SKKN ren kỹ năng giải phương trình vô tỉ

PHỤ LỤC 1: CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc PHIẾU ĐĂNG KÝ SÁNG KIẾN Họ tên người đăng ký: Lý Thiện Hiếu Chức vụ: Tổ trưởng Đơn vị công tác: Trường THCS Mỹ Phú Nhiệm vụ giao đơn vị : Giảng dạy toán Tên đề tài sáng kiến: Rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp Lĩnh vực đề tài sáng kiến: Toán học Tóm tắt nội dung sáng kiến: Trình bày vấn đề kiến thức giải phương trình vô tỉ Rèn luyện tư duy, kỷ giải phương trình thơng qua phương pháp giải phương trình vơ tỉ Từ rút số kinh nghiệm rèn luyện phương pháp giải phương trình vơ tỉ, khắc phục sai lầm đáng tiếc học sinh Thời gian, địa điểm, công việc áp dụng sáng kiến: Áp dụng từ năm học 2013 – 2014 đến niên học 2015 – 2016 Trong q trình ơn tập cho học sinh lớp chuẩn bị thi tuyển sinh vào lớp 10 áp dụng Đơn vị áp dụng sáng kiến: Lớp trường THCS Mỹ Phú 10 Kết đạt được: Học sinh giải phương trình vơ tỉ có hiệu hơn, số em từ ngán ngại giải phương trình vơ tỉ ham thích giải phương trình vơ tỉ hơn, môn nâng cao ( giảm học sinh yếu – nâng tỉ lệ khá- giỏi ) Mỹ Phú , ngày 21 tháng 12 năm 2015 Tác giả (họ, tên, chữ ký) PHỤ LỤC 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc TRƯỜNG THCS MỸ PHÚ Mỹ Phú , ngày 21 tháng 12 năm 2015 BÁO CÁO Kết thực sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến kỹ thuật nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ tên : Lý Thiện Hiếu Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 01 / 05 / 1983 - Nơi thường trú: 264/11, ấp Mỹ Trung, xã Mỹ Phú, Châu Phú , An Giang - Đơn vị công tác: Trường THCS Mỹ Phú - Chức vụ nay: Tổ trưởng - Lĩnh vực công tác : Giảng dạy toán II Tên sáng kiến: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CHO HỌC SINH LỚP III Lĩnh vực: Toán lớp IV- Mục đích yêu cầu sáng kiến: Thực trạng ban đầu trước áp dụng sáng kiến: Việc học tốn học sinh khó khăn thời gian gần mà việc học tập em có phần xuống, yếu tố khách quan chủ quan, nhiều kiến thức nhiều môn làm em nề với việc học tập, nhiều phịng game mở thu hút khơng nhỏ học sinh đặc biệt học sinh cấp THCS… với thực trạng làm ảnh hưởng đến chất lượng học tập học sinh nói chung chất lượng học tốn nói riêng Việc học tốn học sinh vấn đề nóng bổng nhiều phụ huynh học sinh có ý kiến trái chiều nhau, có ý kiến kiến thức toán cao so với lứa tuổi học sinh, có ý kiến việc học tốn em khơng cịn mặn mà thời xưa, có ý kiến cho kiến thức tốn chưa sâu vào thực tiễn đời sống xã hội… trước tình hình giáo viên dạy tốn tơi vơ bâng khn khơng biết phải học sinh dễ hiểu tới toán, đặc biệt em học sinh cuối cấp, em phải ôn thi tuyển sinh 10 Với kinh nghiệm 10 năm đứng lớp dạy tốn khối tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 9” nhằm tháo gỡ số khó khăn em phải giải dạng phương trình vơ tỉ Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến: Lớp lớp kết thúc bậc học THCS toán giai đoạn phát triển cuối , kết thúc trình mở rộng khái niệm số, làm sở tương đối hoàn chỉnh cho việc học kiến thức đại số, hình học, tốn ứng dụng như: giải phương trình , khảo sát hàm số, tính tỷ lệ, diện tích , thể tích thực hành tính tốn đo đạc đời sống Riêng phương trình đại số lớp tiếp tục nghiên cứu việc giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương trình bậc hai dạng tường minh theo quan điểm hàm số Học xong chương trình đại số học sinh phải nắm vững có kỹ giải phương trình bậc hai ẩn số, hệ phương trình, phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai số phương trình dạng khác có phương trình chứa ẩn dấu Phần phương trình vơ tỉ sách giáo khoa khơng trình bày thành mục riêng mà đưa vào dạng tập Do trình giảng dạy người thầy cần thông qua hệ thống tập để học sinh nắm khái niệm phương trình vơ tỉ, có kỹ thành thạo vận dụng kiến thức học giải chúng, đặc biệt giúp em tránh sai lầm giải toán loại Sau tơi xin trình bày kinh nghiệm thân việc rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 3 Nội dung sáng kiến: sở lý luận Quá trình dạy học hệ thống gồm: - Khái niệm khoa học - Hoạt động dạy - Hoạt động học * Khái niệm nội dung đối tượng lĩnh hội (học) yếu tố khách quan thứ định logic thân trình dạy - học mặt khoa học trình khoa học vừa điểm xuất phát học vừa điểm kết thúc học * Hoạt động dạy hoạt dộng người thầy, có vai trị đạo với chức điều khiển hoạt động truyền đạt thông tin Chức "Kép" Quá trình dạy - học trình vận động tư ý thức - q trình diễn khơng gian, thời gian trải qua giai đoạn định, trình vận động, phát triển liên tục, nhờ mà kinh nghiệm xã hội, lịch sử kho tàng , văn hố nhân loại, hình thành lý tưởng, niềm tin giớ quan giá trị văn hoá riêng học sinh Trên sở hình thành phẩm chất nhân cách học sinh Các thành tố trình dạy - học liên quan chặt chẽ tác động qua lại với nhau, nhờ tác động mà q trình tồn phát triển Quá trình dạy - học hệ thống toàn diện, yếu tố tương tác lẫn theo quy luận riêng, thâm nhập lẫn nhau, qui định lẫn tạo thành thống biện chứng Quá trình dạy học tác động vào yếu tố để làm cho trình phát triển theo mục tiêu điều kiện Tuỳ tình hình, tuỳ thời gian mà lựa chọn tác động cho thích hợp tạo hiệu giáo dục cao mà giáo viên phải nắm Thực trạng kỷ giải phương trình vơ tỉ học sinh lớp trường THCS 2.1 Học sinh chưa nắm vững khái niệm kiến thức để giải phương trình vơ tỉ 2.2 Học sinh vận dụng kiến thức học vào giải phương trình vơ tỉ cịn hạn chế 2.3 Học sinh chưa nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỉ Các biện pháp rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 3.1 Để giải thành thạo phương trình vơ tỉ: học sinh cần nắm vững kiến thức sách giáo khoa là: Điều kiện tồn thức bậc hai : A có nghĩa ⇔ A ≥ Vấn đề có liên quan tới việc giải phương trình lớp A2 = A Hằng đẳng thức ( A) Cùng số kiến thức mà em học lớp 7,8 như: A = =A với A ≥  A; A ≥  − A; A < Cùng đẳng thức đáng nhớ 3.2 Các phương pháp giải phương trình vơ tỷ (Phương trình chứa thức) Có nhiều phương pháp giải phương trình vơ tỉ phương pháp thường phù hợp với dạng định, nhiên không loại trừ khả phương trình chứa thức giải theo nhiều cách khác Để phù hợp với đối tượng học sinh lớp giới thiệu phương pháp giải thông qua hệ thống tập xếp từ dễ đến khó 3.2.1 Đưa phương trình dạng chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Từ tập đơn giản sách giáo khoa giải phương trình: ( x − 1) = ⇔ x −1 = ⇔ x − =  x − = −5  x =  x = −4  ⇔  x = −2 4(1 − x ) = ⇔  x = Hình thành cho học sinh phương pháp giải phương trình chứa thức mà biểu thức dấu có dạng đẳng thức A đưa phương trình có ẩn giá trị tuyệt đối giải tiếp làm lớp Để học sinh giỏi phát huy khả mình, tơi thêm tập sau : x2 − x + Bài : Giải phương trình = (1) Trong đòi hỏi học sinh phải biến đổi biểu thức dấu thành dạng bình phương nhị thức tiếp tục giải tập trước 1  x −  2  Giải : Ta có (1) ⇔ =   x = 10 có nghiệm  x = −  Bài 2: Giải phuơng trình ⇔ ( ) ⇔ x −1 +1+ x −1 + + ( x + x −1 + ) x −1 −1 x −1 −1 = 2 x − x − =2 ĐK x ≥ =2 (2) Nếu x> phương trình (2) trở thành x −1 = ⇔ x=2 ( loại ) Nếu ≤ x ≤ phương trình (2) trở thành : ⇔ x − = x −1 +1− x −1 +1 = có vơ số nghiệm thoả mãn ≤ x ≤ Vậy S2 = {x/ x ∈ R;1 ≤ x ≤ } Để giải phương trình (2) địi hỏi học sinh phải sáng tạo việc biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương biểu thức thêm bớt lượng Cũng qua tập lưu ý học sinh việc đặt điều kiện cho biểu thức có nghĩa Cách 2: Điều kiện x ≥ Ta thấy = x − + − ( x − − 1) nên phương trình (*) xảy dấu “=” x −1 −1 ≤ ⇔ x ≤ Vậy ta ≤ x ≤ nghiệm phương trình Bài : Giải phương trình x − + x − + x − − x − = (3) Yêu cầu học sinh nhận xét phương trình (3), có giống khác với phương trình (2) Có thể áp dụng cách giải phương trình (2) để giải không? Việc biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương có khó khăn? Nếu học sinh không tự giải giáo viên giúp đỡ em gợi ý Nhân hai vế phương trình (3 ) với Giải : Với x ≥ ⇔ 2x − + + ta có (3) ⇔ 2 x − − = 14 x − + 2 x − + x − − 2 x − = 14 (3' ) Nếu x > phương trình (3' ) ⇔ 2 x − = 14 ⇔ x = 27 thoả mãn x> Nếu ≤ x ≤ (3' ) ⇔ x − = 12 Vô nghiệm Vậy S3 = {27} Qua ví dụ lưu ý học sinh cần linh hoạt trình biến đổi biểu thức dấu dạng bình phương biểu thức phải thêm bớt nhân hai vế với số khác Bài : Giải phương trình x − x + + + x + x = (4) ĐK : x ≥ ⇔ x−2 + 2+ x = ⇔ x − + + x = (*) Nếu x ≥ (*) ⇔ x − + x = Đến học sinh giải phương trình cách đặt ẩn phụ x = X ≥ để đưa phương trình bậc hai phân tích vế trái thành tích đưa phương trình tích giải x=1 ( loại ) Nếu ≤ x < (* ) ⇔ − x + x = ⇔ x = (loại) Vậy S4 = vô nghiệm CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình x + x −1 + x + − x −1 = Điều kiện x ≥ Đưa phương trình dạng: x −1 +1 + x −1 − = ⇔ x −1 +1 + x − − = 4( *) (Do x − + > 0) Trường hợp 1: x − − ≥ ⇔ x ≥ 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − = ⇔ x = 10 (thỏa mãn) Trường hợp 2: x − − < ⇔ ≤ x < 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − + − x − + = ⇔ = (luôn đúng) Kết hợp trường hợp ta ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình Cách 2: Điều kiện x ≥ Ta thấy = x − + − ( x − − 3) nên phương trình (*) xảy dấu “=” x − − ≤ ⇔ ≤ x ≤ 10 Vậy ta ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình Bài 2: Giải phương trình x + − x −1 + x + − x −1 = Điều kiện x ≥ Đưa phương trình dạng: Trường hợp 1: x −1 − + x − − = 5( *) x − ≥ ⇔ x ≥ 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − = 10 ⇔ x = 26 (thỏa mãn) Trường hợp 2: ≤ x − < ⇔ ≤ x < 10 Khi phương trình (*) trở thành: x − − − x − + = ⇔ = (vô lý) Trường hợp 3: x − < ⇔ ≤ x < Khi phương trình (*) trở thành: − x − + − x − + = ⇔ x = (thỏa mãn) Kết hợp trường hợp ta x = x = 26 nghiệm phương trình Bài 3: Giải phương trình x + + x −1 + x + − x −1 = (1 ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình) Bài 4: Giải phương trình x − + 2x − + x + + 2x − = (Nhân hai vế với ta được: x = 15 nghiệm) Bài 5: Giải phương trình x + − x − + x + + x − = (1 ≤ x ≤ nghiệm phương trình) Bài 6: Giải phương trình x + − x −1 + x + − x −1 = (5 ≤ x ≤ 10 nghiệm phương trình) 3.2.2 Phương pháp nâng lên luỹ thừa Trước tiên hình thành cho học sinh phương pháp qua tập sách giáo khoa giải phương trình : x = ; 9( x − 1) = 21 phương trình có chứa thức dấu khơng có dạng bình phương biểu thức nên ta hữu tỷ hoá chúng cách bình phương hai vế phương trình Khi bình phương hai vế cần ý đặt điều kiện để thức có nghĩa điều kiện để bình phương hai vế khơng âm khắc sâu điều ví dụ: Bài : Giải phương trình (5) x−5 = x−7 Nếu đặt điều kiện cho thức có nghĩa tức x ≥ Sau bình phương hai vế giải ta : x-5 = ( x-7 )2 ⇔ x − 15 x + 54 = ⇔ x1 = 6; x = Nhưng x1 = nghiệm phương trình (5) Thật : Với x=6 , vế trái vế phải -1 Do để tránh sai lầm ta làm theo hai cách Thử lại kết tìm đặt điều kiện để hai vế không âm bình phương Đối với học sinh nên cho học sinh tìm hiểu xuất nghiệm ngoại lai x1 = ? phương trình phương trình hệ ? Bài tập nên giải sau : x−5 = x−7 ( 5’ ) Điều kiện để thức có nghĩa với x ≥ phương trình (5’ ) ⇔ ( x − 5) = ( x − 7) giải ta x1 = thoả mãn ĐK x ≥ nên bị loại x2 = thoả mãn ĐK x ≥ S5 = { 9} Tuy nhiên ta giải phương trình cách khác, đề cập vấn đề sau Sau khắc sâu cho học sinh vấn đề trên, cho học sinh luyện tập ví dụ khác mức độ khó Bài 2: Giải phương trình x + − x + = (6) ĐK x ≥ − Nếu tiến hành bình phương vế học sinh vấp phải khó khăn đặt điều kiện cho vế khơng âm tương đối phức tạp để đơn giản nên chuyển − 3x + sang vế phải lúc ta có phương trình với hai vế khơng âm (6) ⇔ x + = + 3x + ⇔ x + = + 3x + + 3x + ⇔ x − = x + đk: x ≥ ⇔ x − x + 16 = 4(3x + 4) ⇔ x( x = 20) = x = ⇔ x = không thoả mãn đk x ≥  x = 20 Vậy S6 = { 20} Bài Giải phương trình x − − x − = x − (7) đk x ≥ ⇔ x − = 3x − + 5x − ⇔ x − = x − + 15 x − 13 x + + x − ⇔ − x = 15 x − 13 x + đk x ≤ ⇔ 11x − 24 x + = Giải phương trình bậc ta x = x2 = không thoả mãn đk x ≤ (loại) Vậy S7 vô nghiệm 10 không thoả mãn đk x ≥ (loại) 11 2 x + x + ≥  x − ≥ 2 x + ≥   x ≤ −1   x ≥ −3  x ≤ −1 ⇔   x ≥  x ≥ −1   ⇔ x ≥ x= -1 Bình phương hai vế đưa phương trình : 2( x + 1) ( x + 3)( x − 1) = x − ⇔ 8( x + 1) ( x + 3)( x − 1) = ( x − 1) ( x + 1) 2 ⇔ ( x+1)2(x-1)(7x+25) =  x =  ⇔  x = −1  25 x = −  x= - 25 loại khơng thoả mãn x ≥ 1; x = −1 Vậy : Sa = { − 1;1} Có số phương trình giải phương pháp nâng lên luỹ thừa, trước nâng lên luỹ thừa cần thực số phép tính phép biến đổi đơn giản chẳng hạn gặp phương trình : (7 − x )(8 − x ) = x + 11 ( ) ( 1 17 − x − = 23 − x − 11 15 ) (Bài tập trang 19 SGK Đại số 9) giải phương trình: Bài : Giải phương trình − x + x − 3x + − ( x − ) 1 − x ≥ ⇔ x ≤1 2 − x > Điều kiện :  (10) ⇔ − x + ( x − 1) ( x − ) − ( x − ) ⇔ 1− x + x −1 =3 x−2 ( x − 1) ( x − ) − ( x − 1) ( x − ) =3 ⇔ − x = ⇔ x = −8 thoả mãn đk x ≤ 12 x −1 = (10) x−2 Vậy S10 = { − 8} Trong phương trình cần khéo léo biến đổi đơn giản thức x − x + ( x − ) x −1 đưa hai hai đồng dạng x−2 Tóm lại : Với phương trình mà biểu thức khơng có dạng bình phương biểu thức ta khử cách nâng hai vế phương trình lên luỹ thừa lưu ý đặt điều kiện để phép biến đổi tương đương CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình x + = x − (1)  x ≥ x ≥ x ≥ ⇔ ⇔  x + = x −  x − 3x = x = Giải: (1) ⇔  Vậy: phương tŕnh đă cho có nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình x + = − x − (2) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (2) ⇔ x +3+ x−2 =5 ⇔ 2x + + (x + 3)(x − 2) = 25 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 25x = 150  x + x − = 144 + x − 24x ⇔ 2 Vậy: phương tŕnh đă cho có nghiệm x = Bài 3: Giải phương trình x + − x − = 12 − x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3) ⇔ x + = 12 − x + x − ⇔ x + = + (12 − x)(x − 7) ⇔ 19x − x − 84 = x − ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = ⇔ 5x2 – 84x + 352 = 13 84 352  42 1764 1764 352    5 x2 − x + + ữ= x ì x + ÷ 5  25 25    42  44    = x ữ ì = ( x − )  x − ÷ = (x − 8) ( 5x − 44 )  25    ⇔ x1 = 44 ; x2 = 44 ; x2 = Vậy: phương tŕnh đă cho có hai nghiệm x1 = Bài 4: Giải phương trình x − x − − x − + x + = (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có: (4) ⇔ x + + x = x − + x − ⇔ 2x + + x(x + 9) = 2x − + (x − 4)(x − 1) ⇔ + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = Với x ≥ ⇒ vế trái phương tŕnh số dương ⇒ phương tŕnh vô nghiệm 3.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ ; Có số phương trình chứa thức ta đưa phương trình có dạng hữu tỷ cách đặt ẩn phụ chẳng hạn Bài : Giải phương trình ( y − 5) − y − = (11) y ≤ − y ≥ ⇔  Điều kiện :  y ≥ Nếu đặt y − = x ≥ phương trình (11) có dạng :  x = −1 x2 - 5x -6 = ⇔  x = Với x= ta có x= - loại đk x ≥  y = 41 y2 − = ⇔   y = − 41 Trên sở học sinh có khái niệm phương pháp đặt ẩn phụ cần cho học sinh làm số tập khác địi hỏi sáng tạo qua trình đặt ẩn phụ 14 Bài : Giải phương trình x − = x − (12) Phương trình học sinh biết cách giải phương pháp nâng lên luỹ thừa giải phương trình cách đặt ẩn phụ đk : x ≥ đặt x − = y ≥ Phương trình (12) trở thành y = y2 -2  y = −1 ⇔ y2 − y − = ⇔  y=-1 loại y ≥ y = Từ y = ⇒ x − = ⇔ x = thoả mãn x ≥ Vậy S12 = { 9} Cách giải tỏ ngắn gọn so với cách nâng hai vế lên luỹ thừa bậc hai Bài : Giải phương trình 3x + 21x + 18 + x + x + = (13) Việc đặt đk cho bậc hai có nghĩa tập cho ta kết tương đối phức tạp khó cho việc đối chiếu kết sau x≥ − + 21 − − 21 ;x ≤ 2 nên hướng dẫn học sinh giải sau đk : x + x + ≥ Đặt x + x + = y ≥ ⇒ y = x + 7x + (13) trở thành 3y2 + 2y - = y =1 ⇔ = − < loại y = − y 3  Với y = ta có  x = −1 x2 + 7x + = ⇔ x + 7x + = ⇔   x = −6 Bây ta phải kiểm tra xem giá trị x = - ; x = - có thoả mãn đk thức có nghĩa hay khơng Cách kiểm tra : Với x = -1 ta có x2 + 7x +7 = (-1)2 + 7(-1) + = > Với x = - ta có x2 + 7x +7 = > Vậy S13 = { − 6;−1} Với đối tượng học sinh giỏi ta cho em làm tập phức tạp chẳng hạn: 15 Bài : Giải phương trình (14) x − x + + x − = x + 21x − 11 2x2 -9x + = a ≥ Đặt 2x - = b ≥ ⇒ x + 21x − 11 = x − x + + 30 x − 15 = a + 15b (14) trở thành a + b = a + 15b ⇔ a + ab + 9b = a + 15b ⇔ ab − 6b = ⇔ b ( ) a− b =0  b =0 b = ⇔ ⇔ a = b  a = b Với b= ta có 2x - = ⇒ x = Với a = b ta có 2x2 - x +4 = 2x - ⇒ x = Thử lại giá trị x = ; x = thoả mãn đk thức có nghĩa   Vậy S14 =  ;5 2  CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình x + x + = (1) Giải Đặt x + = y (y ≥ 0) ⇒y2 = x + ⇔ x = y2 – ⇔ x2 = (y2 – 1)2 ⇒ (2) ⇔ (y2 – 1)2 + y – = ⇔ y(y − 1)(y2 + y − 1) =   Từ suy tập nghiệm phương trỡnh là: 0; − 1;  Bài 2: Giải phương trình ( ) x − + + x − = − x (1) HD: ĐK: x ≥ Đặt x − + = y (1) ⇔ ( ) ( x −1 +1 + ) −    x −1 +1 − = ⇔ y3 + y2 – = 16 ⇔ (y – 1)(y2 + 2y + 2) = ⇔ y = ⇔ x = Bài 3: Giải phương trình 2(x2 + 2) = x + (3) Giải Đặt u = x + , v = x − x + (ĐK: x ≥ −1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + ⇒ (3) ⇔ 2(u2 + v2) = 5uv ⇔ (2u − v)(u − 2v) =  + 37 − 37  ;    Giải ra, xác định x Kết là: x ∈  Bài 4: Giải phương trình Giải ĐK: x ≥ –2 (1) ⇔ ( ( ) )( x + − x + + x + 7x + 10 = (1) )( ) x + − x + + (x + 5)(x + 2) = Đặt: x + = u, x + = v (u, v ≥ 0)⇒ u2 – v2 = (1) ⇔ (a – b)(1 + ab) = a – b2 ⇔ (a – b)(1 – a + ab – b) = ⇔ (a – b)(1 – a)(1 – b) = Giải ra: x = –1 nghiệm Bài 5: Giải phương trình x + − 3x = 2x − (1) Giải ĐK: x ≥ Đặt x + = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) ⇔ b – a = a2 – b2 ⇔ (a – b)(a + b + 1) = Mà a + b + > ⇒ a = b ⇔ x = nghiệm phương trỡnh Bài 6: Giải phương trình Giải Đặt x − (1) ⇔ x − = u, x 2x − + x − = x + 2x − (1) x x x = v (u, v ≥ 0) x  5   −  2x − ÷ −  x − ÷ − 2x − = ⇔ u – (v2 – u2) – v = x  x  x  x ⇔ (u – v)(1 + u + v) = Vỡ + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = Bài 7: Giải phương trình x + 3x + + x + = x + + x + 2x − (1) Giải ĐK: x ≥ (1) ⇔ (x − 1)(x − 2) + x + = x + + (x − x)(x + 3) Đặt: x − = a, x − = b, x + = c (a, b, c ≥ 0): (1) ⇔ ab + c = b + ac ⇔ (a – 1)(b – c) = 17 ⇔ a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương trỡnh Bài 8: Giải phương trình x = − x − x + − x − x + − x − x Giải Đặt : u = − x ; v = − x ; t = − x (u ; v ; t ≥ 0) ⇒ x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu (u + v)(u + t) = (1)  Từ ta có hệ: (v + u)(v + t) = (2) (t + u)(t + v) = (3)  Nhõn vế (1), (2), (3) ta cú : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vỡ u ; v ; t ≥ nờn: (u + v)(v + t)(t + u) = 30 (4) Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:  v + t =   u + t =   u + v =  30 (5) 30 (6) 30 (7) Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta cú: 2(u + v + t) = 31 30 31 30 ⇒ u +v+ t = (8) 30 60 Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta cú: 3.2.4 Phương pháp hệ phương trình; Với phương trình có chứa nhiều thức bậc khác ta giải cách đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng hệ phương trình theo ẩn Bài : Giải phương trình x − + x +1 = Điều kiện : x ≥ Đặt x − = X ; x + = Y ≥ ⇔ x − = X x + = Y2 ⇒ Y − X = x +1− x + = 18 (15) Phương trình (15) trở thành hệ phương trình X + Y = Y = − X   3 Y − X = ⇔ Y − X = Y ≥ Y ≥   ⇒ X − X + 6X − = ( ) ⇔ ( X − 1) X + = Do X2 + > với x nên X = ⇒ Y = thoả mãn đk Y ≥ Với Y = ta có x + = ⇔ x = thoả mãn x ≥ −1 Vậy S15 = { 3} Ngoài cách giải tập cịn có cách giải phương pháp bất đẳng thức tức sử dụng tính đối nghịch hai vế phương trình Cụ thể : Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Bây ta chứng minh x> -1 ≤ x < nghiệm phương trình Thật : Với x> x − > x + > suy vế trái lớn cịn vế phải suy phương trình vơ nghiệm Với -1 ≤ x < x − < x + < suy vế trái nhỏ 3; vế phải Vậy phương trình vơ nghiệm Do x = nghiệm phương trình (15) Phương pháp tương đối khó học sinh ta cho em làm thêm vài tập tương tự để giúp học sinh hiểu rõ phương pháp CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình x+3 + 6− x − ( x + 3)( − x ) = Điều kiện: -3 ≤ x ≤ a + b − ab = Đặt x + = a( a ≥ 0); − x = b( b ≥ 0) ta hệ phương trình  2 a + b = Giải ta tìm a = a = nên thay vào ta có x = -3 x = nghiệm Bài 2: Giải phương trình x + x − x − 19 = x + 39 Điều kiện: x2 – 2x – 19 ≥ (*) 19 Đặt x − x − 19 = a( a ≥ 0) a = Khi đó: Ta phương trình: a2 + a – 20 = ⇔   a = −5 Thay a = giải ta có: x = x = -5 thỏa mãn điều kiện (*) Bài 3: Giải phương trình x −1 + x3 + x2 + x +1 = + x4 −1 Điều kiện x ≥ Đặt x − = a( a ≥ 0); x + x + x + = b( b ≥ 0) ⇒ x − = a.b Khi ta có phương trình: a + b = + ab ⇔ (a - 1)(1 - b) = ⇔ a = b = Giải ta có: x = (nhận) x = (loại) x ≥ Bài 4: Giải phương trình x2 + + − x2 = a + b = ĐK: x2 ≤ Đặt ẩn đưa hệ  2 a + b = 10 Giải ta x = x = -1 Bài 5: Giải phương trình ( ) )( x + − x + − x + x + 10 = (ĐK: x ≥ -2 Giải ta có: x = -1 (nhận) x = -4(loại)) Bài 6: Giải phương trình + x + − x = (ĐA: x = 1) Bài 7: Giải phương trình x + x − + x + x − 5x = 20 ĐK: x ≥ Đặt x = a; x − = b ta có hệ 3.2.5 Phương pháp đưa dạng tích Giải phương trình: x − 3x + + x + = x + x − + x − Điều kiện: x ≥ Khi ta có: ( x − 1)( x − 2) − x − = ( x − 1)( x + 3) − x + ⇒ x−2 ⇔ ( ) x −1 −1 = x + ( ) ( x −1 −1 ⇔ x − − = ⇔ x = Vì x ≥ )( x −1 −1 ) x−2 − x+3 = x − − x + < Vậy x = nghiệm phương trình Qua tập học sinh đưa dạng phương trình tích mà bình phương hai vế làm cho tốn vơ phức tạp Để đưa dạng tích học sinh cần phải phát tam thức đưa nhân tử 20 khơng? Và từ tìm nhân tử chung đặt nhân tử chung đưa phương trình tích, dựa điều kiện mà trả lời nghiệm phương trình CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình 2x + − x − = x + Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình: x + = (x + 3)( 2x + + x + − 1) = ⇔   2x + + x − = ⇒ PT vô nghiệm Bài 2: Giải phương trình x + + 2(x + 1) = x − + − x + − x (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1) ⇔ ( x +1 − 1− x ⇔ x1 = 0; x2 = − )(2 ) x +1 − 1− x +1 = 24 25 Bài 3: Giải phương trình x − + x + x + x + = + x − (1) Giải Chỳ ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1) (1) ⇔ ( ) )( x − − 1 − x3 + x2 + x + = ⇔ x = 3.2.6 phương pháp đánh giá hai vế có dạng: Phương pháp giải: Ta có: VT = f ( x ) + g ( x ) = h( x ) f ( x ) + g ( x ) ≥ a mà VP ≤ a Dấu “=” xảy VT = VP = a Giải phương trình : - x + x - = x - 12x + 38 VT = - x + x - ≤ VP = x - 12x + 38 = ( x − 6) + ≥ Do - x + x - = x - 12x + 38 = ⇔ x = Vậy nghiệm phương trình x = CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x (Ta thấy VT≥ 5; VP ≤ nên nghiệm phương trình x = -1) Bài 2: Giải phương trình 3x − 18 x + 28 + x − 24 x + 45 = − x + x − (Ta thấy VT≥ 4; VP ≤ nên nghiệm phương trình x = 3) 3.2.7 Phương pháp tổng bình phương: ( f ( x ) ) + ( g ( x ) ) + ( h( x ) ) + = Phương pháp giải: Dấu “=” xảy f(x) = g(x) = h(x) = … = 21 Giải phương trình x − + y − + z − = x + y + z + ⇔ ( ) ( x −1 −1 + ( ( (    ⇔    ) ) ( ) y−2 −2 + z −3 −3 = x −1 −1 =  x −1 −1 = x =   y − − = ⇔  y − − = ⇔ y =   z = 12   z − − = z −3 −3 = ) ) Vậy x = 2; y = 6; z = 12 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình x − + y + + z − = ( x + y + z ) (x = 3; y = -2; z = 5) Bài 2: Giải phương trình x + y −1 + z − = ( x + y + z) (x = 1; y = 2; z = 3) Bài 3: Giải phương trình x + y + z + 35 = 2.(2 x + + y + + z + 3) (x = 3; y = 7; z = 13) Bài 4: Giải phương trình x − + y − + z − + = x+y+z (x = 4; y = 5; z = 7) Bài 5: Giải phương trình x − + y + 2009 + z − 2010 = ( x + y + z) (x = 3; y = -2008; z = 2011) Bài 6: Giải phương trình x + x + = 2 x + (Đưa dạng: ( x + 1) + ( x + − 1) = Ta có nghiệm x = -1) V- Hiệu đạt được: Kết quả: Với kinh nghiệm vừa trình bày , sau nghiên cứu áp dụng giảng dạy mơn tốn thân đồng nghiệp thấy trình độ học sinh nâng lên rõ rệt.Học sinh nhận dạng thành thạo phương trình chứa thức đứng trước phương trình chứa thức em biết lựa chọn 22 phương pháp giải phù hợp Mức độ đạt cụ thể : Học sinh trung bình tự giải tập sách giáo khoa Học sinh giỏi giải tập khó, nâng cao đòi hỏi sáng tạo giải Đặc biệt học sinh tránh sai lầm mà năm trước thấy em cịn mắc việc đặt điều kiện cho phép biến đổi tương đương Việc hướng dẫn thêm phương pháp sách giáo khoa giúp em khá, giỏi giải tập dạng phương trình có chứa thức phức tạp Trên sở em tiếp tục nghiên cứu đọc sách để nâng cao trình độ học tốn Điều góp phần gây hứng thú , tạo niềm say mê, tính ham hiểu biết học sinh học tập mơn tốn nói riêng mơn khác nói chung Kinh nghiệm : Phần phương trình chứa thức khơng sách giáo khoa nêu thành mục riêng mà đưa vào dạng tập, trình giảng dạy giáo viên cần ý thơng qua hệ thống tập mà hình thành khái niệm phương trình chứa thức phương pháp giải loại phương trình Giúp học sinh nắm nguyên tắc để giải loại phương trình tìm cách hữu tỷ hoá chúng Với phương pháp phổ biến đưa phương trình dạng chứa ẩn giá trị tuyệt đối, phương pháp nâng lên luỹ thừa, phương pháp đặt ẩn phụ, cần giành nhiều thời gian nhiều tập để học sinh luyện kỹ Để đạt hiệu cao, phù hợp với trình độ nhiều đối tượng học sinh lựa chọn tập phải ý xếp theo độ từ dễ đến khó Trong q trình giải cần cho học sinh nhận xét dạng phương trình tìm phương pháp giải cho phù hợp Tiếp nên cho học sinh tìm thêm cách giải khác để giúp học sinh giỏi phát huy sáng tạo học tập VI Mức độ ảnh hưởng: Trước sử dụng đề tài học sinh giải phương trình vơ tỉ vơ khó khăn, học sinh nhằm lẫn cách giải dạng phương trình, từ dẫn đến em ngán phải giải dạng phương trình 23 Sau áp dụng đề tài học sinh dễ dàng tiếp cận dạng phương trình vơ tỉ, em biết phân loại phương trình vơ tỉ theo dạng, vận dụng phương pháp giải dạng cách có hiệu Kết điều tra qua 60 HS lớp trường THCS Mỹ Phú năm học 2013-2014 thái độ giải phương trình vơ tỉ cho thấy: Điều tra u thích mơn học 60 HS Bình thường Khơng thích học SL % SL % SL % 15 25% 25 41,7% 20 33,3% Kết điều tra qua 60 HS lớp trờng THCS Mỹ Phú năm học 2014-2015 thái độ giải phương trình vơ tỉ cho thấy: Điều tra u thích mơn học 60 HS Bình thường Khơng thích học SL % SL % SL % 27 45% 20 33,3% 13 21,7% VII- Kết luận: Để gặt hái thành tích cao học tập Học sinh nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, nhân tố giữ vai trò định thành công hay thất bại giáo viên làm cơng tác giảng dạy Vì em người học, người thi người đem lại thành tích Tuy nhiên, để giúp cho học sinh gặt hái thành cơng, địi hỏi em phải có nỗ lực lớn Một tâm học tập hết khả thân ḿnh Chính vậy, động viên, quan tâm, giúp đỡ lănh đạo ngành, gia đình em giáo viên lớn Nhất lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi em có tác động khơng nhỏ đến việc học tập em Nhận thức rõ điều đó, giáo viên cần phải dành quan tâm lớn đến em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho em có tâm lớn công việc học tập Đặc 24 biệt với học sinh tham gia học tập mơn Tốn, mơn học khó, có học sinh lựa chọn tham gia thi mơn Người giáo viên giảng dạy tốn phải người có nhìn tổng qt mơn tốn bậc học mình, phải người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên thuật tốn, thủ thuật giải tốn hiệu Nói tóm lại kiến thức thầy phải vững vàng, thầy thực phải người giỏi toán Cần phải lên kế hoạch giảng dạy cách chi tiết, chuẩn mực Cập nhật thường xuyên kiến thức mà em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt phải kích thích em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy tố chất tốt em để công việc học tập em đạt hiệu cao Trên số phương pháp “rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 9” Ngồi phương pháp mà tơi chắt lọc nêu trên, chắn nhiều phương pháp giải khác mà thân tơi, lực cịn hạn chế thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài khơng thể khơng cịn sơ suất Chính vậy, tơi mong có đóng góp, bổ sung đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi cam đoan nội dung báo cáo thật Mỹ Phú , ngày 21 tháng 12 năm 2015 Xác nhận đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến Lý Thiện Hiếu 25 ... vững có kỹ giải phương trình bậc hai ẩn số, hệ phương trình, phương trình bậc hai phương trình quy bậc hai số phương trình dạng khác có phương trình chứa ẩn dấu Phần phương trình vơ tỉ sách giáo... Học sinh chưa nắm vững phương pháp giải phương trình vơ tỉ Các biện pháp rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp 3.1 Để giải thành thạo phương trình vơ tỉ: học sinh cần nắm vững... trình đặt ẩn phụ 14 Bài : Giải phương trình x − = x − (12) Phương trình học sinh biết cách giải phương pháp nâng lên luỹ thừa giải phương trình cách đặt ẩn phụ đk : x ≥ đặt x − = y ≥ Phương trình