Chuong IIIBai1Nguyen Ham

Kiểm tra bài cũ Câu 1: Phát biểu định lý Lagzăng? Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và có đạo hàm trên khoảng ( a; b) thì tồn tại 1 điểm c thuộc khoảng (a;b) sao cho f(b) f(a) = f (c)( b a). Câu 2: Cho hàm số f(x) = 2x. Tìm hàm số F (x) sao cho F (x) = 2x Bài toán vật lý • Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t) • Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t) Từ đó ta có bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x) Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những hàm số nào a. F(x) = x 2 b. F(x) = x 2 + 3 c. F(x) = x 2 - 4 d. Tất cả các hàm số trên Hãy chọn phương án đúng Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x 2 +C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số trªn các khoảng x¸c ®Þnh. 2 1 ( ) os g x c x = Tổng quát ta có định lý Định lý • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì: *Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. *Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số. Chứng minh bổ đề Xét phần tử cố định x 0 ∈(a;b). Với mọi x ∈(a;b), + nếu x=x 0 thì F(x)=F(x 0 ), + nếu x≠x 0 thì theo định lí Lagrăng tồn tại một số c nằm giữa x o và x sao cho F(x)-F(x 0 )=F’(c)(x-x 0 ) Vì c ∈(a;b) nên F’(c)=0. Vậy ta có F(x)-F(x 0 )=0 hay F(x)=F(x 0 ) Vậy với mọi x ∈(a;b) ta có F(x)=F(x 0 ). Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên khoảng (a;b) Chøng minh ®Þnh lÝ 1 Theo giả thiết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). V× vËy ( F(x) + C ) ’ = F ’ (x) + 0 = f(x) 2. Giả sử G(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) tức là G’(x)=f(x) với mọi x∈(a;b). Khi đó (G(x)-F(x))’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Theo bổ đề thì G(x)-F(x) là hàm số không đổi trên (a;b). Vậy ∀x∈(a;b) ta có G(x)-F(x)=C, với C là một hằng số bất kỳ, hay G(x)=F(x)+C F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì {F(x)+C ,C∈ R} là họ các nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó Qua bài học ta đã biết - Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước - Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C Bµi tËp 1 Chứng minh với 0 < a ≠ 1 x a dx = ∫ ln x a C a +