CHÙM bài tập Toán THCS

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 1) Bài 1: Thực hiện phép tính: a) MTC: (ab)(bc)(ac) = = 0 b) = = c) = = . d) = = = . DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 2: Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: M = tại x = 1000001 biết biết biết x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Giải: Bài 2: Từ ab+bc+cb = 1 1+a2 = ab+bc+ca+ a2 = (a+c)(a+b) Tương tự: 1+b2 = (b+c)(b+a) 1+c2 = (c+b)(c+a) A = = = 1 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: M = tại x = 1000001 Ta có: M = = = Thay x = 1000001 vào M ta được: M = . N biết Từ x = 3y – 6 Thay x = 3y – 6 vào N ta được: N = P biết Từ Vì: x+y 0 x 2y = 0 x = 2y Thay x = 2y vào P ta được: P = biết x + y + z = 0 và x, y, z khác 0. Từ: x + y + z = 0 x = (y+z) y = (x+z) z = (x+y) Thay vào Q ta được: Q = = = = = = DẠNG 3: TIM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Bài 4: Tìm các giá trị nguyên của x để các phân thức sau có giá trị là số nguyên: Giải: = 2x2+1 Vì x thì 2x2 + 1 nên A x3 Ư(5)= {1; 1; 5; 5} x – 3 = 1 x = 4 (thỏa mãn) x – 3 = 1 x = 2 (thỏa mãn) x – 3 = 5 x = 8 (thỏa mãn) x – 3 = 5 x = 2 (thỏa mãn) Vậy x { 4; 2; 8; 2} thì A . = x2 + 3x Vì x thì x2 + 3x nên B Ư(2)= {1; 1; 2; 2} Do 2 = 2 x = 0 Vậy x = 0 thì B . DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT PHÂN THỨC Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ; Giải: = Vậy Min A = = = Min B = Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ; Giải: = Max C = . = 2+ Max D = 3 x = 4. Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Giải: Ta có: (xy)2 0 x22xy+y2 0 2x24xy+2y2 0 3x23xy+3y2 x2+xy+y2 3(x2xy+y2) x2+xy+y2 (1) Vì : x2+xy+y2 > 0 ( ) nên (1) Min M = Ta có: (xy)2 0 x2+2xy+y2 0 2x2+4xy+2y2 0 3(x2+xy+y2) x2xy+y2 (2) Vì : x2+xy+y2 > 0 ( ) nên (2) Max M = DẠNG 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 8: Cho biểu thức: a Tìm điều kiện để A xác định rồi rút gọn A b Tính giá trị của biểu thức khi c Với giá trị nào của x thì A = 2; A > 0. d Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Giải: a Điều kiên xá định: x 0; x 2; x 2 = = . b c A = 2 (Với x 0; x 2; x 2) ( Thỏa mãn ) Vậy thì A = 2. A > 0 (Với x 0; x 2; x 2) > 0 x 2 < 0 x< 2 Vậy x < 2; x 0; x 2 thì A > 0. d A x – 2 Ư(1)= {1; 1} x – 2 = 1 x = 3 ( thỏa mãn) x – 2 = 1 x = 1 ( thỏa mãn) Vậy x {3; 1} thì A . Bài 9: Cho biểu thức: a Rút gọn M. b Tìm các cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị bằng 7. Giải: a Rút gọn M. Điều kiện xác định: x y ; y 1; x 1 = = = = = x – y + xy b Tìm các cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị bằng 7. M = 7 x – y + xy= 7 (1+y)(x1) = 6 Vì x; y nên (1+y) ; (x1) và (1+y); (x1) Ư(6) = { 1; 2; 3; 6} 1+y 1 1 2 2 3 3 6 6 x1 6 6 3 3 2 2 1 1 Ta có: y 0 2 1 3 2 4 5 7 x 7 5 4 2 3 1 2 0 Vậy ta tìm được 8 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đó là: (7; 0) ; (5; 2) ;(4; 1) ;(2; 3) ;(3; 2) ;(1; 4) ;(5; 2) ;(0; 7) ; DẠNG 6: CHỨNG MINH PHÂN THỨC TỐI GIẢN Bài 10: Chứng minh các phân thức sau là tối giản: a) (Với n nguyên dương) b) (Với n là số tự nhiên) Giải: a) + Gọi d là ước chung của và + (1) (2) Từ (1) và (2) có : hay Nên: (3) Từ (1) và (3) Phân thức tối giản. b) + Gọi d là ước chung của và + (1) hay + Ta có: hay (2) Từ (1) và (2) Phân thức tối giản. HẾT

BÀI GIẢI CHÙM BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 1) Bài 1: Thực phép tính: 1 a) (a − b)(a − c) + (b − a)(b − c) + (c − a)(c − b) = A MTC: (a-b)(b-c)(a-c) 1 b − c − (a − c) + a − b + + = =0 (a − c)(a − b)(b − c) (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (x - xy)2 x + y3 [ x( x − y )]2 ( x + y )( x − xy + y ) x( x − y ) × b) = = y x - y x y - x y + xy3 ( x − y )( x + y ) xy ( x − xy + y ) ( x − 3) ( x + 3)( x − 3x + 9) x - 6x + x + 27 x2 − × c) = = x − 3x + 3( x − 3) x -3x + 3x -9 x + x + − (1 − x)( x − 1) − 3( x + x + 1) 3x + 5x +1 1- x − − d) = x -1 x + x +1 x -1 ( x − 1)( x + x + 1) = ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) = ( x − 1)( x + x + 1) ( x + x + 1) *DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 2: Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = ( a + b) ( b + c) ( c + a ) Tính giá trị biểu thức: A = 2 ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) 2 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: x + 3x + M= x = 1000001 x + 2x − x − N= x 2x − 3y + biết y − x = y−2 x−6 P= x− y biết x − y = xy ( y ≠ 0; x + y ≠ 0) x+ y Q= x2 y2 z2 + + x − y − z2 y − z2 − x z − x − y biết x + y + z = x, y, z khác Giải: Bài 2: Từ ab+bc+cb = ⇒ 1+a2 = ab+bc+ca+ a2 = (a+c)(a+b) Tương tự: 1+b2 = (b+c)(b+a) 1+c2 = (c+b)(c+a) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) ⇒ A= 2 ( 1+ a ) ( 1+ b ) ( 1+ c ) 2 = ( a + b) (b + c ) (c + a) =1 (a + c )(a + b)(b + c )(b + a )(c + b)(c + a ) Bài 3: Tính giá trị biểu thức: x + 3x + *M = x = 1000001 x + 2x − x − Ta có: M = ( x + 2)( x + 1) x + 3x + = = ( x + 2)( x − 1)( x + 1) x −1 x + 2x − x − Thay x = 1000001 vào M ta được: M = x 1 = 1000001 − 1000000 2x − y *N = y − + x − biết y − x = Từ y − x = ⇒ x = 3y – Thay x = 3y – vào N ta được: N = y − 2(3 y − 6) − y y − 12 + = 3+ = +1 = y−2 3y − − y − 12 x− y *P = x + y biết x − y = xy ( y ≠ 0; x + y ≠ 0) Từ x − y = xy ⇔ ( x + y )( x + y ) = Vì: x+y ≠ ⇒ x - 2y = ⇒ x = 2y 2y − y y Thay x = 2y vào P ta được: P = y + y = y = x2 y2 z2 * Q = 2 + 2 + 2 biết x + y + z = x, y, z khác x −y −z y −z −x z −x −y Từ: x + y + z = ⇒ x = - (y+z) y = - (x+z) z = - (x+y) Thay vào Q ta được: Q = ( y + z)2 ( x + z)2 ( x + y)2 + + ( y + z)2 − y − z ( x + z )2 − z − x ( x + y)2 − x − y ( y + z)2 ( x + z)2 ( x + y)2 + + = yz xz xy x( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) = xyz = xy + xyz + xz + yx + xyz + yz + z ( x + y ) 2 xyz = ( xy + yx ) + ( xz + yz ) + z ( x + y ) + xyz xyz = ( x + y )( y + z )( x + z ) + xyz − xyz + xyx xyz = = = xyz xyz xyz * DẠNG 3: TIM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIẾN ĐỂ PHÂN THỨC CÓ GIÁ TRỊ NGUYÊN Bài 4: Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên: A= B= 2x - 6x + x -8 x -3 x + 3x + 2x + 6x - x2 + Giải: 2x - 6x + x -8 A= = 2x2+1 x−3 x -3 ∈ Ζ ⇒ x-3 ∈ Ư(5)= {1; -1; 5; -5} Vì x ∈ Ζ 2x2 + ∈ Ζ nên A ∈ Ζ ⇔ x−3 * x – = ⇒ x = (thỏa mãn) * x – = -1 ⇒ x = (thỏa mãn) * x – = ⇒ x = (thỏa mãn) * x – = -5 ⇒ x = - (thỏa mãn) Vậy x ∈ { 4; 2; 8; -2} A ∈ Ζ B= x + 3x + 2x + 6x - 2 x +2 = x2 + 3x - x +2 Vì x ∈ Ζ x2 + 3x ∈ Ζ nên B ∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇒ x + ∈ Ư(2)= {1; -1; 2; -2} x +2 Do x + ≥ ⇒ x + = ⇒ x = Vậy x = B ∈ Ζ * DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT PHÂN THỨC Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= ; 6x − − x2 B= 2x +1 x2 + Giải: A= − −1 ≥ = 2 = − (3x − 1) − 4 6x − − 9x Vậy Min A = − ⇔ x = B= = 2x +1 2(2 x + 1) 4x + x2 + 4x + − x2 − = = = 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) x2 + 2(2 x + 1) ( x + 2) 2(2 x + 1) 1 − = − ≥− 2 2( x + 2) 2( x + 2) 2( x + 2) 2 ⇒ Min B = − ⇔x=2 Bài 6: Tìm giá trị lớn biểu thức: C= ; x − 3x + D= x − 16 x + 50 x − x + 22 Giải: 2 ≤ =− 5 C= = − x − 3x + ( x − ) − 4 ⇒ Max C = − D= ⇔x= 6 x − 16 x + 50 = 2+ x − x + 22 = ( x − 4) + ≤ + = x − x + 22 ⇒ Max D = ⇔ x = Bài 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: M= x − xy + y x + xy + y Giải: * Ta có: (x-y)2 ≥ ⇔ x2-2xy+y2 ≥ ⇔ 2x2-4xy+2y2 ≥ ⇔ 3x2-3xy+3y2 ≥ x2+xy+y2 ⇔ 3(x2-xy+y2) ≥ x2+xy+y2 (1) Vì : x2+xy+y2 > ( ∀x ≠ 0; y ≠ ) 3(x − xy + y ) ≥1 nên (1) ⇔ 2 x + xy + y ⇒ (x − xy + y ) ≥ x + xy + y ⇒ Min M = ⇔x= y * Ta có: (x-y)2 ≥ ⇔ x2+2xy+y2 ≥ ⇔ 2x2+4xy+2y2 ≥ ⇔ 3(x2+xy+y2) ≥ x2-xy+y2 (2) Vì : x2+xy+y2 > ( ∀x ≠ 0; y ≠ ) nên (2) ⇔ x − xy + y ≤3 x + xy + y ⇒ Max M = ⇔ x = − y * DẠNG 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 8: Cho biểu thức:  x2   10 − x  A= + + : x − + ÷ ÷ x+2   x − 4x − 3x x +   a/ Tìm điều kiện để A xác định rút gọn A b/ Tính giá trị biểu thức x = c/ Với giá trị x A = 2; A > d/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Giải: a/ Điều kiên xá định: x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ -2  x2   10 − x  A= + + : x − + ÷ ÷ x+2   x − 4x − 3x x +    x − 2( x + 2).x + x( x + 2)   x − + 10 − x    :  x( x − 2)( x + 2) x+2     = − x ( x + 2) −1 = x( x − 2)( x + 2).6 = x − b/ x = 1 ⇒x=± 2 * x= ⇒ A= 2 *x =− ⇒ A= c/* A = (Với x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ -2) −1 = ⇔ x = ( Thỏa mãn ) x−2 ⇔ Vậy x = A = 2 * A > (Với x ≠ 0; x ≠ 2; x ≠ -2) ⇔ −1 > ⇔ x- < ⇒ x< x−2 Vậy x < 2; x ≠ 0; x ≠ -2 A > d/ A ∈ Ζ ⇔ −1 ∈Ζ x−2 ⇒ x – ∈ Ư(1)= {1; -1} * x – = ⇒ x = ( thỏa mãn) * x – = -1 ⇒ x = ( thỏa mãn) Vậy x∈ {3; 1} A ∈ Ζ Bài 9: Cho biểu thức: M= x2 y2 x2 y − − ( x + y )(1 − y) ( x + y )(1 + x) (1 + x)(1 − y) a/ Rút gọn M b/ Tìm cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị Giải: a/ Rút gọn M Điều kiện xác định: x ≠ -y ; y ≠ 1; x ≠ -1 *M= x2 y2 x2 y2 − − ( x + y )(1 − y) ( x + y )(1 + x ) (1 + x )(1 − y) = x (1 + x) − y (1 − y ) − x y ( x + y ) ( x + y )(1 − y )(1 + x ) ( x + x − x y − x y ) − y (1 − y ) = ( x + y )(1 − y )(1 + x) x (1 − y )(1 + y + y + x + xy ) − y (1 − y ) = ( x + y )(1 − y )(1 + x ) = (1 − y )( x + y )(1 + x )( x − y + xy ) ( x + y )(1 − y )(1 + x) = x – y + xy b/ Tìm cặp số nguyên (x ; y) để biểu thức M có giá trị * M = ⇔ x – y + xy= ⇔ (1+y)(x-1) = Vì x; y ∈ Ζ nên (1+y) ∈ Ζ ; (x-1) ∈ Ζ (1+y); (x-1)∈ Ư(6) = { ± 1; ± 2; ± 3; ± 6} 1+y -1 -2 -3 -6 x-1 -6 -3 -2 -1 y -2 -3 -4 -7 x -5 -2 -1 Ta có: ⇒ Vậy ta tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn là: (7; 0) ; (-5; -2) ;(4; 1) ;(-2; -3) ;(3; 2) ;(-1; -4) ;(5; 2) ;(0; -7) ; DẠNG 6: CHỨNG MINH PHÂN THỨC TỐI GIẢN Bài 10: Chứng minh phân thức sau tối giản: + 8n + 15n a) (Với n nguyên dương) 13 + 21n + 30n b) 2n + (Với n số tự nhiên) 2n − Giải: a) + Gọi d ước chung + 8n + 15n 13 + 21n + 30n (15n +8n +6)d ⇒2(15n +8n +6)d + ⇒ (30n + 21n + 13) − 2(15n + 8n + 6)d ⇒ 5n + 1d ⇒ (1) 3n(5n + 1) = 15n + 3nd (2) Từ (1) (2) có : 15n + 3n + 5n + 1d hay 15n + 8n + 1d Nên: (15n + 8n + 6) − (15n + 8n + 1) = d ⇒ 5n d (3) Từ (1) (3) ⇒ 1d ⇒ d = ± ⇒ Phân thức tối giản b) + Gọi d ước chung 2n + 2n + n + (2n + 1)d (1) ⇒ n( 2n + 1)d hay 2n + nd + Ta có: 2n + n − ( 2n −1) = n +1d ⇒ 2(n +1)d hay 2n + 2d (2) Từ (1) (2) ⇒ 2n + − (2n + 1) = 1d ⇒ d = ± ⇒ Phân thức tối giản HẾT