VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM VIT HNG V NHểM CON CA NHểM SO(3) Chuyờn ngnh: i s v lý thuyt s Mó s: 60.46.05 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS V TH KHễI THI NGUYấN - 2008 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ó ó é q t ệ ề tr ĩ ự ủ t ọ ó ó ột ố tợ ể ợ ứ ề t ọ ố tợ ợ trì tr ó ủ ó s é q ó ữ q trụ ó ó é q ợ q t ứ ó ó ứ ụ tr í tết s ột í tết ứ q trì ủ ủ ột số ữ ì ệ trớ tr ổ ủ ột ọ ú t ỉ t tr tì ể ết q số t tý trì ợ í tết s t số ứ tr tì ể trú số ủ ó G(p, q) s é q q trụ ó ó q ợt 2/p 2/q ú t ứ ó ú ý t ó ột số ết q s ế p q G(p, q) ó ữ ế p q G(p, q) ó ị ệ ữ G(4, 4) ó ố ứ ủ ì ò tt trờ ợ G(p, q) trù t tr ợ trì t ủ t r ết q í t ủ í ị í trú ị í ỉ r r ó G(p, q) tí tự tí tự ó ủ ó ó ó ị ệ ết q tế t ị í ề t ủ tử ó r ọ tử ủ ó G(p, q) ề ó tể ể ễ ột t tí ủ ột số tử ó ụ tể ị í r tr ố ò ứ ột í ụ ề ó ủ ó s é q ó q tí ủ ột số tỉ s ệt sử ụ ĩ tt ứ ợ ột số trờ ợ ó tr í ụ ó tự s tử ể tệ ệ tí t tr í ụ ọ ề é q tr é q ó tự tí tự tí tự ó ụ ụ s trì ữ ộ í ủ P trì ể ễ ó í t ỗ tử ủ ó G(p, q) P trì G(p, q) trì t ột í ụ ứ ề ó é q G(v, 4) tr ó ó ó q v ột số tỉ trớ ó trì í ụ ứ ề ó G(, 4) ei t cos() s ệt ợ t t tì ủ s ũ ế tỏ í trọ ò ết s s tớ tr trọ t P s ọ P t tr ị t ế tứ sở tr trọ ệ ệ trờ P tr trọ ữ t ọ t ộ ú ỡ t tr q trì t ế tứ ị ột số ị ĩ ết q s Pé q tr é q Pé q ó ột tử ủ ó t ị ĩ é q q trụ ủ ệ trụ tọ ộ tr ề ó q ị ĩ Pé q q trụ ó q tr ề ệ trụ t ộ ề ó ột tử ủ ó ó tr t ứ 0 cos sin sin cos í ệ Rx 0 Rx = cos sin sin cos ũ ị ĩ t tự é q Ry Rz t ứ q trụ tr t ứ ợt cos sin cos sin sin cos sin cos 0 ề tr ủ tế tí ó tể t P tế t trì ý tết ó tự ể ễ ó tí tự tí tự ó t ó tự ị ĩ ột t S ủ ó F ợ ọ sở tự ủ F ế ọ : S G từ ột t S ế ó G ề ó tể rộ t t ột : F G s (s) = (s), s S t ó s S ột ó ủ F ợ ọ F ó tự ! G ế ó ó ột t sở tự F í ụ ét ó ỹ từ ủ tử a ó C ợ ết t ố C ó C = { , a2 , a1 , = a0 , a = a1 , a2 , a3 , }, é ợ ị ĩ aj ó C ột ó tự sở tự t S {a} t ế rộ : S G ột t ì (a) = g G tì : C G ợ ị ĩ (ai ) = g i ể rộ t ú ý r t C ò ó ột sở tự ữ ó {a1 } ó sở tự t ủ C tự t ũ ó ó số = ai+j i, j Z Z C ó tự sở tự {1} {1} ể ễ ó tử s ệ tứ ố t ó ết r ột tử s r ó r ột q ệ ữ ú tờ ù í ệ G = a1 , a2 , a3 , |u1 = v1 , u2 = v2 , , tr ó í tự uj , vj từ t tr ó t u = v uv = ì tế t ó tể ể ễ ó t G = a1 , a2 , |r1 = 1, r2 = 1, , tr ó ri = ui vi1 i = 1, 2, 3, ể t í ệ G = a1 , a2 , |r1 , r2 , ị ĩ S ột ể ễ tử s ó ể ễ ột t P = S|D ột ột t D từ tr S ọ ệ tử ị ĩ P í ệ gp(P ) ó FS /ND tr ó FS ó tự sở tự S ND ó t ủ D tr FS ó ó t ỏ t ủ FS ứ D ó ế r D tì r ND ì tế r = 1gp(P ) ế G = gp(P ) t tờ ết G = S|D tết ệt ó t ó ó ột ể ễ s ế S ó ữ tử tử ế P = S|D ọ ữ q ệ ữ ế D ó ữ S D ề ó ữ tử tì P ột ể ễ ữ ế S = {a1 , a2 , a3 , }, D = {r1 , r2 , r3 , } t sử ụ í ệ P = a1 , a2 , a3 , |r1 , r2 , r3 , , tr trờ ợ ri ợ ọ ệ tử P = a1 , a2 , |r1 = 1, r2 = 1, , tì ri = ọ ệ tứ í ụ s ó a ó ể ễ C = a| ệ tử ị ĩ rỗ ổ qt ó tự FS sở tự S ó ể ễ F = S| ó ữ Cn ó ó ể ễ Cn = a|an = í tự ị ĩ C ợ ết t ố tử ủ sử H K ó ó ợ ọ tí tự H K ế ó iH : H L iK : K L t ề ệ s ọ tr ó : H G : H G G ó t ì tì ó t : L G s = iH = iK ó ể iH H L i K K ! G t õ ể ễ t r tí tự ủ t s ột í ệ ó H H K K ễ t r tí tự tồ t ì t ó tể ết r ể ễ H K sử H K ợ ể ễ H = S|D K = T |E t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết T tứ S T = ì ể ễ H H S K ó K = S T |D E ị ĩ ò ỏ iH iK ữ s tr ữ tử s ề t ế t ị ĩ ọ : H K H t ứ s s t ọ s H t K tì ột iH t tr H ó iH t ũ ó ố ù H K = {1} tự iK , tr ị ĩ ợ (s) = (s) ọ s S (t) = (t) ọ t T tì ị ột từ ị ĩ t ị t r ù ột ị ĩ tì tí tự H K ó tự ứ H K ó H K ợ ọ tử tự ủ H í ụ K Zp = |p = Zq = | q = tì Zp Zq = , |p = 1, q = , Zp Zq = , |p , q ột ể tứ ột từ tr H K ột tí ó h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm km tr ó hi H ki K q t từ ó tể ột h1 km ợ ể ễ tứ ố ủ ể tứ ó tể ó ể tứ ó tể ó ột tr ố h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm km k1 h2 k2 ã ã ã hm km tr ó h1 ợ ể ễ h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm tr ó km ợ ể ễ k1 h2 k2 h2 ã ã ã hm tr ó km ợ ể ễ ố tử ợ ể ễ ọ ộ ủ từ từ ể tứ rỗ ó ộ ột ể tứ ợ ọ rút ọ ế ỗ hi = 1H ki = 1K ể ễ ế ột ể tứ ợ rút ọ ó ột ể tứ t ợ ột tr tử ộ ú ó ế ể tứ tứ hi = 1H h1 k1 ã ã ã ki1 hi ki ã ã ã hm km ó tể t tế ể h1 k1 ã ã ã hi1 (ki1 ki )hi+1 ã ã ã hm km ó ể ễ ù ó tử ế tụ t ố ù t ế ột ể tứ rút ọ ể ễ ù ột ó tử ú ý r ể tứ rỗ ể tứ ợ rút ọ í tr t ó ị í ó tể ứ tết tr tr ị ý ị í t ỗ tử ủ t ó H K ợ ể ễ ột ể tứ h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm km hi = 1H ki = 1K ự H t ó ĩ ế ể tứ tr h1 k1 ã ã ã hm km = h1 k1 ã ã ã hn kn H ki = ki ỗ tr K tr ọ H K tì K ụ tể n = m ỗ hi = hi tr i = 1, 2, , m í tự ó tổ qt ệ ự tí tự s sử H K ó ột ó ì tế ó ột é ú : M H : M K ố ó tự t ứ H K ó ủ ú (M ) (M ) trù tứ H K = (M ) = (M ) ị ĩ ó L ợ ọ tí tự ủ H K ó M ế ó iH : H L iK : K L s iH = iK t ề ệ s ỗ : H G : K G s = tr ó G ó t ì tì ó t : L G t = iH = iK ó ể M H iH L iK ! K G õ ể tr t ễ ỉ r r tí tự ó L=H M L ủ H K M t s ột í ệ K ũ ễ ỉ r r tí tự ó tồ t ì t ó tể ết r ể ễ ễ L=H M K sử H K ợ ể H = S|D K = T |E sử M = Q|V t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết ễ H M S T = ì ể K t ợ t ù t ủ M ó H M K = S T |D E, (q) = (q), q Q iH iK ò ỏ s t ộ tử s ề ữ t ó tể ỉ r H K ố ù = (M ) = (M ) tr ị ĩ ợ (s) = (s), s S (t) = (t), t T tì ị ột t t ị ĩ r trờ ợ t tờ tì H M K q ề tí tự H M ó K ó í ệ ù ợ tờ ợ sử ụ ó A = (M ) H B = (M ) K tì A, B q = : A B ó tí tự ó A = B tờ ợ í ệ H A=B K ợ ể ễ t s H í ụ A=B K = S T |D E, a = (a), a (Q) ét ó ó t ứ q c2 H = c| K = d| A = c2 B = d3 A B d3 tì tí tự t ứ ủ ú G=H A=B K = c, d| c2 = d3 ể sử ụ ó ệ q tí tự ó t ột ể tứ í t t ỗ tử ữ ể tí t ú ũ ể ứ ữ ể tứ G=H A=B K ột tí tự ó í ệ ột từ ột ể tứ ũ ố tr tí tự õ r ỗ tử g G ột ể tứ ó ó ột số ú ý tết t ết H K ợ ú G ì tế t ể tứ ó tự tr G ó tể trừ an ợ t tr (m/4, m/4) ó t sử ụ ể bi trừ b1 , bn+1 trờ ợ ề ú t ột ể tứ ỗ (m/4, m/4) = trừ an an (m/2, m/2) ỗ bi = trừ b1 ó tể t W = S b1 ế an (m/4, m/4) t t E = S bn+1 trờ ợ ò t t E = T m/2 S bn+1 t rờ ợ ế ết tế tụ tr ể ó bi ết ết m/2 ế ỗ a1 an m/4 ó tể rút ọ ộ ủ g s t t sử ụ ể q bi = s ó sử ụ ệ tứ SU S = U SU, SU S = U SU ể ế ổ T ai1 ST m/4 ST ai+1 t T ai1 m/4 ST ai+1 m/4 T m/4 = U, T m/4 = T 3m/4 = U ST m/4 S = T m/4 ST m/4 ì r ết q ó tể ó số ũ ủ T ết m/2 t sử ụ q ề từ ó ộ từ ó ộ ữ ố ù t t ợ tr ó số trừ a1 an ết ế m/4 a1 ết m/4 t t W = S b1 T a1 ì ó T a1 H ò t t ế t t W = S b1 an ết m/4 t t E = ST an S bn+1 ì T an H ò E = S bn+1 r ỗ trờ ợ g ó g = W S b1 T a1 ã ã ã S bn T an E, W , E H = G(4, 4, 4) bi ết m/4 ố ể ó ế tết W, E, , bi t từ tr q ữ tử t tử ủ H1 ó H s S SU S r tử s S ó tể q tử S b T a ế ổ ó t S b T a r ó SU S ó tể ợ tụ tr tr ột tử ủ ST a SU S ST a = SU T a = ST a+m/4 , t ổ ề ệ ết m/4 tử tr H1 ó ị ỏ từ W ợ ể t H = H1 S H1 U H1 t ó tể ế ổ W t I S U s ó t ọ W ó t ệ từ tr q sử ụ ể t ổ ột số bi từ t sử ụ ể (m/4, m/4) ố ù ế an < t t E = U E ò t t E = E tử U t t an (0, m/4) t t ợ ứ ổ ề tết t ó g = W ST a1 ã ã ã ST an E, g = W ST a1 ã ã ã ST an E , ế r W, , E, W , , E ỉ r r ó t ọ ú t ể tứ W , n , , E ỗ ọ W ST a1 ã ã ã ST an EW ST a1 ã ã ã ST an E ề tổ qt W S b1 T a1 ã ã ã S bN T aN E, bi ết m/4 W, E H ổ ề tì ể tứ tr tể ị t ổ ề t ét trờ ợ ủ ự ọ gg = I ứ m sử m ọ W t EW ế S ột ỹ từ ủ S ợ tự ệ tì W ST a1 ã ã ã ST an (EW S)T a1 ã ã ã ST an E ó W {I, S } ó í ột ọ từ EW tử S ột ỹ từ ủ S ó ó tể q tt ST a t ể tứ W ST a1 ã ã ã ST an T a1 ã ã ã ST an E tr ó ữ số ũ E EW S số ũ ế an + a1 = t ó ì tế t ó an + a1 = a1 = an t ột tử S t tì t trị t ủ a2 t ể tr ế tụ q trì ỗ ị an+1i ữ ì t trớ ó tể ó ì ể ột ỹ từ ủ t ế n =n ST a ST a ị n = n ỗ ợ ọ ú ố ù t t ợ W ì (sự ỹ từ ủ ) ì E ó ọ ự t ủ E ể tứ ị sử m = 2k, k í ũ t tự E ột ỹ từ ủ S ó tể U trớ ế ỹ từ ó t ọ W = I tr ó ế ỹ từ ó t ọ W = S ế ự ọ ợ tự ệ t ó tể ỗ tử U ề í t ợ tể I ế ự ọ ợ tự ệ tì EW S ột ỹ từ ủ S ó tể U ó tể ợ q tử ST a ó tế tụ t tự tr ỗ = an+1i E ị ữ tử ò s ữ tử ST a ị t ố ù sử m ết ũ í t tự ột ổ ứ t ế từ ỹ từ ủ ó tử ó H1 ủ H s SU S S ủ ữ tử ó tể ợ q t U r t ST a ết gg W ST a1 ã ã ã ST an S (SEW )ST a1 ã ã ã ST an E SEW ó tể ợ ể tị xh tr ó x {I, S , U } h H1 ó tể h t tt ề ể tứ ó W ST a1 ã ã ã ST an S xST a1 ã ã ã ST an E ế x = S ể tứ ó tể I ế x = U t sử ụ t tứ S U S = U S U tụ ỹ từ ủ U T an T a1 ể t ể tứ ó ỉ ó ột gg = I x = I t SEW H1 ù ớ ể tr ó ỗ E H ó t W {I, S , U } t SEW H1 ột W ợ ọ h ợ ề t ó ột ể tứ ó W ST a1 ã ã ã ST an T a1 ã ã ã ST an E tr ó ữ a E ợ ị số ũ t ứ ế an + a1 ết tr ị a1 trị ủ m/4 (m/4, m/4) ó a1 ể an + a1 ết m/4 ột an + a1 = trờ ợ an + a1 = m/4 ế an + a1 = m/4 t sử ụ tứ tí t ủ an1 a2 ết ó a1 m/4 ể ó ó t = an tự a2 ị an1 tế tụ tr t ó n = n n t ó ể tứ W ST a1 T an (ế ổ ỹ từ ủ S )hE ể í r ị ế a1 + an = m/4 tể ù tế an (0, m/4) ột tr a1 m/4 a1 , (0, m/4) ó tể ỉ ột trị ủ an ữ từ ột tr ự ọ ợ tự ệ W ST a1 T an (ế ổ ỹ từ ủ S )h H E ợ ọ tử ị ủ tử t q trở í t ó t ó 2/p A = Rx 2/q , B = Rz ế G(p, q) tổ qt p, q ề tì G(p, q) ột tí tự ọ tử ủ ó ợ ết t Aa1 B b1 ã ã ã Aan B bn , (p/2, p/2), bj (q/2, q/2) tt số ũ ó tể trừ a1 an ế p q ù ết tì G(p, q) = G([p, q], 4, 1) í t ủ ó ợ ị í ế p q ết ét í t ủ ó tr ị í ị ĩ í t trờ ợ ỳ tộ ệ ụ t sử ụ ột tr í t ệ q t ị ĩ í t p, q ữ số tự p q ết ột tí tt số ũ ó tể trừ a1 bn ợ ọ í t ế i > 1, (p/4, p/4]; a1 (p/2, p/2]; b1 (q/2, q/2] ó tể b1 = q/2 ế n = j > 1, bj (q/2, q/2) ế q bj (q/4, q/4) ế q í t ế ó tể i < n, (p/4, p/4]; an (p/2, p/2] p/2 ế n = 1; bn (q/2, q/2] j < n, bj (q/2, q/2) ế q bj (q/4, q/4) ế q í t ế i > 1, (p/4, p/4]; a1 (p/2, p/2]; bn (q/2, q/2] j < n, bj (q/2, q/2) ế q bj (q/4, q/4) ế q ự t ệt ữ í t ị trí t tử Rx Rz r í t ú ợ t tr tr í t ú ợ t tr í t ể s tr Rx ợ Rz ợ ể s ế q Rz t ệ í t í t trù ị ý í t ó số ủ G(p, q) p q G(p, q) p, q ữ ết ỗ tử ợ ết t ó í t í t í t ứ ứ ủ t ợ ột số t t ỉ r r ỗ tử ủ G(p, q) ó tể ợ t tr ỗ í t ế t t ỉ r r ỉ ó í t ó tử t A0 B ó t ỉ r í t t ỉ r ỗ tử tr í t ó ột tử ị t tr í t ố ù t ỉ r í t t ỗ q ệ ú í t ó ù ộ ứ ị í ú ý t ó ị í t ụ tí t tr ị í t tử ủ A B A B s r ó G(p, q) từ Ap = B q = I ỗ G(p, q) ó tể ợ ết ỗ (p/2, p/2], bj (q/2, q/2] tt số ũ ề trừ a1 bn ế ỗ = p/2 trừ a1 t ó tể sử ụ Aa B b Ap/2 B b = Aa+p/2 B b b ể rút ọ ể tứ t ị í t ó p/2 p/2 = b p/2 = p/2 b B b Ap/2 = Ap/2 B b tự ế ỗ bj = q/2 trừ bn t ó tể rút ọ ể tứ sử ụ từ ị í t ó ỗ Aa B q/2 Aa B b = Aaa B b+q/2 ũ B q/2 Aa = Aa B q/2 ó t ó tể t ợ i > 1, = (p/2, p/2) ỗ j < n, = bj (q/2, q/2) sử q ể t ể tứ ủ t í t í t t ề ỉ ữ số ũ , i > tộ (p/4, p/4] p/2 ũ ố ứ ị í ế (p/4, p/2) t ết = p/2 + p/2 tì p/2 (p/4, 0) t ú p/2 t tự ế (p/2, p/4] tì t ú + p/2 sử ụ ệ tứ Aai1 B b Aai p/2 = Aai1 B b Ap/2 Aai = Aai1 Ap/2 B b Aai = Aai1 +p/2 B b Aai , ụ ị í t ề ỉ từ an ù sử ụ an1 bn1 s ó an1 ù sử ụ an2 bn2 tế tụ ế tt (p/4, p/4] ó tể trừ a1 r q trì ột số bj ó tể ị ổ t ổ ề ệ bj (q/2, q/2), bj = r b1 ết q/2 bj ò ũ ết q/2 ể t ể tứ ủ t í t t t ề ỉ a1 ù sử ụ b1 a2 sử ụ ệ tứ tr ú ý r t ũ ó Aai1 p/2 B b Aai = Aai1 B b Aai +p/2 s ó ề ỉ a2 ế an1 t rõ r ột ể tứ tr í t ó tể ợ ế ổ t ột ể tứ tr í t ù ộ ợ sử q ể t ể tứ tr ỗ í t t t ề ỉ số ũ bj sử ụ ệ tứ B bi Aa B bi+1 +q/2 = B bi +q/2 Aa B bi+1 ể bj (q/4, q/4) ể ề í t ụ B bi +q/2 Aa B bi+1 = B bi Aa B bi+1 +q/2 , ể ề í t ế t ề ỉ ũ ố trờ ợ ề ệ q t ề ệ bj (q/4, q/4) t bj (q/4, q/4) ề ỉ tớ ề ệ ủ bj ữ rõ r ể ổ từ ột í t s í t t ổ ộ ủ từ ỉ r r ột từ t tờ tr í t tể ị ự t ũ ố í ứ ị í ú s 2/m T = Rx G(p, q) G(m, 4, 1) tr ó m = pq G(m, 4, 1) ết ột từ số ũ ủ tử /2 S = Ry ú ý r A = T q , B = S T p S A B ột từ S T ù tt S tr từ ề ể tứ ố ột T m/4 ó tể t ệ ỏ ề sử ụ ệ tứ T b S T m/4 ST b = T bm/4 S T b +m/4 S U S = U S U S T m/4 S = T m/4 S T m/4 rừ từ A0 B ; A0 B q/2 ; Ap/2 B Ap/2 B q/2 ết q ủ ế ổ t ổ ề tể ị trờ ợ ệt Ap/2 B , A0 B q/2 Ap/2 B q/2 ợ t r ể tr ị ỉ r r ỗ từ tr í t ó t ột ị tr í t ết g = Aa1 B b1 ã ã ã Aan B bn , g = Aa1 B b1 ã ã ã Aan B bn , tr ó g tr í t g tr í t ỉ r r trừ ữ bi ợ ự ọ í tí gg ợ t tr í t ì tế tr ị ứ ề q ự t ủ tử ị ễ ể tr tử ị n = P Aa B b a, b ề A0 B b Aa B trừ q b (q/4, q/4) tr trờ ợ tử ị A0 B q/2b Aa B q/2 P tử ị t ủ Aa B Aa B tử ị t ủ A0 B b A0 B b tử ị t A0 B A0 B t sử ề ị ợ ứ ột ể tứ ủ trừ an n = k t ó g ó ộ n = k + ế bn = t ó a1 = an = p/4 trờ ợ a1 = p/4 tí gg = Aa1 B b1 ã ã ã Aan +a1 B b1 ã ã ã Aan B bn ế a1 ợ ự ọ ú số ũ an + a1 ết p/2 ì tế ể ỹ từ ủ Ap/2 B q/2 từ tr q ể tứ ó tể t tr í t t tờ ì tế tể ị a1 ợ ự ọ ú gAa1 ột từ ó ộ n = k ó ó tể ợ ế ổ s í t ì tế t tết q tì ị tr í t t ợ ị ị í A0 B b ã ã ã Aan B bn, ì tế b1 , a2 , ợ ị t ế bn = t ó a1 = gg = Aa1 B b1 ã ã ã Aan B bn Aa1 B b1 ã ã ã Aan , ó tể t tự ợ ộ tr í t t tờ í t tự t ó b1 = bn gB b1 ột từ ó ộ k + số ũ ố ù tử ị ợ ị t tr s trớ ỗ tử g G(p, q) ó tể ợ t tr í t ề ỉ r r ỗ tử g G(p, q) ó t ột ị tr í t ó g = (g )1 ó ột í t t ế số từ ó ộ n ỗ ệt số ọ ỗ bi ố pq(p/2 1)n1 (q 1)n1 ế q pq(p/2 1)n1 (q/2 1)n1 ế q ỗ í t ét t ợ tt í t ó ộ n ỏ ỉ r r ú ó tể ợ ể s í t ó ộ n ỏ số í t số í t ỗ í t t ứ ỗ tử ệt ủ G(p, q) ỗ í t t ợ í t ó ỗ í t ệt ó ộ n ỏ t ứ í t ệt ế ữ tử ệt ủ G(p, q) ì n tỳ ý ề ỉ r r í t t í t tự t ũ ỉ r r í t t ét ế r t ét ó G(p, q) p, q ữ số p q t t p = p q = q t ó ó G(p , q ) tr ét t trờ ợ p, q số ữ tỉ p = t/k, q = r/s t, r k, s = t Rx2/p = Rx2k/t = (Rx2/t )k G(t, r), Rz2/q = (Rz2/r )s G(t, r) ó G(p, q) G(t, r) í t ó G(p, q) ễ s r từ ó G(t, r) ét tr ò trờ ợ p, q ữ số tỉ s ệt s t ét ột trờ ợ ệt ó q p số tỉ ột trờ ợ ó ó ei s ệt Pé q số s ệt r ú t trì ột í ụ ứ ề ó G(v, 4) 2/4 Rxv , Ry tr ó = v tí ủ ột số tỉ trớ ó ó ị í ứ ề ó 2/4 G(, 4) = Rx , Ry ei s ệt ể ễ ó v = tan1 (1/2) = tan1 (4/3) r ề ét ó /2 G(v, 4, 4) s T = Rxv , Rx /2 Ry ét ó G(v, 4, 1) s /2 T = Rxv Ry ó G(v, 1, v) ũ ó ột số ết qủ t tự trờ ợ số ữ tỉ ổ ề ột ể tứ W S b1 T a1 ã ã ã S bn T an E, W, E G(1, 4, 1) ỗ bi ỗ = n > tể ị ứ ố tr ổ ề t ét tí Fa ST a tr ó Fa tử số ỉ r r tt tử ủ tr tộ R ỉ r tử tộ tố I r ổ ề t ì R = Z I í R/I = Z5 Fa = 5|a| tan v = 1/2 cos v = 3/5, sin v = 4/5 cos nv sin nv t ứ tự ủ (3 + 4i)n /5n ế n > tì tự (3 + 4i)n t tứ tự sử ụ tí t ề t ễ ứ ề q ó ỗ số a 5a cos(av) 5a sin(av) số tự a < 5a cos(av) = 5a cos(av) ết ợ ế 5a sin(av) = 5a sin(av) số ết ì S bi T ó Fai S bi T ó ( mod 5), 0 , , , tử ủ Z5 tí ủ ề tử ó ì tế F = F S b1 T a1 S b2 T a2 ã ã ã S bn T bn tr ó n i=1 Fai ó tr tr ó G(1, 4, 1) tr tì tr ó trở t tr ổ ị ì tế tr F W S b1 T a1 S b2 T a2 ã ã ã S bn T bn E ó tử tr Z5 F ột tr ị ột tr t ó F W S b1 T a1 S b2 T a2 ã ã ã S bn T bn E tể ttr ị ị ý , | , ứ ó G(v, 4, 1) é t t ứ trừ tợ tớ s S T ó ể ễ T, S T S từ ó G(v, 4, 1) ó t ỉ r r ó ụ ữ ệ tứ ết t a = a , = ỗ từ ợ ợ ết ột ỹ từ ủ ợ ết bW a1 a2 ã ã ã an bE tr ó n > ỗ = ổ ề ủ ó ột ể tứ tr ị ỉ ó t ỹ từ ủ ệ q ó G(v, 4, 1) q ó ị = G(v, 1, v) ủ ó G(v, 4, 1) ó tự s tử tử s t ứ ứ T S T S ỗ từ t tờ ết T S T S ó ì tế ó ị ó ị ý = ei tr ó X V ị ĩ é q t cos() X = Rx V = S XS = Rz s ệt ì ó s ó tự tử s ứ ỗ từ tr ó s X V ó X b1 V d1 X b2 ã ã ã V d1 X b1 V d2 ã ã ã t ó tể ể tị X b1 S X d1 SX b2 ã ã ã S X d1 SX b1 S X d2 ã ã ã sử ụ ệ tứ S X a = X a S t ó tể t ể tứ tr S a SX c1 SX c2 ã ã ã SX cn S b , tr ó a, b, cj ữ số ị ĩ ó tự tì tt ữ ì t ỉ r r n > tì S a SX c1 SX c2 ã ã ã SX cn S b tr ị ỗ tử SX cj ó sj cj cj sj , 0 = cos(cj ) = ( cj + cj )/2, sj = sin(cj ) = ( cj cj )/2i tr ó cj P tử ủ tr tí tử j SX c1 SX c2 ã ã ã SX cn tổ số ỗ số cos(cj ) = j (( cj + cj )/2) ủ tử ủ tt SX cj ột tứ ủ số ò ỗ số ứ ề t ột ỹ từ ủ tử ì tế ó ột tứ t ủ số tí j ổ ột tứ ù cos(cj ) s ệt tứ tể tử tr S a S b ố ị tr ó ột tử ủ S a SX c1 SX c2 ã ã ã SX cn S b ì tế S a SX c1 SX c2 ã ã ã SX cn S b tể ị ết r ú t trì s ợ ột số ệ ề é q tr é q ó tự í tự ủ í tự ó ó ú t trì ứ ột tỉ ỉ ột ủ rs r ứ ề trú í t ó G(p, q) ó ủ ó SO(3) t q ị í q trọ ị í ị í ố ù ò trì ột ứ ề ó 2/4 Ry tr ó G(v, 4) s Rxv v tí ột số tỉ ó trì ột í ụ ứ ề ó 2/4 G(, 4) = Rx , Ry ei s ệt ế ó ề ệ ú t rt ố ứ t ề ó p, l, q số G(p, l, q) ệ t ễ ũ ủ ễ ễ ọ P ù ề số ọ t ọ ố ộ ệt r trì số tế tí t ọ ố ộ rs r tr r r s ts tts rs r rs sst t s r