DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 1) Bài 1: Thực hiện phép tính: a) MTC: (ab)(bc)(ac) = = 0 b) = = c) = = . d) = = = . DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 2: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: M = tại x = 1000001 biết biết biết x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Giải: Bài 2: Từ ab+bc+cb = 1 1+a2 = ab+bc+ca+ a2 = (a+c)(a+b) Tương tự: 1+b2 = (b+c)(b+a) 1+c2 = (c+b)(c+a) A = = = 1 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: M = tại x = 1000001 Ta có: M = = = Thay x = 1000001 vào M ta được: M = . N biết Từ x = 3y – 6 Thay x = 3y – 6 vào N ta được: N = P biết Từ Vì: x+y 0 x 2y = 0 x = 2y Thay x = 2y vào P ta được: P = biết x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Từ: x + y + z = 0 x = (y+z) y = (x+z) z = (x+y) Thay vào Q ta được: Q = = = = = = DẠNG 3: TIM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Bài 4: Tìm các giá trị nguyên của x để các phân thức sau có giá trị là số nguyên: Giải: = 2x2+1 Vì x thì 2x2 + 1 nên A x3 Ư(5)= {1; 1; 5; 5} x – 3 = 1 x = 4 (thỏa mãn) x – 3 = 1 x = 2 (thỏa mãn) x – 3 = 5 x = 8 (thỏa mãn) x – 3 = 5 x = 2 (thỏa mãn) Vậy x { 4; 2; 8; 2} thì A . = x2 + 3x Vì x thì x2 + 3x nên B Ư(2)= {1; 1; 2; 2} Do 2 = 2 x = 0 Vậy x = 0 thì B . DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT PHÂN THỨC Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ; Giải: = Vậy Min A = = = Min B = Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ; Giải: = Max C = . = 2+ Max D = 3 x = 4. Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Ta có: (xy)2 0 x22xy+y2 0 2x24xy+2y2 0 3x23xy+3y2 x2+xy+y2 3(x2xy+y2) x2+xy+y2 (1) Vì : x2+xy+y2 > 0 ( ) nên (1) Min M = Ta có: (xy)2 0 x2+2xy+y2 0 2x2+4xy+2y2 0 3(x2+xy+y2) x2xy+y2 (2) Vì : x2+xy+y2 > 0 ( ) nên (2) Max M = DẠNG 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 8: Cho biểu thức: a Tìm điều kiện để A xác định rồi rút gọn A b Tính giá trị của biểu thức khi c Với giá trị nào của x thì A = 2; A > 0. d Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Giải: a Điều kiên xá định: x 0; x 2; x 2 = = . b c A = 2 (Với x 0; x 2; x 2) ( Thỏa mãn ) Vậy thì A = 2. A > 0 (Với x 0; x 2; x 2) > 0 x 2 < 0 x< 2 Vậy x < 2; x 0; x 2 thì A > 0. d A x – 2 Ư(1)= {1; 1} x – 2 = 1 x = 3 ( thỏa mãn) x – 2 = 1 x = 1 ( thỏa mãn) Vậy x {3; 1} thì A . Bài 9: Cho biểu thức: a Rút gọn M. b Tìm các cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị bằng 7. Giải: a Rút gọn M. Điều kiện xác định: x y ; y 1; x 1 = = = = = x – y + xy b Tìm các cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị bằng 7. M = 7 x – y + xy= 7 (1+y)(x1) = 6 Vì x; y nên (1+y) ; (x1) và (1+y); (x1) Ư(6) = { 1; 2; 3; 6} 1+y 1 1 2 2 3 3 6 6 x1 6 6 3 3 2 2 1 1 Ta có: y 0 2 1 3 2 4 5 7 x 7 5 4 2 3 1 2 0 Vậy ta tìm được 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đó là: (7; 0) ; (5; 2) ;(4; 1) ;(2; 3) ;(3; 2) ;(1; 4) ;(5; 2) ;(0; 7) ; DẠNG 6: CHỨNG MINH PHÂN THỨC TỐI GIẢN Bài 10: Chứng minh các phân thức sau là tối giản: a) (Với n nguyên dương) b) (Với n là số tự nhiên) Giải: a) + Gọi d là ước chung của và + (1) (2) Từ (1) và (2) có : hay Nên: (3) Từ (1) và (3) Phân thức tối giản. b) + Gọi d là ước chung của và + (1) hay + Ta có: hay (2) Từ (1) và (2) Phân thức tối giản. HẾT
Trang 1BÀI GIẢI CHÙM BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
1) Bài 1: Thực hiện phép tính:
a) ( )(1 ) ( )(1 ) ( )(1 ) A
a b a c + b a b c + c a c b =
MTC: (a-b)(b-c)(a-c)
(a - b)(a -c) (b -a)(b -c) (c -a)(c - b) = ( )( )( )
) (
c b b a c a
b a c a c b
−
−
−
− +
−
−
−
= 0 b)
(x - xy) × x + y
x - y x y - x y + xy = ( )
) )(
( ) )(
(
)]
( [
2 2
2 2
2
y xy x xy
y xy x y x y x y x
y x x
+
−
+
−
+ +
−
y
y x
x( − )
c) x -6x + 9 x + 2722 × 3
x -3x +9 3x -9 = 3 ( 3 )
) 9 3 )(
3 ( 9 3
) 3
2
2
−
+
−
+ +
−
−
x
x x x x x
x
= 3
9
2 −
d) 3x +5x +12 3 21- x 3
x -1 −x + x +1 x -1− = ( 1)( 1)
) 1 (
3 ) 1 )(
1 ( 1 5 3
2
2 2
+ +
−
+ +
−
−
−
− +
+
x x x
x x x
x x
x
=
) 1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
−
+
−
x x x
x x
=
) 1 (
) 1 (
+
x x
x
.
*DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 2: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1
Tính giá trị của biểu thức: A = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b b c c a
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
M =
2 2
2 3
2 3
2
−
− +
+ +
x x x
x x
tại x = 1000001 6
3 2
− +
−
=
x
y x y
x
N biết 3y−x= 6
y x
y x
P
+
−
= biết x2 − 2y2 = xy(y≠ 0 ;x+y≠ 0 )
Q
biết x + y + z = 0 và x, y, z khác 0
Giải:
Bài 2: Từ ab+bc+cb = 1 ⇒ 1+a2 = ab+bc+ca+ a2 = (a+c)(a+b)
Tương tự: 1+b2 = (b+c)(b+a)
Trang 21+c2 = (c+b)(c+a)
⇒ A = ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b b c c a
) (
) (
)
a c b c a b c b b a c a
a c c b b a
+ + + + + +
+ +
+
= 1
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
*M =
2 2
2 3
2 3
2
−
− +
+ +
x x x
x
x tại x = 1000001
Ta có: M =
2 2
2 3
2 3
2
−
− +
+ +
x x x
x x
= (x+(x2)(+2x)(−x1)(+x1)+1) =
1
1
−
x
Thay x = 1000001 vào M ta được: M =
1000000
1 1
1000001
*N = y−x2+ 2x x−−36y biết 3y−x= 6
Từ 3y−x= 6 ⇒ x = 3y – 6
Thay x = 3y – 6 vào N ta được: N =
4 1 3 12 3
12 3 3 6 6 3
3 ) 6 3 ( 2
2
6
−
− +
=
−
−
−
− +
−
−
y
y y
y y
y
y
*P = x x+−y y biết x2 − 2y2 = xy(y≠ 0 ;x+y≠ 0 )
Từ x2 − 2y2 =xy⇔ (x+y)(x+ 2y) = 0
Vì: x+y ≠ 0 ⇒ x - 2y = 0 ⇒ x = 2y
Thay x = 2y vào P ta được: P = 22y y+−y y =3y y =13
Q
x y z y z x z x y biết x + y + z = 0 và x, y, z khác 0 Từ: x + y + z = 0 ⇒ x = - (y+z)
y = - (x+z)
z = - (x+y)
Thay vào Q ta được: Q = 2 22 2 2 22 2 2 22 2
) (
) ( )
(
) ( )
(
) (
y x y x
y x x
z z x
z x z
y z y
z y
−
− +
+ +
−
− +
+ +
−
− + +
=
xy
y x xz
z x yz
z y
2
) ( 2
) ( 2
) ( + 2 + + 2 + + 2
= x(y+z)2+y(x+z)2 +z(x+y)2
Trang 3=
xyz
y x z yz xyz yx
xz xyz xy
2
) ( 2
=
xyz
xyz y
x z yz xz yx
xy
2
4 ) ( ) (
) ( 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 +
= (x+y)(y+2z xyz)(x+z)+4xyz = −xyz2xyz+4xyx =23xyz xyz = 23
* DẠNG 3: TIM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN
Bài 4: Tìm các giá trị nguyên của x để các phân thức sau có giá trị là số nguyên:
2 - 6 + x -8
x - 3
x x
A =
2
+ 3 + 2x + 6x - 2
x + 2
B =
Giải:
2 3- 6 2+ x -8
x - 3
x x
A = = 2x2+1 -
3
5
−
x
Vì x ∈ Ζ thì 2x2 + 1 ∈ Ζ nên A ∈ Ζ ⇔
3
5
−
x ∈ Ζ ⇒x-3 ∈Ư(5)= {1; -1; 5; -5}
* x – 3 = 1 ⇒ x = 4 (thỏa mãn)
* x – 3 = -1 ⇒ x = 2 (thỏa mãn)
* x – 3 = 5 ⇒ x = 8 (thỏa mãn)
* x – 3 = -5 ⇒ x = - 2 (thỏa mãn)
Vậy x ∈ { 4; 2; 8; -2} thì A ∈ Ζ
2
+ 3 + 2x + 6x - 2
x + 2
B = = x2 + 3x -
2
2
2 +
x
Vì x ∈ Ζ thì x2 + 3x ∈ Ζ nên B ∈ Ζ ⇔
2
2
2 +
x ∈ Ζ ⇒ x2 + 2 ∈Ư (2)= {1; -1; 2; -2}
Do x2 + 2 ≥ 2 ⇒ x2 + 2 = 2 ⇒ x = 0
Vậy x = 0 thì B ∈ Ζ
* DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT PHÂN THỨC
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
6 5 9
A =
− −
x x ; 2
2 1 2
B = +
+
x x
Trang 42
6 5 9
A =
− −
x x = (3 21)2 4 42 21
−
=
−
≥
−
−
− x
Vậy Min A =
3
1 2
1 ⇔ =
2
2 1
2
B = +
+
x
x =
) 2 ( 2
2 4
4 )
2 ( 2
2 4 ) 2 ( 2
) 1 2 ( 2
2
2 2
2
−
− + +
= +
+
= +
+
x
x x
x x
x x
x
=
2
1 2
1 ) 2 ( 2
) 1 2 ( 2 ) 2 ( 2
) 2 ( ) 2 (
2
) 1 2
(
2
2 2
2
+
+
= +
+
− +
+
x
x x
x x
x
⇒ Min B = 2
2
1 ⇔ =
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
3 1
C =
− +
8 22
D = − +
− +
Giải:
2
2
3 1
C =
− +
8 4 5 2 4
5 ) 2
3 (
2
−
≤
−
−
x
⇒ Max C =
2
3 5
8 ⇔ =
2 22 16 50
8 22
D = − +
− +
6
6 2 6 ) 4 (
6 22
8
6
2
+
−
= +
x
⇒Max D = 3 ⇔ x = 4.
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+ +
x xy y
x xy y
Giải:
* Ta có: (x-y)2 ≥0 ⇔ x2-2xy+y2 ≥0
Trang 5⇔ 2x2-4xy+2y2 ≥0
⇔3x2-3xy+3y2 ≥x2+xy+y2
⇔3(x2-xy+y2)≥x2+xy+y2 (1)
Vì : x2+xy+y2 > 0 ( ∀x≠ 0 ;y≠ 0)
nên (1) ⇔ 1
x
) (x
3
2 2
2 2
≥ + +
+
−
y xy
y xy
⇒
3
1 x
) (x
2 2
2 2
≥ + +
+
−
y xy
y xy
⇒ Min M = ⇔x= y
3 1
* Ta có: (x-y)2 ≥0 ⇔ x2+2xy+y2 ≥0
⇔ 2x2+4xy+2y2 ≥0 ⇔3(x2+xy+y2)≥x2-xy+y2 (2)
Vì : x2+xy+y2 > 0 ( ∀x≠ 0 ;y≠ 0)
nên (2) ⇔ 3
x
x
2 2
2 2
≤ + +
+
−
y xy
y xy
⇒ Max M = 3 ⇔ x= −y
* DẠNG 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 8: Cho biểu thức:
3
a/ Tìm điều kiện để A xác định rồi rút gọn A
b/ Tính giá trị của biểu thức khi 1
2
x = c/ Với giá trị nào của x thì A = 2; A > 0
d/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Giải:
a/ Điều kiên xá định: x ≠0; x ≠2; x ≠-2
3
= +
− +
−
+
−
+ + +
−
2
10 4 :
) 2 )(
2 (
) 2 ( ).
2 (
2
x
x x
x x x
x x x x x
Trang 6= x(x−−62x)((x x++22)).6= x−−12.
b/ 1
2
x =
2
1
±
=
⇒x
*
2
3 2
1 ⇒ =
x
*
5
2 2
1 ⇒ =
−
x
c/* A = 2 (Với x ≠0; x ≠2; x ≠-2)
⇔
2
3 2
2
−
x ( Thỏa mãn )
Vậy
2
3
=
x thì A = 2
* A > 0 (Với x ≠0; x ≠2; x ≠-2)
⇔
2
1
−
−
x > 0 ⇔x- 2 < 0 ⇒x< 2
Vậy x < 2; x ≠0; x ≠-2 thì A > 0
d/ A ∈ Ζ ∈ Ζ
−
−
⇔ 2
1
x
⇒ x – 2 ∈ Ư(1)= {1; -1}
* x – 2 = 1 ⇒ x = 3 ( thỏa mãn)
* x – 2 = -1 ⇒ x = 1 ( thỏa mãn)
Vậy x∈ {3; 1} thì A ∈ Ζ
Bài 9: Cho biểu thức:
( )(1 y) ( )(1 ) (1 )(1 y)
M
a/ Rút gọn M.
b/ Tìm các cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị bằng 7
Giải:
a/ Rút gọn M.
Điều kiện xác định: x≠-y ; y≠1; x≠-1
*
( )(1 y) ( )(1 ) (1 )(1 y)
M
Trang 7=
) 1 )(
1 )(
(
) ( )
1 ( ) 1
2
x y y x
y x y x y y x x
+
− +
+
−
−
− +
=
) 1 )(
1 )(
(
) 1 ( ) ( 2 3 3 2 2 3 2
x y y x
y y y x y x x x
+
− +
−
−
−
− +
=
) 1 )(
1 )(
(
) 1 ( ) 1
)(
1
2
x y y x
y y xy x y y y x
+
− +
−
− + + + +
−
= (1−y)((x x++y y)()(11−+y x)()(1x+−x y)+xy)
= x – y + xy
b/ Tìm các cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị bằng 7
* M = 7 ⇔ x – y + xy= 7⇔(1+y)(x-1) = 6
Vì x; y ∈ Ζ nên (1+y) ∈ Ζ ; (x-1) ∈ Ζ và (1+y); (x-1)∈Ư(6) = {±1; ±2;±3;±6}
Ta có:
⇒
Vậy ta tìm được 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đó là:
(7; 0) ; (-5; -2) ;(4; 1) ;(-2; -3) ;(3; 2) ;(-1; -4) ;(5; 2) ;(0; -7) ;
DẠNG 6: CHỨNG MINH PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Bài 10: Chứng minh các phân thức sau là tối giản:
30 21 13
15 8 6
n n
n n
+ +
+ + (Với n nguyên dương)
b)
1 2
1 2
2 −
+
n
n
(Với n là số tự nhiên)
Trang 8a)
+ Gọi d là ước chung của 6 + 8n+ 15n2 và 13 + 21n+ 30n2
+ ( 15n2 + 8n+ 6 ) d ⇒ 2 ( 15n2 + 8n+ 6 ) d
⇒ ( 30n2 + 21n+ 13 ) − 2 ( 15n2 + 8n+ 6 ) d
⇒5n+1d (1) ⇒ 3n(5n+1)=15n2+3nd (2)
Từ (1) và (2) có : 15n2 +3n+5n+1d hay 15n2+8n+1d
Nên: (15n2 +8n+6)−(15n2 +8n+1)= 5d ⇒ 5nd (3)
Từ (1) và (3) ⇒1d ⇒ d = ± 1
⇒Phân thức tối giản.
b)
+ Gọi d là ước chung của 2 n + 1 và 2n2 +n
+ ( 2n+ 1 ) d (1) ⇒ n ( 2 n + 1 ) d hay 2n2 +nd
+ Ta có: 2n2 +n− ( 2n2 − 1 ) =n+ 1 d ⇒ 2 (n+ 1 ) d hay 2n+ 2 d (2)
Từ (1) và (2) ⇒2n+2−(2n+1)=1d⇒ d = ±1
⇒Phân thức tối giản.
HẾT