Đề cương phép tính vi phân

Đề cương ôn tập đánh máy chủ yếu dựa tài liệu Phép tính vi phân -Dạng vi phân không gian Banach (Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải) có kết hợp thêm tài liệu ghi chép khóa cao học K21, K22 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Hi vọng giúp ích cho bạn học viên trình học tập ôn tập chuẩn bị cho kì thi kết thúc chuyên đề  NỘI DUNG ÔN TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Ánh xạ khả vi, đạo hàm theo hướng , đạo hàm hàm hợp 1.1 Ánh xạ khả vi a Định nghĩa Cho f :   F ,  tập mở không gian định chuẩn E F không gian Banach Ta nói f khả vi x   tồn S L(E, F) cho: f (x  h)  f (x )  S(h)  o  h  (1) nghĩa   0,   0, h  E : h   f (x  h)  f (x )  S(h)   h hay lim f (x  h)  f (x )  S(h) h 0 h 0 (2) Ánh xạ f khả vi điểm  gọi khả vi  b Nhận xét (i) S L(E, F) thỏa mãn (1) kí hiệu f (x ) hay Df (x ) gọi đạo hàm f x (ii) Nếu f khả vi  ta có ánh xạ f  :   L  E, F  x  f (x) Nếu f  liên tục ta gọi f khả vi liên tục hay thuộc lớp C1  (iii) Nếu f khả vi x f liên tục x , tức có lim f (x  h)  f (x ) h 0 Thật vậy, h 0 f (x  h)  f (x )  f (x  h)  f (x )  S(h)  S(h)  o( h )  S(h)  0 (iv) Do f (x )  L(E, F), từ (1) suy f liên tục x lim t 0 f (x  t.h)  f (x )  f (x )(h)  t ta có f (x )(h)  lim t 0 f (x  t.h)  f (x ) t c Ví dụ (i) Nếu f :   F, f  const , f    (ii) Nếu f  S  :   F , S L(E, F) f (x)  S, x   Thật vậy, điều suy từ f (x  h)  f (x)  f (h)  S(x  h)  S(x)  S(h)  S(x)  S(h)  S(x)  S(h)  0, h  E, x   Như vậy, đạo hàm ánh xạ tuyến tính liên tục điểm thuộc E ánh xạ tuyến tính liên tục (iii) Giả sử f  S  với S : E1  E  F song tuyến tính liên tục Chứng minh f  (x10 , x 02 )  (h1 , h )  f (x10 , x 02 )  S(x10 , h )  S(h1 , x 02 )  S h1 h  o  (h1 , h )  nên f khả vi (x10 , x 02 ) f (x10 , x 02 )(h1 , h )  S(x10 , h )  S(h1 , x 02 ), (h1 , h )  E1  E Tổng quát Nếu f  S  ,   E1  E n tập mở S  L (E1 , , E n ; F) f khả vi (x1 , , x n )   f (x1 , , x n )(h1 , , h n )  S(h1 , x , , x n )    S(x1 , , x n 1 , h n ), (h1 ,  , h n )  E1    E n 1.2 Đạo hàm theo hướng a Định nghĩa Giả sử  tập mở không gian định chuẩn E F không gian Banach Xét ánh xạ f :   F, x   h  E, h  Nế u giới hạn lim t 0 f (x  t.h)  f (x ) t tồn gọi đạo hàm theo hướng h f x , kí hiệu f (x  t.h)  f (x ) f (x )  lim t 0 h t f (x ) Như h b Nhận xét (i) Nếu f :   F, x   khả vi x , có đạo hàm theo hướng x f (x )(h)  f (x ) h (ii) Điều ngược lại (i) không Thật vậy, đặt X  (x, y)   : x  0,  y  x  1: (x, y)  X f (x, y)   0 : (x, y)  X Bởi v ì y  x có tiếp tuyến (0, 0) trục hoành nên đường thẳng  qua (0, 0) nằm X lân cận (0, 0), nên f khả vi (0, 0) theo hướng h   , h  Hơn f (0, 0)  0, h   , h  h Tuy nhiên, f không liên tục (0, 0) nên f không khả vi 1.3 Đạo hàm hàm hợp a Định lí (Định lí đạo hàm hàm hợp) Cho E không gian định chuẩn, F, G không gian Banach U  E, V  F tập mở Giả sử x  U f : U  F với f (U)  V, g : V  G hàm khả vi x y  f (x ) , g  f : U  G khả vi x (g  f )(x )  g(y )f (x ) , với y  f (x ) Chứng minh Theo giả thiết ta có f (x)  f (x )  f (x )(x  x )  (x  x ), (1) với (x  x )  o  x  x  g(y)  g(y )  g(y )(y  y )   (y  y ) , (2) với  (y  y )  o  y  y  Từ (1) (2) ta có gf (x)  gf (x )  g(f (x))  g(f (x ))  g(y )(f (x)  f (x ))  (f (x)  f (x ))  g(y )  f (x )(x  x )  (x  x )    (f (x)  f (x ))  g(y )f (x )(x  x )  g(y )  (x  x ))    (f (x)  f (x )) g(y )  (x  x )   g(y ) (x  x )  o  x  x  lim x x0   f (x)  f (x )  x  x0  lim   f (x)  f (x )  f (x)  f (x ) x x0  lim   f (x)  f (x )  f (x)  f (x ) x x0 f (x)  f (x ) x  x0  f (x ) x  x  (x  x ) x  x0 Vậy g  f khả vi x (g  f )(x )  g(f (x ))f (x ) b Ví dụ Giả sử E không gian định chuẩn, F không gian Banach f (x)  S(x,  , x), x  E , S L(E, F)  p Viết f  S   với  : E  E p cho  (x)  (x, , x), x  E Ta thấy, x, y  E,     (x  y)  (x  y, , x  y)  (x, , x)  (y, , y)  (x)  (y)  (x)  (x, , x)   (x)  (x)  max  x , , x   x Do   L  E, E p   (x)   (x) Khi f (x)(h)  S  (x)  (x)(h)   S(x,  , x)(h,  , h)   p p  S(h, x, , x)    S(x, , x, h) Đặc biệt Nếu S đối xứng f (x)(h)  pS(x) p 1 (h)   c Định lí (Định lí đạo hàm hàm với giá trị tích không gian Banach) Giả sử E không gian Banach   E mở Khi đó, f  (f1 , , f m ) :   F1    Fm khả vi x   f1 , , f m khả vi x Ngoài   f (x )(h)  f1 (x )(h), , f m (x )(h) Chứng minh (i) Điều kiện cần Với  j  m , kí hiệu q j : F1   Fm  Fj (y1 , , y m )  q j (y1 , , y m )  y j Khi q j tuyến tính, liên tục Thật vậy, (y1 , , y m ), (y1 , , y m )  F1    Fm ;        q j (y1 , , y m )  (y1 , , y m )  q j y1  y1 , , y m  y m  y j  y j  q j (y1 , , y m )  q j (y1 , , y m ) q j  (y1 , , y m )   q j (y1 , , y m )  y j  q j (y1 , , y m ) q j (y1 , , y m )  y j  max  y1 , , y m  (y1 , , y m )  q j  fj  qj f Giả s f khả vi x   Vì q j tuyến tính liên tục nên q j khả vi y  f (x ) Do q j  f khả vi x , hay f j khả vi x f j (x )(h)  q j (f (x ))  (f (x )(h))  q j  f (x )(h)    f (x )(h)  f1 (x )(h), , f m (x )(h) (ii) Điều kiện đủ Giả sử f j khả vi x với j  1, , m Ta thấy: f (x)  (f1 (x), , f m (x))  (f1 (x), 0, , 0)    (0, , 0, f m (x)) Đặt h j (x)  (0, , 0, f j (x) , 0, , 0), 1  j  m  j f (x)  h1 (x)    h m (x), x   Khi lim h j (x  h)  h j (x )  (0, , 0, f j(x )(h), 0, , 0) h 0  lim h (0, , 0, f j (x  h), 0, , 0)  (0, , 0, f j (x ), 0, , 0)  (0, , 0, f j (x )(h), 0, , 0) h 0  lim h (0, , 0, f j (x  h)  f j (x )  f j (x )(h), 0, , 0) h 0  lim h f j (x  h)  f j (x )  f j (x )(h) h 0 h 0 (do f j khả vi x )  h j khả vi x với  j  m Do f(x) khả vi x Đạo hàm riêng Cho E1 , , E n không gian định chuẩn E  E1    E n không gian định chuẩn, với chuẩn x  max  x i :1  i  n , x  (x1 , , x n )  E Giả sử F không gian Banach f :   F với  mở Với mỗ i x  (x10 , , x 0n )   với  i  n , xét ánh xạ  i xác định lân cận Wx x i0 E i với giá trị F, i  i (x i )  f (x10 , , x i01 , x i , x i01 , , x 0n ) a Định nghĩa Nếu  i khả vi x i0 đạo hàm x i0 gọi đạo hàm riêng f x theo biến x i , kí hiệu f (x ) hay f xi  (x ) x i Như f   i (x i0 )  L (E i , F) x i b Định lí (Biểu diễn đạo hàm toàn phần theo đạo hàm riêng) Nếu f khả vi x f có tất đạo hàm riêng tạ i x n f (x )(h)   i 1 f (x )(h), h  (h1 , , h n )  E x i Chứng minh Theo giả thiết f khả vi tại x nên f (x  h)  f (x )  f (x )(h)  o( h ), h  (h1 , , h n )  E (*) Chọn h  (0, , 0, h i , 0, , 0)  E i h  h i (*) có dạng:   i f (x10 , , x i01 , x i0  h, x i01 , , x 0n )  f (x )  f (x )(0, , 0, h i , 0, , 0)  o( h ) hay  i (x i0  h i )   i (x i0 )  f (x )(0, , 0, h i , 0, , 0)  o( h i ) Từ suy  i khả vi x i0  i (x i0 )(h i )  f (x )(0, , 0, h i , 0 , 0) tức f (x )(h i )  f (x )(0, , 0, h i , 0, , 0) x i Do f (x )  L (E, F) nên: n f (x )(h1 , , h n )  f (x )  (h1 , 0, , 0)  (0, , 0, h n )    f (x )(0, , 0, h i , 0, , 0) i 1 n  i 1 f (x )(h i ) x i Công thức số gia giới nội 3.1 Định lí công thức số gia giới nội Giả sử  a, b   , F không gian Banach f :  a, b   F ánh xạ từ  a, b  vào F a Định nghĩa Ta nói f khả vi trái c  (a, b] tồn giới hạn f (x)  f (c) x c f  (c)  lim x c  Ta nói f khả vi phải c  [a, b) tồn giới hạn f  (c)  lim x c  f (x)  f (c) x c f khả vi c  (a, b) f khả vi trái khả vi phải c f  (c)  f  (c) b Định lí (Công thức số gia giới nội ) Giả sử ánh xạ f :  a, b   F g :  a, b    liên tục Khi đó, ánh xạ f g có đ ạo hàm f  (x) g (x) x  (a, b) thỏa mãn f  (x)  g (x) với x  (a, b) (1) f (b)  f (a)  g(b)  g(a) (2) Chứng minh   0, x   a, b  , ta chứng minh f (x)  f (a)  g(x)  g(a)  (x  a)   (3) Sau cần thay x = b cho   ta (2) Đặt (x)  f (x)  f (a)  g(x)  g(a)  (x  a)   Vì hàm f g hàm liên tục nên  hàm liên tục Kí hiệu U  x   a, b  : (3) không đúng}  x   a, b  : f (x)  f (a)  g(x)  g(a)  (x  a)   (4)  x   a, b  : (x)  0 Ta chứng minh U   Ta thấy U mở, x  U  (x )  , mà  liên tục nên tồn lân cận mở Wx   a, b  cho (x)  Wx , tức Wx  U Giả sử U    c  inf U, a  c  b Khi c thỏa mãn điều kiện sau: (i) c  a Thật vậy, ta thấy (3) với x = a, mà hai vế (3) liên tục nên   đủ nhỏ để với x   a, a   (3) Do đó: x  U : x  a    c  a    a (ii) c  U , c  U U mở nên tồn x  U : a  x  c Điều mâu thuẫn với c  inf U (iii) c  b , ngược lại tập U  b tập mở Vậy c  (a, b) Theo giả thiết ta có f  (c)  g (c) (5) Theo định nghĩa củ a f  g tồn   cho với x thỏa mãn c  x  c   f (x)  f (c)  f (x)  f (c)  f (x)  f (c)   f  (c)    f  (c)   f  (c)   x c x c x c g(x)  g(c)   g(x)  g(c)  g(x)  g(c)   g (c)      g (c)   g (c)   x c 2 x c x c nên g(x)  g(c)  f (x)  f (c)     x c x c  f (x)  f (c)  g(x)  g(c)  (x  c) (6) Vì c  U nên ta có: f (c)  f (a)  g(c)  g(a)  (c  a)   (7) Từ (6) (7) suy f (x)  f (a)  f (x)  f (c)  f (c)  f (a)  g(x)  g(a)  (x  a)  , x   c, c   Đó bất đẳng thức (3) vớ i c  x  c   Vậy bất đẳng thức (3) thỏa mãn với x  c   Do c  inf U  c   Ta gặp mâu thuẫn, nên định lí chứng minh c Nhận xét Nếu ta thay đạo hàm phải thành đạo hàm trái, ta có kết qu ả tương tự Giả sử ánh xạ f :  a, b   F g :  a, b    liên tục Khi đó, ánh xạ f g có đạo hàm f  (x) g (x) x  (a, b) thỏa mãn f  (x)  g (x) với x  (a, b) (1’) f (b)  f (a)  g(b)  g(a) (2’) Chứng minh   0, x   a, b  , ta chứng minh f (b)  f (x)  g(b)  g(x)  (b  x)   (3’) Sau cần thay x = a cho   ta (2’) Đặt (x)  f (b)  f (x)  g(b)  g(x)  (b  x)   Vì hàm f g hàm liên tục nên  hàm liên tục Kí hiệu U  x   a, b  : (3’) không đúng}  x   a, b  : f (b)  f (x)  g(b)  g(x)  (b  x)   (4’)  x   a, b  : (x)  0 Ta chứng minh U   Ta thấy U mở, x  U  (x )  , mà  liên tục nên tồn lân cận mở Wx   a, b  cho (x)  Wx , tức Wx  U Giả sử U    c  sup U, a  c  b Khi c thỏa mãn điều kiện sau: (i) c  b Thật vậy, ta thấy (3’) với x = b, mà hai vế (3’) liên tục nên   đủ nhỏ để với x   b  , b  (3) Do đó: x  U : x  b    c  b    b (ii) c  U , c  U U mở nên tồn x  U : c  x  b Điều mâu thuẫn với c  sup U (iii) c  a , ngược lại tập U  a tập mở Vậy c  (a, b) Theo giả thiết ta có f  (c)  g (c) (5’) Theo định nghĩa f  g tồn   cho với x thỏa mãn c    x  c f (x)  f (c)  f (x)  f (c)  f (x)  f (c)   f  (c)    f  (c)   f  (c)   x c x c x c g(c)  g(x)   g(c)  g(x)  g(c)  g(x)   g (c)      g (c)   g (c)   cx 2 cx cx nên g(c)  g(x)  f (x)  f (c)     cx x c  f (x)  f (c)  g(c)  g(x)  (c  x) (6’) Vì c  U nên ta có: f (b)  f (c)  g(b)  g(c)  (b  c)   (7’) Từ (6) (7) suy f (b)  f (x)  f (b)  f (c)  f (x)  f (c)  g(b)  g(x)  (b  x)  , x   c  , c Đó bất đẳng thức (3’) với c    x  c Vậy bất đẳng thức (3’) thỏa mãn với x  c   Do c  sup U  c   Ta gặp mâu thuẫn, nên định lí chứng minh 10 Áp dụng (1) với f  :   L (E, F) thay cho hàm g ta được: n f (x )(h1 , , h n )   i 1 f  (x )(h i ) x i (2) f  (x )  L (E i , L (E, F)) , hay x i n f (x )(h1 , , h n )(k1 , , k n )   i 1 f  (x )(h i )(k1 , , k n ) x i (3) Mặt khác n f (x)(k1 , , k n )   j1  f (x)(k j ) x j n f   2f (x )(h i )(k1 , , k n )   (x )(h i )(h j ) x i j1 x i x j (4) Từ (3) (4) suy điều phải chứng minh 4.5 Đạo hàm cấp cao a Định nghĩa (i) Giả sử E không gian định chuẩn, F không gi an Banach   E tập mở f :   F hàm khả vi cấp  Khi ta có ánh xạ f  :   L2 (E, F) Nếu f  khả vi a   ta nói f khả vi cấp a ta kí hiệu đạo hàm f  a f (a) hay D3f (a) gọi đạo hàm cấp f a Như f (a)  (f )(a)  L (E, L2 (E, F))  L3 (E, F) Giả sử khái niệm khả vi cấp (n – 1) có viết f (n 1) hay D n 1f đạo hàm cấp (n – 1) f Khi ta nói ánh xạ f khả vi cấp n a   nếu: Tồn lân cận V a  cho f khả vi cấp (n – 1) x  V Ánh xạ x  f (n 1) (x) từ V vào Ln 1 (E, F) khả vi Đạo hàm f (n 1) a viết f (n ) (a) hay D n f (a) gọi đạo hàm cấp n f a Lưu ý f (n ) (a)  Ln (E, F) với quan niệm thích hợp ta viết f (n ) (a)(h1 , , h n )  f (n ) (a)(h1 )(h , , h n )    f (n ) (a)(h1 )(h )  (h n ) (ii) Ánh xạ f gọi thuộc lớp Cn  (hay khả vi liên tục cấp n) f khả vi cấp n điểm x   f (n ) :   Ln (E, F) liên tục b Nhận xét  Mở rộng, ta nói f thuộc lớp C  thuộc lớp Cn  với n 18  Để ánh xạ f khả vi cấp n (n  1) a   cần đủ là: Đạo hàm f (x) tồn với x thuộc lân cận V a thuộc  Ánh xạ f  : V  L (E, F) khả vi cấp (n – 1) a Khi f (n ) (a)  (f )(n 1) (a)  (f ) (n  2) (a)    Phép tính đạo hàm cấp n tuyến tính c Định lí Nếu ánh xạ f khả vi cấp n a   đạo hàm cấp n nó, f (n ) (a)  Ln (E, F) ánh xạ n- tuyến tính đối xứng từ E    E vào F Nói cách khác, h1 , , h n n phần tử E  hoán vị n số 1, 2, , n ta có f (n ) (a)(h1 , , h n )  f (n ) (a)(h  (1) , , h  (n ) ) Chứng minh Chỉ cần chứng minh cho định lí với n  Khi n = Định lí tính đối xứng đạo hàm cấp hai Khi n  giả sử định lí chứng m inh cho n – Theo định nghĩa f (n ) (a) đạo hàm a   ánh xạ f (n 1) : V  Ln 1 (E, F) , với V lân cận a Từ giả thiết quy nạp, f (n 1) ánh xạ từ V vào không gian đóng Lsn 1 (E, F) Ln 1 (E, F) , gồm ánh xạ (n – 1)- tuyến tính đối xứng Do f (n ) (a)(h1 , , h n )  f (n ) (a)(h1 )(h , , h n )   f (n 1)  (a)(h1 )(h , , h n ) hàm đối xứng (h , , h n ) Vậy chứng minh f (n ) (a)(h1 , , h n ) không thay đổi hoán vị h1 h Thật vậy, hoán vị n phần tử phân tích thành tích hữu hạn phép chuyển trí, nghĩa hoán vị hai phần tử liên tiếp Như vừa lí luận f (n ) (a)(h1 , , h n ) không thay đổi hoán vị h i h i 1 với  i  n  Vậy cần chứng minh điều xảy hoán vị h1 h Nhưng f (n ) (a) đạo hàm cấp f (n  2) a đạo hàm cấp đối xứng Do f (n ) (a)(h1 , , h n )   f (n  2)  (a)(h1 , h )(h , , h n )   f (n  2)  (a)(h , h1 )(h , , h n )  f (n ) (a)(h , h1 , h  , h n ) 4.6 Một số định lí, hệ vận dụng (i) Định lí Giả sử E, F G không gian Banach, U  E, V  F tập mở f : U  V, g : V  G ánh xạ (a) Nếu f g khả vi n lần a  U b  f (a)  V h  g  f khả vi n lần a 19 (b) Nếu f g thuộc lớp Cn U V tương ứng h  g  f thuộc lớp Cn U (ii) Định lí Giả sử E không gian Banach Khi (a) Isom(E)  u  L (E, E) : u đẳng cấu} tập mở L (E, E) (b) Ánh xạ  : Isom(E)  L (E, E) cho (u)  u 1 khả vi vô hạn Ngoài (u)(h)   u 1hu 1 , u  Isom(E), h  L (E, E) (iii) Bổ đề Nếu u L (E, E), u  , 1E  u  Isom(E) , 1E ánh xạ đồng E Định lí hàm ngược hàm ẩn 5.1 Định lí hàm ngược Giả sử E F hai không gian Banach, U  E mở f : U  F ánh xạ thuộc lớp Cp (p  1) 5.1.1 Định nghĩa Ánh xạ f gọi vi phôi địa phương lớp Cp x  U tồn hai lân cận W Z x y  f (x ) U F tương ứng cho f W (f W ) 1 thuộc lớp Cp W Z 5.1.2 Định lí Nếu f (x ) đẳng cấu E F f vi phôi địa phương lớp Cp x Chứng minh Có thể xem E = F Bước Giả sử tồn hai lân cận W x Z y  f (x ) cho f W đồng phôi W Z Ta cần chứng minh W đủ nhỏ f vi phôi lớp Cp Do Isom(E)  u  L (E, F) : u đẳng cấu} tập mở L (E, F) f (x )  Isom(E) nên coi f (x)  Isom(E), x  W Cho x1  W Do f khả vi x1 nên y = f(x) x đủ gần x1 , ta có: y  y1  f (x1 )(x  x1 )  x  x1 (x  x1 ) (1) với lim1 (x  x1 )  x x Tác động  f (x1 )  vào hai vế (1) sau chuyển vế ta : 1 x  x1   f (x1 )  (y  y1 )  x  x1  f (x1 )  (y  y1 ) 1 1 (2) Để chứng minh f 1 khả vi y1 , ta cần chứng minh x  x1  f (x1 )  (y  y1 )  o( y  y1 ) 1 1  f 1  (y1 )   f (x1 )  20 (3) Đặt  f (x )  1 (y  y1 )   (x  x1 ) Vì  f (x1 )  liên tục lim1 (x  x1 )  nên lim1 (x  x1 )  1 x x x x Từ (2) ta có  f (x )  1 y  y1   f (x1 )  (y  y1 )  x  x1  x  x1  (x  x1 ) 1    x  x1   (x  x1 ) Từ  f (x )  x  x1  y  y1 1   (x  x ) x đủ gần x1 Vậy  f (x )  xx  (x  x )  y  y 1 1  (x  x1 )   (x  x )  o( y  y1 ) Do x1  W tùy ý nên (3) viết thành  f  (y)   f (x)  1 1 , x  W, y  f (x) (4) Vì ánh xạ u  u 1 khả vi vô hạn lần Isom(E) nên từ (4) suy f 1 thuộc lớp Cp Bước Để kết thúc chứng minh định lí, ta phải chứng tỏ có lân cận W x Z y0 để f ánh x đồng phôi từ W lên Z Thay f f1   f (x )  f 1 Nếu chứng minh có lân cận x lân cận f1 (x ) cho f1 đồng phôi kết cho f Ta coi f (x )  1E f1(x )   f (x )  f (x )  1E 1 Đặt (x)  x  f (x), x  U Khi f (x)  f (x )  (x  x )   (x)  (x )  , x, x   U Từ f (x)  f (x )  x  x   (x)  (x ) Ta có 21 (5) (x )  1E  f (x )  1E  1E  Do (x) liên tục x nên lim0 (x)  , tức tồn r  cho B(x , r)  U x x (x)  , x  B(x , r) Áp dụng Hệ công thức số gia giới nội B(x , r) (x)  (x )  x  x , x, x   B(x , r) (6) Từ (5) (6) suy f (x)  f (x)  x  x , x, x   B(x , r) (7) r  r  Ta chứng minh f : B  x , r   f 1  B(y , )   B(y , ) đồng phôi   r   Từ (7) suy f đơn ánh B(x , r) nên f đơn ánh B  x , r   f 1  B(y , )    r r   Cho y  B(y , ) Ta tìm x  B(x , r) để f (x)  y x  B  x , r   f 1  B(y , )  2   Đặt x1  y  (x ), , x p 1  y  (x p ), (8) Để xác định x p (8), ta chứng minh quy nạp theo p bất đẳng thức xp  x0  1 kp y  y với k  1 k (9) Khi đó, x p thỏa mãn (9) y  y0 1 kp r x x  yy    r  x p  B(x , r) , tức (x p ) có nghĩa 1 k 1 k p Với p = ta có x1  x  y  (x )  x  y  x  f (x )  x  y  y , (9) với p = Giả sử (9) với p Từ (8) ta có: x p 1  x p  (x p )  (x p 1 )  x p 1  x p  k x p  x p 1 (theo (6) với k  Cứ ta có x p 1  x p  k x p  x p 1    k p x1  x  k p y  y Từ giả thiết quy nạp (9) (10) suy 22 (10) )  1 kp   k p 1 x p 1  x  x p 1  x p  x p  x    k p  y  y0  y  y0 1 k  1 k  Vậy (9) chứng minh với p  Mặt khác, với p  q  : x p  x q  x p  x p 1  x p 1  x p     x q 1  x q  (k p 1  k p     k q ) y  y    k j y  y0  j q kq q  y  y  0 1 k suy dãy x p  dãy Cauchy không gian Banach E nên tồn x  E : x  lim x p p  Cho p   hai vế (9) ta x  x0  y  y0  y  y0  r 1 k Vậy x  B(x , r) Bây cho p   đẳng thức x p 1  y  (x p ) ta x  y  (x)  y  x  f (x) hay y  f (x)  f toàn ánh Do f song ánh tồn ánh xạ ngược r Ta chứng minh g liên tục Thật vậy, y, y  B(y , ) từ (7) ta có g(y)  g(y)  x  x   f (x)  f (x )  y  y Vậy g liên tục 5.2 Định lí hàm ẩn Giả sử E, F G không gian Banach,  mở E  F f :   G ánh xạ thuộc lớp Cp (p  1) Giả sử f thỏa mãn điều kiện sau: a f  Cp (p  1)   E  F b f (x , y )  0, (x , y )   c f 0 (x , y ) : F  G y Khi tồn không gian E  F lân cận mở V (x , y ), V   E lân cận mở W x ánh xạ g : W  F thuộc lớp Cp cho (x, y)  V f (x, y)   x  W y  g(x) 23 Chứng minh Ta áp dụng Định lí hàm ngược Xét ánh xạ f1 :   E  G cho f1 (x, y)   x, f (x, y)  , (x, y)   Do f thuộc lớp Cp nên f1 thuộc lớp Cp Ta có  1E f1 (x , y )   f   x 0 0 1E  0 f  (x , y )   f 0 (x , y ) y   x  f 0  (x , y ) y  Khi đó, f1 (x , y ) : E  F  F  G đẳng cấu Thật vậy,  1E   f1 (x , y )(h, k)   f 0  (x , y )  x 0  h  f 0     (0, 0) (x , y )  k  y   f  f   h, (x , y )(h)  (x , y )(k)   (0, 0) y  x  h  h     f 0   f1 đơn cấu f 0 (x , y )(h)  (x , y )(k)  k    x y   Giả sử (h, k)  E  G , cần tồn (x, y)  E  G : f1 (x , y )(x, y)  (h, k) Khi  f 0  f 0  x, (x , y )(x)  (x , y )(y)   (h, k) y  x  x  h    f 0 f 0  (x , y )(x) (x , y )(y)  k  x y   f 0 f (x , y )(y)  k  (x , y )(x) y x 1  f   f f 0   y   (x , y )   k  (x , y )(x)  (Do (x , y ) đẳng cấu nên tồn ánh xạ ngược) x y   y    f1 toàn ánh Do f1 đẳng cấu Theo Định lí Hàm ngược, tồn lân cận mở V (x , y )  lân cận Z f1 (x , y )  (x , 0) cho f1 : V  Z vi phôi lớp Cp Dễ thấy ánh xạ ngược g1   f1 V  thuộc lớp Cp có dạng : ~ g1 (x, z)  (x, g(x, z)), (x, z)  Z Có thể kiểm tra lại khẳng định sau 24 1 ~ (x, y)  V f (x, y)  z  (x, z)  Z g(x, z)  y Đặt W  x  E : (x, 0)  Z ~ g(x)  g(x, 0), x  W Khi g  Cp (x, y)  V, f (x, y)   x  W g(x)  y Công thức Taylor Giả sử E không gian định chuẩn, F không gian Banach f :   F với  mở E 6.1 Định lí (Công thức Taylor dạng Peano) Giả sử f khả vi (p – 1) lần  khả vi p lần x   Khi f (x  h)  f (x )  f (x ) f (p) (x ) p p (h)    (h)  o( h ) 1! p! 6.2 Định lí (Công thức Taylor dạng Largange) Giả sử f :   F khả vi (p + 1) lần  f (p 1) (x)  M, x   Khi p h f (x ) f (p) (x ) p f (x  h)  f (x )  (h)    (h)  M , với  x , x  h    1! p! (p  1)! 0 6.3 Công thức Taylor dạng tích phân Giả sử f :   F thuộc lớp C p 1 Nếu  x , x  h    f (x ) f (p) (x ) p (1  t) p (p 1) f (x  h)  f (x )  (h)    (h)   f (x  th)(h) p 1 dt 1! p! p! 0 Tích ánh xạ đa tuyến tính thay phiên 7.1 Phép + Tập tất phép bậc p kí hiệu Phép    p  (luôn coi p  ) p gọi phép chuyển vị i j (i)  j (k)  k, k  i, j Rõ ràng    1  phép chuyển vị + Mọi phép    p viết tích số hữu hạn phép chuyển vị + Ta nói cặp i, j lập thành cặp nghịch    p Số nghịch  kí hiệu N() 25 (i  j)((i)  ( j))  neu N() chan 1 Đặt sig()   1 neu N() le  gọi chẵn hay lẻ sig()  hay sig()  1 Ta có: sig()  sig()sig(), ,    p 7.2 Ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục a Định nghĩa Giả sử E F hai không gian định chuẩn p  Ánh xạ p-tuyến tính liên tục T : E p  F gọi thay dấu chuyển vị trí hai phần tử p phần tử x1 , , x p  E giá trị T(x1 , , x p ) đổi dấu, hay T  x  (1) , , x  (p)   T(x1 , , x p ) , (1) với phép chuyển vị    p Kí hiệu Ap (E, F) không gian Lp (E, F) thành lập từ ánh xạ p -tuyến tính thay dấu Đặt A0 (E, F)  F Rõ ràng A1 (E, F)  L (E, F) Ap (E, F) không gian đóng Tk  T  Lp (E, F) x1 , , x p  E,  chuyển vị Lp (E, F) Thật vậy, Tk   Ap (E, F) : lim k  T  x  (1) , , x  (p)   lim Tk  x  (1) , , x  (p)   lim  Tk  x  (1) , , x  (p)   T  x1 , , x p  k  k   T  Ap (E, F) Như F không gian Banach Ap (E, F) không gian Banach b Tính chất + T(x1 , , x p )  i  j: x i  x j + T(x1 , , x p )  x1 , , x p  phụ thuộc tuyến tính + T  x  (1) , , x  (p)   signT(x1 , , x p ),    p c Ví dụ Giả sử f g hai phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian định chuẩn E Khi biểu thức  f (x1 ) f (x )  (f  g)(x , x )  f (x )g(x )  f (x )g(x )  det  ;(x , x )  E  E  g(x ) g(x )  2 xác định ánh xạ - tuyến tính thay dấu liên tục E Tổng quát, f1 , , f p p phiếm hàm tuyến tính l iên tục biểu thức  f1 (x1 )  f1 (x p )       ;(x1 , , x p )  E p (f1    f p )(x1 , , x p )  det   f p (x1 )  f p (x p )    26 xác định ánh xạ p - tuyến tính thay dấu liên tục E 7.3 Tích ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục Giả sử E, F, G H không gian định chuẩn  : F  G  H ánh xạ song tuyến tính liên tục Cho f  Ap (E, F) g  Aq (E, G) Công thức h(x1 , , x p  q )    f (x1 , , x p ), g(x p 1 , , x p  q )  xác định ánh xạ đa tuyến tính liên tục h  Ap  q (E, H) Tuy nhiên, h không thay dấu, thay dấu theo nhóm p biến x1 , , x p q biến x p 1 , , x p  q Kí hiệu tập ánh xạ Ap,q (E, H) Ta xác định ánh xạ đa tuyến tính liên tục p,q : Ap,q (E, H)  Ap  q (E, H) cho p,q (h)   ()(h)  tổng lấy theo    p  q thỏa mãn (1)    (p) (p  1)    (p  q) ()  sig, (h)(x1 , , x p  q )  h(x  (1) , , x  (p  q) ) Tập kí hiệu  p,q a Định nghĩa Phần tử p,q (h)  Ap  q (E, H) gọi tích f  Ap (E, F) g  Aq (E, G)  , kí hiệu f  g Vậy (f   g)(x1 , , x p  q )    p ,q  ()   f (x  (1) , , x  (p) ), g(x  (p 1) , , x  (p  q) )  b Ví dụ + Xét trường hợp q  p  , tức f  L (E, F) g  L (E, G) Khi (f   g)(x1 , x )    f (x1 ), g(x )     f (x ), g(x1 )  + Trường hợp p = 1, q tùy ý Khi (f   g)(x , x1 , , x q )   (1)i   f (x i ), g(x , , x i 1 , x i 1 , , x q )  q i 1 Nếu ta viết (x , , xi , , x q ) thay cho (x , , x i 1 , x i 1 , , x q ) công thức có dạng:  q (f   g)(x , x1 , , x q )   ( 1)i  f (x i ), g(x , , xi , , x q ) i 1 27  + Trường hợp quan trọng F  G  H    phép nhân số thực  :      : (a, b)  ab ta viết f  g thay cho f   g 7.4 Mệnh đề Nếu f  Ap (E, ) g  Aq (E, ) g  f  (1) pq f  g Chứng minh Ta có (g  f )(x1 , , x p  q )   ()  g(x  (1) , , x  (q) ), f (x  (q 1) , , x  (q  p) )   ()g(x  (1) , , x  (q) )f (x  (q 1) , , x  (q  p) )  p ,q    p ,q  đó, (1)    (q) (q  1)    (q  p) Nhớ (f  g)(x1 , , x p  q )   ()  f (x  (q 1) , , x  (q  p) ), g(x  (1) , , x  (q) )   ()f (x  (q 1) , , x  (q  p) )g(x  (1) , , x  (q) )  p ,q    p ,q  đó, (1)    (p) (p  1)    (p  q) Xét phép  chuyển dãy 1, , p, p  1, , p  q thành dãy q  1, , q  p,1, , q , tức p p 1  p  q       q   q 1  q  p Ta có:       p,q     1   q,p Thật vậy, từ (1)  (1)  (q  1), , (p)  (p)  (q  p)  (p  1)  (p  1)  (1), , (p  q)   (p  q)  (q) nên (1)    (q) (p  1)    (p  q)   (q  1)    (q  p) (1)    (p) Mặt khác, ()  ()( 1 )  ()( ) ()  (1) N(  )  (1) pq , N() số phép nghịch phép  Do đó: (g  f )(x1 , , x p  q )  (1) pq   p ,q ()g(x  (p 1) , , x  (p  q) )f (x  (1) , , x  (p) )   (1) f  g pq 28 7.5 Mệnh đề Tích ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục có tính chất kết hợp Nói cách khác, f  Ap (E, ) , g  Aq (E, ) h  Ar (E, ) (f  g)  h  f  (g  h) Dạng vi phân 8.1 Định nghĩa Cho U tập mở không gian định chuẩn E, F không gian Banach Bởi dạng vi phân bậc p hay p -dạng vi phân U với giá trị F ta hiểu ánh xạ  : U  Ap (E, F) Nếu ánh xạ thuộc lớp Ck , k  , ta nói  p- dạng vi phân lớp Ck ) Kí hiệu (k p (U, F) không gian vectơ p- dạng vi phân U với giá trị F Viết ) (k ) (k p (U) thay cho  p (U,  ) 8.2 Ví dụ a Giả sử u i :  n   hàm tọa độ thứ i x i  u i U , i  1, n Khi công thức dx i (x)(h)  x i (x)(h)  u i (h)  h i , x  U, h   n xác định 1- dạng vi phân dx i U Tổng quát, cho hàm f : U  F thuộc lớp Ck Công thức n df (x)(h)  f (x)(h)   i 1 n n f f f (x)(h)   (x)(h i )   (x)dx i (h) x i i 1 x i i 1 x i xác định - dạng vi phân lớp C k 1 U: n df (x)   i 1 f (x)dx i x i b Giả sử   hai 1- dạng vi phân vô hướng tập mở U  E , nghĩa ,  : U  L (E, ) Khi biểu thức (  )(x)   (x)  (x), x  U xác định 2- dạng vi phân U Tổng quát, 1 , ,  p 1- dạng vi phân vô hướng U, biểu thức (1     p )(x)  1 (x)     p (x) xác định p - dạng vi phân U (Xem lại Ví dụ) 8.3 Biểu diễn tọa độ dạng vi p hân  n Cho w p- dạng vi phân lớp Ck tập mở U   n với giá trị không gian Banach F Khi 29  w(x)  1i1  i p f i1ip (x)dx i1    dx ip , x  U Biểu diễn w thuộc lớp Ck , k  hàm tọa độ f i1ip thuộc lớp Ck Với p = 1, w có dạng n w(x)   f i (x)dx i i 1 8.4 Tích dạng vi phân Giả sử F, G, H không gian Banach  : F  G  H ánh xạ song tuyến tinh liên tục Giả sử ) (n )   (n p (U, F),    q (U, G) U tập mở không gian định chuẩn E a Định nghĩa Tích dạng vi phân   theo  kí hiệu     cho (   )(x)  (x)   (x), x  U Như (   )(x; 1 , ,  p  q )    p ,q  ()   (x;   (1) , ,   (p) ), (x;   (p 1) , ,   (p  q) )  b Ví dụ (i) Giả sử f : U  F  A0 (E, F) w : U  An (E, ) n- dạng vi phân Đặt G  , H  F  : F    F phép nhân cấu trúc F Khi (f w)  x; 1 , ,  n   f (x)w  x; 1 , ,  n  n- dạng vi phân giá trị F (ii) Giả sử   1- dạng vi phân vô hướng  :      phép nhân thông thường Khi đó, viết    thay cho     Ta có (  )  x; 1 ,      x; 1    x;      x;     x; 1  c Tính chất  ) (n )     (1) pq   ,    (n p (U),    q (U)  ) (n ) (n ) (  )      (   ),    (n p (U),    q (U),    h (U) 8.5 Vi phân dạng vi phân 8.5.1 Định nghĩa Cho w:U  Ap (E, F) p- dạng vi phân lớp Ck , k  U mở E Với x  U 0 , ,  p  E , đặt 30   , ,   viết   , ,  , ,   dw(x)  0 , ,  p    (1)i w (x)  i  0 , , i , ,  p ,  0 , , i 1 , i 1 p i p 8.5.2 Ví dụ (i) Nếu f : U  F thuộc lớp Ck , k  df (x; )  f (x)() Vậy df vi phân f (ii) Với p = 1, ta có: dw  x; 1 ,    w   x; 1 ,    w   x;  , 1  8.5.3 Mệnh đề Nếu f : U  F hàm lớp C1 U w:U  f  Ap (E, ) p- dạng vi phân lớp C1 giá trị vô hướng Khi d(f w)  df  w  f (dw) Chứng minh Theo định nghĩa ta có:   d(fw)  x; 0 , ,  p    (1) p (fw)(x)  i  0 , , i , ,  p p i 0         (1) p f (x)  i  w(x) 0 , , i , ,  p   (1)i f (x)w (x)  i  0 , , i , ,  p p i 0    df  w  fdw  x; 0 , , i , ,  p  p i 0 Vậy d(f w)  df  w  f (dw) ) (n ) TỔNG QUÁT Giả sử   (n p (U)    q (U), n  Khi d(  )  (d)    (1) p   d ) 8.6 Định lí Nếu w  (n p (U, F), n  d(dw)  , nghĩa d2w  Chứng minh Cho x  U; 1 , ,  p   E tùy ý Đặt w  w U Ep với U  U  E E không gian E sinh x, 1 , ,  p  0 31  Do w  U Ep2  w 0 0 nên xem E   m Viết  w 1i1  i p  m f i1ip dx i1    dx ip , với f i1ip  F Suy  dw  1i1 i p  m df i1ip dx i1    dx ip  f i1ip m    x j 1i1 i p  m j1  1 i1  i p  m f i1ip d(dx i1    dx ip )    0 dx j  dx i1    dx ip Ta chứng minh d(dx i1    dx ip )  Thật vậy, từ công thức d(  )  d    (1) p   d ta có: d(dx i1    dx ip )  d(dx i1 )  dx i2    dx ip  dx i1  d(dx i2 )    d(dx ip )   dx i1    dx ip1  d(dx ip ) mà dx i (x)  u i , x  U (theo Ví dụ) hàm nên d(dx i (x))  (dx i )(x)  Cuối m  f i1ip   d  d(dw)  1i1  i p  m j1 m   x j m  dx j  dx i1    dx ip     f i1ip   x x 1i1  i p  m j1 k 1 k dx k  dx j  dx i1    dx ip  j   f i1ip  f i1ip      x jx k 1i1 i p  m 1 k  j m x k x j    dx k  dx j  dx i1    dx ip   = 32  (do d dx j  dx i1    dx ip  ) [...]... n- dạng vi phân Đặt G  , H  F và  : F    F là phép nhân trong cấu trúc của F Khi đó (f w)  x; 1 , ,  n   f (x)w  x; 1 , ,  n  là n- dạng vi phân giá trị trong F (ii) Giả sử  và  là các 1- dạng vi phân vô hướng và  :      là phép nhân thông thường Khi đó, vi t    thay cho     Ta có (  )  x; 1 ,  2     x; 1    x;  2     x;  2    x; 1  c Tính chất... ) Khi đó biểu thức (  )(x)   (x)  (x), x  U xác định 2- dạng vi phân trên U Tổng quát, nếu 1 , ,  p là các 1- dạng vi phân vô hướng trên U, thì biểu thức (1     p )(x)  1 (x)     p (x) xác định p - dạng vi phân trên U (Xem lại Ví dụ) 8.3 Biểu diễn tọa độ của dạng vi p hân trên  n Cho w là một p- dạng vi phân lớp Ck trên tập mở U   n với giá trị trong không gian Banach F Khi... mở trong không gian định chuẩn E, còn F là không gian Banach Bởi dạng vi phân bậc p hay p -dạng vi phân trên U với giá trị trong F ta hiểu là ánh xạ  : U  Ap (E, F) Nếu ánh xạ này thuộc lớp Ck , k  0 , ta nói  là p- dạng vi phân lớp Ck ) Kí hiệu (k p (U, F) là không gian vectơ các p- dạng vi phân trên U với giá trị trong F Vi t ) (k ) (k p (U) thay cho  p (U,  ) 8.2 Ví dụ a Giả sử u i : ... trong đó N() là số phép nghịch thế của phép thế  Do đó: (g  f )(x1 , , x p  q )  (1) pq   p ,q ()g(x  (p 1) , , x  (p  q) )f (x  (1) , , x  (p) )   (1) f  g pq 28 7.5 Mệnh đề Tích ngoài của các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục có tính chất kết hợp Nói cách khác, nếu f  Ap (E, ) , g  Aq (E, ) và h  Ar (E, ) thì (f  g)  h  f  (g  h) 8 Dạng vi phân 8.1 Định nghĩa... (n p (U),    q (U)  ) (n ) (n ) (  )      (   ),    (n p (U),    q (U),    h (U) 8.5 Vi phân ngoài dạng vi phân 8.5.1 Định nghĩa Cho w:U  Ap (E, F) là p- dạng vi phân lớp Ck , k  1 trên U mở trong E Với mỗi x  U và 0 , ,  p  E , đặt 30   , ,   được vi t là   , ,  , ,   dw(x)  0 , ,  p    (1)i w (x)  i  0 , , i , ,  p , ở đây  0 ,... (x)(h)  u i (h)  h i , x  U, h   n xác định 1- dạng vi phân dx i trên U Tổng quát, cho hàm f : U  F thuộc lớp Ck Công thức n df (x)(h)  f (x)(h)   i 1 n n f f f (x)(h)   (x)(h i )   (x)dx i (h) x i i 1 x i i 1 x i xác định 1 - dạng vi phân lớp C k 1 trên U: n df (x)   i 1 f (x)dx i x i b Giả sử  và  là hai 1- dạng vi phân vô hướng trên tập mở U  E , nghĩa là ,  : U ... 6.3 Công thức Taylor dạng tích phân Giả sử f :   F thuộc lớp C p 1 Nếu  x 0 , x 0  h    thì f (x 0 ) f (p) (x 0 ) p (1  t) p (p 1) 0 f (x  h)  f (x )  (h)    (h)   f (x  th)(h) p 1 dt 1! p! p! 0 1 0 0 7 Tích ngoài các ánh xạ đa tuyến tính thay phiên 7.1 Phép thế + Tập tất cả các phép thế bậc p kí hiệu là Phép thế    p  (luôn coi p  2 ) p gọi là phép chuyển vị giữa i và j nếu... của f Khi đó ta nói rằng ánh xạ f là khả vi cấp n tại a   nếu: 1 Tồn tại lân cận V của a trong  sao cho f khả vi cấp (n – 1) tại mọi x  V 2 Ánh xạ x  f (n 1) (x) từ V vào Ln 1 (E, F) khả vi Đạo hàm của f (n 1) tại a được vi t là f (n ) (a) hay D n f (a) và gọi là đạo hàm cấp n của f tại a Lưu ý rằng f (n ) (a)  Ln (E, F) và với quan niệm thích hợp ta vi t f (n ) (a)(h1 , , h n )  f (n ) (a)(h1... thuộc  2 Ánh xạ f  : V  L (E, F) khả vi cấp (n – 1) tại a Khi đó f (n ) (a)  (f )(n 1) (a)  (f ) (n  2) (a)    Phép tính đạo hàm cấp n là tuyến tính c Định lí Nếu ánh xạ f khả vi cấp n tại a   thì đạo hàm cấp n của nó, f (n ) (a)  Ln (E, F) là ánh xạ n- tuyến tính đối xứng từ E    E vào F Nói cách khác, nếu h1 , , h n là n phần tử của E và  là hoán vị bất kì của n số 1, 2, ,... E Cho ánh xạ khả vi f :   F Khi đó có ánh xạ f  :   L (E, F) a) Ánh xạ f gọi là khả vi hai lần tại x 0   nếu ánh xạ đạo hàm f  khả vi tại x 0 Trong trường hợp này, ánh xạ đạo hàm của f  tại x 0 gọi là đạo hàm cấp 2 của f tại x 0 và kí hiệu là f (x 0 ) hay D 2 f (x 0 ) Như vậy f (x 0 )  L (E, L (E, F))  L2 (E, F) b) Ánh xạ f gọi là khả vi hai lần trên  nếu nó khả vi hai lần tại mọi