Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Trong đó lịch sử toán là bộ môn khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển toán học. Đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Trong quá trình phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ về số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng. Trong các lí thuyết toán học hiện đại, các quan hệ về số và hình thường hết sức trừu tượng: người ta nói đến các tập hợp những phần tử mà các tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về chúng được cho bằng một hệ tiên đề. Khuynh hướng trừu tượng hóa đối tượng toán học biểu thị đầy đủ nhất trong lí thuyết tập hợp và liên quan chặt chẽ với phương pháp tiên đề. Vấn đề xây dựng cơ sở của toán học đã làm phát triển lôgic toán, ngành khoa học nghiên cứu những chứng minh toán học, sự cấu tạo của các lí thuyết toán học và các phương pháp toán học. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về toán học hiện đại tôi quyết định lựa chọn đề tài: “ Giai đoạn toán học hiện đại” làm đề tài nghiên cứu của mình. CHƯƠNG 1. KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI Giai đoạn này kéo dài từ nửa thế kỷ XIX đến nay. Đây là thời kì mà khoa học kỹ thuật chuẩn bị và bước vào cuộc cách mạng lớn về vật liệu, năng lượng và điều khiển để đưa nền sản xuất tiến lên tự động hóa. 1.1. Cơ sở của sự phát triển toán học Nhu cầu thực tiễn là cơ sở của sự phát triển toán học. Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mác và Ăng-ghen đã chứng minh rằng khoa học, trong đó có toán học, không những phát minh mà còn luôn luôn phát triển trên một cơ sở vật chất nhất định; đó là thực tiễn của đời sống của những hoạt động sản xuất, là cuộc đấu tranh giai cấp trong xã hội và những vấn đề của các khoa học khác. Lịch sử phát sinh và phát triển của toán học cũng đủ xác minh điều đó. Trong thế kỷ 18 toán học chủ yếu nhằm giải quyết yêu cầu của cơ học. Từ nửa đầu thế kỷ 19 kỹ thuật cơ khí phát triển dựa vào động cơ hơi nước. Vấn đề nâng cao năng suất của máy đưa vật lý lên hàng đầu. Toán học cần phát triển để giải quyết những vấn đề về nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trường của trái đất ... Nhờ đó kho tàng toán học được bổ sung nhiều kết quả quan trọng về giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm phức, đại số ... Cũng ở thời kỳ Phục Hưng sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc đòi hỏi nhiều ở phương pháp vẽ phối cảnh do đó nảy sinh ra môn hình học xạ ảnh. Những bài toán mới của thiên văn, cơ học, trắc địa và các khoa học khác ở thời kỳ này cũng là những nguồn kích thích mới đối với sự phát triển toán học. Khoảng cuối thế kỷ 19, do nhu cầu của nội bộ toán học là xây dựng cơ sở cho giải tích, lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời và thắng lợi. Lý thuyết tập hợp đã tỏ ra là một lý thuyết có hiệu lực và dần dần xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực toán học. Nhờ đó người ta có thể xây dựng phương pháp xử lý mới đối với toán học là phương pháp tiên đề trừu tượng. Rồi chính những mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp đã thúc đẩy sự phát triển của logic toán và tầm quan trọng về lý luận cũng như thực tiễn của nó tăng lên không ngừng trong mấy chục năm gần đây. Gần đây do nhu cầu thực tiễn của sự phát triển khoa học mà các ngành trung gian giữa toán học và các khoa học khác như ngôn ngữ toán, kinh tế toán, sinh vật toán ra đời, đánh dấu một xu hướng mới trong quan hệ giữa toán học và các khoa học khác. Tất cả quá trình phát triển của toán học chứng tỏ rằng nhu cầu thực tiễn là nguyên nhân quyết định sự phát triển của toán học. Từ thời Ơclid đến nay, trải qua hơn 20 thế kỷ toán học đã trở thành một khoa học rất trừu tượng nhưng tác dụng của nó đối với hoạt động thực tiễn của con người ngày càng to lớn vì toán học luôn dựa vào thực tiễn, lấy thực tiễn là nguồn động lực mạnh mẽ và mục tiêu phục vụ cuối cùng. Có thể nói mỗi cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật đều gây nên những biến đổi sâu sắc trong toán học và ngược lại những biến đổi này cũng tác động mạnh mẽ đến sự phát triển của khoa học kỹ thuật. 1.2. Tình hình phát triển của toán học. Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng và vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nhiều lý thuyết toán học mới xuất hiện. Toán học đã trở thành một khối lượng thống nhất với những phương pháp chung. Toán học có uy lực chưa từng thấy về phương diện và ứng dụng. Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học những quan hệ số lượng và hình dạng không gian tổng quát hơn mà các số, các đại lượng và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt. Nội dung của đối tượng toán học trở nên rất phong phú đến mức cần xây dựng lại và thay đổi toàn bộ vấn đề quan trọng nhất của toán học mà một trong những vấn đề đó là cơ sở của toán học. Đó là hệ thống các vấn đề về lịch sử, về logic, về triết học và các hệ thống lí thuyết toán học. Đặc biệt người ta nhận định lại một cách có phê phán các hệ thống các tiên đề của toán học và toàn bộ các phương tiện logic của các chứng minh toán học. Sự nhận định này nhằm mục đích xây dựng hệ thống chặt chẽ các cơ sở của toán học, tương ứng với các kinh nghiệm tiên tiến tích lũy được của tư tưởng loài người làm cho toán học ngày càng tiến lên hơn nữa, nâng cao thêm tư duy toán học của loài người. Các xu hướng phát triển của toán học trong giai đoạn này: - Từ nhu cầu thực tiễn trước mắt hoặc trong tương lai không xa của sản xuất và các khoa học khác đòi hỏi toán học hiện đại gắn chặt với điều kiện học và nêu lên cho nó ba vấn đề chính: khắc phục sự phức tạp, khắc phục tính chất bất định và lựa chọn giải pháp tốt nhất. Bởi vậy, thúc đẩy toán học theo ba hướng chính: toán học rời rạc nhằm khắc phục sự phức tạp, toán học ngẫu nhiên để khắc phục tính chất bất động, các lý thuyết tối ưu hóa để giải quyết điều kiện tốt nhất. - Từ nhu cầu thực tiễn của việc xây dựng bản thân toán học, nhằm hoàn thiện công cụ để chuẩn bị dự trữ lâu dài. Quy luật phát triển của bản thân toán học đòi hỏi không ngừng xây dựng những lý thuyết trừu tượng càng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học, phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao trùm được nhiều hiện tượng, sáng tạo những công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực trong nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức và nâng cao năng suất tư duy toán học nhằm chuẩn bị tiền lực tiến lên làm chủ được mọi tình huống thực tế phức tạp chưa dự đoán được trong tương lai. Những nguyên tắc có tính chất quyết định đối với sự phát triển của toán học: - Không có lí thuyết toán học nào duy nhất. - Cấu tạo lý thuyết của những nghành toán học mới được xác định trên nguyên tắc thay đổi và tổng quát hóa những quan điểm cơ bản từ thực nghiệm. - Tính chân thực của một lý thuyết toán học có thể được thực nghiệm đúng với thí nghiệm nhưng với trình độ khoa học của tương lai, thí nghiệm cũng có thể tìm thấy sự thiếu chính xác trong quan hệ giữa lý thuyết toán học đó với tính chất thực tế. 1.3. Một số sự kiện tiêu biểu của nền toán học hiện đại. Toán học hiện đại tập trung vào một số vấn đề lí luận then chốt ở ranh giới các nghành tôpô đại số, lôgic toán, lấy phạm trù làm ngôn ngữ ngày càng phổ biến, lấy đại số làm công cụ chỉ đạo và lấy nội dung giải tích, số luận, hình học làm xuất điểm. Lúc này ranh giới giữa các nghành toán học không còn tách biệt mà đã là một khối thống nhất, không thể gán cho phần lớn tài liệu toán học hiện đại vào một trong các từ Đại số, Giải tích hay Hình học nữa, đồng thời ranh giới giữa lí thuyết và ứng dụng trong nhiều trường hợp đã không còn rõ ràng dứt khoát như trước nữa. Ba sự kiện toán học lớn có ý nghĩa sâu sắc diễn ra trong thế kỷ XIX là: một sự kiện trong lĩnh vực hình học, một sự kiện trong lĩnh vực đại số và sự kiện còn lại trong lĩnh vực giải tích. Sự kiện đối với hình học là sự kiện khám phá ra hình học Phi-Euclid, môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán, khác với hình học Euclid. Hệ quả tức thời của sự kiện này là đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về định đề song song, một định đề được chứng minh là sự độc lập với các giả định khác của hình học Euclid. Nhưng còn có một hệ quả sâu xa hơn là hình học đã được giải phóng khỏi cái mâu thuẫn cổ truyền của nó. Tính thuyết phục thâm căn cố để của những thế kỉ xưa nói rằng chỉ có thể có một hình học là khả hữu đã bị phá vỡ tan tành và một con đường thênh thang đã mở rộng để có thể sáng tạo nhiều hệ thống hình học khác nhau. Sự kiện ngay sau sự kiện trong hình học là sự kiện trong đại số. Đó là sự sáng tạo ra đại số không giao hoán năm 1843. Đầu thế kỉ XIX, đại số học chỉ được coi đơn giản là số học suy rộng. Đó chính là thay vì làm việc với những con số riêng biệt như ta vẫn thường làm trong số học thì trong đại số học ta dùng các chữ làm kí hiệu biểu thị cho những con số bất kì. Ở phần đầu thế kỉ XIX, người ta dường như không thể tin được lại có thể tồn tại một đại số nhất quán có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường của số học. Vào năm 1843, nhà toán học Ailen W.R Haminton(1805-1865) đã phát minh ra đại số quaternion trong luật giao hoán của phép nhân không còn đúng nữa. Một năm sau, nhà toán học Đức H.Grassman (1809-1877) đã cho xuất bản đầu tiên cuốn sách Ausdehnungslehre nổi tiếng của mình trong đó phát triển toàn bộ các lớp đại số có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số quen thuộc của số học. Năm 1857, nhà toán học Anh A.Caylay (1821-1895) đã nghĩ ra đại số ma trận, đó chính là một ví dụ khác của đại số không giao hoán. Bằng cách làm yếu đi hoặc xóa bỏ những định đề khác nhau của đại số thông thường, hoặc bằng cách thay thế một hay nhiều hơn các định đề đó bằng những đình đề khác nhất quán với những định đề còn lại thì một số lượng lớn khác nhau những hệ thống có thể được nghiên cứu tơi. Chẳng hạn, ta còn có các hệ thống như phỏng nhóm, tựa nhóm, nửa nhóm, nhóm, vành, vành Bool, đại số Bool… Đại bộ phận công trình này thuộc về thế kỉ XX và điều đó phản ánh ý thức về khái quát hóa và trừu tượng hóa rất thường thấy trong toán học ngày nay. Sự kiện cuối cùng là sự kiện số học hóa giải tích. Một số nhà toán học thế kỉ XVIII đã bắt đầu báo động về sự khủng hoảng sâu đậm về cơ sở của giải tích. Năm 1764, Đa-lăm-be nhận thấy rằng phải cần đến lí thuyết giới hạn vào năm 1977 thì Lagrange đã nổ lực làm cho giải tích được chặt chẽ hơn. Năm 1921, một bước tiến khổng lồ do nhà toán học Pháp A.L.Cauchy đã thực hiện thành công gợi ý của Đa-lăm-be bằng cách phát triển một lí thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan niệm về giới hạn. Nhưng yêu cầu cần hiểu sâu hơn nữa về cơ sở giải tích đã được áp dụng và gây ấn tượng mạnh vào năm 1874 khi nhà toán học Đức K.Vâyơstrat đưa ra một ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm hoặc nói cách khác đó là một đường mà không có tiếp tuyến tại bất kì một điểm nào của nó. G.B.Rieman thì đưa ra một hàm liên tục với mọi giá trị vô tỷ của biến nhưng lại gián đoạn với mọi giá trị hữu tỷ . Nhưng ví dụ đó lại gián đoạn với trực giác con người và càng làm cho người ta nghĩ rằng Cauchy chưa thực sự thấy được cái khó khăn tột cùng trên con đường đi tới một cơ sở vững vàng cho giải tích học. Lý thuyết tập hợp và phương pháp tiên đề mở ra cho toán học khả năng nghiên cứu một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát. Sau hàng nghìn năm sàng lọc, toán học xem ba cấu trúc cơ bản: tôpô, đại số, thứ tự là những cấu trúc cơ bản. Do bộ môn toán học được tổ hợp từ ba loại cấu trúc này nên được gọi là cấu trúc cơ bản. Tổ hợp này có thể đơn giản hay phức tạp, càng phức tạp thì nằm trên một bậc càng cao trong cái gọi là thang cấu trúc. Tuy chỉ có ba cấu trúc cơ bản nhưng đưa tất cả các bài toán về ba cấu trúc đó là một quá trình phức tạp cho nên ở mỗi gii đoạn phát triển, người ta dùng cấu trúc phức tạp hơn gọi là cấu trúc cơ sở thay cho ba cấu trúc cơ bản. Đó là đa tạp khả vi, đa tạp đại số và đa tạp giải tích. Sự phát triển kĩ thuật từ cơ khí hóa lên tự động hóa và sự ra đời các lí thuyết một khoa học mới – điều khiển mới – cơ sở của kĩ thuật tự động hóa là nguồn gốc cho sự ra đời các lí thuyết thuật toán. Các lí thuyết thuật toán đã góp phần xây dựng các máy tính điện tử,phát triển các ngành toán học tính toán. Lý thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc ra đời và phát triển các hướng toán học kiến thiết. Quan điểm này cho phép đi sâu vào bản chất phức tạp của các đối tượng thông tin của chúng là cơ sở tốt cho khoa học tính toán. CHƯƠNG 2: TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI 2.1. Toán học thế kỉ XIX Thời đại mới bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777-1855), “vị hoàng tử của Toán học”. Giống như Archimedes đã ảnh hưởng sâu đậm nền khoa học của thời đại tiền Hy Lạp và Newton khống chế thời kỳ hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền Toán học thế kỷ 19. Ông vốn là một thần đồng toán học, có thể làm tính số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuỗi vô hạn khi lên 10 tuổi. Lý thuyết số (theory of numbers) hiện đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ của ông tên “Disquisitiones Arithmeticae”, công bố năm 1801. Với công trình về cơ học thiên thể (celestial mechanics), Gauss được công nhận như nhà toán học đứng đầu của châu Âu. Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và đặc trưng bằng việc chứng minh chặt chẽ. Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học đều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi nói rằng “Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”. Cùng với việc mở đầu thế kỷ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng tột bậc, đến năm 1990 đã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai đoạn trước đó. Với sự phong phú cao độ về nguồn tài liệu, Toán học đã trở nên một bộ môn rộng lớn đến nổi mỗi đầu óc riêng lẻ không còn đủ sức để thông hiểu hết tất cả mọi ngành được nữa. Ngoại trừ một ít người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh như Gauss, Riemann, Klein và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tự giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào đó như Đại số, Hình học hay Giải tích. Diện mạo toán học cũng có nhiều thay đổi khác xảy ra. Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học được hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường đại học. Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn. Việc đòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nảy sinh ngành logic tượng trưng và tiên đề hoá. Trong khi khoa vật lý và kỹ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân Toán học cũng bắt đầu hưởng những lợi ích từ tinh thần cách mạng đang lan tràn trong thế giới phương Tây. Ở Pháp, sự đổ nhào của chế độ quân chủ và thời kỳ Napoléon kế đó đã tạo ra một môi trường lý tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới. Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị đuổi học và vào tù, đã được sinh ra. Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois đã dành phần lớn thời giờ của mình cho Đại số, môn học vào lúc đó chỉ gần như là số học khái quát hoá nhưng các bài viết của ông không được chú ý. Năm 1832, trước sinh nhật thứ 21 không lâu, Galois đã bị giết chết khi dính vào một trận thách đấu. Đêm trước “sự việc vì danh dự” đó, ông đã thảo nhanh một bức thư gửi bạn, trong đó có ghi “Tôi đã hoàn tất một vài khám phá mới trong Giải tích. Tôi hy vọng sau này sẽ có người tìm thấy nó để trình bày lại sáng sủa tất cả mớ hỗn độn này . . .” “Cái mớ hỗn độn này” chính là lý thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện đại. Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng đã độc lập làm ra công trình theo hướng này.
Trang 1và hình dạng không gian của thế giới khách quan
Trong quá trình phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ về
số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng Trong các lí thuyết toán học hiện đại, các quan hệ về số và hình thường hết sức trừu tượng: người ta nói đến các tập hợp những phần tử mà các tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về chúng được cho bằng một hệ tiên đề
Khuynh hướng trừu tượng hóa đối tượng toán học biểu thị đầy đủ nhất trong
lí thuyết tập hợp và liên quan chặt chẽ với phương pháp tiên đề Vấn đề xây dựng cơ sở của toán học đã làm phát triển lôgic toán, ngành khoa học nghiên cứu những chứng minh toán học, sự cấu tạo của các lí thuyết toán học và các phương pháp toán học
Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về toán học hiện đại tôi quyết định lựa chọn
đề tài: “ Giai đoạn toán học hiện đại” làm đề tài nghiên cứu của mình
- Quá trình hình thành và phát triển của giai đoạn toán học hiện đại
- Những thành tựu toán học của giai đoạn toán học hiện đại
4 Đóng góp của đề tài
Trang 25 Cấu trúc của đề tài
Đề tài được trình bày theo bố cục sau:
Chương 1: Khái quát chung về giai đoạn toán học hiện đại
Chương 2: Trào lưu toán học của giai đoạn toán học hiện đại
Chương 3: Thành tựu toán học của giai đoạn toán học hiện đại
Trang 3và điều khiển để đưa nền sản xuất tiến lên tự động hóa
1.1 Cơ sở của sự phát triển toán học
Nhu cầu thực tiễn là cơ sở của sự phát triển toán học Trong khi phát triển nhận thức duy vật biện chứng về lịch sử, Mác và Ăng-ghen đã chứng minh rằng khoa học, trong đó có toán học, không những phát minh mà còn luôn luôn phát triển trên một cơ sở vật chất nhất định; đó là thực tiễn của đời sống của những hoạt động sản xuất, là cuộc đấu tranh giai cấp trong xã hội và những vấn đề của các khoa học khác Lịch sử phát sinh và phát triển của toán học cũng đủ xác minh điều đó Trong thế kỷ 18 toán học chủ yếu nhằm giải quyết yêu cầu của cơ học Từ nửa đầu thế kỷ 19 kỹ thuật cơ khí phát triển dựa vào động cơ hơi nước Vấn đề nâng cao năng suất của máy đưa vật lý lên hàng đầu Toán học cần phát triển để giải quyết những vấn đề về nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trường của trái đất Nhờ đó kho tàng toán học được bổ sung nhiều kết quả quan trọng
về giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm phức, đại số Cũng ở thời kỳ Phục Hưng sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc đòi hỏi nhiều
ở phương pháp vẽ phối cảnh do đó nảy sinh ra môn hình học xạ ảnh Những bài toán mới của thiên văn, cơ học, trắc địa và các khoa học khác ở thời kỳ này cũng
là những nguồn kích thích mới đối với sự phát triển toán học Khoảng cuối thế
kỷ 19, do nhu cầu của nội bộ toán học là xây dựng cơ sở cho giải tích, lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời và thắng lợi Lý thuyết tập hợp đã tỏ ra là một lý thuyết có hiệu lực và dần dần xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực toán học Nhờ đó người ta có thể xây dựng phương pháp xử lý mới đối với toán học là phương pháp tiên đề trừu tượng Rồi chính những mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp đã
Trang 4kỹ thuật
1.2 Tình hình phát triển của toán học
Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng và vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng, nhiều lý thuyết toán học mới xuất hiện Toán học đã trở thành một khối lượng thống nhất với những phương pháp chung Toán học có uy lực chưa từng thấy về phương diện và ứng dụng Toán học hiện đại đã trở thành một khoa học những quan hệ
số lượng và hình dạng không gian tổng quát hơn mà các số, các đại lượng và các hình học thông thường chỉ là những trường hợp rất đặc biệt Nội dung của đối tượng toán học trở nên rất phong phú đến mức cần xây dựng lại và thay đổi toàn
bộ vấn đề quan trọng nhất của toán học mà một trong những vấn đề đó là cơ sở của toán học Đó là hệ thống các vấn đề về lịch sử, về logic, về triết học và các
hệ thống lí thuyết toán học Đặc biệt người ta nhận định lại một cách có phê phán các hệ thống các tiên đề của toán học và toàn bộ các phương tiện logic của các chứng minh toán học Sự nhận định này nhằm mục đích xây dựng hệ thống
Trang 55
chặt chẽ các cơ sở của toán học, tương ứng với các kinh nghiệm tiên tiến tích lũy được của tư tưởng loài người làm cho toán học ngày càng tiến lên hơn nữa, nâng cao thêm tư duy toán học của loài người
Các xu hướng phát triển của toán học trong giai đoạn này:
- Từ nhu cầu thực tiễn trước mắt hoặc trong tương lai không xa của sản xuất và các khoa học khác đòi hỏi toán học hiện đại gắn chặt với điều kiện học và nêu lên cho nó ba vấn đề chính: khắc phục sự phức tạp, khắc phục tính chất bất định và lựa chọn giải pháp tốt nhất Bởi vậy, thúc đẩy toán học theo ba hướng chính: toán học rời rạc nhằm khắc phục sự phức tạp, toán học ngẫu nhiên để khắc phục tính chất bất động, các lý thuyết tối ưu hóa để giải quyết điều kiện tốt nhất
- Từ nhu cầu thực tiễn của việc xây dựng bản thân toán học, nhằm hoàn thiện công cụ để chuẩn bị dự trữ lâu dài Quy luật phát triển của bản thân toán học đòi hỏi không ngừng xây dựng những lý thuyết trừu tượng càng ngày càng thống nhất được nhiều ngành của toán học, phát hiện những quy luật khái quát ngày càng bao trùm được nhiều hiện tượng, sáng tạo những công cụ tổng hợp ngày càng có nhiều hiệu lực trong nhiều lĩnh vực, nhằm tiết kiệm công sức và nâng cao năng suất tư duy toán học nhằm chuẩn bị tiền lực tiến lên làm chủ được mọi tình huống thực tế phức tạp chưa dự đoán được trong tương lai
Những nguyên tắc có tính chất quyết định đối với sự phát triển của toán học:
- Không có lí thuyết toán học nào duy nhất
- Cấu tạo lý thuyết của những nghành toán học mới được xác định trên nguyên tắc thay đổi và tổng quát hóa những quan điểm cơ bản từ thực nghiệm
- Tính chân thực của một lý thuyết toán học có thể được thực nghiệm đúng với thí nghiệm nhưng với trình độ khoa học của tương lai, thí nghiệm
Trang 66
cũng có thể tìm thấy sự thiếu chính xác trong quan hệ giữa lý thuyết toán học đó với tính chất thực tế
1.3 Một số sự kiện tiêu biểu của nền toán học hiện đại
Toán học hiện đại tập trung vào một số vấn đề lí luận then chốt ở ranh giới các nghành tôpô đại số, lôgic toán, lấy phạm trù làm ngôn ngữ ngày càng phổ biến, lấy đại số làm công cụ chỉ đạo và lấy nội dung giải tích, số luận, hình học làm xuất điểm Lúc này ranh giới giữa các nghành toán học không còn tách biệt
mà đã là một khối thống nhất, không thể gán cho phần lớn tài liệu toán học hiện đại vào một trong các từ Đại số, Giải tích hay Hình học nữa, đồng thời ranh giới giữa lí thuyết và ứng dụng trong nhiều trường hợp đã không còn rõ ràng dứt khoát như trước nữa Ba sự kiện toán học lớn có ý nghĩa sâu sắc diễn ra trong thế kỷ XIX là: một sự kiện trong lĩnh vực hình học, một sự kiện trong lĩnh vực đại số và sự kiện còn lại trong lĩnh vực giải tích Sự kiện đối với hình học là sự kiện khám phá ra hình học Phi-Euclid, môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán, khác với hình học Euclid
Hệ quả tức thời của sự kiện này là đặt dấu chấm hết cho bài toán cổ xưa về định đề song song, một định đề được chứng minh là sự độc lập với các giả định khác của hình học Euclid Nhưng còn có một hệ quả sâu xa hơn là hình học đã được giải phóng khỏi cái mâu thuẫn cổ truyền của nó Tính thuyết phục thâm căn cố để của những thế kỉ xưa nói rằng chỉ có thể có một hình học là khả hữu
đã bị phá vỡ tan tành và một con đường thênh thang đã mở rộng để có thể sáng tạo nhiều hệ thống hình học khác nhau
Sự kiện ngay sau sự kiện trong hình học là sự kiện trong đại số Đó là sự sáng tạo ra đại số không giao hoán năm 1843 Đầu thế kỉ XIX, đại số học chỉ được coi đơn giản là số học suy rộng Đó chính là thay vì làm việc với những con số riêng biệt như ta vẫn thường làm trong số học thì trong đại số học ta dùng các chữ làm kí hiệu biểu thị cho những con số bất kì Ở phần đầu thế kỉ XIX, người ta dường như không thể tin được lại có thể tồn tại một đại số nhất quán có
Trang 77
một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường của số học Vào năm
1843, nhà toán học Ailen W.R Haminton(1805-1865) đã phát minh ra đại số quaternion trong luật giao hoán của phép nhân không còn đúng nữa Một năm sau, nhà toán học Đức H.Grassman (1809-1877) đã cho xuất bản đầu tiên cuốn sách Ausdehnungslehre nổi tiếng của mình trong đó phát triển toàn bộ các lớp đại số có một cấu trúc khác với cấu trúc của đại số quen thuộc của số học Năm
1857, nhà toán học Anh A.Caylay (1821-1895) đã nghĩ ra đại số ma trận, đó chính là một ví dụ khác của đại số không giao hoán Bằng cách làm yếu đi hoặc xóa bỏ những định đề khác nhau của đại số thông thường, hoặc bằng cách thay thế một hay nhiều hơn các định đề đó bằng những đình đề khác nhất quán với những định đề còn lại thì một số lượng lớn khác nhau những hệ thống có thể được nghiên cứu tơi Chẳng hạn, ta còn có các hệ thống như phỏng nhóm, tựa nhóm, nửa nhóm, nhóm, vành, vành Bool, đại số Bool… Đại bộ phận công trình này thuộc về thế kỉ XX và điều đó phản ánh ý thức về khái quát hóa và trừu tượng hóa rất thường thấy trong toán học ngày nay
Sự kiện cuối cùng là sự kiện số học hóa giải tích Một số nhà toán học thế
kỉ XVIII đã bắt đầu báo động về sự khủng hoảng sâu đậm về cơ sở của giải tích Năm 1764, Đa-lăm-be nhận thấy rằng phải cần đến lí thuyết giới hạn vào năm
1977 thì Lagrange đã nổ lực làm cho giải tích được chặt chẽ hơn Năm 1921, một bước tiến khổng lồ do nhà toán học Pháp A.L.Cauchy đã thực hiện thành công gợi ý của Đa-lăm-be bằng cách phát triển một lí thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan niệm về giới hạn Nhưng yêu cầu cần hiểu sâu hơn nữa về cơ sở giải tích đã được áp dụng và gây ấn tượng mạnh vào năm 1874 khi nhà toán học Đức K.Vâyơstrat đưa ra một ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm hoặc nói cách khác đó là một đường mà không có tiếp tuyến tại bất kì một điểm nào của nó G.B.Rieman thì đưa ra một hàm liên tục với mọi giá trị vô tỷ của biến nhưng lại gián đoạn với mọi giá trị hữu tỷ Nhưng ví dụ đó lại gián đoạn với trực giác con người và càng làm cho người ta nghĩ rằng Cauchy chưa thực sự
Trang 88
thấy được cái khó khăn tột cùng trên con đường đi tới một cơ sở vững vàng cho giải tích học Lý thuyết tập hợp và phương pháp tiên đề mở ra cho toán học khả năng nghiên cứu một cách nhất quán mọi loại phép toán, mọi loại quan hệ và cấu trúc ở mức độ rất khái quát Sau hàng nghìn năm sàng lọc, toán học xem ba cấu trúc cơ bản: tôpô, đại số, thứ tự là những cấu trúc cơ bản Do bộ môn toán học được tổ hợp từ ba loại cấu trúc này nên được gọi là cấu trúc cơ bản Tổ hợp này có thể đơn giản hay phức tạp, càng phức tạp thì nằm trên một bậc càng cao trong cái gọi là thang cấu trúc Tuy chỉ có ba cấu trúc cơ bản nhưng đưa tất cả các bài toán về ba cấu trúc đó là một quá trình phức tạp cho nên ở mỗi gii đoạn phát triển, người ta dùng cấu trúc phức tạp hơn gọi là cấu trúc cơ sở thay cho ba cấu trúc cơ bản Đó là đa tạp khả vi, đa tạp đại số và đa tạp giải tích
Sự phát triển kĩ thuật từ cơ khí hóa lên tự động hóa và sự ra đời các lí thuyết một khoa học mới – điều khiển mới – cơ sở của kĩ thuật tự động hóa là nguồn gốc cho sự ra đời các lí thuyết thuật toán Các lí thuyết thuật toán đã góp phần xây dựng các máy tính điện tử,phát triển các ngành toán học tính toán Lý thuyết toán học lại tạo điều kiện cho việc ra đời và phát triển các hướng toán học kiến thiết Quan điểm này cho phép đi sâu vào bản chất phức tạp của các đối tượng thông tin của chúng là cơ sở tốt cho khoa học tính toán
CHƯƠNG 2: TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC
HIỆN ĐẠI 2.1 Toán học thế kỉ XIX
Thời đại mới bắt đầu với Carl Friedrich Gauss (1777-1855), “vị hoàng tử của Toán học” Giống như Archimedes đã ảnh hưởng sâu đậm nền khoa học của
thời đại tiền Hy Lạp và Newton khống chế thời kỳ hậu Elizabeth, Gauss thống trị nền Toán học thế kỷ 19 Ông vốn là một thần đồng toán học, có thể làm tính
số học lúc mới lên 3, và quen thuộc với các chuỗi vô hạn khi lên 10 tuổi Lý thuyết số (theory of numbers) hiện đại bắt nguồn từ công trình đồ sộ của ông
tên “Disquisitiones Arithmeticae”, công bố năm 1801 Với công trình về cơ học
Trang 99
thiên thể (celestial mechanics), Gauss được công nhận như nhà toán học đứng đầu của châu Âu Công trình của ông ngắn gọn và rõ ràng, và đặc trưng bằng việc chứng minh chặt chẽ Mặc dù các cột mốc trong hầu hết các ngành toán học đều mang tên ông, Gauss bộc lộ xu hướng cá nhân mạnh mẽ về một ngành khi
nói rằng “Toán học là nữ hoàng của các khoa học và lý thuyết số lại là nữ hoàng của toán học”
Cùng với việc mở đầu thế kỷ mới, sáng tạo toán học bắt đầu gia tăng tột bậc, đến năm 1990 đã cho ra số công trình nhiều gấp khoảng năm lần số công trình hoàn thành trong tất cả các giai đoạn trước đó Với sự phong phú cao độ về nguồn tài liệu, Toán học đã trở nên một bộ môn rộng lớn đến nổi mỗi đầu óc riêng lẻ không còn đủ sức để thông hiểu hết tất cả mọi ngành được nữa Ngoại trừ một ít người có trình độ thông minh tuyệt đỉnh như Gauss, Riemann, Klein
và Poincaré, các nhà toán học nói chung bị buộc phải tự giới hạn các cố gắng của họ vào một ngành chính nào đó như Đại số, Hình học hay Giải tích Diện mạo toán học cũng có nhiều thay đổi khác xảy ra Ưu thế của các viện hàn lâm khoa học được hoàng gia bào trợ giảm sút nhanh chóng và việc nghiên cứu trở nên một chức năng quan trọng của các trường đại học Trong nội bộ toán học, các nhà toán học ngày càng trở nên tự phê phán hơn Việc đòi hỏi một sự chặt chẽ mới trong tất cả các chứng minh và việc không tin cậy vào trực giác của họ làm nảy sinh ngành logic tượng trưng và tiên đề hoá
Trong khi khoa vật lý và kỹ thuật tiếp tục thu lượm những phần thưởng từ toán vi tích phân, bản thân Toán học cũng bắt đầu hưởng những lợi ích từ tinh thần cách mạng đang lan tràn trong thế giới phương Tây Ở Pháp, sự đổ nhào của chế độ quân chủ và thời kỳ Napoléon kế đó đã tạo ra một môi trường lý tưởng cho việc cấy trồng những tư tưởng mới Trong bầu không khí này, Évariste Galois, một thanh niên thông minh và có tính khí khác thường, từng bị đuổi học và vào tù, đã được sinh ra Mặc dù có các xáo trộn giáo dục và chính trị thường xuyên, Galois đã dành phần lớn thời giờ của mình cho Đại số, môn học vào lúc đó chỉ gần như là số học khái quát hoá nhưng các bài viết của ông không
Trang 10thuyết nhóm, nền móng của giải tích và hình học hiện đại Niels Henrik Abel, một nhà toán học Na Uy cùng thời và cũng mất trước tuổi 30, cũng đã độc lập làm ra công trình theo hướng này
Việc giải phóng Đại số khỏi sự phụ phuộc vào Số học đã đưa môn học này tiến một bước nhảy vọt với sự khám phá ra quaternion bởi William Rowan Hamilton (1805-1865), một nhà toán học và thiên văn Ireland Hamilton là một thần đồng, vào tuổi 12 đã sử dụng được 12 ngôn ngữ Ông dùng phần lớn thời gian đầu trong sự nghiệp khoa học của mình để ứng dụng toán học vào các lý thuyết vật lý, đặc biệt là quang học và cơ học Năm 1835 ông chuyển sự chú ý
của mình vào đại số, và 8 năm sau đó khám phá ra quaternion Hệ các
quaternion là một khái quát hóa của hệ số phức và phép nhân các quaternion là một ví dụ đầu tiên đáng giá về một phép toán không giao hoán Chẳng bao lâu các lớp tổng quát các đại số đã ra đời từ công trình nặng về hình học của Hermann Grassmann, và môn học này đã bước hẳn trên con đuờng đi vào trừu tượng Nước Anh là trung tâm của thứ đại số thế kỷ 19 này với những ứng dụng hình học của nó, những ứng dụng này nở rộ theo sự dẫn dắt tích cực của Arthur Cayley (1821-1895), cha đẻ của lý thuyết ma trận, và James Joseph Sylvester (1814-1897), động lực chính trong sự phát triển ban đầu của nền Toán học châu
Mỹ Hai trong số những tên tuổi nổi bật của lý thuyết nhóm là Felix Klein (1849-1925) và Marius Sophus Lie (1842-1899) Klein là một nhà hình học nghiên cứu các nhóm rời rạc (discrete groups), còn Lie làm việc với các nhóm liên tục (continuous groups)
Với sự xuất hiện của Augustin Louis Cauchy (1789-1857) và những nhà toán học cùng thời của ông, các nhà giải tích nói chung trở nên ý thức hơn về sự
Trang 1111
cần thiết của chứng minh với lập luận chặt chẽ Cauchy đã đưa ra một định nghĩa sử dụng được cho khái niệm giới hạn và tiến hành xây dựng nền tảng vững chắc cho toán vi tích phân Ông cũng đã phát triển lý thuyết hàm với biến phức gần như cùng lúc khi Gauss công bố số học phức của mình Bernhard Riemann (1826-1866) của Đức cũng đi tiên phong trong lý thuyết số phức, phần lớn công trình của ông cũng có ý nghĩa hình học rõ nét Đóng góp đơn lẻ quan trọng nhất của Gauss, Abel, Cauchy, Riemann và các nhà toán học khác đầu thế
kỷ 19 là sự chú tâm tỉ mỉ của các ông tới việc chứng minh chặt chẽ Công trình của các ông đã mở đường cho Karl Weierstrass (1815-1897), một nhà toán học nổi tiếng về lập luận tỉ mỉ và thận trọng Ông làm sáng tỏ khái niệm về hàm số, đạo hàm, và loại bỏ được tất cả những mù mờ còn lại trong toán vi tích
phân “Với Weierstrass việc thu gọn các nguyên lý của giải tích về các ý niệm số học đơn giản nhất đã bắt đầu và chúng ta gọi việc này là số học hóa Toán học”
Tiêu biểu cho cách tiếp cận này là Leopold Kronecker (1823-1891), ông
khẳng định “Mọi kết quả của một nghiên cứu toán học sâu xa nhất rốt cuộc phải được diễn tả được dưới dạng đơn giản về tính chất của số nguyên” Ông là một
nhà lý thuyết số, nhưng ông được biết đến nhiều nhất qua cuộc tranh luận kéo dài với Weierstrass, người có các lý thuyết dựa trên ý niệm về các dãy vô hạn Kronecker, trái lại, không chấp nhận sự tồn tại toán học của bất cứ cái gì không thực sự xây dựng được qua một số hữu hạn các bước Đối nghịch hoàn toàn với quan điểm này là Richard Dedekind (1831-1916) và Georg Cantor (1845-1918) Dedekind phát triển một cách chặt chẽ ý niệm về số vô tỷ, từ đó cho phép hệ số thực trở thành cơ sở của mọi thứ giải tích Cantor trong
quyển “Mengenlehre” (Lý thuyết tập hợp) đã đặt khái niệm số trên cơ sở khái
niệm tập hợp, và tiến hành phát triển các loại vô hạn khác nhau, hay các số siêu hạn (transfinite numbers), các số này có các tính chất gần như các số nguyên trong số học sơ cấp Theo Kronecker, đây là một trò đùa nguy hiểm trong Toán học và ông công kích cả lý thuyết lẫn tác giả hết sức mạnh bạo đến nỗi Cantor bị suy sụp tinh thần và cuối cùng chết trong một bệnh viện tâm thần Tuy nhiên lý
Trang 12nào tiên đề thứ 5 (thường được gọi là “tiên đề song song”) cũng bị đặt dấu hỏi
bởi những nhà toán học nghĩ rằng nó có thể chứng minh được từ 4 tiên đề khác Saccheri biết tất cả những cố gắng trước đây để thực hiện điều này đều thất bại nên ông đề ra một cách tiếp cận vấn đề khác biệt một cách cơ bản Ông thay
“tiên đề có vấn đề” bằng phủ định của nó với hy vọng sẽ đi đến hai mệnh đề mâu thuẫn nhau trong hệ mới này Nếu ông làm được việc này thì điều đó có nghĩa là tiên đề thứ 5 nguyên thủy là hệ quả tất yếu của các tiên đề kia, nhưng hệ thống mới lại không nảy sinh ra mâu thuẫn nào cả Quá thất vọng, ông đã quay ngược trở lại trong khi chỉ cần tiến thêm một bước nữa ông sẽ làm nên khám phá của thế kỷ, và công trình của ông chẳng bao lâu đi vào quên lãng
Đầu thế kỷ 19, có 3 nhà toán học thuộc 3 nước khác nhau đã sử dụng cách tiếp cận của Saccheri nhưng các ông đã có tầm nhìn sâu sắc hơn để hiểu được ý nghĩa “sự thất bại” của mình và cũng có can đảm công bố các điều tìm được Nicolai Lobachevsky năm 1829, János Bolyai năm 1832, và Bernhard Riemann năm 1854 đều đã công bố hệ hình học phi-Euclid nhất quán một cách độc lập với nhau Gauss cũng có một vài ý tưởng tương tự như thế vài thập niên trước nhưng giữ lại không công bố vì sợ bị chỉ trích Các ý tưởng này xung đột với triết lý của Kant đang thịnh hành coi khái niệm không gian là không gian Euclid một cách tiên nghiệm, và do đó các ý tưởng mới đó vẫn còn khuất trong bóng tối nhiều thập niên Nhưng cánh cổng chặn dòng lũ logic đã được mở ra Các tiên
đề không còn là các mệnh đề hiển nhiên đúng theo trực giác nữa mà chúng chỉ đơn giản là các giả định mà việc lựa chọn chúng là hoàn toàn tùy ý, không chịu điều kiện ràng buộc nào trước cả Điều này đã mở đầu cho phương pháp tiên đề hình thức
Trang 1313
Từ đây Hình học không còn giới hạn ở các hình ảnh thấy được nữa, nó đã
phát triển với một tốc độ diệu kỳ Quyển “Ausdehnungslehre” (Lý thuyết các
mở rộng) của Hermann Günther Grassmann (1809-1877) đem đến cho thế giới môn Hình học mở rộng hoàn toàn n-chiều cho các không gian metric Với công trình này ông đuợc xem như là một trong những nhà sáng lập môn Giải tích vector cùng với William Rowan Hamilton (1805-1865) Jacob Steiner (1796-1863), một nhà hình học tổng hợp thuần tuý không thích đại số và giải tích, đã phát triển phần lớn môn Hình học xạ ảnh Felix Klein (1849-1925) trái lại hợp
nhất các thứ hình học bằng đại số hiện đại với phát biểu trong quyển “Erlanger Program” rằng mỗi thứ hình học đều là một ngành nghiên cứu về các bất biến
của một tập hợp đối với một phép biến hình nào đó Lí thuyết này được Cayley
và Lie mở rộng thêm rất nhiều
toán chưa giải được như một thách thức cho thế kỷ mới Nhận định của ông chính xác đến mức mỗi bài toán trong số đó đều dẫn tới những kết quả mới, và thậm chí lời giải cho chỉ một phần của một trong những bài toán Hilbert cũng đem lại sự công nhận quốc tế cho tác giả của nó Hầu hết các bài toán này hiện nay đã được giải quyết, một số ít vẫn còn là những câu hỏi mở trong Toán học đương thời
Tuy nhiên, ngay cả Hilbert cũng không thể thấy trước được Toán học sẽ
nở rộ ra sao trong thế kỷ 20 Tốc độ phát triển lạ thường bắt đầu từ những năm
1800 đã tiếp tục với lượng kiến thức toán học cứ mỗi 15 hay 20 năm lại tăng lên gấp đôi Vì thế, Toán học cơ bản sản sinh từ sau chiến tranh thế giới thứ hai nhiều hơn tất cả thời lịch sử trước đó! Có khoảng 300 tạp chí định kỳ xuất bản ở
Trang 1414
nhiều địa điểm khác nhau trên thế giới dành một phần chủ yếu sự quan tâm vào
việc công bố các bài viết về toán Chỉ riêng tạp chí trừu tượng Mathematical Reviews mỗi năm công bố khoảng 8000 bản tóm tắt các bài báo vừa được công
bố có chứa các kết quả nghiên cứu mới Do đó, gọi thế kỷ này là “thời đại hoàng kim của Toán học” là điều có thể hiểu được Tuy nhiên chỉ số lượng
không thôi chưa phải là chìa khóa cho vị trí độc đáo mà Toán học thế kỷ 20 giành được trong lịch sử Toán học Điều cốt yếu cần hiểu là bên dưới sự tăng trưởng đáng kinh ngạc về kiến thức này là một xu hướng căn bản tiến tới sự thống nhất, một sự thống nhất sâu rộng và hiệu quả nhiều hơn cả Descartes và Leibniz đã tưởng
Nền tảng cho sự thống nhất này là tính trừu tượng Mặc dù các thứ hình học phi-Euclid của thế kỷ 19 đã mở đường cho cách xử lý tiên đề trừu tượng toán học nói chung, nhiều mối quan hệ giữa các ngành chính trong Toán học vẫn còn chưa xuất hiện cho tới năm 1940 Sự thừa nhận mới đây về các lý thuyết thống nhất này và về những lĩnh vực rộng lớn chưa khám phá mà các lý thuyết
đó mở ra đã đưa một số nhà toán học nổi bật xem điểm kết thúc của chiến tranh thế giới lần thứ 2 như điểm bắt đầu của một kỷ nguyên mới trong Toán học
Nhờ công trình của Boole và việc thừa nhận phương pháp tiên đề hình thức theo sau sự ra đời của các thứ hình học phi-Euclid, sự quan tâm đến nền tảng logic của Toán học bắt đầu lan ra nhanh chóng Công trình đáng chú ý nhất
kế tục các cố gắng mở đầu của Boole trong logic toán là quyển “Principia Mathematica”, một công trình đồ sộ gồm 2 quyển xuất hiện vào các năm 1910-
1913 trong đó hai nhà triết học-toán học Bertrand Russell (1872-1970) và Alfred North Whitehead (1861-1947) đã cố hoàn thành giấc mơ của Leibniz bằng cách biểu thị toàn bộ Toán học bằng một hệ thống ký hiệu logic phổ quát (universal logical symbolism) Hilbert cũng mơ ước hợp nhất Toán học, ông đã miệt mài trong nhiều năm để tìm một tập hợp đơn lẻ nhất quán chứng minh được các tiên
đề mà toàn bộ Toán học có thể dùng làm cơ sở Đến đây Toán học bước vào giai đoạn 4 của sự phát triển
Trang 1515
Bắt đầu chỉ với một mảnh da thú, Toán học bước đầu ăn diện với một vài
bộ quần áo sang trọng và sau đó có nguyên cả một tủ quần áo may dệt công phu Bây giờ, ăn mặc thanh lịch, Toán học bắt đầu nhìn vào túi của mình tìm những
lỗ thủng chưa thấy Các lỗ thủng bắt đầu lộ ra khi Bertrand Russell tìm thấy những điểm không nhất quán trong lý thuyết tập hợp của Cantor, một lý thuyết
mà toàn bộ Toán học phải đặt cơ sở trên đó Đìều này đã khiến mục tiêu của Hilbert càng đáng mong mỏi hơn, do đó cộng đồng toán học đã bị chấn động sâu sắc khi Kurt Gödel (1906-1978) chứng minh rằng mục tiêu này không thể đạt được Gödel cũng đã đặt nền móng cho một trong những khám phá ngoạn mục nhất thế kỷ 20 Năm 1964, dựa trên kết quả của Gödel, Paul J Cohen đã chứng
minh rằng cả giả thiết liên tục (continuum hypothesis) lẫn tiên đề lựa chọn (axiom of choices) đều độc lập với các tiên đề đang được thừa nhận của lý
thuyết tập hợp Vì thế Cohen đã trở thành một Saccheri của lý thuyết tập hợp qua việc chứng tỏ rằng hai mệnh đề đó (giả thiết liên tục, tiên đề lựa chọn) không thể chứng minh được từ những tiên đề khác và việc hàm chứa các phủ định của chúng trong lý thuyết tập hợp có thể dẫn tới những lý thuyết trọn vẹn hoàn toàn mới mẻ
Khi lấy lại được bình tĩnh từ sự kinh ngạc ban đầu, các nhà toán học đã chấp nhận sự kiện là không thể chứng minh được tính nhất quán của Toán học
từ nội bộ Toán học và lại tiếp tục khai phá các chuyên ngành riêng của mình Thật ra, sự phát triển của hầu hết các phần riêng lẻ của Toán học thật sự không
bị ảnh hưởng bởi những chấn động bất chợt làm lung lay nền móng của nó Đại
số đã trở nên khái quát hơn rất xa so với trước đây, và các xu hướng tương tự tiến đến tính trừu tượng trong Hình học đã dẫn đến những bước tiến vượt bậc
trong lĩnh vực Hình học đại số(algebraic geometry) được Cayley sáng lập trong
thế kỷ trước Một lĩnh vực ghép khác hết sức phát triển là Hình học vi
phân (differential geometry), một sự tổng hợp của hình học và nhiều mảng của
giải tích nhờ có sự trổi dậy mối quan tâm tạo ra bởi các cố gắng hợp nhất lý thuyết trọng trường với vài hiện tượng điện từ Bản thân Giải tích cũng đang trải
Trang 1616
qua một sự biến thái lạ thường trong thế kỷ này Khi Henri Lebesgue 1941) làm cách mạng trong lý thuyết tích phân, ông đã mở ra một cách xử lý thống nhất và trừu tượng hơn cho Giải tích, điển hình qua các lý thuyết giải tích tổng quát về các không gian trừu tượng được E H Moore phát triển năm 1906
(1875-và Maurice Eréchet năm 1928 Việc khái quát hóa mới này đã nối kết Giải tích với cả Đại số và Tôpô
Ít nhất theo một chuyên gia bình luận về Toán học đương thời, “sự kiện chính về thời đại chúng ta sẽ được các nhà toán sử học tương lai tô đậm là sự biến động lạ thường xảy ra trong và xung quanh cái mà trước đây được gọi là tôpô đại số (algebraic topology)” Tôpô đại số bắt đầu như một ngành nghiên
cứu chính với công trình của Henri Poincaré vào cuối thế kỷ trước, và trong nửa đầu của thế kỷ 20 nó trở thành cái nôi phát triển của một số trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong mọi ngành toán học Có lẽ thành tựu nổi bật của ngành Tôpô trong thế kỷ 20 xảy ra vào năm 1962 khi nhà toán học Mỹ John Milnor (1931- ) chứng minh bác bỏ phỏng định liên hệ Tôpô đại số với ngành đàn anh của nó là Tôpô tổ hợp (combinarorial topology) Chứng minh của Milnor cho rằng các không gian tương đương tổ hợp không nhất thiết phải tương đương đại
số đã giúp ông giành được huy chương Fields, một giải thưởng Toán học quốc tế tương tự giải Nobel Ngoài việc mở rộng biên giới của kiến thức toán học, các phương pháp của Đại số tôpô còn trở thành cơ sở cho một lĩnh vực mới hơn là
Đại số đồng điều (homological algebra), ngành học này tạo nên những kết nối
vững chắc cho sự thống nhất của các lý thuyết trước đây còn tách rời như Đại
số, Giải tích và Hình học Mặc dù mãi đến năm 1955 Henri Cartan và Samuel Eilenberg mới xuất bản quyển sách đầu tiên về lý thuyết tổng quát của Đại số đồng điều, lý thuyết này đã bước vào quá trình thâm nhập vào phần lớn các ngành của Toán học
Cùng với xu hướng thống nhất trong nghiên cứu, thường đi kèm một mong muốn đúc kết và đơn giản hóa các kết quả đã có Một trong những biểu
Trang 1717
hiện nổi bật của mong muốn này trong lịch sử Toán học là sự xuất hiện của
bộ “Cơ bản” của Euclid
Trong thế kỷ này cũng có một cố gắng khác để tích hợp tất cả các ngành toán học đương thời vào một khuôn khổ duy nhất Việc sử dụng các kỹ thuật toán học trong khoa học vật lý và xã hội đã lan rộng và xuyên suốt đến mức sẽ là
vô ích nếu cố tổng kết những tiến bộ hiện đại trong lĩnh vực Toán ứng dụng Tuy nhiên, có rất nhiều người mà công trình của họ phải được nêu ra ở đây do tầm ảnh hưỏng sâu rộng của chúng đến thế giới chúng ta đang sống Albert Einstein (1879-1955) ở tuổi 26 đã làm môt cuộc cách mạng trong khoa học vật
lý với thuyết tương đối, một phân tích khác biệt căn bản về sự thay đổi dựa một phần trên hình học Riemann Công trình của Einstein khiến ông trở nên một nhà khoa học nổi tiếng nhất của thời đại John von Neumann (1903-1957) là một người Mỹ gốc Hungary chủ trì việc phát triển một số trong những máy tính điện
tử đầu tiên ở Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, giúp cho việc phát triển lý thuyết quantum (lượng tử), và được xem như là người sáng lập lý thuyết trò
chơi Lý thuyết đáng lưu ý của ông về vành các toán tử đã đem ra ánh sáng mối
liên hệ thú vị và bất ngờ giữa Giải tích, Đại số và Hình học Von Neumann cũng
có những đóng góp quan trọng trong việc chế tạo bom nguyên tử và bom hydrogen (bom kinh khí) và xây dựng các dự báo thời tiết dài hạn Cuối cùng phải kể đến cha đẻ của tự động hóa là Norbert Wiener (1894-1964), người mà công trình về xử lý thông tin đã tạo ra một lĩnh vực mới là Cybernetics (điều
khiển học), lấy tên từ tựa đề quyển sách “Cybernetics, or Control and Communication in the Man and the Machine”(Cybernetics, hay điều khiển và
thông tin trong con nguời và máy móc) của ông xuất bản năm 1948
Nét độc đáo của Toán ứng dụng thế kỷ 20 là việc phát minh và phát triển máy tính điện tử Khả năng thực hiện các tính toán thông thường với tốc độ hàng
tỷ phép tính mỗi giây của máy tính điện tử đã làm thay đổi tận gốc rễ các phương pháp giải quyết vấn đề không những trong khoa học vật lý mà cả trong khoa học xã hội nữa Các môn khoa học xã hội đang chuyển trọng tâm cơ bản