SKKN HIEU -PHU

SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet MỤC LỤC Mục lục .1 A Đặt vấn đề B Nội dung đề tài 4-13 Thực trạng đề tài .4 Biện pháp tiến hành 2.1 Một số kiến thức cần nắm .4-5 2.2 Bài tập áp dụng .8-14 Nguyên nhân thành công 15 Kết thực 15 Ý nghĩa SKKN 15 Phạm vi áp dụng .15 Bài học kinh nghiệm .15 III Kết luận 16 -1- SSKN moät số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong năm gần phong trào giải toán Internet giải toán tiếng Anh Internet hưởng ứng tích cực từ phía phụ huynh, học sinh, giáo viên…học sinh có hội để nâng cao kiến thức, phụ huynh có dịp ơn lại kiến thức trực tiếp hướng dẫn em mình, giáo viên có kho tài liệu quan trọng để nâng cao kiến thức thân để phục vụ cho cơng tác dạy học Thực tế khơng phải em học sinh tiếp cận cách dễ dàng, đề đưa phong phú, đa dạng đòi hỏi phải giải thời gian định Một khó khăn lớn mà em mắc phải dẫn đến chán nản khơng muốn tham gia tham gia bỏ qua tốn đó, kiến thức mà tơi nhắc đến tốn tìm chữ số tận lũy thừa Là giáo viên hướng dẫn em giải tốn Internet tơi phải sưu tầm, tập hợp tốn liên quan đến tìm chữ số tận cùng, rút phương pháp, kinh nghiệm để hướng dẫn em giải tốn nhanh thời gian ngắn Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận Trong tốn học, xét số có chia hết cho 2; 4; chia hết cho 5; 25; 125 hay không ta cần xét 1; 2; chữ số tận số Tìm chữ số tận luỹ thừa bậc thấp, đơn giản học sinh dễ dàng biết Vấn đề đặt đứng trước luỹ thừa bậc cao dựa vào đâu học sinh định hướng cách giải nhanh Trước tình hình đó, sau nghiên cứu kỹ tài liệu, nghiên cứu số toán năm học qua định đưa đề tài sáng kiến kinh nghiệm “một số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet”, nhằm chia kinh nghiệm thân cho quí đồng nghiệp Rất mong nhận góp ý cấp lãnh đạo, Ban giám hiệu, tổ chuyên môn để đề tài phát huy hiệu cao -2- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet B NỘI DUNG ĐỀ TÀI I TÍNH KHOA HỌC Thực trạng đề tài Như quí đồng nghiệp biết, giải tốn khó giải tốn Internet lại khó kiến thức chuyên sâu, đa dạng địi hỏi phải có kiến thức toán, phải giải thời gian định em học sinh vơ khó khăn Trong có nhiều dạng tốn q khó em, nhiệm vụ người giáo viên hướng dẫn em cần sưu tâm nghiên cứu dạng tốn khó để hướng dẫn em có cách giải nhanh thời gian ngắn Trước tình hình địi hỏi giáo viên, giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán Internet cấp THCS phải ln tìm dạng tốn, phương pháp dạng toán để rút kinh nghiệm, cách giải nhanh đến kết quả, để hướng dẫn em, làm điều ta kích thích động lực, lịng ham mê giải tốn Internet, giúp em tự tin tự em giải tốn, mục tiêu mà tất người giáo viên dạy toán muốn hướng tới Biện pháp tiến hành 2.1 Một số kiến thức chữ số tận Tính chất : a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc (khác 0) chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) chữ số tận -3- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet Tính chất : Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi Tính chất : a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận Tìm chữ số tận Nhận xét: Để tìm chữ số tận luỹ thừa,ta ý rằng: - Các số có tận 0; 1; 5; nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0; 1; 5; - Các số có tận 2; 4; nâng lên luỹ thừa số có tận - Các số có tận 3; 7; nâng lên luỹ thừa số có tận (Riêng số tự nhiên có chữ số tận 9, nâng lên luỹ thừa lẻ có chữ số tận nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận 1) Ví dụ 1: Tìm chữ số tận 187324 -4- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet Giải: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác ) tận Do đó: 187324= (1874)81 =(….1)81 =(…1) Vậy chữ số tận 187324 Ví dụ2: Chứng minh 8102 - 2102 chia hêt cho 10 Giải: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa số có tận Một số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau: 8102 =(84)25.82 = (….6)25.64=(….6).64 = …4 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(…6).4 = …4 Vậy 8102 -2102 tận nên chia hết cho 10 Tìm hai chữ số tận Nhận xét: Để tìm hai chữ số tận luỹ thừa, cần ý đến số đặc biệt: - Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01, 25, 76 - Các số 320 ( 815), 74 , 512 , 992 có tận 01 -5- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet - Các số 220, 65, 184, 242, 684 , 742 có tận 76 - Số 26n (n>1) có tận 76 Ví dụ 1:Tìm hai chữ số tận 71991 Giải: Ta thấy: = 2401, số có tận 01 nâng lên luỹ thừa tận 01 Do 71991 = 71988.73 = (74)497.343 =(…01)497.343 =(….01).343 =….43 Vậy 71991 có hai chữ số tận 43 Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận 2100 Giải: Chú ý rằng: 210=1024, bình phương số có tận 24 tận 76, số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 76 Do ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Tìm ba chữ số tận trở lên Nhận xét Để tìm ba chữ số tận trở lên luỹ thừa, cần ý rằng: -6- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet - Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001, 376, 625 - Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 Ví dụ 1: Tìm bốn chữ số tận 51992 Giải: 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =( 0625) Vậy bốn chữ số tận 51992 0625 Ví dụ ;Chứng minh 261570 chia hết cho Giải: Ta thấy: 265= 11881376, số có tận 376 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 376 Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho -7- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toaùn Internet 2.2 Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm chữ số tận số sau đây: a/ 171000 b/ 121978 c/ 292008 d/ 7430 e/ 4931 f/ 8732 g/ 5833 h/ 2335 i/ 20092008 j/ 71993 k/ (2345)42 l/ (5796)35 Giải: a/ 171000 = 174.250 = (….1) Có chữ số tận 1, áp dụng tính chất 1c b/ 121978 = 124.494 +2 = 124.494 122 = (… 6).144 = (….4) Có chữ số tận 4, áp dụng tính chất 1d Cách 2: b/ 121978 = 12(4.494 + 1) + = 12(4.494 + 1).12 = (….2).12 = (…4) Có chữ số tận 4, áp dụng tính chất c/ 292008 = 294.502 = (….1) Có chữ số tận 1, áp dụng tính chất 1c d/ 7430 = 74(4.7+1) +1 = 744.7+1.74 = (…4).74 = (…6) Có chữ số tận Áp dụng tính chất e/ 4931 = 494.7+3 = (….9) Có chữ số tận Áp dụng tính chất 3c f/ 8732 = 874.8 = (….1) Có chữ số tận Áp dụng tính chất 1c g/ 5833 = 584.8+1 = 584.8.58 = (…6).58 = (…8) Có chữ số tận Áp dụng tính chất 1c -8- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet h/ 2335 = 234.8+3 = (….7) Có chữ số tận Áp dụng tính chất 3a i/ 20092008 = 20094.502 = (…1) Có chữ số tận Áp dụng tính chất 1c j/ 71993 = 74.498 +1 = 74.498.7 = (…1).7 = (…7) Có chữ số tận Áp dụng tính chất 1c k/ (2345)42 = 234210 = 2344.52+1+1 = 2344.52+1.234 = (…4).234 = (…6) có chữ số tận Áp dụng tính chất l/ (5796)35 = 579210 = 5794.52+1+1 = 5794.52+1.9 = (…9).9 = (…1) có chữ số tận Áp dụng tính chất Bình luận lời giải 1: Thơng qua toán ta nhận thấy điều quan trọng để giải dạng toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm vững tính chất, nhận dạng dạng tốn mà áp dụng tính chất tìm chữ số tận lũy thừa thích hợp cho kết nhanh xác Học sinh nên ý dạng tốn đề giải toán Internet thường hay cho Bài 2: Tìm chữ số tận số 312 + 513 + 725 + 112010 Giải: 312 = 813 có tận Áp dụng tính chất 1a 513 có tận Áp dụng tính chất 1a 715 = 74.3 + = 74.3.73(…1).343 có tận Áp dụng tính chất 1c 112010 có tận Áp dụng tính chất 1a => 312 + 513 + 725 + 112010 tổng có tận -9- SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet Bình luận lời giải 2: Đối với tổng lũy thừa có số hạng ta tìm chữ số tận số hạng thông qua áp dụng tính chất nêu trên, sau ta tìm tổng chữ số tận số hạng ta có chữ số tận tổng lũy thừa Bài 3: Tìm chữ số tận S = 21 + 34 + 49 + … + 20048009 Giải: Ta nhận thấy số hạng S nâng lên lũy thừa 4n + nên giữ nguyên chữ số tận Do để tìm chữ số tận S ta tìm chữ số tận tổng : + + + + 2004 = (2004 + 2) + 2003 = 1003.2003 = ( 9) Vậy chữ số tận S Bình luận lời giải 3: Đối với tổng lũy thừa nhiều số hạng ta nên để ý số mũ số hạng có giống dạng 4n + khơng? Nếu dạng 4n + ta dễ dàng đưa tốn dạng tìm chữ số tận tổng số nguyên (Vì số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi.) Bài 4: Tìm chữ số tận S = + + 32 + 33 + …+ 348 + 349 Giải Ta có: Suy ra: S = + + 32 + 33 + …+ 348 + 349 3S = + 32 + 33 + 349 + 350 3S – S = 350 – 2S = 350 – = 925 – S = (925 – 1) : - 10 - SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet Mà 925 – có chữ số tận – = Do (925 – 1) : có chữ số tận Bình luận 4: Ta nhận thấy tìm chữ số tận tổng nhiều lũy thừa có số Đối với dạng ta giải nhanh cách nhân nguyên tổng cho số với số mũ 1, ta tổng gấp lần tổng ban đầu (số lần phụ thuộc vào số), sau lấy tổng trừ cho tổng ban đầu ta thu kết tốn gọn lại, từ ta dễ dạng tìm chữ số tận tổng ban đầu Bài 5: Cho A = + 22 + 23 + …+ 220 Tìm chữ số tận A Giải tương tự Bài 6: Khẳng định số 10 2003 + số tự nhiên hay sai? Giải: 10 2003 + (1 0) + = số (1…0) + = 1000…008 số chia hết cho Do khẳng 9 định Bình luận 6: Ta dễ dàng nhận thấy tốn liên quan đến tìm chữ số tận số 102003 + 8, học sinh nhận chữ số tận tổng chữ số số 102003 + nên chia hết cho Bài 7: Chứng tỏ 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Giải: - 11 - SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet 175 = 174 + = 174 17 = (….1).17 = (….7) Áp dụng tính chất 1c 244 = (….6) có chữ số tận Áp dụng tính chất 1d Suy 175 + 244 có chữ số tận 1321 = 134.5+1 = (…3) có chữ số tận Áp dụng tính chất Vậy: 175 + 244 - 1321 có chữ số tận nên chia hết cho 10 Bình luận 7: Đây dạng tốn khác tìm chữ số tận tổng lũy thừa, để chia hết cho 10 ta cần tổng lũy thừa có chữ số tận Bài 8: Tổng 109 + 108 + 107 có chia hết cho 555 khơng ? Giải: 109 + 108 + 107 = 107(102 + 10 + 1) = 107.111 Số 107.111 chia hết cho 111 Do số 107.111 chia hết cho 555 hay tổng 109 + 108 + 107 chia hết cho 555 Bài có cách làm tương tự Bài 9: Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a/ 132001 - 82001 b/ 7552 - 218 c/ 12591 + 12692 d/ 95354 - 5425 - 12 - SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet e/ 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 Giải a/ 132001 - 82001 132001 = 134.500+1 = (…3) có chữ số tận Áp dụng tính chất 82001 = 84.500+1 = (…8) có chữ số tận Áp dụng tính chất Do hiệu 132001 - 82001 có chữ số tận b/ 7552 - 218 7552 = (…5) có chữ số tận Áp dụng tính chất 1a 218 = (…1) có chữ số tận Áp dụng tính chất 1a Do hiệu 7552 - 218 có chữ số tận c/ 12591 + 12692 12591 = (…5) có chữ số tận Áp dụng tính chất 1a 12692 = (…6) có chữ số tận Áp dụng tính chất 1a Do tổng 12591 + 12692 có chữ số tận d/ 95354 - 5425 95354 = (…5) có chữ số tận Áp dụng tính chất 1a 5425 = 544.6+1 = (…4) có chữ số tận Áp dụng tính chất Do hiệu 95354 - 5425 có chữ số tận - 13 - SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet e/ 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 Các số 116 ; 156; 166 có chữ số tận 1; 5; Áp dụng tính chất 1a 126 = 124.3 = (…6) Áp dụng tính chất 1d 136 = 134.3 = (…1) Áp dụng tính chất 1c 146 = 144.3 = (…6) Áp dụng tính chất 1d Do tổng 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 có chữ số tận Bình luận 9: Bài có cách làm giống 1, chủ yếu áp dụng tính chất tìm chữ số tận hạng tử, sau ta cần tổng hiệu chữ số tận vừa tìm ta có kết tốn Bài 10: Các tổng hiệu sau có chia hết cho khơng ? Vói số tự nhiên n: a/ 74n - b/ 34n+1 + c/ 24n+1 + Giải: a/ 74n – = (….1) – = (….0) có chữ số tận Do 74n – chia hết cho b/ 34n+1 + = (…3) + = (…5) có chữ số tận Do 34n+1 + chia hết cho c/ 24n+1 + = (…2) + = (…5) có chữ số tận Do 24n+1 + chia hết cho - 14 - d/ 24n+2 + SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet d/ 24n+2 + = 24n+1+1 + = 24n+1.2 + = (…2).2 + = (…4) + = (…5) Có chữ số tận Do 24n+2 + chia hết cho Bài 11: Các tổng sau có chia hết cho 10 khơng ? Vói số tự nhiên n: a/ 92n+1+1 b/ 51n +47102 Giải: a/ 92n+1+1 = (…9) + = (…0) Có chữ số tận ( áp dụng tính chất 1b) Do 92n+1+1 chia hết cho 10 b/ 51n + 47102 = (…1) + 474.25+2 = (…1) + 474.25.472 = (…1) + (…1).2209 = (…1) + (…9) = (….0) Có chữ số tận Do 51n + 47102 chia hết cho 10 Bài 9: Tìm hai chữ số tận số sau: a/ 5151 b/ (9999)99 c/6666 Giải: a/ 5151 = Nguyên nhân thành công tồn tại: - 15 - d/14101 16101 SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet Giáo viên chuẩn bị kỹ kiến tìm chữ số tận lũy thừa Hệ thống kiến thức tìm chữ số tận lũy thừa Yêu cầu học sinh cần nắm vững ba tính chất nêu trên, vận dụng tập từ đơn giản đến nâng cao Giáo viên sưu tập số tập có liên quan đặc biệt tập tìm chữ số tận lũy thừa toán Internet Tập hợp dạng tập cụ thể để em liệt kê dạng tập có cách giải, hay tập áp dụng tính chất Từ giúp em hình thành cách tìm chữ số tận lũy thừa mà khơng cịn ngán ngại Kết thực hiện: Từ thực chuyên đề ‘Tìm chữ số tận luỹ thừa’ HS tơi khơng cịn lúng túng gặp phải tập dạng Đặc biệt em chủ động tìm tịi giải kết Do kết học sinh khơng cịn phải ngán ngại thi giải tốn Internet gặp tốn tìm chữ số tận lũy thừa, tạo tâm lý thích học mơn tốn Qua gần năm học nghiên cứu, tìm tịi thực nghiệm đề tài “ Một số phương pháp tìm chữ số tận luỹ thừa tốn Internet” phần có kết khả quan em học sinh từ chỗ nhìn vào luỹ thừa ban đầu thấy khó định hướng, lúng túng vận dụng, biết phân tích nhìn nhận cách linh hoạt đặc biệt với số em nhận thức tốt hứng thú tìm tịi, biết vận dụng sáng tạo tập vận dụng, đặc biệt em giải toán Internet gặp toán liên quan tìm chữ số tận lũy thừa nhanh khơng cịn cảm giác lúng túng Từ mức độ hứng thú học tập mơn tăng lên, góp phần vào việc nâng cao chất lượng học tập môn cuối năm học Sau bảng khảo sát em đội tuyển Violympic phiếu lấy ý kiến em trước sau áp dụng đề tài - 16 - SSKN moät số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet III TÍNH THỰC TIỄN: Ý nghĩa SKKN Qua thực tế thực đề tài tơi thấy giúp học sinh vận dụng lí thuyết luỹ thừa để tìm chữ số tận lũy thừa hay tổng lũy thừa, học sinh từ chỗ nắm bắt lí thuyết biết vận dụng từ có hứng thú q trình làm tập, đặc biệt dạng tập chứng minh chia hết, tìm dư phép chia tổng, hiệu, biểu thức Các em giải nhanh tốn tìm chữ số tận lũy thừa tốn Internet Qua cịn rèn cho học sinh tư tốn học, tính cẩn thận, tỉ mỉ, xác, giúp giáo viên nhìn nhận đánh giá thân, học sinh cách khách quan Phạm vi áp dụng: Tôi tin đề tài tơi nghiên cứu áp dụng cho giáo viên trường THCS Mỹ Phú hướng dẫn học sinh giải toán qua Internet cách hiệu Đề tài lan rộng phạm vi tồn huyện tính thiết thực đề tài Bài học kinh nghiệm: Từ kết thực tế sáng kiến kinh nghiệm “Tìm chữ số tận luỹ thừa” cho thấy việc tìm tịi, nghiên cứu vận dụng chuyên đề nâng cao vào cho đối tượng học sinh giỏi cần thiết nên đầu tư sâu, đặc biệt với đội tuyển học sinh giỏi, giúp học sinh có nhìn tổng qt, nhạy bén phương pháp chứng minh chia hết, có ý thức tìm tịi, tham khảo tài liệu, tìm toán hay, cách giải dặc biệt, học sinh chủ động tìm hướng giải tốn, đồng thời giúp giáo viên tự học, tự bồi dưỡng, góp phần nâng cao chun mơn nghiệp vụ IV KẾT LUẬN CHUNG - 17 - SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet Việc thực hiên đề tài nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi khơng thể thiếu, giúp giáo viên nâng cao nhận thức, giúp học sinh nâng cao mở rộng kiến thức, phát triển tư cách suy nghĩ tích cực góp phần giúp học sinh nắm bắt kiến thức cách tích cực Chính mạnh dạn nghiên cứu vấn đề mong đồng nghiệp góp ý xây dựng Rất mong góp ý bổ sung bạn đồng nghiệp Mỹ Phú, ngày 29 tháng 12 năm 2014 Người viết LÝ THIỆN HIẾU - 18 - ... 16 - SSKN số phương pháp tìm chữ số tận lũy thừa cho toán Internet III TÍNH THỰC TIỄN: Ý nghĩa SKKN Qua thực tế thực đề tài thấy giúp học sinh vận dụng lí thuyết luỹ thừa để tìm chữ số tận lũy