Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Khuyến Chuyên Đề : QUI NẠP A MỞ ĐẦU : I Cơ Sở lí luận : Qui nạp trình quan sát qui luật chung việc trường hợp Qui nạp toán học dùng để chứng minh định lý toán học mang tính chất tổng quát Trong trình học toán, giải toán ta thường trình bày lời giải theo hướng diễn dịch Nhưng lúc hình thành nên công thức toán ta thường dùng hình thức qui nạp II Thuận lợi , khó khăn : Thuận lợi: Ngày nay, khoa học công nghệ phát triển, người có khả tính toán với số lớn Trong ứng dụng toán học giới hạn đến chừng mực theo yêu cầu Người ta quan tâm đến kết xác nó, mà quan tâm đến tính tổng quát Khó khăn: Trong toán học việc công thức, định lý mang tính đắn tổng quát có ý nghĩa lớn Nhưng điều kiện nghiên cứu, thời gian kiểm nghiệm hạn chế Đặc biệt trường phổ thong, việc chứng minh định lý theo phương pháp qui nạp gặp nhiều khó khăn Bởi khả kiểm chứng trường hợp cụ thể Nên điều chứng minh để lại cho học sinh hoài nghi Đặc biệt phương pháp chứng minh qui nạp B NỘI DUNG : I Một cách hình thành : Phương pháp chứng minh qui nạp Một nhà tự nhiên học, ngẫu nhiên đó, quan sát phát triển theo qui luật + + 27 + 64 = 100 * Nhận xét: 13 + 23 + 33 + 43 = 102 *Câu hỏi đặt ra: Tổng lập phương bình phương? Cần giải tỏa mối nghi ngờ trên: 13 + 23 + 33 +…….+ n3 = ? Xét trường hợp: n=1; n=2; n=3… *Ví dụ: n = 5: =1 = 12 1+8 = = 32 + + 27 = 36 = 62 + + 27 + 64 = 100 = 102 + + 27 + 64 + 125 = 225 = 152 Dãy số: ; ; ; 10 ; 15 có qui luật: tăng tăng tăng tăng =1 =1+2 =1+2+3 10 = + + + 15 = + + + + *Ta thấy qui luật có dần đến mức tổng quát Biên soạn : Ngô Minh Khởi Trang Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Khuyến Chuyên Đề : QUI NẠP Ta có Định Lý : + + +…….+ n = (1 + + +…+ n)2 ∀n ∈ N ∗ 3 3 * Chứng minh : Để chứng minh định lý đơn giản toán +Xét hình chữ nhật cạnh n n + : Mỗi nửa hình chữ nhật có dãy bậc thang *Ví dụ: Hình chữ nhật cạnh Ta có: S = 4.5 Mặt khác: S = (1 + + + 4) x 4.5 *Vậy: + + + = Như vậy: + + + + n = n(n + 1) Định lý phát biểu lại: n(n + 1) + + + + n = 3 ∀n ∈ N ∗ 6(6 + 1) +2 + + + + = *Thử kiểm tra: n = 6: 3 3 (1) Định lý kết vế 441 *Ta thử với ∀n ∈ N ∗ Nhưng định lý (1) có với n + không? Điều nghi ngờ đến: 13 + 23 + 33 + + n3 + (n + 1)3 = [ + + + + n + ( n + 1) ] (n + 1)(n + 2) Hay: + + + + n + (n + 1) = 3 3 (2) Kiểm nghiệm: Lấy (2) – (1): (n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1) = − n +1 2 = ÷ (n + 2) − n n +1 = ÷ [ 4n + ] n +1 = ÷ [ 4(n + 1) ] = (n + 1) *Như công thức (2) II.Phương pháp chứng minh qui nạp: *Bước 1: Thử với n = ( ∀n ∈ N ∗ ) *Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ( k ≥ 1, k ∈ N ) *Bước 3: Chứng minh mệnh đề với n = k + *Bước 4: Kết luận: Định lý với ∀n ∈ N ∗ C KẾT LUẬN : Hy vọng chuyên đề giới thiệu cách hiểu phương pháp chứng minh qui nạp cách chứng minh “Bước “ dùng hai phương trình trừ mà khai triển đẳng thức bậc n Biên soạn : Ngô Minh Khởi Trang Tổ Toán Trường THPT Nguyễn Khuyến Biên soạn : Ngô Minh Khởi Chuyên Đề : QUI NẠP Trang