Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực mômen uốn M lực cắt Q Hiện nay, phân tích trạng thái ứng suất biến dạng kết cấu chịu uốn dầm, khung, ảnh hưởng lực cắt biến dạng trượt thường bị bỏ qua Trong lý thuyết ứng suất biến dạng, tác giả cho biến dạng uốn tỷ lệ với mô men, biến dạng trượt tỷ lệ với lực cắt biến dạng trượt làm cho mặt cắt bị vênh trượt góc Tuy nhiên, xây dựng công thức tính toán nội lực chuyển vị, giả thiết Becnuli thường chấp nhận (tiết diện trước sau biến dạng phẳng vuông góc với trục dầm), tức góc trượt thường bị bỏ qua Một số tác X.P Timôshenkô, O.C Zienkievicz, K Bathe, W.T Thomson đề cập tới ảnh hưởng lực cắt biến dạng trượt phân tích kết cấu vấn đề thường bị bỏ ngỏ không giải cách triệt để kể lời giải Bằng cách áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss GS.TSKH Hà Huy Cương đề xuất, việc xét đồng thời ảnh hưởng mômen M lực cắt Q xây dựng toán dầm thực lời giải giải tích cho toán đưa Xây dựng toán dầm kể tới ảnh hưởng mômen lực cắt Khi dầm chịu tải trọng q, đường độ võng hay đường đàn hồi dầm y(x) Theo dy Timoshenko, góc xoay toàn phần đường độ võng =β +γ dx Trong đó: Q Góc trượt lực cắt gây γ = k GA Góc xoay mômen gây β = dy dx -γ Theo ĐL Hook mở rộng GA độ cứng chống trượt γ = k GA biến dạng trượt tiết diện ngang dầm lực cắt Q gây ra; EJ độ cứng chống uốn biến dạng uốn hay độ cong mômen M gây dβ M χ = EJ = - = ddx22y + ddxγ E G modul đàn hồi modul đàn hồi trượt, A J Q dx ( ) diện tích tiết diện mômen quán tính tiết diện dầm, k hệ số xét phân bố ứng suất cắt lớn trục trung hoà có trị số phụ thuộc hình dáng tiết diện dầm Với tiết diện chữ nhật k= 1,2 Theo nguyên lý cực trị Gauss, biểu thức lượng cưỡng dầm đạt cực tiểu viết 0 Z= ∫ Mχdx + ∫ Qγdx − ∫ qydx → (1) sau: Thay χ = ( d2y dx ω + ) , biểu thức (1) viết lại sau: dγ dx ( ) d2y dγ Z= ∫ M − dx + dx dx+ ∫ Qγdx − ∫ qydx → (2) 0 ω Trong biểu thức (2) hàm biểu diễn độ võng y hàm biểu diễn biến dạng trượt γ đại lượng biến phân cần tìm để bảo đảm cho phiếm hàm Z cực tiểu Như toán có ẩn cần tìm hàm y γ Khi giải toán cần lưu ý theo nguyên lý chuyển vị ảo nội lực M Q độc lập với đại lượng lấy biến phân y γ Trong phạm vi báo tác giả xây dựng đưa lời giải toán tìm chuyển vị nội lực dầm chịu uốn chịu tải trọng phân bố xét đầy đủ hai thành phần nội lực mômen uốn M lực cắt Q, tức xét toán dầm cách triệt để hơn, xác Tính đắn toán thể việc xây dựng phương trình vi phân cân điều kiện biên từ biểu thức (2) a Xây dựng phương trình cân dầm chịu uốn từ biểu thức cực tiểu lượng cưỡng Theo Granino A.Korn, phương trình Euler phiếm hàm Z biểu thức (2) viết sau: ∂f ∂y − dxd ( ) + ∂f ∂y ' d ∂f dx ∂y " ∂f ∂y − dxd ( ) + ( )=0 d ∂f dx ∂y " ∂f ∂y ' ( )=0 (3) Với f hàm dấu tích phân phiếm hàm Z (2) Biến đổi (3) ta được: d 2M q = - dx (4) dM Q = dx Biểu thức (4) phương trình cân quen thuộc sức bền vật liệu nói lên mối quan hệ vi phân mômen uốn M, lực cắt Q tải trọng q Như kể đầy đủ ảnh hưởng mômen lực cắt, từ điều kiện cực trị phiếm hàm Z biểu thức (2), rút hệ phương trình vi phân cân (4) Hay nói cách khác tìm nghiệm y g để lượng cưỡng Z biểu thức (2) đạt cực tiểu thoả mãn phương trình vi phân cân Nếu bỏ qua ảnh hưởng biến dạng trượt lực cắt Q gây biểu thức lượng cưỡng dầm đạt cực tiểu viết sau: ( ) d2y Z = ∫ M − dx dx − ∫ qydx → ( 5) ω Biểu thức (5) có ẩn chưa biết hàm biểu diễn chuyển vị y Từ rút phương trình cân bằng: q = - ddx2 M2 (6) Từ thấy bỏ qua ảnh hưởng lực cắt biến dạng trượt, tìm nghiệm y để lượng cưỡng Z theo biểu thức (5) đạt cực tiểu, thoả mãn phương trình vi phân cân nói lên mối quan hệ vi phân mômen tải trọng b Xây dựng điều kiện biên từ biểu thức cực tiểu lượng cưỡng Để biết rõ điều kiện biên toán ta viết điều kiện cực trị phiếm hàm Z biểu thức (2) sau (điều kiện cần): δZ = ∫ Mδ ( − d2y dx dγ dx + )dx + ∫ Qδγdx − ∫ qδydx = ω Tích phân phần biểu thức lại nhận hai phương trình (4) điều kiện biên hai đầu dầm: 1 dM Mδ − dy (7) dx + γ = , dx δy = Hai điều kiện thoả mãn tách riêng cho đầu cuối dầm (thành điều kiện biên) dM Mδ − dy (8) dx + γ = 0( x = 0, x = 1), dx δy = 0( x = 0, x = 1) hay Mδβ = 0( x = 0, x = 1) , Qδy = 0( x = 0, x = 1) (9) - Điều kiện góc xoay: β ≠ → M = → Khớp đầu tự (10) β = → M có trị số → ngàm - Điều kiện chuyển vị: ( ){ ( ) { y ≠ → Q = → đầu tự (11) y = → Q có trị số → gối tựa Khi không xét lực cắt β = dy / dx , điều kiện (10) điều kiện biên thường dùng dầm Như trường hợp không xét lực cắt trường hợp riêng toán xét đầy đủ mômen lực cắt Cần lưu ý trường hợp sau: - Điều kiện liên tục chuyển vị góc xoay xét đầy đủ ca hai thành phần nội lực dầm điều kiện liên tục y β - Nếu có ngoại lực mômen tác dụng lên dầm góc xoay gây β Bảng 1: Phương trình đường đàn hồi, chuyển vị nội lực số tiết diện số dầm chịu uốn trọng phân bố đềuDầm đơn giản chịu tải Loại dầm Chuyển vị nội lực số tiết diện Phương trình đường đàn hồi Chuyển vị dầm Khi không kể tới ảnh hưởng lực cắt y= qI 24 EJ y max = x − 12qIEJ x + q 24 EJ Khi kể tới ảnh hưởng mômen lực cắt x4 qI 384 EJ y= qI 24 EJ y max = x− qI 24 EJ qI 384 EJ [1 + [ x4 + () () qI x − qI x h 10 EJ I 48 h 25 I ] ] Mômen lực cắt Không thay đổi Phương trình đường đàn hồi Chuyển vị dầm Mômen lực cắt y= qI 24 EJ y max = x − 12qIEJ x + qI 384 EJ Không thay đổi q 24 EJ x4 y= qI 24 EJ y max = x − 12qIEJ x + qI 384 EJ [1 + 48 q 24 EJ ( hI ) ] + [ qI x − qI x 10 EJ ( hI ) ] Dầm đầu ngàm, đầu khớp chịu tải trọng phân bố Dầm đầu ngàm chịu tải trọng phân bố Phương trình đường đàn hồi y= qI 16 EJ x2 − qI 48 EJ x3 + q 24 EJ x4 y = 16qIEJ x − 485qIEJ x + 24qEJ x + 80 EJ Chuyển vị dầm qI 192 EJ − qI 16 5qI Lực cắt tiết diện sát gối tựa khớp 55 I h + 24 h I +3h qI 192 EJ ( )x [1 + qI 6( h / I ) + 3( h / I ) (1 − ( ) ) ( h / I )2 5 + 3( h / I ) − 38qI + 5+( 3h(/hI/) I ) 3qI 48 EJ qI ( 3h I +3h () (1 + + 40 EJ 95+ 48( h / I ) h 10 5+ 3( h / I ) I − qI8 − 5+3(3h( h/ I/ )I ) qI qI 16 Lực cắt tiết diện sát gối tựa ngàm ( y max = Mômen tiết diện sát gối tựa ngàm Mômen tiết diện dầm q 2 [ ) ] qIh )x ] ) Từ kết thấy xét đầy đủ ảnh hưởng mômen lực cắt, với dầm tĩnh định dầm siêu tĩnh đối xứng, độ võng dầm tăng lên nội lực không đổi Đối với dầm siêu tĩnh không đối xứng, chuyển vị dầm thay đổi mà có phân bố lại nội lực dầm Nhìn vào công thức thấy thay đổi chuyển vị nội lực dầm phụ thuộc tỉ số chiều cao chiều dài dầm Nếu có ngoại lực tập trung tác dụng lên dầm hay có thay đổi tiết diện vị trí có dy gián đoạn góc xoay β = dx − γ Phương pháp giải toán tìm cực trị phiếm hàm Từ điều kiện biên dầm theo biểu thức (10) (11), xây dựng điều kiện ràng buộc g j biên để nghiệm y γ nhất, (j =1 ÷ n, n số điều kiện biên) Dùng phương pháp thừa số Lagrange để đưa toán cực trị (2) với ràng buộc (10), (11) toán cực trị ràng buộc với phiếm hàm mở rộng sau: ( Z = ∫ M − ddx 2y + dγ dx )dx + ∫ Qγdx − ∫ qγdx + ∑ λ g n j =1 ω j j → (12) γ j - nhân tử Lagrange, đại lượng chưa biết Điều kiện cực trị phiếm hàm Z (12) là: ∂Z ∂y = 0; ∂Z ∂γ = ; ∂Z ∂γ = (13) ( 25 I +12 h I +3 h ) Để giải h phương trình vi phân (13) thường chọn trước hàm biểu diễn đường độ võng hàm biểu diễn lực cắt y γ cho phù hợp với điều kiện biên Có thể chọn hàm có dạng đa thức cho đường đàn hồi y biến dạng trượt γ dầm sau: y= a0 + a1x + a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6 γ = b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4 Để đảm bảo độc lập lực với đại lượng lấy biến phân biến dạng, lấy biến phân theo đại lượng y, γ thông số aj , bk lực Q, M, q coi số Sau thực xong phép lấy biến phân, biểu thức ( M = EJ − ddx + 2y dγ dx ) Q= GA k thay vào để tính tích phân xác định theo biến x Từ ta có hệ phương trình đại số với biến thông số a j , bk , Ij để xác định hàm y γ Bảng 2: So sánh độ võng lớn nhất, mômen lớn lực cắt lớn số dầm có kể không kể tới ảnh hưởng lực cắt thay đổi tỉ số chiều cao/chiều dài dầm Tỉ số h/I 1/100 1/10 1/8 1/5 Dầm đơn giản Chênh lệch độ võng (%) 0.0192 1.92 3.00 7.68 Dầm đầu ngàm Chênh lệch độ võng (%) 0.096 9.60 15.0 38.4 Dầm đầu ngàm, đầu khớp Chênh lệch độ võng (%) 0.057 5.695 8.893 22.72 Chênh lệch mômen (%) -0.006 -0.596 -0.929 -2.344 Chênh lệch lực cắt (%) 0.0012 0.1193 0.1858 0.4686 Các công thức tính nội lực chuyển vị dầm kể tới ảnh hưởng mômen uốn lực cắt Giải toán theo phương pháp trình bày thu hàm biểu diễn chuyển vị nội lực dầm Các kết chuyển vị nội lực số tiết diện đặc biệt số dầm chịu uốn hay gặp (Bảng1) Kết luận - Bài toán tìm chuyển vị nội lực dầm chịu uốn xét đầy đủ thành phần nội lực mômen uốn lực cắt xây dựng dựa theo giả thiết dầm Timoshenko Biểu thức toán thiết lập dựa nguyên lý cực trị Gauss Trong trường hợp toán có ẩn độc lập cần tìm chuyển vị y biến dạng trượt g - Khi kể thêm ảnh hưởng lực cắt, chuyển vị nội lực dầm chịu uốn có thay đổi so với bỏ qua không xét tới ảnh hưởng lực cắt Lượng thay đổi phụ thuộc vào tỉ lệ chiều cao/chiều dài dầm, phụ thuộc vào hình thức liên kết cách thức truyền tải trọng dầm Dầm có bậc siêu tĩnh lớn, có tỷ lệ h/I lớn chuyển vị nội lực dầm thay đổi nhiều Các dầm có nhiều vùng nội lực không giống (không đối xứng) chịu ảnh hưởng nhiều biến dạng trượt dầm đối xứng - Tác giả kiến nghị công thức tính nội lực chuyển vị số dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực Các kết hoàn toàn hội tụ với trường hợp bỏ qua ảnh hưởng lực cắt h/I nhỏ Các lời giải trường hợp không xét ảnh hưởng lực cắt hoàn toàn trùng với lời giải biết SBVL Như toán bỏ qua ảnh hưởng lực cắt trường hợp riêng toán xét đầy đủ mômen lực cắt - Khi xét đầy đủ hai thành phần nội lực mômen lực cắt, điều kiện liên tục chuyển vị góc xoay xét tới điều kiện liên tục hàm biểu diễn đường đàn hồi y hàm biểu diễn góc xoay mômen gây β Do xét điều kiện biên, tiết diện sát liên dy kết ngàm, có β = 0, góc xoay toàn phần dx = β + γ ≠ , dầm bị xoay góc góc trượt lực cắt gây Hay nói cách khác, liên kết ngàm cản trở góc xoay mômen gây mà không cản trở góc trượt lực cắt gây Nguồn: TC Xây dựng, số 4/2009