình tượng thực, sử dụng cấu trúc vũ khí chuẩn bị sẵn” Dựa quan điểm này, họ không phân chia toán học theo lối cổ truyền: đại số, giải tích, lí thuyết số, hình học, mà xếp theo cấu trúc Ở trung tâm có cấu trúc gọi cấu trúc mẹ Từ cấu trúc mẹ bổ sung thêm tiên đề lại có cấu trúc Ví dụ, từ lí thuyết nhóm, suy lí thuyết nhóm hữu hạn, lí thuyết nhóm Aben, lí thuyết nhóm Aben hữu hạn, Từ tập hợp thứ tự tuyến tính đến tập hợp thứ tự hoàn toàn, tập hợp thứ tự tốt,… Từ hạt nhân lại xuất cấu trúc gọi cấu trúc phức hợp 3.2.2 Lý thuyết tập hợp Lý thuyết tập hợp ngành toán học nghiên cứu tập hợp Mặc dù đối tượng đưa vào tập hợp, lý thuyết tập hợp 23 dùng nhiều cho đối tượng phù hợp với toán học Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp đại cho Cantor Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870 Sau khám phá nghịch lý lý thuyết tập không hình thức, có nhiều hệ tiên đề đề nghị vào đầu kỷ thứ 20, có tiên đề Zermelo–Fraenkel, với tiên đề chọn tiếng Ngôn ngữ lý thuyết tập hợp dùng định nghĩa gần tất đối tượng toán học, hàm số, khái niệm lý thuyết tập hợp đưa nhiều chương trình giảng dạy toán học Các kiện tập hợp phần tử tập hợp mang giới thiệu cấp tiểu học, với sơ đồ Venn, để học tập hợp đối tượng vật lý thường gặp Các phép toán hội giao học bối cảnh Các khái niệm cao số phần tiêuchuẩn chương trình toán học sinh viên đại học Lý thuyết tập hợp, hình thức hóa lôgic bậc (first-order logic), phương pháp toán học tảng thường dùng Ngoài việc sử dụng hệ thống tảng, lý thuyết tập hợp thân nhánh toán học, với cộng đồng nghiên cứu tích cực Các nghiên cứu lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc dòng số thực đến nghiêncứu tính quán số lớn Lý thuyết ngây thơ tập hợp Căng to nêu vào năm 1879 Căng to ( 1845-1918) nhà toán học vĩ đại Đan Mạch, sinh Nga hầu hết đời làm việc trường đại học Đức Căng to người nhấn mạnh tầm quan trọng khái niệm tập hợp toán học, coi sở toán học đại Theo Căng to thì: “Tập hợp toàn thể đối tượng xác định xem hoàn chỉnh toàn bộ” Bản chất đối tượng tập hợp hoàn toàn tùy ý, cụ thể trừu tượng Điều cốt yếu tính chất “thuộc” hay không thuộc tập hợp Đó định nghĩa mô tả tập hợp Khi tiên đề hóa khái niệm khái niệm nguyên thủy Tính chất tùy ý đối tượng định nghĩa Căng to chất, số lượng Căng to công nhận tập hợp hữu hạn tập hợp vô hạn, 24 xem hoàn chỉnh, toàn Như vậy, Căng to sử dụng vô hạn thực lần tiên lịch sử Công nhận vô hạn thực vấn đề quan trọng sở toán học Giá trị thấy vai trò lí thuyết tập hợp toán học Những nghịch lý gai góc làm nảy sinh lý thuyết đẹp đẽ, Căng to từ nghịch lí Galile xây dựng hệ thống số mới, tạo thành số học số siêu hạn, số siêu hạn đầu tiên, lực lượng đếm được, 1 lực lượng contium (lực lượng tập hợp ác số thực) Trong số học này, vài quy tắc phổ biến bị bãi bỏ Chẳng hạn, phương trình 0 nghịch lí “Khách sạn Hinbe” Ngoài số a-lép có tự số Các số siêu hạn chưa tìm ứng dụng thân toán học Trong nội toán học, từ số siêu hạn kích thích hoàn thành công trình logic triết học Cùng với giả thuyết continum Căng to xuất nhiều toán không giải khác Mặc dầu lí thuyết tập hợp quan niệm mẫu mực cho chặt chẽ toán học, cung cấp cở tuyệt vời, cho việc giải khủng hoảng sở giải tích toán học, mà rộng cung cấp tảng thống cho việc xây dựng phát triển toàn ngành toán học khác Tuy nhiên, ăm thay, năm đầu kỉ 20 người ta liên tiếp phát lí thuyết "ngây thơ" tập hợp có chứa đựng nhiều nghịch lý: nghịch lý Russell "tập hợp tất tập hợp không phần tử mình", nghich lý Cantor phát "tập hợp tất tập hợp", nghịch lý Bulari-Forti "ordinal tập thứ tự hoàn toàn tất ordinal" Việc phát nghịch lý làm lung lay lòng tin số nhà toán học vào giá trị "nền tảng" lý thuyết tập hợp khó khăn dẫn tới đề nghị khác cách khắc phục Cách khắc phục nhiều người tán thành hạn chế ngoại diện khái niệm "tập hợp" cách xây dựng cho lý thuyết tập hợp hệ tiên đề, tức tiên đề hóa lý thuyết tập hợp có tập hợp "tự do" 25 nghịch lý kể Cách chứng tỏ hợp lý, nhiều lý thuyết tiên đề tập hợp đờivà đáp ứng yêu cầu hạn chế Để loại trừ nghịch lí nhà khoa học để nhiều sức lực Từ lí thuyết ngây thơ tập hợp hoàn thiện dần cách tiên đề hóa lí thuyết tập hợp 3.2.3 Logic toán Logic toán, khoa học nghiên cứu chứng minh toán học cấu tạo lí thuyết toán học, phương pháp giải vấn đề toán học trả lời cấu hỏi Theo quan điểm Hinbe (David Hilbert, 1862-1943) logic toán giải vấn đề toán học phép toán logic với kí hiệu đặc biệt Ngày nay, logic toán đến giai đoạn túy hình thức, vượt qua cố gắng ước mơ Lepnit Logic toán gọi logic kí hiệu hay logic hình thức, nghành toán học mới, có quy luật tương tự với đại số đại.Người Anh tự học G Boole (1815-1864) người sáng tạo logic ký hiệu Năm 1847, ông công bố sách nhỏ ông khẳng định rằng, logic phải gắn với toán học với triết học Năm 1854, khảo luận Nghiên cứu quy luật tư duy”, ông trình bày ý tưởng Như xuất mà ta gọi đại số Boole, chấp nhận giá trị số Nhờ có G Frege, mà logic đại bắt đầu hình thành vào năm 1879, song năm 1903 công trình ông nhà triết học B Russell phát công bố Cơ sở nghành logic toán tập trung giải sau năm 1990 Hinbe nêu rõ cần thiết phải thiết lập song song logic toán số học để chứng minh tính phi mâu thuẫn hai môn Ích lợi logic toán lớn lên bước ngày số người quan tâm đến ngành ngày lớn Logic kí hiệu lần biết năm 1847 với tập “Logic hình thức” Moócgăng Nhưng người đặt móng cho môn 26 nhà toán học Bun Bun làm cho logic hình thức có dạng đại số dễ hiểu mà ngày gọi đại số Bun Sau công trình Phơ Phêrơ, Pêano, Russel với khuynh hướng trừu tượng hóa toán học sở lí thuyết hình thức Những người tiếp tục nghiệp Bun Gơden, Bơreoơ, Phoocti, Phơren Ken, Cácnáp, Lukasievíc, Tácki,… 3.2.4 Một số thành tựu toán học khác a) Cấu trúc nhóm Ở kỷ XIX, nhiều kiểu nhóm nghiên cứu nhân công trình phương trình khác Nhà toán học Pháp A Cauchy (1789-1857) nghiên cứu nhóm hoán vị nghiệm phương trình đại số E Galois (1811-1832) đào sâu công trình phác họa nên lý thuyết nhóm song tiếc chưa hoàn thành Thực ông bị giết đọ súng tuổi 21 Mặc dù nét phác thảo, lý thuyết ông có tác dụng hướng dẫn cho nghiên cứu sau Trong thời kỳ 1870-1880, nhà toán học Na Uy S Lie (1842-1899) xây dựng nên lý thuyết nhóm liên tục phép biến đổi hay nhóm Lie”, để nghiên cứu phương trình vi phân Các nhóm Klein sử dụng chương trình Erlangen (1872), điều quy hình học lý thuyết nhóm Từ đấy, cấu trúc nhóm sử dụng môn toán học đại vật lý lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc nguyên tử b) Tôpô Tôpô phần toán học vốn nghiên cứu khái niệm, đầu mang tính trực giác tính liên tục giới hạn Cho tới đầu kỷ XIX, nhà toán học sử dụng khái niệm mà không định nghĩa chúng cách xác Nhà toán học Đức D Hilbert (1862-1943) tìm cách tiên đề hóa chúng 27 đưa khái niệm lân cận” Ở đầu kỷ XX M Fréchet, người Pháp, F Riesz, người Hungari định nghĩa khái niệm “không gian metric” “không gian Tôpô” Cuối cùng, khoảng năm 1940, định nghĩa lọc nhà toán học Pháp H Cartan kết thúc lịch sử khái niêm giới hạn H Poincaré (1854-1912), người anh em họ tổng thống Pháp R Poincaré, coi người phát minh tôpô đại số tôpô vi phân c) Lý thuyết độ đo Mặc dù theo kinh nghiệm khái niệm độ đo tồn từ buổi đầu văn minh, phải tới kỷ XX người ta diễn đạt lý thuyết phù hợp độ đo Sử dụng tiến kỷ trước tập hợp số thực, tích phân Riemann đại số tập hợp, nhà toán học Pháp H Lebesgue (1875-1941) xây dựng nên độ đo Lebesgue, vốn chấp nhận tồn nghịch lý tập hợp chứa vô hạn điểm có độ đo không Ông công bố kết độ đo đại lượng” tác phầm Dạy toán” (1931-1935) e) Trường phái Bourbaki Với tinh thần Euclide soạn thảo tác phẩm “Nguyên lý”, nhóm cựu sinh viên Đại học Sư phạm (Pháp) tập hợp lại vào năm 1933 để soạn thảo tập thể công trình tổng hợp kiến thức kỷ XX Sau trình bày tiên đề mà xuất phát từ chứng minh tất cả, họ thống lại để tạo kiến thức kỷ Các tài liệu xuất họ - Các nguyên lý toán học (1939) Các nguyên lý lịch sử toán học (1960) – ký tên Nicolas Bourbaki Cái tên xuất phát từ lời nói đùa họ học tập Đại học Sư phạm, đồng thời tạo nên Bourbaki tưởng tượng chung 3.3 Một số thành tựu lý thuyết số 3.3.1 Số Fractan 28 Được B Mandelbrot, người Pháp gốc Ba Lan, phát minh ra năm 1962 Các số fractan có khả trở thành công cụ toán học để rút quy luật tổ chức tự nhiên Khái niệm fractan đặc biệt có ích việc mô tả cấu trúc mà phận cho dù kích thước tương tự với toàn cấu trúc Ví dụ: phải cành không đại diện cho toàn cây? Các số fractan xuất toán học có sở hai định luật: định luật tương tự (autosimilarité), phận tương tự với toàn thể); định luật số chiều fractan nói tập hợp số fractan có số chiều phân đoạn (không nguyên) mảnh tương ứng với mảnh Một áp dụng gây ấn tượng mạnh số fractan liên quan đến tổng hợp hình ảnh nhờ máy tính 3.3.2 Tập hợp số thực Vào kỷ VI trước CN, nhà toán học thiên văn học Hy lạp Eudoxe thử viết tập hợp không gồm số hữu tỷ mà ông cảm thấy chưa đủ Nhưng ông không thành công số nhà toán học thời cổ vốn tỏ thái độ ngập ngừng số vô tỷ Mãi vào kỷ XIX, nhà toán học Nga G Cantor (1845-1918) nghiên cứu đại lượng vô tỷ tính liên tục, khái niệm giải thích vẻ liên tục đoạn thẳng tạo nên vô hạn điểm phân biệt, điểm biểu thị số Chính xuất nhiều nghịch lý đặt lại vấn đề khái niệm trực giác Cantor ý thức đối đầu với lương tri truyền thống, phải tiến hành đấu tranh nhiều năm để thuyết phục người thời với Khi ông vào 6/1/1918, nghiệp ông trở nên phổ cập rộng 3.4 Xu phát triển giai đoạn toán học đại Động lực phát triển toán học đại nhu cầu trước mắt tương lai không xa sản xuất, khoa học kĩ thuật thân môn toán Từ toán học đại có hai xu phát triển chính: 29 - Thực tiễn sản xuất khoa học kĩ thuật đòi hỏi toán học đại phải gắn chặt với điều khiển học nêu lên cho ba vấn đề Khắc phục phức tạp, khắc phục tính bất định lựa chọn giải pháp tốt Do thúc đẩy toán học đại phát triển mạnh theo ba hướng lớn: toán rời rạc, toán học ngẫu nhiên lí thuyết tối ưu hóa Vị trí bật toán học cách mạng xử lí thông tin điều khiển làm cho toán học ngày xâm nhập vào nghành khoa học tự nhiên xã hội, ngày phương pháp toán học phát huy hiệu lực Toán học góp phần định vào đời máy tính điện tử điều khiển học Đồng thời phát triển điều khiển học nhu cầu tự động hóa xâm nhập quan điểm điều khiển học vào nghành khoa học, thúc đẩy toán học tiến lên giai đoạn mới, đưa đến cho nhiều hướng nghiên cứu độc đáo truyền đến cho sức sống khác hẳn trước Nếu kỷ trước, phát triển toán học gắn chặt với học vật lí từ kỉ thứ XX trở đi, chiều hướng phát triển toán học, mức độ lớn nhu cầu trực tiếp hay gián tiếp điều khiển học chi phối Khoa học kĩ thuật nửa sau kỉ thứ XX đề nhiều vấn đề phân tích, tổng hợp điều khiển tốt hệ phức tạp, chịu tác động hay nhiều yếu tố bất định Điều dẫn đến việc hình thành toán học ba hướng lớn: toán học rời rạc (để khắc phục phức tạp), toán học ngẫu nhiên (để khắc phục tính bất định) lí thuyết tối ưu hóa (để giải điều khiển tốt nhất) - Quy luật phát triển thân toán học đòi hỏi không ngừng xây dựng lí tuyết trừu tượng ngày thống nhiều ngành toán học, phát triển quy luật khái quát ngày bao trùm nhiều tượng, sang tạo công cụ tổng hợp ngày có nhiều hiệu lực nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức nâng cao tư toán học, chuẩn bị tiềm tiến lên làm chủ tình thực tế phức tạp, chưa dự đoán tương lai 30 Khối lượng kiến thức toán học đại ngày đồ sộ trừu tượng cao độ Trước tình hình đó, tất nhiên nảy sinh đa dạng đến kinh ngạc nhiều quan điểm Điều đề yêu cầu thiết phải có quan điểm, cách nhìn bao quát cho số lớn kiện tình khác Chúng ta khẳng định chắn mà hôm qua ta cho trừu tượng hôm trình độ nhận thức ta nâng lên, trở nên trực quan Một nét bật ngày toán học xâm nhập vào nhiều ngành khoa học mà trước người ta không nghĩ tới, kể khoa học xã hội Như hoá học sinh học hai ngành trước sử dụng đến toán học nhiều phận chúng sử dụng nhiều ngành đại toán học, thông tin, tô pô, máy tính điện tử Bằng phương pháp toán học người ta dự đoán tính chất hợp chất, nghiên cứu vấn đề khó khăn tính di truyền, cấu hoạt động hệ thần kinh Trong y học phương pháp thống kê máy tính điện tử người ta cải tiến phương pháp chuẩn đoán bệnh cho xác Xuất phát từ vấn đề tìm Algorit để dịch thứ tiếng máy tính điện tử, người ta dùng logic toán để nghiên cứu quy luật cấu trúc ngôn ngữ mà từ ngành toán học ngôn ngữ toán đời Ở nước tiên tiến, phương pháp toán học thống kê, logic toán, lý thuyết thông tin dùng ngày rộng rãi công tác thư viện để nâng cao hiệu phục vụ tính khoa học ngành Việc điều tra xã hội học để nghiên cứu tâm lý, thị hiếu quần chúng ngành văn hoá xã hội muốn đạt kết sâu sắc chắn phải dùng phương pháp toán học Những ví dụ cho ta thấy xu hướng rõ ràng toán học ngày xâm nhập vào khoa học khác Đặc điểm nằm đặc điểm chung tình hình khoa học song song với việc phân hoá theo chuyên môn hình thành xu hướng tổng hợp thống khoa học lại Trước Mác nói khoa học muốn trở nên xác phải sử dụng toán học Hơn hết lời nói thực tế chứng 31 minh Ranh giới lí thuyết ứng dụng nhiều trường hợp không rõ ràng, dứt khoát trước Đây đặc điểm rõ rệt toán học đại 32 KẾT LUẬN Trên đề tài “Giai đoạn toán học đại” Trong đề tài, cung cấp: - Cơ sở thực tiễn, tình hình phát triển giai đoạn toán học đại - Hệ thống giai đoạn toán học từ kỉ từ kỉ XIX đến kỉ XX - Các thành tựu hình học, đại số, lý thuyết số ứng dụng toán học đời sống sản xuất khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, trình nghiên cứu đề tài thân cố gắng nhiều không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Mong nhận đóng góp ý kiến giáo viên, bạn sinh viên bạn đọc để đề tài hoàn thiện hữu ích Qua đây, xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên – Ths Trần Thị Thái Hòa hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cho trình thực đề tài 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang, Giáo trình lịch sử toán, NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Phú Lộc, Lịch sử toán học, NXB Giáo dục, 2008 [3] Nguyễn Cang, Lịch sử toán học, Nxb tuổi trẻ TP Hồ Chí Minh, 1990 [4] Buốcbaki, Đại cương lịch sử toán (Bản dịch tiếng Nga từ tiếng Pháp) –Nxb “Tài liệu nước ngoài”, Matscova, 1963 34 ... tài Đề tài trình bày theo bố cục sau: Chương 1: Khái quát chung giai đoạn toán học đại Chương 2: Trào lưu toán học giai đoạn toán học đại Chương 3: Thành tựu toán học giai đoạn toán học đại CHƯƠNG... máy tính để chứng minh toán tô màu CHƯƠNG THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 3.1 Các thành tựu hình học 3.1.1 Hình học Phi Ơclit Mở đầu giai đoạn toán học đại gắn với phát minh... viên hiểu trình hình thành, trào lưu toán học thành tựu toán học giai đoạn toán học đại - Sinh viên tích cực, hoạt động tham gia hoạt động môn học, có lực tự học cao, có phương pháp học tập tích