Đại cương về toán học hữu hạn hoàng chúng

Trong nhiều trường hỢp, có thể căn cứ vào phép toán sau cùng trong công thức để lập bảng chân lí một cách nhanh chóng, không cần phải xem xét từng dòng một.. nếu không thể hiểu lầm được

T H Ư V IỆ N

ĐẠI HỌC THUỶ SẢN

1000013258

NHÀ XUÂT BÁN GIÁO DỤC

51(075) 141/738 _ 98 Mã số : 8G354t8

G D-98

LỜI NÓI ĐẦU

S ự phát triển kì diệu cửa máy tính điện tử trong th ế k ì X X gắn liền với sự phắt triển cửa toán học nói chung, toán học rời rạc nói riêng.

Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chết rời rạc (trái với liên lục) và bao quát nhiều ngành như ư thuyết sô' logic toán, một bộ phận của nhiều ngành khác như đại s ố học, toán học tính toắn,

lí thuyết xác suấi và những ngành m ới phát triển mạnh mấy chục năm nay Theo nghĩa hẹp,, toán học rời rạc chỉ bao gồm những ngành

m ới phát triển đó, như lí thuyết graph, lí thuyết các h ệ hàm, lí thuyết

m ã hoắ, giải lích tổ hợp, V V EX» tượng nghiên cứu của những ngành này chù yếu là các câu trúc không chỉ rời rạc mà còn là lìữlì hạn Vì vậy toán học rời rạc cũng được gọi là toán học hữu hạn.

Ngày nay, toán học hữu hạn (rời rạc) là công cụ thiết y ếu cho nhiều ngành khoa học k ĩ thuật, và là một thành phần trong học vấn toán học phổ thông, với cách tiếp cận đốì tượng nghiên cứu, ngôn ngữ

và phương pháp tư duy khá độc đáo, cùng nhiều ứng dụng phong phú và không ít bất ngờ.

Vì vậy, nhrmg kiến thức nhập môn vè toán học hữu hạn là rất cần tlìiết cho giáo viên phổ thông vè khoa học tự nhiên nói chung, về

toán và tin h ọ c nói riêng Cuốn sách này được viết nhằm đáp ứng yêu cầu đó cửa giáo viên, đồng thời cũng nhằm đưa đến cho sinh viên năm đầu cấc trường đại học khoa học tự nhiên và k ĩ thuật m ột tài liệu tham khảo cần thiết Học sinh giỏi các trường p h ổ thông có th ể đọc được phần lớn nội dung cuốn sách (chì đòi hỏi trình độ toán học lớp 9, 10), qua đó có th ể thấy rõ hơn m ột chút "diện mạo" của toán học hiện đại.

Sách gồm có bốn chương (đại s ố logic, thuật toán, graph, đại sỗ

B o ole); không đ ề cập đến lí thuyết tập hợp và g ià ì tích tổ hợp (mà cắc sách nhậpm ôn về toán học rờ i rạc thường có), vì khuôn k hổ cuốn sách

có hạn và vì những nội dung đó phần nào đã có trong sách giáo khoa

p h ổ thông.

Tác giả cô'gắng trình bày các vấn đề với y êu cầu chặt ch ẽ và chính xác thích hợp, dựa trên nhiều ví dụ cụ thể, bỏ qua chứng minh những định lí khó cũng như chỉ có th ể đ ề cập đến m ột sô'khái niệm tinh

vi ở m ức độ “trực giá c Đ ó là diều rất khó, vì vậy cuô'n sách không tránh khỏi những thiếu sót Tác già m ong nhận được những nhận xét quý giá của bạn đọc.

Thành phô" Hồ Chí Minh, (.'láng 1 năm 1997

Hoàng Chúng

(2) Hà Nội là thủ đô nước Việt Nam.

(3) MặtTrời quay quanh Trái Đất.

Vi du : p : s ố 20 chia hết cho 4 (P = đ)

Q : MặtTrdi quay quanh Trái Đất (Q = s)

Như vậy, ta coi m ện h đ è là m ột đại lượng lấy m ột trong hai

Ví du 1 p : Trái Đất quay.

p : Không phải Trái Đất quay.

Trái Đất không quay,

Ví du 2 p : 2 là số nguyên tố.

Q : MặtTrời quay quanh Trái Đất

p A Q : 2 là số nguyên tố và MặtTrời quay quanh Trái Đất. Theo định nghĩa của phép hội, giá trị chân lí của mệnh đề p A Q

chỉ phụ thuộc giá trị chân 11 của p và của Q; à đây

p = đ, Q = s, do đó p A Q = s.

1.1.4 P H É P TU YỂN

Cho hai mệnh đề p và Q.

Tuyển cũa p và Q, lđ hiệu p V Q (đọc : “P hoặc Q"), là mệnh

đề được xác định như sau:

Định nghĩa này được ghi trong bảng 1.3 (bảng chân lí của phép

sai khi cả p lẫn Q cùng sai.

Ví du 3 P : Paris là thủ đô nước Anh.

Cho P, Q, R, là những mệnh đề bất ki, tức là những đại lượng

lấy một trong hai giá trị đ hoặc s Ta gọi đó là những mệnh đề sơ cấp.

Từ các mệnh đề sơ cấp, dùng liên tiếp các phép logic — , A , V ,

ta có thể lập được các mệnh đề mđi, gọi là các mệnh đề phức hợp Ví

của các mệnh đề â'y (các biến mệnh đề) Hàm F(P,Q,R, ) có tập xác

định và tập giá trị đều là { đ,s } (biến và hàm đều chỉ lấy một trong hai trị đ,s) Ta gọi F(P,Q, R, ) là một hàm đại sô' logic (nói gọn là hàm logic) Các hàm F(P) = P , F(P,Q) = P A Q, F(P,Q) = P V Q lần lượt là hàm phủ định, hàm hội và hàm tuyển.

Một hàm logic có thể cho bằng bảng chân lí (cho biết giá trị của

-hàm ứng với mọi giá trị của biến) hoặc cho bằng công thức Khi biết

công thức xác định một hàm, ta có thể lập bảng chân lí của nó Việc lập bảng chần lí của các công thức dựa vào định nghĩa của các phép

Ví du 2 Lập bảng chân lí của công thức p A ( Q V R ).

Công thức này chứa ba mệnh đề sơ cấp p, Q, R Ta phải lập

bảng vđi 23 = 8 dòng, và lập bảng chân lí theo thứ tự:

Q V R, (Q V R) rồi p A (Q V R ) Ta có bảng 1.5.

Bảng 1.5

Trong nhiều trường hỢp, có thể căn cứ vào phép toán sau cùng trong công thức để lập bảng chân lí một cách nhanh chóng, không cần phải xem xét từng dòng một Ví dụ : P V Q là tuyển của p và Q, do

đ ó P V Q = s khi p = s (tức P = đ )v à Q = s, P v Q = đ trong mọi trường hợp khác, ta có bảng chân lí như bảng 1.4 Công thức P A (Q V R) là hội của p và (Q V R), do đó P A (Q V R ) = đ chỉ trong một trường hợp

Lại xét công thức P A p , có bảng chân lí là bảng 1.7.

Ta thấy P A P luôn luôn lấy giá trị s Ta nói P A P là một công thức hằng sai, và viết P A P = s.

Dễ thấy rằng phủ định của một công thức hằng đúng là một công thức hằng sai, và phủ định của một công thức hằng sai là một công thức hằng đúng.

Ví dụ : ( P v P ) 3 s, ( p A P ) s đ

BÀI T Ậ P 1.1.1 Cho p : 15 X 5 = 65.

1.2 CÁC HỆ THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG

1.2.1 HỆ THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG

Hai công thức A(P,Q,R, ) và B(P,Q,R, ) gọi là tương đương logic với nhau nếu chúng có cùng một bảng chân li, nghĩa là A và B luôn có cùng giá trị vđi mọi giá trị của p, Q, R, Ta viết:

A(P, Q, R, ) s B(P,Q,R, )

hoặc A(P, Q, R, .) = B(P, Q, R, ) (nếu không thể hiểu lầm được)

và gọi đây ỉà một hệ thức tương đương.

Ví du Các bảng 1.8 và 1.9 cho thấy hai công thức

la p A Q = Q A p

b P v Q = Q v P

C ác hệ thức tương đương cơ bản trên đây chứng tỏ rằng:

Phép hội và phép tuyển có tính giao hoán (các hệ thức la, b) Phép hội và phép tuyển có tính kết hợp (các hệ thức 2a, b) Phép hội có tính phân phối đốì vổỉ phép tuyển (hệ thức 3a)

đ là phần tử trung hoa của phép hội (hệ thức 5a)

s là phần tử trung hoà của phép tuyển (hệ thức 5b).

Như vậy, phép tuyển và phép hội cá c m ệnh đề trong đại số’ logic có các tính chất tương tự phép cộng và phép nhân các sô” trong đại số.

Do đó người ta thường gọi phép tuyển là phép cộng logic và phép hội là phép nhân logic, và viết P.Q hay PQ thay cho p A Q Trong một công thức, ta quy ưđc thực hiện phép nhân logic trước phép

cộng logic, nhờ đó có thể bỏ bđt một số dấu ngoặc.

Vđi kí hiệu và quy ưđc đó, có thể viết

Do phép hội và phép tuyển có tính kết hợp nên ta có thể viết

p A Q A R (hay PQR) và p V Q V R, mà không cần các dấu ngoặc.

Mặt khác, ta có thể bỏ dấu ngoặc ồ hai đầu một công thức nếu

trên công thức đó có phép logic — , chẳng hạn viết

p V Q thay cho (P V Q).

Do đó, các hệ thức 8a và 8b, gọi là các hệ thức De Morgan, có thể viết

1 2 3 BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Trong các hệ thức tương đương cơ bản, p, Q, R có thể là một công thức bất kì Dựa vào các hệ thức tương đương cơ bản, ta có thể biến đổi một công thức cho trưđc thành một công thức tương đương vđi

nó và có một hệ thức tương đương mđi (tương tự phép biến đổi tương đương các công thức đại số quen thuộc).

Ví du 3 P v O = p 7 " q (theo 8b)

Chú ý rằng một số hệ thức tương đương nêu ra ở 1.2.2 có thể suy

ra được từ các hệ thức tương đương cơ bản khác Ví dụ hệ thức tương đương 4b có thể chứng minh như sau:

= ( P v P ) a ( P v P) (theo 3b) ( P v P ) A đ (theo 7b)

Tuy nhiên, ta coi tất cả các hệ thức tương đương ở 1.2.2 là các

hệ thức tương đương cơ bản vì chúng rất quan trọng và rất thường dùng (Tùy theo quan điểm và cách trình bày, có tác giả nêu số lượng các hệ thức tương đương cơ bản ít hơn hoặc nhiều hơn bảng liệt kê ở đây, và có thể có sự sắp xếp khác.)

1.2.4 LUẬTĐ Ô Ì NGẪU

Ta gọi phép A là đôi ngẫu của phép V và ngược lại.

Cho trước một công thức A Nếu trong A ta th^j mỗi phép V, A

một công thức A*, gọi là công thức đốì ngẫu của A Lúc đó, ngược lại, A cũng là đôi ngẫu cùa A*, hai công thức là đôi ngẫu của nhau.

Ví dụ các cặp công thức sau đây là đối ngẫu của nhau.

Công thức đối ngẫu của p cũng là p.

C ác hệ thức tương đương này thường được sử dụng để rút gọn

một công thức Các hệ thức lOa, b gọi là các quy tắc nuốt và các hệ thức 1 la, b gọi là các quy tắc dính.

Ví du :

Chó ý rằng nếu trong công thức A có chứa đ thì có thể thay đ bởi

p V p (theo 7b), có chđa s thì có thể thay s bdi p A p (theo 7a) Lúc đó, nếu trong A ta thay mỗi phép A , V bằng phép đối ngẫu cùa nó thì đ sẽ

được thay bằng s và s sẽ được thay bằng đ Vì vậy, có thể nói : Hai công thức là đối ngẫu của nhau nếu công thức này có được từ công thức kia bằng cách thay mỗi phép A V bằng phép đối ngẫu của nó.

1.2.2 Dùng luật đôi ngẫu để cố các hệ thức tương đương mới từ các hệ thức

vđi A (A* = A) Chứng minh rằng các công thức sau đây là tự đối ngẫu:

1.3 BIỂU DIỄN MỘT HÀM LOGIC BẤT KÌ

BẰNG CÔNG THỨC CỦA ĐẠI s ố LOGIC

Cho F (P,Q, R, .) là một hàm logic, tức là hàm có tập xác định cũng như tập giá trị đều là {đ, s}

Ta đã biết rằng nếu hàm F được cho bằng một công thức thì ta

có thể lập bảng giá trị của F ứng vơi mọi giá trị của biến (bảng chân lí của công thức).

Bài toán ngược lại là : hàm F được cho bằng một bảng chân lí, hãy tìm câng thức biểu diễn F.

Trước hết, ta giải bài toán trong một số trường hợp đơn giản, sau

đó mở rộng cho trường hợp tổng quát.

1 3 1 B IỂ U DIỄN HÀM MỘT B IÊN BẰNG CÔNG THỨC Đối với hàm một biến F(P), có tất cả 4 trường hỢp phải xét như trong bảng 1.10.

1.3.2 B IỂU DIỄN HÀM HAI BIÊN BANG CÔNG THỨC Giả sử hàm hai biến F(P,Q) được cho bởi một bảng chân lí a) Trước hết, xét trường hợp đơn giản là bảng chân lí của F(P,Q)

có giá trị đ ở một dòng và giá trị s ở mọi dòng khác, như trong các

Dễ thấy rằng đối vđi bảng 1.1 Ib, ta có F2(P,Q) = PQ Thật vậy,

PQ = đ khi p = đ và Q= đ, tức Q = s; trong mọi trường hợp khác,

Q’ là Q hoặc Q Bảng chân lí của một hội sơ cấp có giá trị đ ở một dòng và s ở

mọi dòng khác Điều này được ghi tóm tắt trong bảng 1.12.

Dễ thấy quy tắc viết các hội sơ cấp : trên dòng tương ứng, nếu

p — đ thì trong hội sơ cấp ta có p, nếu p — s thì trong hội sơ cấp ta có

p Cũng như vậy với Q hoặc Q.

b) Bây giờ ta xét trường hợp bảng chân lí của F(P,Q) có giá trị

đúng ở một số dòng.

Công thức biểu diễn F(P,Q ) có được bằng cách:

ỉ Viết các hội sơ cấp của hai biển p, Q,

ứng với các dòng mà F (p , Q) = đ.

2 Viết tuyển của các hội sơ cấp có được.

Ví du 1 F(P,Q) được cho bỏi bảng 1.13.

p đ đ s s

Q đ

F(P,Q) đ s

d s

s s đ

Bảng 1.13

Việc tìm công thức biểu diễn F(P,Q) được chỉ rõ trong bảng 1.14

c) Trên đây là trường hỢp trong bảng chân lí của F(P,Q) có ít

nhất một dòng có giá trị đ, nói cách khác, F(P,Q) không phải là hằng

sai.

Xét trường hợp F(P,Q) không phải là hằng đúng, tức là trong

bảng chân lí của F(P,Q) có ít nhất một dòng có giá trị s.

Lập luận tương tự như trên, đối vđi mỗi dồng mà F(P,Q) = s, ta

có một tuyển sơ cấp của hai biến p, Q (sau đây có thể gọi tắt là

tuyển sơ cấp) Ta có bảng 1.15, tương tự bảng 1.12.

P' V Q’( trong d ó P' là p h o ặ c p

Q’ là Q h o ặ c Q

Quy tắc viết các tuyển sơ cấp là : trên dòng tương ứng,

nếu p = đ thì trong tuyển s ơ c ấ p ta c ó p ,

nếu p - s thì trong tuyển sơ cấ p ta có p.

Cũng như vậy vđi Q hoặc Q.

Nếu bảng chân li của F(P,Q) có giá trị s ở một số dòng, ta có thể

lìm câng thức hiểu d iễn F(P,Q ) như sau:

1 Viết c á c tuvển s ơ c ấ p cử a hai biến P, Q

ứng với cú c dòng mà F (P, Q) = s.

2 Viết h ội củ a c á c tuyển s ơ c ấ p có được.

Ví du 1 Vơi F(P,Q) được cho bằng bảng 1.13, việc tìm công thức biểu diễn F(P,Q) được chỉ rõ trong bảng 1.16 Ta có

F(P,Q) = PQ V P Q (tuyển của các h ộ i s ơ cấp)

F(P,Q) = (Pv Q)(P V Q) (hội của các tuyển sơ cấp).

Dùng các hệ thức tương đương cơ bàn, dễ dàng chứng minh rằng (P V Q) (P V Q) = P Q V P Q.

Thực vậy:

(Pv Q)(P V Q) = PP V P Qv QP V QQ = PQ V P Q

Cho F(P>, p2, „ pn) là một hàm logic của n biến.

Nếu F k h ô n g hằng sai thì có thể biểu diễn F bằng một công thức

của đại s ố logic, dưới dạng tuyển của c á c hội sơ cấp củ a n biến, mỗi

hội sơ cap cùa n biến (gọi tắt là hội sơ cấp) có dạng

P’j PV-.P'r, trong đó P’i là Pị hoặc Pi.

Công thức biểu diễn F có dạng này gọi là công thức dạng tuyển chuẩn tấc hoàn chỉnh.

Nếu F không hằng đúng thì có thể biểu diễn F bằng một công

thức của đại s ố logic, dưđi dạng hội của c á c tuyển sơ cấ p của n biến, mỗi tuyển sơ cấp của n biến (gọi tắt là tuyển sơ cấp) cổ dạng

P'Ị V P'2 V V P'n, trong đó P'i là Pi hoặc Pj.

Công thức biểu diễn F có dạng này gọi là công thức dạng hội chuẩn tắ c hoàn chinh.

Xét trường hợp cụ thể vđi hàm ba biến F(P,Q,R).

Bảng 1.17a cho các hội sơ cấp của ba biến p, Q, R.

chú ý đến các dòng mà F có giá trị đ, với mỗi dòng đó ta có một hội

sơ cấp của p, Q, R tương ứng:

PQR V PQR V PQR V PQR

E)ể lìm công thức dưới dạng hội chuẩn tắc hoàn chỉnh, ta chỉ cần chú ý đến các dòng mà F có giá trị s\ với mỗi dòng đó, ta có một

tuyển sơ cấp của p, Q, R tương ứng.

F(đ,đ,s) = s, tuyển sơ câ'p là p V Q V R

Trong trường hợp này, ta nên tìm công thức biểu diễn F dưới

dạng tuyển chuẩn tắc hoàn chỉnh.

Với F(đ,đ.ổ) - đ ta có hội sơ câ'p PQR,

1 3 3 Tìm công thức biểu diễu hàm F(P, Q, R, S) nhận giá trị đ khi và chỉ khi hai biến lấy giá trị đ và hai biến kia lây giá trị s.

1 3 4 Tim dạng tuyển và dạng hội chuẩn tắc hoàn chỉnh của các công thức sau:

a) p V PQ ; b ) P(P V Q); c ) p V Q(P V Q).

1 3 5 Tương tự bài 1.3.4, vđi các công thức:

c) (P V Q) (Pv R) V (P V Q) (P V R).

1 4 TÍNH ĐẨY ĐỦ CỦA MỘT HỆ P H É P LOGIC

1.4.1 TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA HỆ CÁC PHÉP HỘI, TUYỂN

VÀ PHỦ ĐỊNH

Ta đã thấy rằng : mọi hàm logic đều có thể biểu diễn bằng một công thức của đại sô' logic, tức là một công thức chỉ chứa ba phép hội, tuyển và phủ định.

Ta nói rằng : trong đại số logic, hệ { A , V , — } là đẩy đủ.

Tuy nhiên, dùng hệ thức 8a (hệ thức De Morgan) và hệ thức 9

Do đó, có thể đưa mọi công thức về dạng chỉ chứa hai phép A và

— , nghĩa là có thể biểu diễn mọi hàm logic bằng công thức chỉ chứa hai phép A và — Hệ { A , — } cũng là đẩy đũ.

1.4.2 PH ÉP TUYỂN LOẠI ĐA THỨC JEG ALKIN

Cho hai mệnh đề p và Q.

p © Q (đọc “P cộng Q") là mệnh đề được định nghĩa bằng bảng chân lí 1.19.

Bảng 1.19 chỉ khác bảng 1.3 (định nghĩa phép tuyển) ở dòng đầu:

X ét hai mệnh đề sau đây.

a) Công việc này đòi hỏi người giỏi tiếng Anh hoặc tiếng Pháp b) Bạn An sinh ở Hà Nội hoặc ở Nam Định.

Hai mệnh đề đều có dạng “P hoặc Q ”, nhưng mệnh đề a) được hiểu là “P hoặc Q và có thể cả p lẫn Q ” (có thể giỏi cả tiếng Anh và tiếng Pháp), trong khi đó mệnh đề b) phải hiểu là “P hoặc Q nhưng

không có cả P lẫn Q ” (An chỉ có thể sinh ra ở một trong hai nơi).

Liên từ “hoặc” trong câu a) có thể coi là tương ứng với phép

tuyển, kí hiệu V, mà ta đã xét ở 1.1.4 Ta gọi đây là phép tuyển

không loại (hay phép tuyển lỏng).

Liên từ “hoặc” trong câu b) có thể coi là tương ứng vđi phép ©,

vă ta gọi đây là phép tuyển loại (hay phép tuyển chặt) Phép © có khi được kí hiệu là V, và p © Q (hay p V Q) cũng được đọc là “hoặc p hoặc Q ”.

Từ định nghĩa của phép © (bảng 1.19), ta viết được:

p © Q = PQ V PQ (dạng tuyển chuẩn tắc hoàn chỉnh)

= (P V Q)(P V Q) (dạng hội chuẩn tắc hoàn chình)

Dễ thấy rằng phép © cững có tính giao hoán, kết hỢp và phép A

có tính phân phối đối vđi phép © :

p © Q = Q © p

p © (Q © R) = (P © Q) © R P(Q © R) = PQ © PR

Ta cũng c ó : p © s = p.

Từ bảng chân lí của phép © , ta có hệ thức tương đương đặc biệt sau:

p © p = s

Có thể chứng minh rằng mọi công thức của đại số logic có thể

đưa về dạng chl chứa hai phép A, © và hằng đ

Thực vậy, dễ thây rằng:

Do đó : p V Q = p A q = (P © đ)(Q © đ) © đ

= PQ © Pđ © Qđ © đđ © đ Chú ý rằng

= PQ(PQR 0 Q ® PR) © P(PQR © Q © PR)

® vQ (P Q R © Q 0 P R X

= PQR © PQR © PQ © PR © PQR

= P(Q © đ)R © P(Q © đ) © PR (do PQR © PQR = s)

= PQR © PR © PQ © p © PR

= PQR © PQ © p (do PR © PR = s) Các công thức có dạng tổng của các tích, như

Phép Sheffer (Î) được định nghĩa bằng bảng 1.23.

1.4.4 Tìm công thức chi chứa phép và tương dương logic vđi p A Q.

1.43 Tìm công thức chỉ chứa phépt và tương dương logic vđi p V Q.

1.5 PH ÉP KÉO THEO VÀ PH ÉP TƯƠNG ĐƯƠNG

1 3 1 PH ÉP KÉO THEO

Trong đời sống, trong toán học cũng như trong các ngành khoa

học khác, ta thường xuyên gặp và sử dụng các mệnh đề kéo theo.

Cho p và Q là hai mệnh đề.

p kéo theo Q, kí hiệu p => Q, là mệnh đề được xác định bằng

bảng 1.24 ịbảng chân lí của phép kéo theo).

p => Q sai khỉ p đúng, Q sai,

đúng trong mọi trường hợp khác.

£ đ đ

đ s

đ s

Mệnh đề kéo theo p

(hay điều kiện đề).

đ s

đ đ

Khi Q đúng thì p => Q là đúng, bất kể p đúng hay sai,

Khi p sai thì p => Q là đúng, bất kể Q đúng hay sai.

P => Q : 2 < 3 chỉ khi Trái Đất đứng yên

Hệ thức (a) có được bằng cách viết dạng hội chuẩn tắc hoàn

chỉnh của p => Q Ta cũng có thể so sánh bảng chân lí của p => Q (bảng 1.24) vđi bảng chân lí của P V Q (bảng 1.4).

p => Q : Nếu có gió mùa đông bắc thì trời lạnh

Các mệnh đề sau đây tương đương logic vđi p => Q:

Không có gió mùa đông bắc hoặc trời lạnh (P v Q)

Nếu ười không lạnh thì không có gió mùa đông bắc (Q => P)

Nói ràng có gió mùa đông bắc tnà ười không lạnh là sai ( PQ ).

Mệnh đề Q => P gọi là mệnh đề phản đảo của p ■ => Q (ngược

lại, p => Q là phản đảo của Q => P, hai mệnh đề là phản đảo của nhau) Hệ thức (b) chứng tỏ:

Mệnh đề p => Q tương đương logic với mệnh đề phản đảo của nó.

p => Q và Q => p là hai mệnh đề đâo của nhaụ.

Nếu một mệnh đề là đúng (sai) thì mệnh đề đảo của nó có thể đúng mà cũng có thể sai.

Ví du p 2 x 2 = 5 (s)

Q Trái Đất quay, (đ)

p => Q Nếu 2 X2 = 5 thì Trái Đất quay, (đ)

Q = > p Nếu Trái Đất quay thì 2 x2 = 5 (s)

Ta đã thấy:

P = > Q = Q = > P Hoán vị p và Q, ta được:

Q => P = P => Q.

Mệnh đề P => Q gọi là mệnh đề phản của p => Q Như vậy: Mệnh đề đảo và mệnh đề phản của p =>Q tương đương logic với nhau.

đ s s

đ s đ s

đ s s đ

Bảng 1.25

p <=> Q đúng khi p và Q có cùng giá trị,

sai khi p và Q có giá trị khác nhau

Ví du p : Trái Đất quay (= đ)