Đại cương về toán học hữu hạn

TH Ư V IỆN ĐẠI HỌC THUỶ SẢN 1000013258 NHÀ XUÂT BÁN GIÁO DỤC HOÀNG CHÚNG Đại cường về TOÁN HỌC Hữu H6N (Tái bàn lan thứ 1) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998 51(075) 141/738 _ 98 Mã số : 8G354t8 GD-98 LỜI NÓI ĐẦU S ự phát triển kì diệu cửa máy tính điện tử trong th ế k ì X X gắn liền với sự phắt triển cửa toán học nói chung, toán học rời rạc nói riêng. Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chết rời rạc (trái với liên lục) và bao quát nhiều ngành n h ư ư thuyết sô' logic toán, một bộ phận của nhiều ngành khác như đại s ố học, toán học tính toắn, lí thuyết xá c suấi và những ngành m ới phát triển mạnh mấy chục năm nay. Theo nghĩa hẹp,, toán học rời rạ c chỉ bao gồm những ngành m ới phát triển đó, như lí thuyết graph, lí thuyết các h ệ hàm, lí thuyết m ã hoắ, giả i lích tổ hợp, V. V EX» tượng nghiên cứu của những ngành này chù yếu là các câu trúc không chỉ rời rạc mà còn là lìữlì hạn. Vì vậy toán học rời rạc cũng được gọ i là toán học hữu hạn. Ngày nay, toán học hữu hạn (rời rạ c) là công cụ thiết y ếu cho nhiều ngành khoa học kĩ thuật, và là một thành phần trong học vấn toán học p hổ thông, với cách tiếp cận đốì tượng nghiên cứu, ngôn n g ữ và phương pháp tư duy khá độc đáo, cùng nhiều ứng dụng phong phú và không ít bất ngờ. Vì vậy, nhrmg kiến thức nhập m ôn vè toán học hữu hạn là rất cần tlìiết cho giáo viên phổ thông vè khoa học tự nhiên nói chung, về 3 toán và tin h ọ c nói riêng. Cuốn sách này được viết nhằm đáp ứng y êu cầu đó cửa giá o viên, đồng thời cũng nhằm đưa đến cho sinh viên năm đầu cấ c trường đại học khoa h ọ c tự nhiên và k ĩ thuật một tài liệu tham khảo cần thiết. Học sinh giỏi các trường ph ổ thông có th ể đọc được phần lớn n ội dung cuốn sách (chì đòi hỏi trình độ toán học lớp 9, 10), qua đó có th ể thấy rõ hơn một chút "diện mạo" của toán họ c hiện đại. Sách g ồ m có bốn chương (đại s ố logic, thuật toán, graph, đại sỗ B o o le); không đ ề cập đến lí thuyết tập hợp và g ià ì tích tổ hợp (mà cắ c sách n hậ pm ôn về toán học rờ i rạ c thường có), vì khuôn kh ổ cuốn sách có hạn và vì những n ội dung đó phần nào đã có trong sách giáo khoa p h ổ thông. Tác giả cô 'gắn g trình bày các vấn đề với y êu cầu chặt c h ẽ và chính xác thích hợp, dựa trên nhiều ví dụ cụ thể, bỏ qua chứng minh những định lí khó cũng nh ư ch ỉ có th ể đề cập đến một sô'khái niệm tinh vi ở m ức độ “trực g iác Đ ó là diều rất khó, vì vậy cuô'n sách không tránh khỏi những thiếu sót. Tác già m ong nhận được những nhận x é t quý g iá của bạn đọc. Thành phô" Hồ Chí Minh, (.'láng 1 năm 1997 Hoàng Chúng 4 CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ LOGIC 1.1. MỆNH ĐỂ VÀ CÁC PHÉP TOÁN LOGIC 1.1.1. MỆNH ĐỀ Bất cứ ở đâu, ta cũng thường gặp và sử dụng các mệnh đề. Mệnh đ ề là một cầu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhưng không (lồng thời là đúng và sai. Ví du : (1) Số 20 chia hết cho 4. (2) Hà Nội là thủ đô nước Việt Nam. (3) MặtTrời quay quanh Trái Đất. (1) và (2) là các mệnh đề đúng, (3) là mệnh đề sai. Ta dùng các chiĩ cái p, Q, R để chỉ các mệnh đề. Nếu p là mệnh đề đúng, ta nói p có giá trị chân lí đúng, hay p có giá trị đúng và viết: p là đ hay p = đ. Nếu Q là mệnh đề sai, ta nói Q có giá trị chân lí sai, hay Q có giá trị sai và viết: Q là s hay Q = s. 5 Vi du : p : số 20 chia hết cho 4. (P = đ) Q : MặtTrdi quay quanh Trái Đất. (Q = s) Như vậy, ta coi m ện h đ è là m ộ t đại lư ợ ng lấ y m ột trong hai g iá t r ị : đ ho ặ c s. Chú ý rằng mỗi mệnh đề là một câu, nhưng không phải câu nào cũng là một m ệnh đ ề. Chẳng hạn các câu sau đây không phải là mệnh đề, vì không có giá trị chân lí đúng hay sai. Chị có khỏe không? Học toán hấp dẫn lắm! X cộng 4 bằng 5 (x + 4 = 5). Từ một hay nhiều mệnh đề, có thể lập những mệnh đề mới nhờ các phép toán logic (tương tự các phép toán trong đại số học). Các phép toán logic cơ bản nhất là: phép phu định, phép hội, phép tuyển. 1.1.2. PH ÉP PHŨ ĐỊNH Cho mệnh đề p. Phủ định của p, kí hiệu P (đọc : “không P”, “không phải P") là một mệnh đề được xác định như sau: p sai khi p đúng, P đúng khi p sai. Định nghĩa này được ghi trong bảng 1.1, gọi là bảng chân lí của phép phả định. 6 Ví du 1. p : Trái Đất quay. p : Không phải Trái Đất quay. Trái Đất không quay, p = đ, do đó p = s. Ví du 2. Q : 5 + 2 = 9. Q : 5 + 2 * 9 . (5 + 2 không bằng 9.) Q = s, do đó Q = đ. Mệnh đề p cũng được phát biểu dưđi dạng: Nói rằng p là sai. Ví du : Nói rằng Trái Đất quay là sai. _p ____ p đ s s đ Bảng 1.1 í 1.13 . PHÉP HỘI Cho hai mệnh đề p và Q. HỘI của p và Q, ki hiệu p A Q (đọc : “P và Q"), là mệnh đề được xác định như sau: P a Q đúng khi cả p lẫn Q đúng, sai khi ít nhất một trong hai mệnh đề p và Q à sai. Định nghĩa này được ghi trong bảng 1.2, p Q p a Q gọi là bảng chân lí cửa phép hội. đ đ đ Ví du 1 . p : 2 là số nsuvên tố. đ s s Q : 2 là số chẵn. s đ s p A Q : 2 là số nguyên tố và 2 là số chần. s s s p = Q = đ, do dó p A Q = đ. bảng 1.2 7 Ví du 2 . p : 2 là số nguyên tố. Q : MặtTrời quay quanh Trái Đất. p A Q : 2 là số nguyên tố và MặtTrời quay quanh Trái Đất. Theo định nghĩa của phép hội, giá trị chân lí của mệnh đề p A Q chỉ phụ thuộc giá trị chân 11 của p và của Q; à đây p = đ, Q = s, do đó p A Q = s. 1.1.4. PH ÉP TUYỂN Cho hai mệnh đề p và Q. Tuyển cũa p và Q, lđ hiệu p V Q (đọc : “P hoặc Q"), là mệnh đề được xác định như sau: p V Q đúng khi ít nhất một trong hai mệnh đề p và Q là đúng, Định nghĩa này được ghi trong bảng 1.3 (bảng chân lí của phép sai khi cả p lẫn Q cùng sai. tuyển). p ___ Q P v Q Ví du 1. p : Số 225 chia hết cho 3. đ s đ đ đ đ Q : Số 225 chia hết cho 5. p V Q : Số 225 chia hết cho 3 s đ đ hoặc sô 225 chia hết cho 5. s s s p = Q = đ, vậy p V Q = d Bảng 1.3 Ví du 2. p : 5 nhỏ hơn 7. (5 < 7) Q : 5 bằng 7. (5 = 7) p V Q : 5 nhỏ hơn hoặc bằng 7. (5 á 7) p = đ, Q = s, vậy p V Q = đ. 8 Ví du 3. P : Paris là thủ đô nước Anh. Q : 5 lđn hơn 7. P V Q : Paris là thủ đô nước Anh hoặc 5 lđn hơn 7. P = s, Q = s, vậy P V Q = s. Tập hỢp các mệnh đề cùng các phép toán — , A , V (vđi các tính chất sẽ xét ở 1.2.2) lập thành đại số' logic (hay đại sô' mệnh đề, logic mệnh đề). Chú V : Kí hiệu của các phép logic hiện chưa được dùng thông nhất. Có tác giả dùng ~ P, - 1 p thay vì p, p & Q thay vì P A Q và p + Q thay vì P V Q. 1.1.5. CÔNG THỨC Cho P, Q, R, là những mệnh đề bất ki, tức là những đại lượng lấy một trong hai giá trị đ hoặc s. Ta gọi đó là những mệnh đề sơ cấp. Từ các mệnh đề sơ cấp, dùng liên tiếp các phép logic — , A , V, ta có thể lập được các mệnh đề mđi, gọi là các mệnh đề phức hợp. Ví dụ về mệnh đề phức hợp: P, P a Q, P v Q, __ P A Q, P V Q , (P v Q ) v R , P a (Q v R), ( P a Q ) , (P V Q) a R. Mỗi mệnh đề sơ cấp hay phức hợp gọi chung là một công thức. Mỗi công thức chứa các mệnh đề sơ cấp P, Q, R, xác định một hàm F của các mệnh đề â'y (các biến mệnh đề). Hàm F(P,Q,R, ) có tập xác định và tập giá trị đều là { đ,s } (biến và hàm đều chỉ lấy một trong hai trị đ,s). Ta gọi F(P,Q, R, ) là một hàm đại sô' logic (nói gọn là hàm logic). Các hàm F(P) = P , F(P,Q) = P A Q, F(P,Q) = P V Q lần lượt là hàm phủ định, hàm hội và hàm tuyển. Một hàm logic có thể cho bằng bảng chân lí (cho biết giá trị của 9 [...]... CÔNG THỨC CỦA ĐẠI s ố LOGIC Cho F (P,Q, R, ) là một hàm logic, tức là hàm có tập xác định cũng như tập giá trị đều là {đ, s} Ta đã biết rằng nếu hàm F được cho bằng một công thức thì ta có thể lập bảng giá trị của F ứng vơi mọi giá trị của biến (bảng chân lí của công thức) Bài toán ngược lại là : hàm F được cho bằng một bảng chân lí, hãy tìm câng thức biểu diễn F Trước hết, ta giải bài toán trong một... hàm logic đều có thể biểu diễn bằng một công thức của đại sô' logic, tức là một công thức chỉ chứa ba phép hội, tuyển và phủ định Ta nói rằng : trong đại số logic, hệ { A, V, — } là đẩy đủ Tuy nhiên, dùng hệ thức 8a (hệ thức De Morgan) và hệ thức 9 (gọi là hệ thức phủ định kép) ở 1.2.2, ta có: p a Q= pT q - pV Q Do đó, có thể đưa mọi công thức về dạng chỉ chứa hai phép và V — Ví dụ công thức PQ v... phép và tương dương logic vđi p A Q 1.43 Tìm công thức chỉ chứa phépt và tương dương logic vđi p V Q 1.5 PH ÉP KÉO THEO VÀ PH ÉP TƯƠNG ĐƯƠNG 1 3 1 PH ÉP KÉO THEO Trong đời sống, trong toán học cũng như trong các ngành khoa học khác, ta thường xuyên gặp và sử dụng các mệnh đề kéo theo Cho p và Q là hai mệnh đề p kéo theo Q, kí hiệu p => Q, là mệnh đề được xác định bằng bảng 1.24 ịbảng chân lí của phép... thức 3a) đ là phần tử trung hoa của phép hội (hệ thức 5a) s là phần tử trung hoà của phép tuyển (hệ thức 5b) Như vậy, phép tuyển và phép hội c á c m ệnh đề trong đại số’ logic có các tính chất tương tự phép cộng và phép nhân các sô” trong đại số Do đó người ta thường gọi phép tuyển là phép cộng logic và phép hội là phép nhân logic, và viết P.Q hay PQ thay cho p A Q Trong một công thức, ta quy ưđc thực... Q© p p © (Q © R) = (P © Q) © R P(Q © R) = PQ © PR p©s = p Ta cũng c ó : Từ bảng chân lí của phép © , ta có hệ thức tương đương đặc biệt sau: p©p = s Có thể chứng minh rằng mọi công thức của đại số logic có thể đưa về dạng chl chứa hai phép A, © và hằng đ Thực vậy, dễ thây rằng: P Do đó : p V Q = p A = p©đ (a) q = (P © đ)(Q © đ) © đ = PQ © Pđ © Qđ © đđ © đ Chú ý rằng Pđ = p, Qđ = Q, đđ = đ và đ © đ =... thì có thể biểu diễn F bằng một công thức của đại s ố logic, dưới dạng tuyển của c á c hội sơ cấ p củ a n biến, mỗi hội sơ cap cùa n biến (gọi tắt là hội sơ cấp) có dạng P’j PV-.P'r, trong đó P’i là Pị hoặc Pi Công thức biểu diễn F có dạng này gọi là công thức dạng tuyển chuẩn tấc hoàn chỉnh Nếu F không hằng đúng thì có thể biểu diễn F bằng một công thức của đại s ố logic, dưđi dạng hội của c á c tuyển... các hệ thức tương đương cơ bản, ta có thể biến đổi một công thức cho trưđc thành một công thức tương đương vđi 15 nó và có một hệ thức tương đương mđi (tương tự phép biến đổi tương đương các công thức đại số quen thuộc) = (theo 5a) P(đ V Q) (theo 3a) P(Q đ) (theo lb) p.đ (theo 6b) p (theo 5a) = (p = PO PQ = V V = Ví du 2 p p.đ = = V í d u l P v P O đ (P (P V P)(P V V Q) (theo 3b) (theo 7b) Q).đ V Q)... logic đều có thể biểu diễn bằng công thức chỉ chứa haí phép V và — Nói cách khác, hệ { V, — } là đầy đủ Mặt khác, dùng các hệ thức 8b và 9, ta cũng có p VQ = PvQ = P a Q Do đó, có thể đưa mọi công thức về dạng chỉ chứa hai phép A và — , nghĩa là có thể biểu diễn mọi hàm logic bằng công thức chỉ chứa hai phép A và — Hệ { A, — } cũng là đẩy đũ 1.4.2 PH ÉP TUYỂN LOẠI ĐA THỨC JEG ALKIN Cho hai mệnh đề p... ba mệnh đề sơ cấp p, Q, R Ta phải lập bảng vđi 23 = 8 dòng, và lập bảng chân lí theo thứ tự: Q V R, (Q V R) rồi p A (Q V R ) Ta có bảng 1.5 Bảng 1.5 10 Trong nhiều trường hỢp, có thể căn cứ vào phép toán sau cùng trong công thức để lập bảng chân lí một cách nhanh chóng, không cần phải xem xét từng dòng một Ví dụ : P đóP V V Q là tuyển của p và Q, do Q = s khi p = s (tức P = đ )v à Q = s, P v Q = đ... M ọi hàm ỉogìc đ ều c ổ th ể biểu diễn bằng m ột đ a thức ỉeg alkin 1 4 3 P H É P V EBB VÀ P H É P S K E F F E R Cho hai mệnh đề p và Q p i Q là mệnh đề được định nghĩa bằng bảng chân lí 1.20 Phép toán i gọi là phép Vebb p Q đ s đ s đ đ s s P ịQ s s s đ Bảng 1.20 Có thể thây rằng p p i Q chính là phủ định của P V Q: i Q = P v Q = PQ Vì vậy p ị Q cũng được đọc là “không p mà cũng không Q ” Ta có . lìữlì hạn. Vì vậy toán học rời rạc cũng được gọ i là toán học hữu hạn. Ngày nay, toán học hữu hạn (rời rạ c) là công cụ thiết y ếu cho nhiều ngành khoa học kĩ thuật, và là một thành phần trong học. cửa toán học nói chung, toán học rời rạc nói riêng. Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chết rời rạc (trái với liên lục) và bao quát nhiều ngành n h ư ư thuyết sô' logic toán, . TH Ư V IỆN ĐẠI HỌC THUỶ SẢN 1000013258 NHÀ XUÂT BÁN GIÁO DỤC HOÀNG CHÚNG Đại cường về TOÁN HỌC Hữu H6N (Tái bàn lan thứ 1) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC 1998 51(075)