Sáng kiến kinh nghiệm Phần i Đặt vấn đề Toán học môn khoa học tự nhiên , nhiệm vụ chủ yếu Toán nghiên cứu phơng pháp t đặc thù toán học Nhiệm vụ nhà trờng giáo dục đào tạo hệ trẻ trở thành ngời toàn diện, vừa có đức vừa có tài, có lĩnh vững vàng t sáng tạo có chí hớng rèn luyện Toán học môn khoa học trí tuệ cao nhất, đồng thời chìa khoá mở cửa tạo cho tất ngành khoa học Song Toán học mà đà tiếp tục nghiên cứu chiếm u quan trọng giáo dục, đặc biệt dạy học, học tập đòi hỏi ngời thầy lao động nghệ thuật sáng tạo tìm phơng pháp để dạy em học sinh giải toán, nhiệm vụ trọng tâm ngời thầy dạy Toán Để học đợc môn toán trớc hết phải luyện tập thật nhiều không toán sách giáo khoa mà cần su tầm toán nâng cao, giải toán đa dạng cách khoa học, kiên nhẫn tỉ mỉ để tìm phơng pháp giải súc tích ngắn gọn cách nhanh Vì xin đa sáng kiến "Giúp học sinh khá, giỏi lớp nắm vững phơng pháp giải phơng trình vô tỉ " Đây vấn đề mà học sinh lớp gặp không khó khăn kiến thức bậc hai cha nắm vững hay bớc tiến hành để giải phơng trình cha thành thạo Cho nên việc hớng dẫn, giúp học sinh giải phơng trình vô tỉ giáo viên quan trọng khắc sâu nắm vững cách giải phơng trình vô tỉ mà nhằm phát huy tính tích cực t sáng tạo gây hứng thú lòng say mê học tập môn Toán học sinh Phần II Nội dung A Cơ sở khoa học Trong chơng trình toán học phổ thông phơng trình nói chung, phơng trình vô tỉ nói riêng đơn vị kiến thức phổ biến, phơng trình vô tỉ cịng thêng xt hiƯn ®Ị thi häc sinh giái lớp Vì học sinh lớp phơng pháp giải phơng trình vô tỉ gióp häc sinh c¸c kú thi häc sinh giái mà tiền đề cho học sinh học tốt chơng trình toán học bậc học cao B Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy thấy dạng phơng trình vô tỉ chiếm phần kiến thức không nhỏ chơng trình Đại số Ngoài ra, qua tham khảo thấy kiến thức quan trọng chơng trình toán bậc THPT Hơn phần kiến thức cách giải phơng trình vô tỉ học sinh nắm cha vững hiểu đợc cách giải nhng cha vận dụng đợc vào toán cụ thể Chính lí đà chọn Trang Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu sáng kiến "Giúp học sinh khá, giỏi lớp nắm vững phơng pháp giải phơng trình v« tØ " C Néi dung thĨ I kiÕn thức vận dụng Để giải đợc phơng trình vô tỉ học sinh cần nắm đợc kiến thức sau: + Công thức định nghĩa bậc hai sè häc: a = x ⇔ x ≥ vµ x2 = a + Hằng đẳng thức A = |A| + Các đẳng thức: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 + Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử + Cách đặt ẩn phụ, đặt điều kiện ẩn + Cách tính nhẩm nghiệm + Kiến thức bất đẳng thức II Các phơng pháp giải cụ thể Phơng pháp nâng lên luỹ thừa Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: a) x − x + = x − (1) b) − x = − x − −5 − x (2) Gi¶i a) §iỊu kiƯn: x ≥ (1) ⇔ 2x2 - 4x + = (x - 4)2 ⇔ 2x2 - 4x + = x2 - 8x + 16 ⇔ x2 + 4x - 11 = ⇔ x1 = −2 + 15 x2 = 15 Đối chiếu với điều kiện ban đầu, hai giá trị x1 = −2 + 15 ; x2 = −2 − 15 kh«ng thoả mÃn Vậy phơng trình vô nghiệm b) Điều kiện: (2) ⇔ ⇔ 1 − x ≥ 6 − x ≥ ⇔ x ≤ − −5 − x ≥ − x + −5 − x = − x ⇔ − x + ( −5 − x) + (1 − x)( −5 − x) = − x (1 − x)( −5 − x) = x + (§K: x ≥ - 5) ⇔ (1 - x)(- - 2x) = (x +5)2 ⇔ x2 - 7x - 30 = ⇔ x1 = - ( thoả mÃn ĐK) x2 = 10 (không thoả mÃn ĐK) Vậy phơng trình có nghiệm x = - Nhận xét phơng pháp giải: Phơng pháp ta ý để đa phơng trình vô tỉ phơng trình hữu tỉ, ta phải bình phơng hai vế nhiều lần Nhng phơng trình Trang Sáng kiến kinh nghiệm ta sử dụng phơng pháp này, ta tiến hành bình phơng nhiều lần để làm căn, ta có phơng trình bậc cao mà cha có cách giải Nên giải cần xem xét đặc điểm phơng trình để sử dụng cách phù hợp Phơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: a) 3x + 21x + 18 + x + x + = (3) b) x + x + = (4) Gi¶i a) §iỊu kiƯn: x ∈ R (3) ⇔ 3( x + x + 7) + x + x + = (4.1) (§K: y ≥ 0) Đặt y = x +7x + => y2 = x2 +7x + Lóc nµy ta cã (4.1) ⇔ 3y2 + 2y - = ⇔ (y 1)(3y + 5) = (không thoả mÃn ĐK) y = ta đợc: x2 +7x + = ⇔ x2 +7x + = ⇔ x = - hc x = - y = (thoả mÃn ĐK) y = − Víi VËy S = {- 1; - 6} b) Điều kiện: x - Đặt t = x + (§K : t ≥ 0) => x = t2 - (4) ⇔ (t2 - 1)2 + t - = ⇔ t(t - 1)(t2 + t - 1) = ⇔ t = hc t = hc t = −1 ± Vì t nên t = < bị loại ã Với t = x = - ã Với t = x = ã Với t = + th× x +1 = VËy S = {- 1; 0; −1 ⇔ 3− ⇔ 1− x+1= x= 2 1− } NhËn xét phơng pháp giải: Với phơng pháp đặt ẩn phụ ta đa phơng trình vô tỉ, phơng trình hữu tỉ phơng trình vô tỉ đơn giản để tiếp tục vận dụng phơng pháp khác để giải ta cần linh hoạt biến đổi phơng trình đà cho để tìm biểu thức chung có đặc tính chung để đặt ẩn phụ cho phù hợp Điển hình nh câu b) ví dụ ta đà biến đổi hai vế phơng trình có biểu thức (x + 1) (x2 - x + 1) đặt biểu thức làm ẩn phụ để đa phơng trình hữu tỉ Trang Sáng kiến kinh nghiệm Phơng pháp đặt ẩn phụ đa hệ phơng trình Ví dụ 3: Giải phơng trình sau: a) x − x − = (5) b) − x + x − = (Đề thi HSG huyện Kỳ Anh năm 2008) (6) Giải a) Đặt : a = x ; b = x −3 Tõ (5) ta cã hÖ: a − b = 3 a − b = ⇔ a − b = 2 a + ab + b = ⇔ a − b = a.b = ⇔ a − b = (a − b) + 3ab = ⇔ a = b = − hc • Víi a = b = − ⇔ x − = 3 x − = − ⇔ x=1 • Víi a = b = − ⇔ x − = 3 x − = ⇔ x=3 a = b = VËy S = {1; 3} b) Điều kiện x Đặt a = − x ; b = x − (b ≥ 0) Tõ (6) ta cã hÖ sau: a + b = a + b = ⇔ b = − a a + (1 − a) = ⇔ b = − a a + a − = ⇔ b = − a a( a + a − 2) = ⇔ b = − a a = • NÕu b = − a a = • NÕu b = − a a + a − = hc ⇔ ⇔ b = − a a + a − = a = b = a = b = a = −2 b = Trang − x = ⇔ ⇔ x=2 x − = ⇔ 2− x =1 x −1 = x = ⇔ x = 10 − x = −2 x −1 = Sáng kiến kinh nghiệm Kết hợp với điều kiện x ≥ ta suy ra: S = {1; 2; 10} Nhận xét phơng pháp giải: Phơng pháp đặt ẩn phụ đa hệ phơng trình hay hiểu Nhng ta cần phải biết nhận xét đặc tính phơng trình, lúc cần đặt ẩn phụ đặt ẩn Khi đặt ẩn phụ ta thờng đặt biểu thức chứa làm ẩn phụ, làm xuất tổng hiệu luỹ thừa ẩn phụ số Chẳng hạn nh ví dụ c) ta đặt a = − x ; b = x − ta có a3 + b2 = Nhờ mà ta đa đợc hệ phơng trình để giải Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức: 4.1: Sử dụng tính đối nghịch hai vế Ví dụ 4: Giải phơng tr×nh sau: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (7) Gi¶i Ta cã: VÕ tr¸i: 3x + x + + x + 10 x + 14 = 3( x + 1)2 + + 5( x + 1) + ≥ 4+ =5 VÕ ph¶i: - 2x - x2 = - (x + 1)2 Phơng trình (10) có nghiệm hai vế ®Òu b»ng Hay - (x + 1)2 = ⇔ x + = ⇔ x = - VËy S = {- } 4.2: Sö dụng tính đơn điệu hàm số Ví dụ 5: Giải phơng trình sau: a) x + + x = b) (8) + =6 3− x 2− x (9) Gi¶i a) Ta thấy x = nghiệm phơng trình (8) Ta sÏ chøng minh x = lµ nghiƯm phơng trình Thật vậy: ã Với x > Do 3 2x +1 + x + > vµ 3 x >0 x >1 Suy phơng trình nghiệm khoảng x > ã Với x < Do 3 2x +1 + x + < vµ 3 x 4 2− x >6 2− x Suy phơng trình nghiệm khoảng x > Vậy phơng trình có nghiệm x = 3 Nhận xét phơng pháp giải: Nh ta tìm đợc nghiệm riêng phơng trình Bằng phơng pháp bất đẳng thức, ta chứng minh đợc nghiệm riêng nghiệm phơng trình Nhng phơng pháp phù hợp với phơng trình thờng có nghiệm nhất, phơng trình có từ hai nghiệm trở lên việc chứng minh phơng trình có nghiệm gặp nhiều khó khăn 4.3: Sư dơng ®iỊu kiƯn xÈy dÊu “=” cđa bất đẳng thức Ví dụ 6: Giải phơng tr×nh sau: a) x3 − 11x + 25 x − 12 = x + x − (10) b) 13 x − + x + = 16 x (11) Gi¶i a) Ta cã 2 x − 11x + 25 x − 12 = x + x − ⇔ (7 x − 4)( x − x + 3) = x + x − §iỊu kiƯn (7x - 4)(x2 - x + 3) ≥ ⇔ 7x - ≥ ⇔ x ≥ (V× x2 - x + = (x - 11 ) + > 0) áp bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm, ta đợc: (7x - 4) + (x2 - x + 3) ≥ (7 x − 4)( x − x + 3) ⇔ x2 + 6x - ≥ x3 − 11x + 25 x 12 Đẳng thức (10.1) xảy 7x - = x2 - x + Trang (10.1) S¸ng kiÕn kinh nghiƯm ⇔ x2 - 8x + = So víi ®iỊu kiƯn x ≥ ⇔ x = x = th× x = 1; x = tho¶ m·n VËy S = {1; 7} b) Điều kiện x Cách 1: áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-ski ta có 13 x + x + = 13 13 x − 13 + 27 x + ≤ (13 + 27)(13 x − 13 + x + 3) = 40(16 x − 10) = 10(16 x − 10) ≤ 10 + 16 x − 10 = 16 x (11.1) 27 13 x − 13 = 13 x + 10 = 16 x − 10 ⇔ DÊu b»ng cđa (11.1) x¶y So víi ®iỊu kiƯn ban ®Çu x = x= 5 tho¶ m·n VËy S = { } 4 Cách 2: Với điều kiện x áp dụng BĐT Cô-si với hai số không âm ta có: 9 13 x − + x + = 13.2 ( x − 1) + 3.2 ( x + 1) ≤ 13( x − + ) + 3( x + + ) = 16 x (11.2) 4 4 DÊu b»ng cña đẳng thức (11.2) xảy So với điều kiện ban ®Çu x = x − = ⇔ x +1 = ⇔ x= 5 tho¶ m·n VËy S = { } 4 Nhận xét phơng pháp giải Với bất đẳng thức không giúp ta chứng minh toán bất đẳng thức, hay tìm cực trị biểu thức mà giúp ta vận dụng linh hoạt vào tìm nghiệm phơng trình vô tỉ Đối với phơng trình vô tỉ ta vận dụng bất đẳng thức nh Cô-si, Bu-nhi-a-côp-ski vào giải số toán hay Vì bất đẳng thức cho ta phép làm biểu thức, nhờ vào điều kiện xảy dấu = đẳng thức, ta tìm đợc nghiệm phơng trình Phơng pháp đa phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 7: Giải phơng trình sau a) x + x − + x + 13 + x − = (12) b) x + + x − + x − − x − = 2 (13) Trang Sáng kiến kinh nghiệm Giải a) §iỊu kiƯn : x ≥ (12) ⇔ ⇔ ( x − + ) + ( x − 3) + 4) = ⇔ 2x − +1+ 2x − + = ⇔ 2x − +1 + 2x − + = ⇔ 2x - = ⇔ x = 2x − = So với điều kiện x = thoả mÃn Vậy S = {2} b) §iỊu kiƯn : x ≥ Nhân hai vế phơng trình với , ta đợc : (2 x 5) + x − + + (2 x − 5) − 2 x − + = ⇔ ( x − + 3) + ( x − − 1) = ⇔ ⇔ ⇔ x − − = −( x − − 1) ⇔ ≤ 2x - ≤ ⇔ 2x − + + 2x − −1 = x − − ≤ (¸p dơng A = - A ⇔ A ≤ 0) ≤ x ≤ VËy 5 S = ;3 Nhận xét phơng pháp giải Với phơng trình vô tỉ có thức hai hay nhiều lớp, ta cần xem xét biểu thức căn, chúng đa đợc dạng đẳng thức Sau đa phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, tiếp tục vận dụng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối để giải phơng trình đà cho Phơng pháp sử dụng lợng liên hợp Ví dụ 8: Giải phơng trình sau a) x + − 3x − = x+3 (14) b) x + 16 x + 18 + x − = x + (15) Giải a) Điều kiện : x ≥ NhËn xÐt : (4x + 1) - (3x - 2) = x + Nhân hai vế phơng trình với biểu thức liên hợp với vế trái ta đợc: x+3= x+3 ( x + + x − 2) ⇔ x − + x − = (do x + > 0) ⇔ (4 x + 1)(3 x − 2) = 26 − x Víi ⇔ ( x + 3)( x + + x − − 5) = ⇔ x + + x − + (4 x + 1)(3x − 2) = 25 x 26 bình phơng hai vế phơng trình ta đợc : 4(4 x + 1)(3x 2) = 49 x − 364 x + 676 ⇔ 48x2 - 20x - = 49x2 - 364x + 676 ⇔ x2 - 344x + 684 = Trang Sáng kiến kinh nghiệm x =2 x = 342 So với điều kiện x x = tho¶ m·n VËy x + 16 x + 18 ≥ b) §iỊu kiƯn : x − ≥ ⇔ ⇔ x+4 ≥ x ≤ −1 x ≥ ⇔ S = {2} x + x + ≥ x ≥ ( x + 4) ≥ ⇔ x ≥ x ≤ −4 − −4 + ≤ x ≤ − x ≥1 NhËn xÐt : (2x + 4)2 - (2x2 + 16x + 18) = 2(x2 - 1) Phơng trình đà cho đợc viết : x − = x + − x + 16 x + 18 (15.1) Thö thÊy x1 = vµ x2 = - lµ nghiệm phơng trình (15.1) Với x2 Nhân hai vế phơng trình (15.1) với biểu thức liên hợp với vế phải ta đợc : (15.2) x − 1(2 x + 4) + x + 16 x + 18 = x − Nhân hai vế (15.1) với x , ta đợc : (15.3) x 1(2 x + − x + 16 x + 18) = x − Céng cïng vế hai dẳng thức (15.2) ; (15.3) ta đợc: 4( x + 2) x − = 3( x − 1) ⇔ ⇔ x2 −1 = x + x − 1(3 x − − x − 8) = (Víi x ≥ - 2) ⇔ 9x2 - = 16x2 + 64x + 64 ⇔ 7x2 + 64x + 73 = −32 + 57 x = ⇔ −32 − 57 x = 32 + 57 Đối chiếu với điều kiện x ≥ - th× x = VËy S = {- 1; 1; tho¶ m·n −32 + 57 } Nhận xét phơng pháp giải: phơng pháp qúa trình giải ta cần ý biến đổi phơng trình đà cho cách phù hợp, xem xét mối quan hệ hạng tử hai vế phơng trình Nếu cộng trừ phần hữu tỉ hai hạng tử mà kết có mối quan hệ với hạng tử lại, ta chọn biểu thức liên hợp phù hợp để nhân vào hai vế phơng trình nhằm đa phơng trình dạng đơn giản để tiếp tục vận dụng phơng pháp khác Chẳng hạn nh ë c©u b) vÝ dơ Khi ta nhËn xÐt thÊy (2x + 4)2 - (2x2 + 16x + 18) = 2(x2 - 1) , rõ ràng ba hạng tử phơng trình có mối Trang Sáng kiến kinh nghiệm quan hệ đặc biệt với nhau, nên để đơn giản hoá phơng trình ta biến đổi phơng trình nhân với biểu thức liên hợp Phơng pháp đa phơng trình có tổng đại số luỹ thừa bậc chẵn Ví dụ 9: Giải phơng trình sau: a) x + x + = 2 x + (16) b) x − + − x = x − x + 18 (17) Giải a) Điều kiện : x ≥ − Ta cã : x + x + = 2 x + ⇔ (2 x + − 2 x + + 1) + ( x + x + 1) = ⇔ ( x + − 1) + ( x + 1) = ⇔ x + − = x + = ⇔ x=-1 So với điều kiện ban đầu x = -1 thoả m·n VËy S = {- 1} b) §iỊu kiƯn : - x Phơng đà cho trë thµnh : 11 − x − x + − − x = ⇔ ( x + − x + + 4) + (3 − x − − x + 1) = x + − = x + = ⇔ ( x + − 2) + ( − x − 1) = ⇔ ⇔ 3 x − = − x − = ⇔ x=1 So víi điều kiện ban đầu x = thoả mÃn Vậy S = {1} Nhận xét phơng pháp giải Đối với phơng pháp này, giải ngời học đòi hỏi phải sáng tạo chổ phát nhóm hạng tử, sau viết chúng dới dạng đẳng thức có số mũ bậc chẵn Để hạng tử phơng trình lúc không âm Dựa vào bất đẳng thức, phơng trình có nghiệm đồng thời hạng tử 0, từ ta tìm nghiệm phơng trình dễ dàng III Một số tập tự luyện Giải phơng trình sau a) x − x − 11 + x − x − 11 = b) x3 + = x − x + (§Ị thi HSG huyện Kỳ Anh năm học 08- 09) c) x + = − x d) x + − x − + x + − x − = e) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + f) x + x + + − x = 11 Trang 10 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm g) x − + x − = x − − h) x − + 3x + = x − x + 20 D KÕt đạt đợc Qua ba năm liền đợc phân công bồi dỡng học sinh giỏi lớp dạy tuyển sinh lên lớp 10 đà sử dụng phơng pháp trên, để bồi dỡng giảng dạy em có học lực khá, giỏi Thực tế thấy đa sè c¸c em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch nhanh chóng, nắm đợc phơng pháp giải phơng trình vô tỉ cách có hệ thống Hầu hết em làm tốt toán phơng trình vô tỉ đề thi chọn học sinh giỏi lớp đề thi tuyển vào trờng chuyên Phần iii Kết luận Quả thật toán học phơng trình vô tỉ đa dạng phong phú, phơng pháp giải chúng nhiều sáng kiến đà nghiên cứu đa bảy phơng pháp giải, theo hợp lí phổ biến Nhng nghĩ để giải phơng trình vô tỉ không dừng lại bảy phơng pháp Chắc quý đọc giả tìm đợc phơng pháp hay cách giải ngắn gọn Bản thân mong muốn học sinh học tập ngày tốt hơn, tay nghề giải toán đợc nâng lên Vì mong quý đồng nghiệp đọc giả chân thành góp ý xây dựng cho đề tài đợc hoàn thiện Phần IV: Kiến nghị Đối với học sinh: - Các em cần có thái độ tích cực với môn toán nói chung phơng trình vô tỉ nói riêng, dạng toán hay có tầm ảnh lợng lớn đến chơng trình học bậc PTTH - Cần xây dựng phơng pháp tự học nhà có hiệu Đối với giáo viên: - Khi giảng dạy phần phơng trình vô tỉ cần giúp học sinh tiếp thu phơng pháp giải từ dễ đến khó - Cần nghiên cứu thêm tài liệu để tìm toán phù hợp với mức độ học sinh mà giảng dạy Đối với nhà trờng tổ chuyên môn - Cần có kế hoạch cụ thể xây dựng số buổi chuyên đề, nhằm giúp giáo viên đợc trình bày trao đổi với kinh nghiệm giảng dạy bồi dỡng học sinh có hiệu Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm Xin chân thành cảm ơn! Trang 12 ... kiƯn (7x - 4)(x2 - x + 3) ≥ ⇔ 7x - ≥ ⇔ x ≥ (V× x2 - x + = (x - 11 ) + > 0) áp bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm, ta đợc: (7x - 4) + (x2 - x + 3) ≥ (7 x − 4)( x − x + 3) ⇔ x2 + 6x - ≥ x3 −... (1 − x)( −5 − x) = x + (§K: x ≥ - 5) ⇔ (1 - x) (- - 2x) = (x +5)2 ⇔ x2 - 7x - 30 = x1 = - ( thoả mÃn ĐK) x2 = 10 (không thoả mÃn ĐK) Vậy phơng trình có nghiệm x = - Nhận xét phơng pháp giải: Phơng... => x = t2 - (4) ⇔ (t2 - 1)2 + t - = ⇔ t(t - 1)(t2 + t - 1) = ⇔ t = hc t = hc t = −1 ± −1 − V× t ≥ nên t = < bị loại ã Với t = x = - ã Với t = x = ã Với t = −1 + th× x +1 = VËy S = {- 1; 0; −1