Đề cương phép tính vi phân

Đề cương ôn tập được đánh máy chủ yếu dựa trên tài liệu Phép tính vi phân -Dạng vi phântrong không gian Banach Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải và có kết hợp thêm tài liệu ghi chépcủa các kh

Đề cương ôn tập được đánh máy chủ yếu dựa trên tài liệu Phép tính vi phân -Dạng vi phântrong không gian Banach (Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải) và có kết hợp thêm tài liệu ghi chépcủa các khóa cao học K21, K22 Trường Đại học sư phạm Hà Nội Hi vọng sẽ giúp ích được chocác bạn học viên trong quá trình học tập và ôn tập chuẩn bị cho kì thi kết thúc chuyên đề 

NỘI DUNG ÔN TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

1 Ánh xạ khả vi, đạo hàm theo hướng , đạo hàm của hàm hợp

1.1 Ánh xạ khả vi

Banach Ta nói f khả vi tại x0 nếu tồn tại SL(E, F) sao cho:

 

f (x h) f (x ) S(h)  o h (1)nghĩa là  0,  0, h E : h   thì

f (x h) f (x ) S(h)    hhay

Nếu f liên tục thì ta gọi f là khả vi liên tục hay thuộc lớp C1 trên 

(iii) Nếu f khả vi tại x0 thì f liên tục tại x0, tức là có

(iv) Do f (x ) 0  L(E, F), từ (1) suy ra f liên tục tại x0 và do

(i) Nếu f : F, f const, thì f 0 trên 

(ii) Nếu f S :  F, ở đây SL(E, F) thì f (x) S, x  Thật vậy, điều này suy ra từ

f (xh) f (x) f (h)   S(xh) S(x) S(h)   S(x) S(h) S(x) S(h)       0, h E, xNhư vậy, đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục tại mọi điểm thuộc E chính là ánh xạ tuyến tínhliên tục đó

(iii) Giả sử f S với S : E1E2 F là song tuyến tính liên tục Chứng minh được

1.2 Đạo hàm theo hướng

a Định nghĩa Giả sử  là tập mở trong không gian định chuẩn E và F là không gian Banach.Xét ánh xạ f : F, x0 và hE, h0

Nếu giới hạn

t 0

f (x t.h) f (x )lim

f(0, 0) 0, h , h 0h

c Định lí (Định lí về đạo hàm của hàm với giá trị trong tích các không gian Banach)

Giả sử E là không gian Banach và  E là mở

Khi đó, f (f ,1, f ) :m    F1  Fm là khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f ,1 , fm khả vi tại

f q fGiả sử f khả vi tại x0 Vì qj là tuyến tính liên tục nên qj khả vi tại y0 f (x )0 Do đó qjfkhả vi tại x , hay0 fj khả vi tại x và0

a Định nghĩa Nếu i khả vi tại x0i thì đạo hàm của nó tại x0i được gọi là đạo hàm riêng của f

tại x0 theo biến xi, kí hiệu là 0

i

f(x )x



 hay i

0 x

   

b Định lí (Biểu diễn đạo hàm toàn phần theo đạo hàm riêng)

Nếu f khả vi tại x0 thì f có tất cả các đạo hàm riêng tạ i x0 và

i 1 i

f(x )(h )x

3 Công thức số gia giới nội

3.1 Định lí về công thức số gia giới nội

Giả sử  a, b  F là không gian Banach và, f : a, b F là một ánh xạ từ  a, b vào F

a Định nghĩa Ta nói f khả vi trái tại c(a, b] nếu tồn tại giới hạn

b Định lí (Công thức số gia giới nội) Giả sử các ánh xạ f : a, b F và g : a, b  là liêntục Khi đó, nếu các ánh xạ f và g có đạo hàm f (x) và g (x) tại mọi x(a, b) và thỏa mãn

f (x) g (x) với mọi x(a, b) (1)

(i) ca Thật vậy, ta thấy (3) đúng với x = a, mà hai vế của (3) liên tục nên  0 đủ nhỏ đểvới mọi xa, a  thì (3) vẫn đúng Do đó:  x U : x       a c a a

(ii) cU, vì nếu cU thì do U mở nên tồn tại xU : a x c Điều này mâu thuẫn với

cinf U

(iii) cb, vì nếu ngược lại thì tập U b không phải là tập mở

Vậy c(a, b) Theo giả thiết ta có

f (c) g (c) (5)Theo định nghĩa của f và g tồn tại  0 sao cho với mọi x thỏa mãn c   x c thì

f (x) f (a)  f (x) f (c)  f (c) f (a) g(x) g(a)       (x a) , x c, c 

Đó chính là bất đẳng thức (3) đúng với c   x c Vậy bất đẳng thức (3) thỏa mãn với mọi

x  c Do đó

cinf U  c

Ta gặp mâu thuẫn, nên định lí được chứng minh

c Nhận xét Nếu ta thay đạo hàm phải thành đạo hàm trái, ta cũng có kết qu ả tương tự.

Giả sử các ánh xạ f : a, b F và g : a, b  là liên tục Khi đó, nếu các ánh xạ f và g có đạohàm f (x) và g (x) tại mọi x(a, b) và thỏa mãn

f (x) g (x) với mọi x(a, b) (1’)

(i) cb Thật vậy, ta thấy (3’) đúng với x = b, mà hai vế của (3’) liên tục nên  0 đủ nhỏ đểvới mọi x  b , b thì (3) vẫn đúng Do đó:  x U : x       b c b b.

(ii) cU, vì nếu cU thì do U mở nên tồn tại xU : c x b Điều này mâu thuẫn với

csup U

(iii) ca, vì nếu ngược lại thì tập U a không phải là tập mở

Vậy c(a, b) Theo giả thiết ta có

f (c) g (c) (5’)Theo định nghĩa của f và g tồn tại  0 sao cho với mọi x thỏa mãn c   x c thì

d Các hệ quả và định lí áp dụng

(i) Định lí Giả sử f : a, b F, g : a, b  là các ánh xạ liên tục Nếu có các giả thiết củaĐịnh lí về công thức số gia giới nội (tức là tồn tại f và g và có (1)) trên  a, b chỉ trừ ra mộttập điểm được D a, b , thì vẫn có

f (b) f (a) g(b) g(a)

(ii) Hệ quả Giả sử f : a, b F là ánh xạ liên tục Nếu f có f (x) tại mọi điểm x(a, b) vàthỏa mãn

f (x) k (k0là hằng số)thì

(iii) Định lí Giả sử  E là tập mở và f : F là ánh xạ liên tục từ  và không gian

Banach F Nếu ánh xạ f : F khả vi và đoạn a, b  , thì ta có

i

fx



 tồn tại Ta chỉ cần chứng minh i

i

f: (E , F)x



 

 L liên tục với i1,, n.Thật vậy, ta có:

b Điều kiện đủ Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n.

Trường hợp n = 1 là hiển nhiên Giả sử định lí đúng với n 1 Ta chứng minh định lí đúng với n.Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh

tức là f khả vi trên  và f :  L(E, F) là liên tục

Quay trở lại việc chứng minh (1) Ta có:

Thì h có các đạo hàm riê ng theo x (ii 1,, n 1) liên tục và

Nếu f liên tục, ta nói f khả vi liên tục cấp 2 hay thuộc lớp 2

C trên 

4.2 Ví dụ

a) Nếu f S với S  L(E, F) thì f (x)   S, x và do đó f 0

b) Giả sử f S với S  L2(E, F) với  mở trong E E , ta đã biết

f (x, y)(h, k) S(x, k) S(h, y), (x, y)   , (h, k) E EXác định T : E E L2(E, F) cho bởi

T(x, y)(h, k)S(x, k) S(h, y)Khi đó T là tuyến tính, liên tục Thật vậy,

4.3 Định lí (Về tính đối xứng của đạo hàm cấp hai)

Giả sử f : F, với  mở trong không gian định chuẩn E còn F là không gian Banach, là ánh

xạ khả vi hai lần tại x0 Khi đó f là đối xứng, tức là

Cho  0 thì ta được:

f (x )(h, k) f (x )(k, h), h, k  E(ii) Ta sẽ chứng minh (3) Thật vậy:

g(t)f (x  h tk) f (x tk)t.f (x h)(k)t.f (x )(k) ,với 0 t 1 và h, k đủ nhỏ

 theo xi trên 

i i

f: (E , F)x

 có đạo hàm riêng theo xj tại x0 thì đạo hàm riêng đó gọi là đạo hàm riêng cấp 2

của f tại x0 theo xi và xj, kí hiệu là

2 0

j i

f(x )

Áp dụng (1) với f :  L(E, F) thay cho hàm g ta được:

f (a) hay D f (a)3 và gọi nó là đạo hàm cấp 3 của f tại a Như vậy

1 Tồn tại lân cận V của a trong  sao cho f khả vi cấp (n – 1) tại mọi xV

2 Ánh xạ xf(n 1) (x) từ V vào Ln 1 (E, F) khả vi

Đạo hàm của f(n 1) tại a được viết là f(n )(a)hay D f (a)n và gọi là đạo hàm cấp n của f tại a.Lưu ý rằng f(n )(a)Ln(E, F) và với quan niệm thích hợp ta viết

f (a)(h ,, h )f (a)(h )(h ,, h )f (a)(h )(h )(h )

(ii) Ánh xạ f được gọi là thuộc lớp Cn trên  (hay khả vi liên tục cấp n) nếu f khả vi cấp n tạimọi điểm x và f(n ): Ln(E, F) là liên tục

b Nhận xét

 Mở rộng, ta nói f thuộc lớp C trên  nếu nó thuộc lớp Cn trên  với mọi n

Chỉ cần chứng minh cho định lí đúng với n2.

Khi n = 2 thì đó làĐịnh lí về tính đối xứng của đạo hàm cấp hai

Khi n3 và giả sử định lí được chứng m inh cho n – 1 Theo định nghĩa f(n )(a) chính là đạohàm tại a của ánh xạ f(n 1) : VLn 1(E, F), với V là lân cận của a

Từ giả thiết quy nạp, (n 1)

f  là ánh xạ từ V vào không gian con đóng s

n 1(E, F)

L của Ln 1 (E, F),gồm các ánh xạ (n – 1)- tuyến tính đối xứng Do đó

f (a)(h ,, h )f (a)(h )(h ,, h ) f  (a)(h )(h ,, h )

là hàm đối xứng của (h ,2 , h )n Vậy chỉ còn chứng minh f(n )(a)(h ,1 , h )n không thay đổi khihoán vị h1 và h2 Thật vậy, mỗi hoán vị của n phần tử được phân tích thành tích hữu hạn cácphép chuyển trí, nghĩa là hoán vị của hai phần tử liên tiếp Như vừa lí luận thì f(n )(a)(h ,1 , h )nkhông thay đổi khi hoán vị hi và hi 1 với 2  i n 1 Vậy thì chỉ cần chứng minh điều đó xảy

ra khi hoán vị h1 và h2 Nhưng (n )

f (a) là đạo hàm cấp 2 của (n 2)

f  tại a và đạo hàm cấp 2 là đốixứng Do đó

(b) Nếu f và g thuộc lớp Cn trên U và V tương ứng thì hg f cũng thuộc lớp Cn trên U.

(ii) Định lí Giả sử E là không gian Banach Khi đó

(a) Isom(E)uL(E, E) : u là đẳng cấu} là tập con mở của L(E, E)

(b) Ánh xạ : Isom(E)L(E, E) cho bởi (u)u1 là khả vi vô hạn Ngoài ra

5.1.2 Định lí Nếu f (x ) 0 là đẳng cấu giữa E và F thì f là vi phôi địa phương lớp Cp tại x0

W và Z Ta cần chứng minh khi W đủ nhỏ thì f là vi phôi lớp Cp

Do Isom(E)uL(E, F) : u là đẳng cấu} là tập mở trong L(E, F) và f (x ) 0 Isom(E) nên cóthể coi f (x) Isom(E), x W

Cho x1W Do f khả vi tại x1 nên nếu y = f(x) và x đủ gần x1, ta có:

Vì ánh xạ uu1 là khả vi vô hạn lần trên Isom(E) nên từ (4) suy ra f1 thuộc lớp Cp.

Bước 2 Để kết thúc chứng minh định lí, ta còn phải chứng tỏ có một lân cận W của x0 và Z của

Khi đó, nếu p

x thỏa mãn (9) thì do

0 p

Do đó f là song ánh và tồn tại ánh xạ ngược

Ta chứng minh g liên tục Thật vậy, nếu y, y B(y , )0 r

2

 thì từ (7) ta cóg(y) g(y )   xx 2 f (x) f (x )  2 yy

1 trong không gian E F một lân cận mở V của (x , y ), V0 0  

2 trong E một lân cận mở W của x0

3 ánh xạ g : WF thuộc lớp p

C sao cho(x, y)V và f (x, y)  0 x W và yg(x)

Theo Định lí Hàm ngược, tồn tại lân cận mở V của 0 0

(x , y ) trong  và một lân cận Z của

C và có dạng:

~ 1

g (x, z)(x, g(x, z)), (x, z)Z

Có thể kiểm tra lại khẳng định sau

(x, y)V và f (x, y) z (x, z)Z và g(x, z)yĐặt

W xE : (x, 0)Zvà

Giả sử E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và f : F với  là mở trong E

6.1 Định lí (Công thức Taylor dạng Peano) Giả sử f khả vi (p – 1) lần trên  và khả vi p lầntại x0 Khi đó

 đều có thể viết như tích của một số hữu hạn các phép chuyển vị

+ Ta nói cặp  i, j lập thành một cặp nghịch thế đối với

p

 nếu (i   j)( (i) ( j))0

Số các nghịch thế của  được kí hiệu là N( )

Đặt sig( ) 1 neu N( ) chan

sig( ) sig( )sig( ),   , 

7.2 Ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục

a Định nghĩa Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn và p0 Ánh xạ p-tuyến tính liêntục T : Ep F gọi là thay dấu nếu chuyển vị trí hai phần tử bất kì trong p phần tử x ,1 , xpEthì giá trị T(x ,1 , x )p đổi dấu, hay

g(x ) g(x )

xác định ánh xạ 2- tuyến tính thay dấu liên tục trên E

Tổng quát, nếu f ,1 , fp là p phiếm hàm tuyến tính l iên tục thì biểu thức

xác định một ánh xạ p- tuyến tính thay dấu liên tục trên E.

7.3 Tích ngoài của các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục Giả sử E, F, G và H là các

không gian định chuẩn và   : F G H là ánh xạ song tuyến tính liên tục

Cho fAp(E, F) và gAq(E, G) Công thức

h(x ,, x  )  f (x ,, x ), g(x ,, x  )xác định ánh xạ đa tuyến tính liên tục hAp q (E, H) Tuy nhiên, h không thay dấu, nó chỉ thaydấu theo nhóm p biến x ,1 , xp và q biến xp 1,, xp q Kí hiệu tập các ánh xạ như vậy bởi

+ Trường hợp quan trọng F  G H  còn  là phép nhân các số thực

    

ta viết fg thay cho fg

7.4 Mệnh đề Nếu fAp(E, ) và gAq(E, ) thì

7.5 Mệnh đề Tích ngoài của các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu liên tục có tính chất kết hợp Nói

cách khác, nếu fAp(E, ) , gAq(E, ) và hAr(E, ) thì

(f     g) h f (g h)

8 Dạng vi phân

8.1 Định nghĩa Cho U là tập mở trong không gian định chuẩn E, còn F là không gian Banach.

Bởi dạng vi phân bậc p hay p-dạng vi phân trên U với giá trị trong F ta hiểu là ánh xạ

p

: U (E, F)

 A Nếu ánh xạ này thuộc lớp C , kk 0, ta nói  là p- dạng vi phân lớp Ck

Kí hiệu (k )p (U, F) là không gian vectơ các p- dạng vi phân trên U với giá trị trong F Viết

Tổng quát, nếu 1,,p là các 1- dạng vi phân vô hướng trên U, thì biểu thức

(    )(x)  (x)   (x)xác định p- dạng vi phân trên U (Xem lại Ví dụ)

Cho w là một p- dạng vi phân lớp Ck trên tập mở Un với giá trị trong không gian Banach

F Khi đó

ở đây U là tập mở trong không gian định chuẩn E.

a Định nghĩa Tích ngoài của các dạng vi phân  và  theo  kí hiệu là    cho bởi

(   )(x) (x)  (x), xUNhư vậy

(i) Giả sử f : U F A0(E, F) và w : UAn(E, ) là n- dạng vi phân Đặt G, HF

và  : F  F là phép nhân trong cấu trúc của F Khi đó

(f w) x;,, f (x)w x;,,

là n- dạng vi phân giá trị trong F

(ii) Giả sử  và  là các 1- dạng vi phân vô hướng và :   là phép nhân thôngthường Khi đó, viết    thay cho    Ta có

8.5 Vi phân ngoài dạng vi phân

8.5.1 Định nghĩa Cho w:UAp(E, F) là p- dạng vi phân lớp C , kk 1 trên U mở trong E Vớimỗi xU và 0,, p E, đặt

 0 p i  i  0 i pdw(x)  ,, ( 1) w (x)    ,, , , ,