Đại cương về toán học hữu hạn hoàng chúng

T H Ư V IỆ N ĐẠI HỌC THUỶ SẢN 1000013258 NHÀ XUÂT BÁN GIÁO DỤC HOÀNG CHÚNG Đại cường TOÁN HỌC Hữu H6N (Tái bàn lan thứ 1) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998 51(075) 141/738 _ 98 G D-98 Mã số : 8G354t8 LỜI NÓI ĐẦU S ự phát triển kì diệu cửa máy tính điện tử th ế k ì X X gắn liền với triển cửa toán học nói chung, toán học rời rạc nói riêng Toán học rời rạc nghiên cứu cấu trúc có tính chết rời rạc (trái với liên lục) bao quát nhiều ngành thuyết sô' logic toán, phận nhiều ngành khác đại s ố học, toán học tính toắn, lí thuyết xác suấi ngành m ới phát triển mạnh chục năm Theo nghĩa hẹp,, toán học rời rạc bao gồm ngành m ới phát triển đó, lí thuyết graph, lí thuyết h ệ hàm, lí thuyết m ã hoắ, giải lích tổ hợp, V V EX» tượng nghiên cứu ngành chù yếu câu trúc không rời rạc mà lìữlì hạn Vì toán học rời rạc gọi toán học hữu hạn Ngày nay, toán học hữu hạn (rời rạc) công cụ thiết y ếu cho nhiều ngành khoa học k ĩ thuật, thành phần học vấn toán học phổ thông, với cách tiếp cận đốì tượng nghiên cứu, ngôn ngữ phương pháp tư độc đáo, nhiều ứng dụng phong phú không bất ngờ Vì vậy, nhrmg kiến thức nhập môn vè toán học hữu hạn cần tlìiết cho giáo viên phổ thông vè khoa học tự nhiên nói chung, toán tin h ọ c nói riêng Cuốn sách viết nhằm đáp ứng yêu cầu cửa giáo viên, đồng thời nhằm đưa đến cho sinh viên năm đầu cấc trường đại học khoa học tự nhiên k ĩ thuật m ột tài liệu tham khảo cần thiết Học sinh giỏi trường p h ổ thông có th ể đọc phần lớn nội dung sách (chì đòi hỏi trình độ toán học lớp 9, 10), qua có th ể thấy rõ m ột chút "diện mạo" toán học đại Sách gồm có bốn chương (đại s ố logic, thuật toán, graph, đại sỗ B o ole); không đ ề cập đến lí thuyết tập hợp g ià ì tích tổ hợp (mà cắc sách nhậpm ôn toán học rờ i rạc thường có), khuôn k hổ sách có hạn nội dung phần có sách giáo khoa p h ổ thông Tác giả cô'gắng trình bày vấn đề với y cầu chặt ch ẽ xác thích hợp, dựa nhiều ví dụ cụ thể, bỏ qua chứng minh định lí khó có th ể đ ề cập đến m ột sô'khái niệm tinh vi m ức độ “trực giá c Đ ó diều khó, cuô'n sách không tránh khỏi thiếu sót Tác già m ong nhận nhận xét quý giá bạn đọc Thành phô" Hồ Chí Minh, (.'láng năm 1997 Hoàng Chúng CHƯƠNG ĐẠI SỐ LOGIC 1.1 MỆNH ĐỂ VÀ CÁC PHÉP TOÁN LOGIC 1.1.1 MỆNH ĐỀ Bất đâu, ta thường gặp sử dụng mệnh đề Mệnh đề cầu phản ánh điều sai, không (lồng thời sai Ví du : (1) Số 20 chia hết cho (2) Hà Nội thủ đô nước Việt Nam (3) MặtTrời quay quanh Trái Đất (1) (2) mệnh đề đúng, (3) mệnh đề sai Ta dùng chiĩ p, Q, R để mệnh đề Nếu p mệnh đề đúng, ta nói p có giá trị chân lí đúng, hay p có giá trị v iế t: p đ hay p = đ Nếu Q mệnh đề sai, ta nói Q có giá trị chân lí sai, hay Q có giá trị sai v iế t: Q s hay Q = s Vi du : p : s ố 20 chia hết cho (P = đ) Q : MặtTrdi quay quanh Trái Đất (Q = s) Như vậy, ta coi m ện h đ è m ột đại lượng lấy m ột hai g iá t r ị : đ hoặ c s Chú ý mệnh đề câu, câu mệnh đ ề Chẳng hạn câu sau mệnh đề, giá trị chân lí hay sai Chị có khỏe không? Học toán hấp dẫn lắm! X cộng (x + = 5) Từ hay nhiều mệnh đề, lập mệnh đề nhờ phép toán logic (tương tự phép toán đại số học) Các phép toán logic là: phép phu định, phép hội, phép tuyển 1.1.2 P H É P PHŨ ĐỊNH Cho mệnh đề p Phủ định p , kí hiệu P (đọc : “không P ”, “không phải P") mệnh đề xác định sau: p sai p đúng, P p sai Định nghĩa ghi bảng 1.1, gọi bảng chân lí phép phả định Ví du p : Trái Đất quay _p p p : Không phải Trái Đất quay Trái Đất không quay, đ s s đ Bảng 1.1 p = đ, p = s Ví du Q : + = Q : + * (5 + không 9.) í Q = s, Q = đ Mệnh đề p phát biểu dưđi dạng: Nói p sai Ví du : Nói Trái Đất quay sai 1 PH ÉP HỘI Cho hai mệnh đề p Q HỘI p Q, ki hiệu p A Q (đọc : “P Q"), mệnh đề xác định sau: P a Q p lẫn Q đúng, sai hai mệnh đề p Q sai p Q p a đ đ đ đ s s Q : số chẵn s đ s Q : số nguyên tố số chần s s s Định nghĩa ghi bảng 1.2, gọi bảng chân lí cửa phép hội Ví du p : số nsuvên tố p A p = Q = đ, dó p A Q = đ Q bảng 1.2 Ví du p : số nguyên tố Q : MặtTrời quay quanh Trái Đất p A Q : số nguyên tố MặtTrời quay quanh Trái Đất Theo định nghĩa phép hội, giá trị chân phụ thuộc giá p = đ, Q = s, p trị A chân 11 p mệnh đề p lí Q; A Q Q = s 1.1.4 P H É P TU YỂN Cho hai mệnh đề p Q Tuyển cũa p Q, lđ hiệu p V Q (đọc : “P Q"), mệnh đề xác định sau: p V Q m ột hai m ệnh đề p Q đúng, sai p lẫn Q sai Định nghĩa ghi bảng 1.3 (bảng chân lí phép tuyển) p _Q PvQ đ đ đ đ s đ s đ đ s s s Bảng 1.3 Ví du p : Số 225 chia hết cho Q : Số 225 chia hết cho p V Q : Số 225 chia hết cho sô 225 chia hết cho p = Q = đ, p V Q= d Ví du p : nhỏ (5 < 7) Q : (5 = 7) p V Q : nhỏ (5 p = đ, Q = s, p V Q = đ 7) Ví du P : Paris thủ đô nước Anh Q : lđn P V Q : Paris thủ đô nước Anh lđn P = s, Q = s, P Q = s V Tập hỢp mệnh đề phép toán — , A, V (vđi tính chất xét 1.2.2) lập thành đại số' logic (hay đại sô' mệnh đề, logic mệnh đề) Chú V : Kí hiệu phép logic chưa dùng thông Có tác giả dùng ~ P, - p thay p, p & Q thay P A Q + Q thay P p V Q 1.1.5 CÔNG THỨC Cho P, Q, R, mệnh đề bất ki, tức đại lượng lấy hai giá trị đ s Ta gọi mệnh đề sơ cấp Từ mệnh đề sơ cấp, dùng liên tiếp phép logic — , A, V, ta lập mệnh đề mđi, gọi mệnh đề phức hợp Ví dụ mệnh đề phức hợp: P, P a Q, P v Q, P P a (Q v R ), A Q, ( P a Q ) , (P P V Q) V Q, a (P v Q )v R , R Mỗi mệnh đề sơ cấp hay phức hợp gọi chung công thức Mỗi công thức chứa mệnh đề sơ cấp P, Q, R, xác định hàm F mệnh đề â'y (các biến mệnh đề) Hàm F(P,Q,R, ) có tập xác định tập giá trị { đ,s } (biến hàm lấy hai trị đ,s) Ta gọi F(P,Q, R, ) hàm đại sô' logic (nói gọn hàm logic) Các hàm F(P) = P , F(P,Q) = P A Q, F(P,Q) = P V Q hàm phủ định, hàm hội hàm tuyển Một hàm logic cho bảng chân lí (cho biết giá trị trình xuất phát từ u thuộc M phỉỉ đến đỉnh thuộc N, rỗi từ đổ đến đỉnh thuộc M , trở u chu trình phẵi chứa số chĩn cạnh) Ta tô đỏ đỉnh bất kỉ G, sau đố đỉnh kề vđi “đĩnh đ ỏ " dược tô xanh ("đỉnh xanh") đình kề vđi "đĩnh xanh” âtíỢc tô đỏ Vỉ chu trình G có độ dài chẩn nên cố hai đĩnh kề G dược tô màu b) Nếu graph G tô miền hai mằu, số miền bao quanh đỉnh phẳi lằ số chỉn, đổ đỉnh cố bậc chẩn G ỉà graph Euler NgUỢc lại, cho G graph Euler Tô miền F G màu xanh Lấy điểm X thuộc F Nối X vđi điểm y miền tùy ý F đường cong d, không qua đỉnh G Nếu d cắt cạnh G ỏ số lẻ điểm ta tô F màu đò (khác màu F); ngược lại ta tô F màu xanh (hình 5.34) Do đĩnh G chẩn, suy miền cùa G tô Hình 5.34 3-4.5 a) Hoán vị màu đỉnh G', lúc A| dược tồ màu 3, ta tô màu cho A b) A2 A4 không kề Gọi G” graph G chứa A2 13-THMM 201 tất cạnh G xuất phát từ Aĩ cố đỉnh dược tô màu Hoán vị màu đinh G”, lúc dó Aĩ dược tô màu tô màu cho A CHƯƠNG 4.1.1 s = { 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 } I phần tử 0; 70 phần tử Dinh lí 10 * = * = 0(tiênđề 4a) + = + = (tiên dề 4b) Đối chiếu vđi tiên đề 5a Sb, ta có ỉ phần tử bù 0: 1=0’ Định lí 11 a * (a + b) = (a + 0) * (a + b) (tiên đ ề 4b) = a + (0 «■ b) (tiên đề 3b, từ phải sang trái) = a + (b * 0) (tiên dề la) = a + (dịnh lí 6a) = a (tiên đề 4b) 4.1.4 a) (a + b) * (a + b') = a + (b * b') = a + = a b) (a * b )+ (a’ * c) = (a * (a* + b)) + (a* * (a + c)) = (a + a*) * (a + a + c) * (a' + a' + b) * (a' + b + a + c) (theo tiên đề 3b) = * (a + c) * (a' + b) * = (a + c) * (a1+ b) 202 Đặt P = (a * b) * c Q = a * (b * c), ta chứng minh : l)a + P = a + Qvà 2) a' + p = a’ + Qvtừ dó suy p = p ♦ = P + (a * a') = (P ♦ a) * (P + a’) = = (a + P)*(a’ + P) = (a-«-Q)*(a, + Q )=Q Thực : 1) a p s a + ((a« b )» c) = (a + (a*b))*(a + c) = = a * (a + c) = a » + Q s » + (a » (b * c )) = (a + a ) « ( í + (b * c ))s s » * (a + (b * c ))s a 2)a' + P s a ' + ((a * b) * c) = , 112 Vòng lặp, 45 Thuật toán dệ quy, 47 Xóa cạnh, 83 Thuật toán Euclide, 45 Xóa đỉnh, 83 Thuật toán hậu thứ tự, 136 XOR, 172 Thuật toán hữu hiệu, 50 Xử lí (bài toán), 55 Thuật toẩn không hữu hiệu , 50 Thuật toắn Kruskal 126 Thuật toán nhanh, 50 Thuật toán Prim, 127 Thuật toán sấp xếp, 59 Thuật toán tiền thứ tự , 134 Thuật toán ủm kiếm 56 Thuật toắn trang thứ tự, 135 208 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 11 H oàng Tụy, Đồ thị hữu hạn úng dụng vận trù học, NXB Khoa học, 1964 [2] Phan Đình D iệu, Lí thuyết ô tô mát thuật toán, NXB Đại học THCN, 1977 [3J N guyễn Xuân Quỳnh, Cơ sở toán rời rạc ứng dụng, NXB Giáo dục, 1995 [4Ị H oàng Chúng, Graph giải toán phổ thông, N XB Giáo dục, 1996 [5Ị H oàng Chúng, Logic học phổ thông, NXB Giáo dục, 1996 [6| H oàng Chúng, Những vấn đề logic môn toán trường phổ thông trung học sở, NXB Giáo dục, 1996 f7Ị C arlB A l/endoerfer, Cletus O.Oakley, Principles of Mathematics, Me Graw-Hill, 1963 [8] Gary Charứand, OrtrudR Oellerm ann, Applied and Algorithmic Graph Theory, Me Graw-Hill, 1993 [9] G PG ravrilov, A.A Sapozlienko, Selected Probems in Discrete Mathematics, Mir Publishers Moscow, 1989 [10] R ichard Johnsonbauch, Discrete Mathematics, Macmillan P.C., 1992 [ 11J Seym our Lipschutz, M arc L arc Lipson, 2000 solved Problems in Discrete Mathematics, Me Graw-Hill, 1992 [12] John E M unro, Discrete Mathematics for Computing, Thomas Nelson, Australia, 1992 [13] K enneth A.R oss, Charles R B Wright, Discrete Mathematics, Prentice Hall, 1989 [14] J.c L e Roch, Regard sur I'informatique, Ellipse, 1991 [15] O P.Kuznetsov, G M A deJson Velski, Toán học rdi rạc cho lđ sư, M 1980 (tiếng Nga) p.s [16] Novikov, Nhập môn logic toán, M 1959 (tiếng Nga) [ 17] Robin J Wilson, Nhập môn lí thuyết graph, M 1977 (tiếng Nga) s [18] V Yablonsky, Nhập môn toán học rdi rạc, M 1988 (tiếng Nga) [19] Iu V Prokhorov (chù biên), Từ điển bách khoa toán học, M 1988 (tiếng Nga) MỤC LỤC Lởi nói d iu Chương ĩ - D Ạ I SÒ LO G IC 1.1 Mộnh dề cdc phép toán logic 1.1.1 Mệnh đẻ 1.1.2 Phép phủ dịnh 1.1.3 Phép hội 1.1.4 Phép tuyển 1.1.5 Công thức 1.1.6 Cồng thức dtíng công thức bảng sai Bài lập 11 12 1-2- C ác hộ thức tương dương 1.2.1 Hệ thức tương dương 13 1.2.2 Các hệ llnĩrc tương dương cư hàn Tinh chất cùa phép hội, tuyển phù định 13 1.2.3 Biến dối tương dương 13 1.2.4 Luệt đối ngảu 17 Bài tập 19 1.3 Biểu dién hàm logic bất kl công thức cũa dại số logic 1.3.1 Biểu diển hàm biến tàng cỏng thức 20 1.3.2 Biếu diên hàm hai biến bàng công tlníc 21 1.3.3 Công thức biểu diẻn hàm nhiều biến bất ki Dạng chuẩn tắc hoàn chỉnh 25 Bài tập 28 211 1.4 Tinh đẩy đủ cùa m ột hậ pM p logic 1.4.1 Tính dẩy dủ cùa bệ cdc phép hội, tuyển phủ dị ni) 29 1.4.2 Phép tuyển loại Đa thitc Jegalkin 29 1.42 Phép Vebb phép Shefler 32 Bài'tập 34 1-3 Phép M o theo vả phép tnrơug dương 1.5.1 Phép kéo theo 34 1.5.2 Những mệnh dẻ tương dương logic với p => Q 36 1.5.3 Mệnh đổ dỉo cứa p =» Q 37 1.5.4 Phép tương dương 38 Bài tập 40 Chuông2 -T H U Ậ T T O Á N 2.1 Khầi niệm thuật toán 41 XX Độ phức tạp cửa m ột th u ật toán 2.2.1 Khdi niệm vẻ độ phức tạp mộtthudt toán 48 2.2.2 So sểnh dộ phức tạp cdc thuệt toán 50 Bùi tập Dầuh giầ độ phức tạp củ a m ột số th u ật toán Bái tập 55 56 63 Choang - GRAPH 3.1 Cầc khái nỉộm 212 3.1.1 Graph 66 3.1.2 Biểu diển graph 68 3.1.3 B$c cùa dinh 70 Bái tập 71 3.1.4 Graph dẳng cấu 71 3.1.5 Graph 76 Bài tập 76 3.1.6 Đường di 77 3.1.7 Tinh lièn thông 78 Bài tập 80 3.1.8 Một số graph dặc biệt 81 3.1.9 Một số phép biển dổi graph 83 Bài tập 3.1.10 Graph hướng Bài iậ p 88 89 92 3.2 Một số' bải toán vể dường 3.2.1 Dường di Euler (ơie) graph Euler 9*1 3.2.2 Bài toán người phát thư Trung Hoa 100 G r a p h cố hư ứ n g E u l e r 10 Bài tập 3.2.4 Dường di Hamilton graph Hamilton Bài lộp 10 105 110 3.2.5 Graph cỏ trọngsô'vàdường di ngán 111 3.2.6 Bài toán ngưỉri du lịch 11^ Bài tập 120 3.3 C ây 3.3.1 Cày Bài tập 3.3.2 Cây bao trùm ngấn Bải tập 122 125 120 129 3.3.3 Cdy có gốc 130 ữ.3.4 Duyệt cầy nhị phân 133 213 137 3.3.5 K í pháp Ba Lan 140 Bải tập 3.4 Graph piling t6 màu graph 142 3.4.1 Graph phẳng 142 3.4.2 Định lí Euler 143 3.4.3 Graph không phàng 145 3.4.4 Tố máu dinh cùa graph 149 3.4.5 Tô màu bàn dồ toán bốn màu 151 Bài tập 153 Clumng - DẠI S ỏ 'BOOLE 4.1 D ệi »Ổ Boole 4.1.1 Định nghia ví dụ 155 4.1.2 Các dịnh li bân 160 Bài tập 164 4JL M ệch logic 4.2.1 Cống logic 164 4.2.2 Mạch logic 167 Bài tập 178 GUI d ip niột sở' bải tập 179 Bàng cih i 205 tra Tấi liệu tham khảo 214 209 Chịu trách nhiệm xuất bàn : Giám đốc PHẠM VĂN AN T ẩig biên táp NGUYỄN NHƯ Ý Biin tập : TRẦN CHÍ HIỂU Bièn tập tái bán : ĐẶNG THỊ BỈNH Trinh bày bìa : v CÔNG MINH Biin tập kỉ thuật : TRÁN THÀNH TOÀN Sứa bàn in : THANH LAN ĐẠI CƯƠNG VẾ TOÁN HỌC HỮU HẠN In 2.000 bản, khổ 14,3 X 20,3 cm Tại Cồng Ty Liksin : 64 Tổn Thất Tùng, Q.l, TP HCM SỐ in 752»« Số XB : 141/738-98 In xong nộp lưu chiểu tháng năm 1998 MÃ s ố : 8G35418