Tổng hợp lý thuyết về môn thống kê cho KHXH

Ta có: + Tham số p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong đám đông.. + Tham số f là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong mẫu... BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNHPhân biệt với bài toán ước lượng: + Bài

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KÍ HIỆU

1 Khái niệm đám đông – mẫu

Đám đông (tổng thể): là tập hợp tất cả các phần tử mà ta muốn nghiên cứu

Mẫu: là tập hợp các phần tử lấy ra từ đám đông để nghiên cứu

Kích thước mẫu: là số phần tử của mẫu, kí hiệu là n.

Dãy thống kê dạng điểm cho dưới dạng tần số:

Chú ý:

k i

i 1







2 Tham số đám đông – Tham số mẫu

Định nghĩa 1: Giả sử cần nghiên cứu dấu hiệu X của một đám đông có:

E X ;D X  ; X 

Các tham số đám đông:

 Kỳ vọng Giá trị trung bình của X trong đám đông

2

 Phương sai Bình phương độ phân tán trong đám đông

 Độ lệch tiêu chuẩn Độ phân tán trong đám đông

Các tham số mẫu:

(Giá trị trung bình của X trong mẫu)

k

i i

i 1

1

n 

2

 2

S X  X

với

k

i i

i 1

1

n 

2

n 1







S Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh 2

S  S

Định nghĩa 2: Giả sử đám đông chỉ có 2 loại đối tượng là các phần tử mang đặc

tính A và các phần tử không mang đặc tính A Ta có:

+ Tham số p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong đám đông

+ Tham số f là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong mẫu

f

n



với m là số phần tử mang đặc tính A trong mẫu

BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG

Phân biệt bài toán ước lượng điểm và bài toán ước lượng khoảng:

+ Không có độ tin cậy: bài toán ước lượng điểm

+ Có độ tin cậy: bài toán ước lượng khoảng

I Bài toán ước lượng điểm

+ Ước lượng giá trị trung bình (ước lượng kỳ vọng  ): Tính X rồi kết luận.

+ Ước lượng tỉ lệ (ước lượng xác suất p): Tính f rồi kết luận.

+ Ước lượng bình phương độ phân tán (ước lượng p/sai  ): Tính 2 S rồi kết luận.2

II Bài toán ước lượng khoảng

Các bước làm:

+ Xác định bài toán: ước lượng kỳ vọng hay ước lượng xác suất? Nếu là ước lượng

kỳ vọng thì rơi vào trường hợp nào?

+ Viết biểu thức xác định khoảng tin cậy và công thức tính 

+ Biết độ tin cậy , ta đi tính     rồi suy ra 1 u 2



 

 

  hay tn 1 2



 

 

 

+ Tính các tham số mẫu (nếu cần tham số nào thì tính tham số đó):

2 2

X;S ;S;S ;S;f  rồi tính 

+ Tìm khoảng tin cậy rồi kết luận

1 Ước lượng giá trị trung bình (ước lượng kỳ vọng  ):

Khoảng tin cậy đối xứng của  là X ;X 

với  tính như sau:

 đã biết, X có phân phối chuẩn

 

 

   

 

 chưa biết, X có phân phối

S





 

   



S





 

   

 



 chưa biết, X không có phân

phối chuẩn nhưng mẫu lớn

S



 

   



S



 

   

 



2 Ước lượng tỉ lệ (ước lượng xác suất p):

Khoảng tin cậy đối xứng của p là f  ;f   với 

f 1 f





 

   

 

BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH

Phân biệt với bài toán ước lượng:

+ Bài toán ước lượng: có từ ước lượng, có từ độ tin cậy

+ Bài toán kiểm định: có từ kiểm định, có từ mức ý nghĩa

Các bước làm:

+ Xác định bài toán: giả thuyết H, đối thuyết K, mức ý nghĩa 

+ Nêu các điều kiện (nếu có) để đưa ra thống kê

+ Xác định miền bác bỏ H (miền W)

+ Tính giá trị quan sát của thống kê Kiểm tra xem giá trị quan sát của thống kê có thuộc miền W hay không:

 Nếu thuộc thì ta bác bỏ H, chấp nhận K

 Nếu không thuộc thì chưa bác bỏ được H nên tạm thời chấp nhận H, bác bỏ K

Hai vấn đề chính trong mỗi bài toán kiểm định:

+ Xác định thống kê được sử dụng

+ Xác định miền W

I Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình (Kiểm định kỳ vọng)

BT1:

0 0

H :

K :

 





  

 BT2:

0 0

H :

K :

 





  

 BT3:

0 0

H :

K :

 





 



 đã biết, X có phân phối

chuẩn hoặc mẫu lớn

X 0 n

G   



 

BT1: W G : G u 

 

BT2 : W G : Gu  BT3: W G : G u

2

  

   

 

 chưa biết, X có phân

phối chuẩn

0

0

T

S

T

S

  



 





 

BT1: W T : T t  

 

BT2 : W T : Tt  

n 1

BT3: W T : T t

2



  

   

 

 chưa biết, X không có

phân phối chuẩn nhưng

mẫu lớn

0

0

G

S

G

S

  



 





 

BT1: W G : G u 

 

BT2 : W G : Gu 

BT3: W G : G u

2

  

   

 

II Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ (Kiểm định xác suất)

Gọi p là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A trong tổng thể

BT1:

0 0

H : p p

K : p p









 BT2:

0 0

H : p p

K : p p









 BT3:

0 0

H : p p

K : p p











0

G

p 1 p







 

BT1: W G : G u 

 

BT2 : W G : Gu  BT3: W G : G u

2

  

   

 

III So sánh hai tỉ lệ (So sánh hai xác suất)

Giả sử ta cần so sánh tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của 2 đám đông

Gọi p ;p1 2 lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của 2 đám đông đó.

Ta có các bài toán so sánh:

BT1:

H : p p

K : p p









 BT2:

H : p p

K : p p









 BT3:

H : p p

K : p p











Hai mẫu lớn

f f G

f 1 f





   

 

BT1: W G : G u 

 

BT2 : W G : Gu  BT3: W G : G u

2

  

   

 

Ở đó:

1

n là kích thước mẫu thứ nhất, n2 là kích thước mẫu thứ hai.

1

1

1

m

f

n



là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của mẫu thứ nhất

2

2

2

m

f

n



là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của mẫu thứ hai

f





 là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A chung của cả hai mẫu

IV So sánh hai giá trị trung bình (So sánh kỳ vọng)

Giả sử cần so sánh 2 giá trị trung bình của một dấu hiệu nghiên cứu nào đó ở hai đám đông khác nhau Gọi X là dấu hiệu cần nghiên cứu ở đám đông thứ nhất, Y là dấu hiệu cần nghiên cứu ở đám đông thứ hai

Kí hiệu E X  1;E Y   và 2 D X  12;D Y  22

Ta có các bài toán so sánh:

BT1:

H :

K :

 





  

 BT2:

H :

K :

 





  

 BT3:

H :

K :

 





 



1; 2

  đã biết, X và

Y có phân phối

chuẩn hoặc hai

mẫu lớn

X Y G







 

BT1: W G : G u 

 

BT2 : W G : G u 

BT3: W G : G u

2

  

   

 

  chưa biết,

X và Y có phân

phối chuẩn

T



 

BT1: W T : T t   

 

BT2 : W T : Tt   

n n 2

BT3: W T : T t

2

 

 

1; 2

  chưa biết, X

và Y không có phân

phối chuẩn nhưng

hai mẫu lớn

X Y G

X Y G













 

BT1: W G : G u 

 

BT2 : W G : G u 

BT3: W G : G u

2

  

   

 

Trường hợp   chưa biết, X và Y không có phân phối chuẩn nhưng hai mẫu bé12; 22

thì ta giải quyết bài toán so sánh kỳ vọng (bài toán 3) bằng tiêu chuẩn hạng của Mann – Whitney hoặc tiêu chuẩn hạng của Wilcoxon:

+ Nếu số liệu cho theo từng cặp thì sử dụng tiêu chuẩn của Wilcoxon

+ Nếu số liệu không cho theo từng cặp thì sử dụng tiêu chuẩn của Mann – Whitney Lưu ý: Hai tiêu chuẩn này chỉ giải quyết được bài toán 3

Các bước làm đối với tiêu chuẩn của Wilcoxon:

+ Tính d ; d và đếm số giá trị i i di 0 Gọi số giá trị di 0 là n

+ Sắp xếp các di  theo thứ tự từ bé đến lớn.0

+ Tính rank d i với di 0 rồi tính  

i

i

d 0

T rank d





+ Đặt

T T

+ Đặt

 

 

T E T G

D T





thì miền bác bỏ H là

W G : G u

2

  

   

 

+ Tính Gqs

rồi kết luận

Các bước làm đối với tiêu chuẩn của Mann – Whitney:

+ Gộp chung 2 dãy số liệu mẫu và sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn

+ Tính hạng của các phần tử trong mẫu 1, tức là tính rank x ,i 1;n i  1

n

i 1

R rank x





+ Tính

n n 1

2



+ Đặt U U 1 thì   n n1 2   n n n1 2 1 n2 1

 

+ Đặt

 

 

U E U G

D U





thì miền bác bỏ H là

2

  

   

 

+ Tính Gqs

rồi kết luận

V Kiểm định sự phù hợp của số liệu mẫu

Bài toán: Gọi p ,p , ,p1 2 k

lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A ;A ; ;A1 2 k trong một đám đông (p1p2  p k 1) Từ đám đông, ta lấy ra mẫu có kích thước n

Ta có bài toán kiểm định:

Giả thuyết H: Số liệu mẫu phù hợp với k tỉ lệ đã cho

Đối thuyết K: Số liệu mẫu không phù hợp với k tỉ lệ đã cho

Giải quyết: Ta sử dụng thống kê:

k

m np np





 

Ở đó: m ;m ; ;m1 2 k lần lượt là số phần tử mang đặc tính A ;A ; ;A1 2 k trong mẫu.

Miền bác H:  2 2 2   

k 1

W  :   

Chú ý: Điều kiện là mi 5;i 1;k

VI Kiểm định tính độc lập của hai dấu hiệu

Bài toán: Giả sử ta có hai dấu hiệu X và Y Ta có bài toán kiểm định:

Giả thuyết H: X và Y độc lập nhau; Đối thuyết K: X và Y phụ thuộc nhau

Giải quyết: Thành lập bảng số liệu:

1

2

r

Ta sử dụng thống kê:

2

r s

j 2

m

hg cot

Miền bác H:  2 2  2    

r 1 s 1

W  :    

VII So sánh nhiều tỉ lệ (So sánh nhiều xác suất)

Bài toán: Gọi p1; p2;… ; p s lần lượt là tỉ lệ phần tử mang đặc tính A của s đám đông

Ta có bài toán kiểm định:

Giả thuyết H : p1p2   ps

Đối thuyết K: Các tỉ lệ p ;p ; ;p1 2 s không đồng thời bằng nhau.

Giải quyết: Thành lập bảng số liệu:

1

2

Ở đó, m1j là số phần tử mang đặc tính A ở mẫu lấy ra từ đám đông thứ j còn m2j là

số phần tử không mang đặc tính A ở mẫu lấy ra từ đám đông thứ j, j 1;s

Ta sử dụng thống kê:

2

j 2

m

hg cot

Miền bác H:  2 2 2   

s 1

W  :   

TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY

I Tương quan

1 Hệ số tương quan

 Ta có đánh giá mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y dựa vào  như sau:

 Khi   thì ta nói X và Y không tương quan với nhau.0

 Nếu  0 thì X, Y đồng biến và nếu  0 thì X, Y nghịch biến

2 Hệ số tương quan mẫu

Hệ số tương quan mẫu của 2 biến ngẫu nhiên X, Y là:

XY X.Y

r X,Y

S S





Với bảng số liệu:

1

2

r

Ta có:

r s

ij i j

i 1 j 1

1

n  

Ta có dãy thống kê của X:

Ta tính được X;SX

Ta có dãy thống kê của Y:

Ta tính được Y;SY

Với bảng số liệu:

X,Y x ; y1 1 x ; y2 2 … x ; yk k

Hoặc:

Ta có:

k

i i i

i 1

1

n 

với

k i

i 1





Ta cũng lập dãy thống kê của X và Y rồi tính X;SX;Y;SY.

II Hồi quy

Đường hồi quy bình phương trung bình tuyến tính thực nghiệm

Y X

S

Y Y r X X

S

Sai số bình phương trung bình thực nghiệm:

S S 1 r Điều kiện áp dụng tốt: r 0,7