BA PP DAI SO GIAI PTH

Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân LI NểI U Tht khú m phõn bit mt cỏch rch rũi gia cỏc loi toỏn: i s, Gii tớch, S hc, Hỡnh hc cng nh T hp Tuy nhiờn, nu ủ ý thi gian qua, cỏc bi toỏn thi hc sinh gii cỏc cp núi chung thỡ hu nh bi toỏn thuc loi no ủu tn ti mt li gii thuc loi tng ng cho nú Vỡ vy, nu nm ủc ý ny thỡ vic ủnh hng tỡm li gii ca thớ sinh cng d dng hn Trờn tinh thn ủú, Tụi cng ủó chia cỏc phng phỏp gii phng trỡnh hm thnh ba dng: Phng phỏp ủi s, Phng phỏp gii tớch v Phng phỏp s hc Trong sỏng kin kinh nghim ln ny, Tụi la chn ba phng phỏp tng ủi ph bin ca ủi s ủ gii thiu ủú l: Chn giỏ tr ủc bit ca ủi s; Lp phng trỡnh, h phng trỡnh ủ gii v Vn dng tớnh ủn ỏnh, ton ỏnh ca hm s cng nh vic xem xỏc ủnh, giỏ tr ca hm s mt khớa cnh khỏc Theo Tụi, ủi vi mt hc sinh gii, vic trỡnh by li li gii ca mt bi toỏn ủó bit cỏch gii khụng phi l ủ khú Vỡ vy, ủ bi vit khụng quỏ di Tụi ch cỏch phõn tớch tỡm li gii m khụng trỡnh by li gii chi tit Mc dự rt nghiờm tỳc, c gng quỏ trỡnh lm sỏng kin kinh nghim ny nhng khú trỏnh thiu sút rt mong s gúp ý ca ủng nghip Pleiku, Thỏng 03 nm 2011 Ngi vit Hunh Thanh Luõn Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân NI DUNG CC PHNG PHP Phng phỏp I: CHN GI TR C BIT CA I S Trc tiờn hóy xem cỏch tỡm li gii ca cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 1: Tỡm hm s f : ( 0; + ) , tha ủiu kin sau: f = ( ) f ( xy ) = f ( x ) f + f ( y ) f , x, y > x y (1) Phõn tớch tỡm li gii: Trong tớnh cht ủ cho cú cha phộp toỏn nhõn v thng gia hai ủi s nờn ta s th chn mt ủi s bng ủn v ca phộp nhõn Chn y = ta ủc mt tớnh cht ca hm: f ( x ) = f ( 3) f ( x ) + f (1) f , x > x (2) Nh vy ta cú nhu cu tớnh f ( 3) , f (1) T tớnh cht (2) ca hm s, chn ủi s ln lt l v ta ủc: f ( 3) = f ( 3) + f (1) f ( 3) f (1) = f (1) f ( 3) + f (1) T ủú ta tớnh ủc f (1) = f ( 3) = Do ủú tớnh cht (2) tr thnh: f ( x) = 1 f ( x) + 2 3 f , x > f = f ( x ) , x > x x (3) Theo tớnh cht (3) thỡ tớnh cht (1) ca hm s tr thnh: Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) , x, y > f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) , x, y > (4) nhỡn cho d ta ủt g: ( 0; + ) ;g ( x ) = f ( x ) , x > Khi ủú hm y = g ( x ) cú cỏc tớnh cht sau: g ( xy ) = g ( x ) g ( y ) , x, y > g = g ( x ) , x > x g (1) = g ( 3) = Ta cú: 3 g x = g ( x ) g , x > = g ( x ) , x > g ( x ) = 1, x > x x Vỡ hm nhõn tớnh luụn nhn giỏ tr khụng õm n ủõy ta ủó tỡm li gii cho bi toỏn Lu ý: Dự hm y = g ( x ) nhõn tớnh nhng ta khụng suy ủc l hm ly tha vỡ ta cha cú tớnh liờn tc ca nú Bi toỏn 2: Tỡm hm s f : , tha f (( x y ) ) = x 2 yf ( x ) + f ( y ) , x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: T tớnh cht ca hm s m ủ cho ta s ngh ủn vic th chn hai ủi s bng Khi ủú ta ủc tớnh cht sau f ( ) = f ( x ) x , x (2) Nh vy ta cú nhu cu tớnh f ( ) Theo tớnh cht (2) ta cú: f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) = TH 1: f ( ) = Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân T tớnh cht (2) ta ủc f ( x ) = x, x TH : f ( ) = Theo tớnh cht (2) thỡ vi mi s thc bt k x thỡ f ( x ) x = tc f ( x ) = x Ta cn lu ý rng kt qu ta tỡm ủc trờn cha xỏc ủnh hm s vỡ vi mi phn t no ủú ca xỏc ủnh ta cha xỏc ủnh ủc nh ca nú Khi gp trng hp ny ta gii quyt nh sau: f ( x ) = x + 1, x u tiờn ta th xem hai hm s cú phi l nghim ca f ( x ) = x 1, x phng trỡnh hay khụng Nu chỳng l nghim thỡ ta s ủi chng minh hoc f ( x ) = x + 1, x hoc f ( x ) = x 1, x bng phn chng Tc gi s tn f ( a ) = a + ri ủi tỡm mõu thun Cũn nu thy hm s ti hai s a, b cho f b = b ( ) no khụng phi l nghim thỡ ta s chng minh khụng xy trng hp tng ng Vớ d bi ny hm f ( x ) = x 1, x khụng l nghim nờn ta s chng minh f ( x ) x 1, x bng phn chng Tht vy, gi s t : f ( t ) = t ta cú: x = t x = T tớnh cht (1) chn thỡ ta ủc f ( t ) = t + , cũn chn thỡ ta li y = y = t cú f ( t ) = 2t + f ( t ) = 2t + ( t 1) = t 4t + 2 Suy t + = t 4t + t = Nh vy : = f ( ) = (mõu thun) n ủõy ta ủó tỡm li gii cho bi toỏn Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Bi toỏn 3: Tỡm hm s f : , tha ( f ( x + y )) = f ( x ) f ( x + y ) + yf ( y ) , x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: T tớnh cht ca hm s m ủ cho ta s ngh ủn vic th chn hai ủi s ủi Khi ủú ta ủc cỏc tớnh cht sau x = t Trong (1) nu chn vi t bt k thỡ y = t ( f ( 0)) = f ( t ) f ( t ) tf ( t ) , t (2) x = t Cũn nu chn vi t bt k thỡ y = t ( f ( 0)) = f ( t ) f ( t ) + tf ( t ) , t (3) T ủú suy tf ( t ) = tf ( t ) , t f ( t ) = f ( t ) , t (4) V ủú cỏc tớnh cht (2), (3) ủc vit li ( f ( 0)) = f ( t ) + tf ( t ) , t (5) Ta cn tớnh f ( ) Vỡ tớnh cht (5) ch ủỳng vi t nờn ủ tớnh f ( ) ta s bin ủi (5) nh sau 2 t t2 t2 f ( t ) = ( f ( ) ) , t ( f ( ) ) , t f ( ) = 4 V ủú vi mi s thc bt k t thỡ f (t ) = = f ( t ) + tf ( t ) f ( t ) = t n ủõy, ging nh ủó lu ý phn trc ta s th v nhn thy c hai hm f ( x ) = 0, x f ( x ) = x, x ủu l nghim ca phng trỡnh nờn ta s chn cỏch chng minh sau Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân f ( a ) = Gi s ab : f ( b ) = b x = a thỡ ta cú Theo tớnh cht (1) nu chn y = b ( f ( a + b )) = b2 f ( a + b ) = a + b v ủú ( a + b) a + b = b = b2 a = 2b a + b = b x = b Cng li t (1) nu chn thỡ y = a = b ( f ( b ) ) = f ( b ) f ( 3b ) 2bf ( 2b ) b = bf ( 3b ) f ( 3b ) = b f ( 3b ) = 3b 3b = b b = ( >< ) Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii Bi toỏn 4: Tỡm hm s f : , tha f ( f ( x ) + y ) = f ( x y ) + yf ( x ) , x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: Do tớnh cht ca hm m gi thit cho cú dng vi phõn cp { f ( f ( x ) + y )} nờn ta th chn ủi s cho hai s hng f ( f ( x ) + y ) v f ( x y ) trit tiờu Ta thy f ( x ) + y = x y y = x f ( x ) , nờn vi t l mt s thc tựy x = t ý theo tớnh cht (1) chn ta ủc y = x f x ( ) Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân f (t ) = t f ( t ) f ( t ) = f ( t ) = t Cỏch gii quyt gp tỡnh ny ta ủó bit f ( a ) = Gi s: ab : T tớnh cht (1) ca hm s f ( b ) = b x = a thỡ cú *) Nu chn y = b f ( f ( a ) + b ) = f ( a b ) + 4bf ( a ) f ( a b ) = b2 f ( a2 b ) = ( a2 b ) ( a b ) = b a = 2b ab Tc ta cú tớnh cht sau: Nu f ( a ) = thỡ a = 2b f (b) = b (2) x = a *) Nu chn thỡ cú y = b f ( f ( a ) + 2b ) = f ( a 2b ) + 8bf ( a ) f ( 2b ) = b.( 2b ) Suy f ( 2b ) = theo (2) ta cú ( 2b ) = 2b b = f (b) = b Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân f Nh vy ta li ủc tớnh cht mi ca hm s ủó cho f 1 = = 2 ( x ) = 0, x x = *) Cng li t (1) nu chn thỡ y = f f =f = ( >< ) Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii Bi toỏn 5: Tỡm hm s f : , tha f ( f ( x y ) ) = f ( x ) f ( y ) + f ( x ) f ( y ) xy, x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: Cng cú nhn xột tng t bi toỏn 4, nhiờn vi gi thit ny Ta khụng chn ủc giỏ tr ca ủi s lm cho hai s hng no ủú trit tiờu ủc nờn Ta ch cú th chn ủ xut hin cỏc s hng ủc bit, ri sau ủú tỡm cỏch tớnh giỏ tr hm tng ng ủ chuyn v dng vi phõn cp Chn hai ủi s bng nhau: f ( f ( ) ) = f ( x ) x , x (2) Cn tớnh f ( ) t f ( ) = a Ta ghi li tớnh cht (2) f ( a ) = f ( x ) x , x (3) T tớnh cht (3) ta cú: *) x = f ( a ) = a f ( x ) x = a , x a = *) x = a f ( a ) a = a a a = a a = 2 Ta d ủoỏn rng a = Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Cng li t (3), x = a f ( a ) a = a , cn tớnh f ( a ) Vỡ x = a Khi ủú, f ( a ) = f ( f ( a ) ) nờn t (1) ta chn y = f ( f ( a ) ) = f ( a ) f ( ) + f ( a ) f ( ) f ( a ) = a a + a3 ( a a + a3 )2 = a + a Suy a = a = a = Nh vy, (3) ủc vit li, vi mi s thc x bt k thỡ f ( x) = x f ( x ) = x f ( x ) = x Cỏch x lý tớnh cht ny ủó tng ủi quen thuc Do ta nhn thy hm f ( x ) = x, x khụng l nghim ca phng trỡnh nờn Ta lm theo hng Gi s x0 : f ( x0 ) = x0 T (1) cú: x = x0 *) f ( x0 ) = x0 y = x = *) f ( x0 ) = f ( x0 ) y = x0 Suy x0 = ( x0 ) x0 = Vi nhng tớnh cht ủó tỡm thỡ ta cú th tỡm ủc li gii cho bi toỏn Tng kt: Mt cỏch tng t nh vic bin ủi gii Phng trỡnh s m Ta ủó quen thuc, nhm chuyn ủiu kin ca gi thit thnh cỏc ủiu kin ủn gin hn, thỡ gii Phng trỡnh hm, vic la chn cỏc bin s phự hp vi mc ủớch t tớnh cht ca hm m ủ cho Ta thu ủc cỏc tớnh cht khỏc ca hm ủn gin hn m cú li vic tỡm hm s Trang Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Hai ủnh hng chớnh cho Ta chn ủi s, mt l: chn ủi s cho xut hin cỏc giỏ tr hm cú th tớnh ủc; hai l: xut hin cỏc s hng cú th trit tiờu Lu ý rng vic la chn phi cú tớnh k tha, tc l vic chn ủi s sau phi lu ý dựng kt qu ủó chn trc Trang 10 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Phng phỏp II: LP PHNG TRèNH H PHNG TRèNH Chc khụng cn phi chỳ thớch thờm gỡ vỡ phng phỏp gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh v h phng trỡnh ủó ủc lm quen vi ngi hc toỏn t lp 9, Ta hóy xem phng phỏp ủú ỏp dng loi toỏn ny nh th no qua cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 6: Tỡm hm s f : , tha i ) f ( x ) = f ( x ) , x ii ) f ( x + 1) = f ( x ) + 1, x f ( x) iii ) f = , x x x Phõn tớch tỡm li gii: t +1 Ta tớnh f , t 1;0 theo f ( t ) bng hai cỏch t t +1 C1 : f = t f + = + t f (t ) f =1+ t t t f ( t + 1) + f ( t ) f f f 1 2 t + 1) t + 1) ( ( t +1 t +1 t +1 t +1 = = = = C2 : f = 2 2 t t t t t t t +1 t +1 t +1 t +1 t +1 Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii Bi toỏn 7: Tỡm hm s f : , tha f ( x3 y ) = x f ( x ) y f ( y ) , x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: Trc tiờn ta s dựng phng phỏp I ủ chuyn tớnh cht ca hm m ủ cho thnh cỏc tớnh cht d dựng Trang 11 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Trong (1), y = f ( x ) = x f ( x ) , x v ủú tớnh cht (1) cng cú th vit f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) , x, y hay f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) , x, y (2) Trong (2), x = y f ( ) = 0; x = f ( y ) = f ( y ) , y v ủú (2) ủc vit f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , x, y (3) Hm cú tớnh cng tớnh nờn ta d dng cú ủc f ( kx ) = kf ( x ) , x , k Bõy gi ta tng kt li cỏc tớnh cht ca hm ủó tỡm ủc: f f f f ( x + y ) = x f ( x ) + y f ( y ) , x, y ( x ) = x f ( x ) , x 3 2 ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , x, y ( kx ) = kf ( x ) , x , k Vi nhng tớnh cht ủú ta cú th tớnh f (( x 1) + ( x + 1) ) theo 3 f ( x ) bng hai cỏch nh sau (vic la chn biu thc ủi s l ( x 1) + ( x + 1) s ủc gii thớch 3 xem xong hai cỏch tớnh) Cỏch 1: f (( x 1) + ( x + 1) ) = f ( 2x 3 + x ) = f ( x ) + f ( x ) = x f ( x ) + f ( x ) , x Cỏch 2: f (( x 1) + ( x + 1) ) = f ( x 1) + f ( x + 1) 3 3 = ( x 1) f ( x 1) + ( x + 1) f ( x + 1) 2 = ( x 1) f ( x ) f (1) + ( x + 1) f ( x ) + f (1) = ( x + ) f ( x ) + xf (1) , x 2 Trang 12 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân T ủú ta cú: x f ( x ) + f ( x ) = ( x + ) f ( x ) + xf (1) , x f ( x ) = f (1) x, x Ta ủó tỡm ủc li gii cho bi toỏn Lu ý: Vic la chn biu thc ủi s ủ tớnh nh hai vớ d trờn xut phỏt t cỏc tớnh cht ca hm s m ta cú Bi toỏn 8: Tỡm hm s f : , tha x f ( x ) + f (1 x ) = x x , x (1) Phõn tớch tỡm li gii: Tớnh cht (1) cú th vit (1 x ) f (1 x ) + f ( x ) = (1 x ) (1 x ) , x (2) Nh vy, vi mi s thc bt k x ta cú h x f ( x ) + f (1 x ) = x x (1 x ) f (1 x ) + f ( x ) = (1 x ) (1 x ) nh thc ca h: D= x2 1 (1 x ) = ( x x 1)( x x + 1) ; D f ( x ) = (1 x )( x x 1)( x x + 1) Suy ra, f ( x ) = x , x : x x Nu gi a, b l hai nghim ca pt x x = Khi ủú ta cú: f ( x ) = (1 x ) , x a, b xỏc ủnh giỏ tr ca hm ti a, b ta thay nú vo lp h ủ gii Lu ý dựng ủnh lý Viete x = a a f ( a ) + f ( b ) = 2a a x = b b f ( b ) + f ( a ) = 2b b Trang 13 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân H cú D = Dx = Dy nờn nghim ca h chớnh l nghim ca phng trỡnh f ( a ) = , a f ( a ) + f ( b ) = 2a a f ( b ) = 2a a a Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii n ủõy chc ta s ủt cõu hi l nu h ta lp cú ủnh thc D = , hay núi cỏch khỏc l ta khụng thu thờm ủc tớnh cht no mi tin hnh ủi bin thỡ ủ s gii quyt sao? Hóy tỡm hiu chỳng qua cỏc bi toỏn tip Bi toỏn 9: Tỡm hm s f : \ {2} , tha 2x f + f ( x ) = 3, x x2 Phõn tớch tỡm li gii: u tiờn ta s chun húa, tc lm cho v phi bng 2x 2x f + f ( x ) = 3, x f + f ( x ) = 0, x 2 x2 x2 Nu xột hm mi g ( x ) = f ( x ) , x thỡ hm ny cú tớnh cht: 2x g + g ( x ) = 0, x x2 x1 = x Ta lu ý l dóy tun hon chu k n0 = nờn ta khụng thu xn x = , n n + xn ủc tớnh cht mi ca hm t vic ủi bin Lỳc ny ta cn hng ủng thc hin nhiờn sau: a+b=0 a = [ a b] Trang 14 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Do ủú, 2x g + g ( x ) = 0, x x2 2x g ( x) = g ( x) g + , x 2 x2 Ta s chng minh 2x g ( x) = g ( x) g + , x 2 x2 2x g ( x ) = k ( x ) k + , x , x2 vi y = k ( x ) l hm s tựy ý xỏc ủnh trờn \ {2} Tht vy | Ta ch vic chn hm k ( x ) = g ( x ) , x 2x x x | x 2, g ( x ) g = k ( x ) k k k ( x ) x2 x x 2x = k ( x) k = 2g ( x) x2 Th mt bi toỏn na ủ tỡm cõu tr li Bi toỏn 10: Tỡm hm s f : \ {1;0} , tha ( ) f ( ( x ) ) + f ( ( x ) ) + f ( x ) = 0, x 1;0 , ủú ( x ) = , x x +1 Phõn tớch tỡm li gii: Trang 15 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân x1 = x l Cng tng t nh bi toỏn 9, dóy s tng ng ủõy x = x , n ( ) n+1 n tun hon chu k n0 = , nờn Ta cng khụng gii bi ny bng phng phỏp lp h Hóy dựng ủng thc sau: a+b+c =0 a = ( 2a b c ) Khi ủú, ( ) f ( ( x ) ) + f ( ( x ) ) + f ( x ) = 0, x 1;0 ( ) ( ) f ( x ) = f ( x ) f ( ( x ) ) f ( ( x ) ) , x 1;0 f ( x ) = g ( x ) g ( ( x ) ) g ( ( x ) ) , x 1;0 ủú y = g ( x ) l hm s tựy ý xỏc ủnh trờn \ {1;0} Hóy chng minh ủiu tng ủng th hai ủ hiu cỏch chn hng ủng thc Trang 16 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Phng phỏp III: VN DNG TNH N NH, TON NH CA HM S; VIT LI TP XC NH, TP GI TR CA HM S DI DNG KHC Trong loi ny ta s tỡm nhng tớnh cht ca hm m cú th tr li hai cõu hi sau: *) Cú hay khụng s a cho f ( a ) = b vi s b ta mun no ủú? *) Mt s thc bt k cú th biu din nh th no thụng qua cỏc giỏ tr ca hm? Bi toỏn 11: Tỡm hm s f : , tha f ( f ( x ) + y ) = x + f ( f ( y ) x ) , x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: T gi thit Ta nhn thy nu tn ti s a : f ( a ) = , thỡ (1) vi vic chn x = a ta cú: f ( y ) = 2a + f ( f ( y ) a ) , y f ( y ) a = a + f ( f ( y ) a ) , y f ( f ( y ) a ) = f ( y ) a a, y y , ủt x = f ( y ) a thỡ ta ủc: f ( x ) = x a Vn ủ bõy gi l liu cú s a nh ủó yờu cu Hn na, vic ủt x = f ( y ) a, y liu ủó quột ht cỏc giỏ tr xỏc ủnh ca hm Hai thc mc ủú s ủc gii quyt nu hm l ton ỏnh Vi s thc y bt k ta cn tỡm x : f ( x ) = y s dng ủc gi thit ca bi toỏn ta s tỡm x hai dng Dng 1: x = f ( ) + Trang 17 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Khi ủú ta cú f ( x ) = f ( f ( ) + ) = + f ( f ( ) ) + f ( f ( ) ) = y Cần chọn , : f ( ) = y f (0) = Hay , dng ny khụng chn ủc = ? Dng 2: x = f ( ) Khi ủú, f ( x ) = f ( f ( ) ) = f ( f ( ) + ) f (0) y f ( f ( ) + ) = y = Cần chọn , : f + = ( ) = f ( ) Bi toỏn ủó tỡm ủc li gii Du hiu 1: Nu ủng thc th hin tớnh cht ca hm m tn ti bin ủc lp khụng phi l ủi s ca hm thỡ cú kh nng hm l song ỏnh Bi toỏn 12: Tỡm hm s f : , tha f ( x + f ( y ) ) = xf ( x ) + y, x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: T (1) chn x = ta ủc f ( f ( y ) ) = y, y (2) Hm s cú tớnh cht (2) d dng chng minh l mt song ỏnh Xột s a : f ( a ) = (tớnh ton ỏnh ca hm s) T (1) Ta cú: x = *) f ( ) = a y = a Trang 18 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân x = a *) f ( a + a ) = = f ( a ) a + a = a a = y = *) y = f ( x ) = xf ( x ) , x Suy ra, vi mi s thc x thỡ f ( x ) = xf ( x ) = f ( f ( x ) ) f ( x ) , vỡ x = f ( f ( x ) ) = f ( x ) f ( f ( x ) ) = f (( f ( x )) ) x = ( f ( x ) ) , vỡ tớnh ủn ỏnh ca hm f ( x) = x Vic gii quyt ủ ny s khụng nhc li ti ủõy Du hiu 2: Nu f ( f ( x ) ) = ax + b, x thỡ f l song ỏnh Bi toỏn 13: Tỡm hm s f : , tha f ( x f ( y ) ) = f ( x ) + x + f ( y ) , x, y Phõn tớch tỡm li gii: Trong (1) nu chn y = ta ủc f ( x a ) = f ( x ) + x + a, x , ủõy ta ký hiu f ( ) = a f ( x a ) f ( x ) = x + a, x iu ny cú ngha l vi mi s thc t luụn tn ti u, v : f ( u ) f ( v ) = t Hay xỏc ủnh = { f ( x ) f ( y ) : x , y } Do vy m ta bt ủu t: x, y : f ( f ( x ) f ( y ) ) = f ( f ( x ) f ( y ) f ( y ) ) = f ( f ( x ) f ( y )) + f ( x ) f ( y ) + f ( y ) = f ( f ( x ) f ( y )) + f ( x ) Nh vy yờu cu ủt l phi tớnh f ( f ( x ) f ( y ) ) Ta cú: Trang 19 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân f ( f ( x ) f ( y )) = f ( f ( x )) + f ( x ) + f ( y ) Yờu cu tip theo l tớnh f ( f ( x ) ) Trong (1) vi vic chn x f ( y ) = ta ủc f ( ) = f ( f ( y ) ) + f ( y ) + f ( y ) , y , tc f ( f ( x ) ) = f ( x ) + a, x Cui cựng ta ủó tớnh ủc f ( f ( x ) f ( y ) ) = f ( x ) f ( y ) + 2a, x, y Vỡ { f ( x ) f ( y ) : x, y } = nờn t ủú ta suy f ( x ) = x + a, x Bi toỏn ủó tỡm li gii Bi toỏn 14: Tỡm hm s f : ( 0; + ) ( 0; + ) , tha xf ( xf ( y ) ) = f ( f ( y ) ) , x, y > (1) Phõn tớch tỡm li gii: Tớnh cht (1) ủc vit li xf ( xf ( y ) ) = f ( f ( y ) ) , x, y > x = f ( f ( y )) f ( xf ( y ) ) , x, y > f ( u ) Tc ta cú ( 0; + ) = : u, v > f ( v ) Tng t bi trc ta li bt ủu: f ( y) f ( y) x, y > : f f = f ( x ) = f ( f ( y ) ) f ( x ) f x f x f x ( ) ( ) ( ) Cn tớnh f ( f ( y ) ) = a , ủõy ta kớ hiu a = f (1) f (1) = f ( y) f ( y) Nh vy cui cựng ta tớnh ủc Trang 20 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm f ( y) a f = f ( x) f ( y) Huỳnh Thanh Luân , x, y > f ( x) a Suy f ( x ) = , x > Bi toỏn ủó tỡm li gii x Trang 21 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân MT S BI TP T LUYN Bi toỏn 15: Tỡm hm s f : , tha xf ( y ) + yf ( x ) = ( x + y ) f ( x ) f ( y ) , x, y Bi toỏn 16: Tỡm hm s f : , tha f ( x + yf ( x ) ) = f ( f ( x ) ) + xf ( y ) , x, y Bi toỏn 17: Tỡm hm s f : , tha i ) f ( x f ( y ) ) + f ( y ) = f ( x y ) , x, y ii ) f ( ) tập hữu hạn Bi toỏn 18: Tỡm hm s f : * , tha i ) f (1) = ; x, y : xy ( x + y ) ii ) f = f + f + x y x y iii ) ( x + y ) f ( x + y ) = xyf ( x ) f ( y ) Bi toỏn 19: Tỡm hm s f tha mt cỏc tớnh cht sau: ( a ) f ( x ) + xf ( x ) = x + 3, x x = 1, x x +1 ( b ) xf ( x ) + f x + x +1 ( c ) f (d ) f ( x) + 3+ x f = x, x x x f = + x, x 0;1 x Trang 22 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Bi toỏn 20: Tỡm hm s f : , tha f ( xf ( x ) + f ( y ) ) = ( f ( x ) ) + y, x, y Bi toỏn 21: Tỡm hm s f : , tha f ( x f ( y ) ) = f ( f ( y ) ) + xf ( y ) + f ( x ) 1, x, y Bi toỏn 22: Tỡm hm s f : ( 0; + ) ( 0; + ) , tha f ( x) f = yf ( y ) f ( f ( x ) ) , x, y > y Bi toỏn 23: Tỡm hm s f : , tha f ( x + f ( y ) ) = f ( y ) + xf ( y ) + f ( x ) , x, y Bi toỏn 24: Tỡm hm s f : , tha f ( xf ( y ) + x ) = xy + f ( x ) , x, y Trang 23 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân KT LUN Cỏc phng phỏp vit sỏng kin ny Tụi ủó dựng ging dy cho ủi tuyn hc sinh gii Toỏn ca trng THPT chuyờn Hựng Vng nm 2011 a s cỏc em hiu bi, dng ủc phng phỏp v t ủú t tin hn gp cỏc bi toỏn v phng trỡnh hm Hu ht cỏc em ủu gii quyt ủc cỏc bi toỏn phng trỡnh hm cỏc k thi chn ủi tuyn ca trng v k thi hc sinh gii cp Tnh va qua Trang 24 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân TI LIU THAM KHO Nguyn Vn Mu, Phng trỡnh hm, NXB Giỏo dc nm 1999 Nguyn Trng Tun, Mt s bi toỏn hm s qua cỏc k thi Olimpic, Nh xut bn Giỏo dc nm 2004 B.J Venkatachala, Functional Equations - A problem Solving Approach, PRISM 2002 Conhiagghin , Cỏc ủ vụ ủch Toỏn cỏc nc, Nh xut bn Hi phũng 1993 Cỏc Kvant, Toỏn hc v tui tr, t liu Internet Trang 25 [...]... ủc lp khụng phi l ủi s ca hm thỡ cú kh nng hm l song ỏnh Bi toỏn 12: Tỡm hm s f : , tha f ( x 2 + f ( y ) ) = xf ( x ) + y, x, y (1) Phõn tớch tỡm li gii: T (1) chn x = 0 ta ủc f ( f ( y ) ) = y, y (2) Hm s cú tớnh cht (2) d dng chng minh l mt song ỏnh Xột s a : f ( a ) = 0 (tớnh ton ỏnh ca hm s) T (1) Ta cú: x = 0 *) f ( 0 ) = a y = a Trang 18 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh... thi chn ủi tuyn ca trng v k thi hc sinh gii cp Tnh va qua Trang 24 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân TI LIU THAM KHO 1 Nguyn Vn Mu, Phng trỡnh hm, NXB Giỏo dc nm 1999 2 Nguyn Trng Tun, Mt s bi toỏn hm s qua cỏc k thi Olimpic, Nh xut bn Giỏo dc nm 2004 3 B.J Venkatachala, Functional Equations - A problem Solving Approach, PRISM 2002 4 Conhiagghin , Cỏc ủ vụ ủch Toỏn cỏc nc, Nh... Cn tớnh f ( f ( y ) ) = 1 a , ủõy ta kớ hiu a = f (1) f (1) = f ( y) f ( y) Nh vy cui cựng ta tớnh ủc Trang 20 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm f ( y) a f = f ( x) f ( y) Huỳnh Thanh Luân , x, y > 0 f ( x) a Suy ra f ( x ) = , x > 0 Bi toỏn ủó tỡm ra li gii x Trang 21 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân MT S BI TP T LUYN Bi toỏn 15: Tỡm hm s f : , tha xf (... cú: f ( x ) = (1 x 2 ) , x a, b xỏc ủnh giỏ tr ca hm ti a, b ta thay nú vo lp h ủ gii Lu ý dựng ủnh lý Viete x = a a 2 f ( a ) + f ( b ) = 2a a 4 2 4 x = b b f ( b ) + f ( a ) = 2b b Trang 13 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân H cú D = Dx = Dy nờn nghim ca h chớnh l nghim ca phng trỡnh f ( a ) = , a 2 f ( a ) + f ( b ) = 2a a 4 4 2 f ( b ) = 2a a a Bi toỏn... = x 2 Ta lu ý l dóy tun hon chu k n0 = 2 nờn ta khụng thu 2 xn 5 x = , n 1 n + 1 xn 2 ủc tớnh cht mi ca hm t vic ủi bin Lỳc ny ta cn hng ủng thc hin nhiờn sau: a+b=0 a = 1 [ a b] 2 Trang 14 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Do ủú, 2x 5 g + g ( x ) = 0, x 2 x2 1 2x 5 g ( x) = g ( x) g + , x 2 2 x2 Ta s chng minh 1 2x 5 g ( x) = g ( x) g +... x) x2 Th mt bi toỏn na ủ tỡm cõu tr li Bi toỏn 10: Tỡm hm s f : \ {1;0} , tha ( ) f ( ( x ) ) + f ( ( x ) ) + f ( x ) = 0, x 1;0 , trong ủú ( x ) = 1 , x 1 x +1 Phõn tớch tỡm li gii: Trang 15 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân x1 = x 1 l Cng tng t nh bi toỏn 9, dóy s tng ng ủõy x = x , n 1 ( ) n+1 n tun hon chu k n0 = 3 , nờn Ta cng khụng gii bi ny bng phng phỏp... x 1;0 3 1 f ( x ) = 2 g ( x ) g ( ( x ) ) g ( ( x ) ) , x 1;0 3 trong ủú y = g ( x ) l hm s tựy ý xỏc ủnh trờn \ {1;0} Hóy chng minh ủiu tng ủng th hai ủ hiu cỏch chn hng ủng thc Trang 16 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Phng phỏp III: VN DNG TNH N NH, TON NH CA HM S; VIT LI TP XC NH, TP GI TR CA HM S DI DNG KHC Trong loi ny ta s tỡm nhng tớnh cht ca hm m cú th... cỏc giỏ tr trong tp xỏc ủnh ca hm Hai thc mc ủú s ủc gii quyt nu hm l ton ỏnh Vi s thc y bt k ta cn tỡm x : f ( x ) = y s dng ủc gi thit ca bi toỏn ta s tỡm x hai dng Dng 1: x = f ( ) + Trang 17 Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Khi ủú ta cú f ( x ) = f ( f ( ) + ) = 2 + f ( f ( ) ) 2 + f ( f ( ) ) = y Cần chọn , : f ( ) = 0 y f (0) = Hay , dng ny khụng.. .Ba phơng pháp đại số giải phơng trình hàm Huỳnh Thanh Luân Phng phỏp II: LP PHNG TRèNH H PHNG TRèNH Chc khụng cn phi chỳ thớch thờm gỡ vỡ phng phỏp gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh v h phng trỡnh ủó... ( x ) ) = f ( x ) f ( f ( x ) ) = f (( f ( x )) ) 2 x 2 = ( f ( x ) ) , vỡ tớnh ủn ỏnh ca hm 2 f ( x) = x Vic gii quyt vn ủ ny s khụng nhc li ti ủõy Du hiu 2: Nu f ( f ( x ) ) = ax + b, x thỡ f l song ỏnh Bi toỏn 13: Tỡm hm s f : , tha f ( x f ( y ) ) = 2 f ( x ) + x + f ( y ) , x, y Phõn tớch tỡm li gii: Trong (1) nu chn y = 0 ta ủc f ( x a ) = 2 f ( x ) + x + a, x , ủõy ta ký hiu f (