BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦU Bài 1: Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng có cạnh góc vng a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện Giải: HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S ∧ ∧ nên A = B = 450 a πa2 * Sxq = π Rl = π OA.SA = π a = 2 a Tính: OA = ( ∆ ∨ SOA O) πa2 πa2 1 + ÷πa * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 1 a2 a πa3 = b) V = πR h = π.OA SO = π 3 2 a Tính: SO = ( ∆ ∨ SOA O) S a A 45 M B O C c) * Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy góc 600: ∧ Kẻ OM ⊥ AC ⇒ SM ⊥ AC ⇒ SMO = 600 1 a 2a a2 * SSAC = SM.AC = = 2 3 a ∆ * Tính: SM = ( ∨ SMO O ⇒ SM = SO.sin 600 ) 2a * Tính: AC = 2AM = a * Tính: AM = OA − OM = a ∆ * Tính: OM = ( ∨ SMO O) Bài 2: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện Giải: HD: a) * Sxq = π Rl = π OA.SA = π 25.SA = 25 π 1025 (cm2) Tính: SA = 1025 ( ∆ ∨ SOA O) * Stp = Sxq + Sđáy = 25 π 1025 + 625 π S 1 2 b) V = πR h = π.OA SO = π.25 20 (cm3) 3 c) * Gọi I trung điểm AB kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH = 12cm 1 AB.SI = 40.25 = 500(cm2) 2 OS.OI 20.OI * Tính: SI = = = 25(cm) ( ∆ ∨ SOI O) OH 12 1 ⇒ OI = 15(cm) ( ∆ ∨ SOI * Tính: = 2 OI OH OS2 * SSAB = l h H O A I O) B * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = OA − OI = 20 (cm) ( ∆ ∨ AOI I) Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón a) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC Giải: ∧ ∧ a) * Thiết diện qua trục ∆ SAB vuông cân S nên A = B = 450 a a = πa * Sxq = π Rl = π OA.SA = π 2 S AB a = ; Tính: SA = a ( ∆ ∨ SOA O) 2 πa2 πa ( + 1)πa2 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 1 a a πa3 2 b) V = πR h = π.OA SO = π = 3 2 12 a ( ∆ SOA O)c) * Kẻ OM BC ⇒ ∧ * Tính: SO = ⊥ ∨ SMO 1 a 2a a 2 = 60 ; * SSBC = SM.BC = = 2 3 a a * Tính SM = ( ∆ ∨ SOM O) * Tính: BM = ( ∆ ∨ SMB 3 Tính: OA = A O a2 B M C M) Bài 4: Một hình trụ có đáy đường trịn tâm O bán kính R ABCD hình vng nội tiếp đường tròn tâm O Dựng đường sinh AA’ BB’ Góc mp(A’B’CD) với đáy hình trụ 600 a) Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ b)Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’ Giải: a Thể tích diện tích tồn phần hình trụ: AA' ⊥ (ABCD) ⇒ A ' D ⊥ CD ⇒ ·ADA ' = 600 Ta có AD ⊥ CD B’ ∆AOD vng cân nên AD=OA = R Trong tam giác vuông ADA’, ta có: h = AA ' = AD tan 600 = R Vậy V = π R h = π R A’ STP = 2π Rh + 2π R = 2π R ( + 1) b Thể tích khối đa diện ABCDB’A’: Ta có: CD ⊥ ( AA ' D) đoạn AB, CD,A’B’ song song nên khối đa diện ABCDB’A’ lăng trụ đứng có đáy tam giác AA’D chiều cao CD Vậy VK = S AA'D CD = AA'.AD.CD=R B O C A Bài 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh 3cm với AB đường · » cho ABM kính đường trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc AB = 600 Tính thể tích khối tứ diện ACDM Giải: Ta có: BM ^ AD, BM ^ AM Þ BM ^ (ADM) BC P AD Þ BC P (ADM) Þ d[C, (ADM)] = d[B, (ADM)] = BM Þ V= 1 BM.SD ADM = BM.AM.AD D OBM Þ BM = Þ AM = AB2 - BM = (1) Þ V = 3.3.2 = ( cm ) (1) Bài 6: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho c) Cho hai điểm A B nằm hai đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ A r O Giải: HD: a) * Sxq = π Rl = π OA.AA = π r r = π r2 ’ * Stp = Sxq + 2Sđáy = π r2 + π r2 = ( + 1) π r2 b) * V = πR h = π.OA OO′ = π.r r = πr 2 c) * OO’//AA’ ⇒ BA A′ = 300 ∧ r3 A' O' H B * Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ * Tính: O’H = r (vì ∆ BA’O’ cạnh r) * C/m: ∆ BA’O’ cạnh r * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r ( ∆ ∨ AA’B A’) ’ Cách khác: * Tính O H = O′A′ − A′H = ∆ ∨ A’O’H H) A′B r * Tính: A’H = = 2 ’ ∆ * Tính: A B = r ( ∨ AA’B A’ 2 r2 r ( r − = 2 Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên Giải: HD: a) * Sxq = π Rl = π OA.AA’ = π 5.7 = 70 π (cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 π + 50 π = 120 π (cm2) b) * V = πR h = π.OA OO′ = π 52.7 = 175 π (cm3) c) * Gọi I trung điểm AB ⇒ OI = 3cm * SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = * Tính: AI = 4(cm) ( ∆ ∨ OAI I) B O r I A l h O' B' A' Bài 8: Bên hình trụ cú hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đờng tròn đáy thứ C, D thuộc đờng tròn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình tr mt góc 450 Tính thể tích khối trụ Giải: Gäi I, J trung điểm AB CD Ta cú : OI AB; IJ cắt OO’ trung điểm M ca OO MIO = 45o góc mặt (ABCD) với đáy, Do ú : a a2 a2 3a O’ I = ;R= + = 8 2 h = 2OM = a D O' C' M' A J O B Vậy : V = π R2h = π 38a a = 3.π a 16 KHỐI CẦU Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy AB = a cạnh bên SA = a AC cắt BD O a/ Chứng minh O tâm mặt cầu (S) qua điểm S, A, B, C, D tính bán kính R b/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: a)gGọi O = AC ∩ BD Khi : OA = OB = OC = OD = a 2 (1) 2a2 g Vì SO ⊥ (ABCD) ⇒ ∆SOA vuông taïi O ⇒ SO = SA − AO = a ⇒ SO = (2) a gTừ (1),(2) suy : OA = OB = OC = OD = OS = ⇒ năm điểm A,B,C,D,S nằm mặt cầu tâm O , bán kính : R = b/ V = V = S 2 a 2 ABCD SO = a a a 3 a (đvtt Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hính chóp theo a Giải: HD: a) * Gọi O trung điểm SC * Chứng minh: Các ∆ SAC, ∆ SCD, ∆ SBC vuông A, D, B SC SC ⇔ S(O; ) 2 a SA + AC = a πa3 = 3πa2 ; * V = π = ÷ * OA = OB = OC = OD = OS = SC = 2 a 3 * S = 4π ÷ b) * R = Bài 3: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a đường chéo tạo với đáy góc 45o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Giải: · g CAC' = 45o ,AC' = 2a gtaâm O trung điểm AC' AC' gBán kính : R = = a → V = πa3 Bài : Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu Giải: a) * Gọi O trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: ∆ DAC vuông A ⇒ OA = OC = OD = CD D (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) O * Chứng minh: ∆ DBC vuông B ⇒ OB = CD CD * OA = OB = OC = OD = CD ⇔ A, B, C, D ∈ mặt cầu S(O; 2 C A ) CD b) * Bán kính R = = 2 = B AD + AC2 = AD + AB2 + BC2 5a 25a2 + 9a2 + 16a2 = 2 5a 4 5a 125 2πa3 π * S = 4π ÷ ÷ = 50πa ; * V = R = π ÷ ÷ = Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu Giải: HD: * Gọi I trung điểm AB Kẻ ∆ vuông góc với mp(SAB) I * Dựng mp trung trực SC cắt ∆ O ⇒ OC = OS (1) * I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB (vì ∆ SAB vng S) ⇒ OA = OB = OS (2) * Từ (1) (2) ⇒ OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) * R = OA = SC AB = OI + AI = ÷ + ÷ 2 a2 + b + c2 C c O S B b a I A a + b + c2 * S = 4π ÷ = π(a2 + b2 + c2 ) ÷ a + b + c2 * V = π ÷ = π(a2 + b2 + c2 ) a2 + b + c2 ÷ Bài 6: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với đôi với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Giải: Gọi I trung điểm AB Từ I kẻ đường thằng ∆ vng góc với mp(SAB) ∆ trục ∆SAB vng Trong mp(SCI) , gọi J trung điểm SC , dựng đường trung trực cạnh SC ∆SCI cắt ∆ O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Khi : Tứ giác SJOI hình chữ nhật Ta tính : SI = AB = , OI = JS = , bán kính R 2 = OS = Diện tích : S = 4πR2 = 9π (cm ) Thể tích : V = πR = π (cm ) Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b, · BAC = 60 Xác định tâm bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Gii: Gọi I trọng tâm tam giác ABC I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC; đờng thẳng (d) qua I , vu«ng gãc víi mp(ABC) mp trung trùc cđa SA cắt (d) O, OA =OB = OC = OS nên O tâm mặt cầu 2 a b2 a 2b r = OA = OI + AI = ÷ + + ÷ = 3.2 ÷ 2 S O A C I B Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a Giải: a a3 = 4 Gọi O , O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , ∆A 'B'C ' thí tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ trung điểm I OO’ Vlt = AA '.SABC = a a a a 21 ) +( ) = Diện tích : Smc = 4πR = 4π( a 21 )2 = 7πa AO2 + OI = Bán kính R = IA = ( Bài 9: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ Gii: -Gọi O O tâm ABC A B C OO trục đờng tròn ngoại tiếp ABC vàA B C -Gọi I trung điểm OO IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I lµ tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ -Bán kính mặt cầu R = IA Tam giác vuông AOI có: AO = AA1 = 23 a = a 3 OI = 12 OO' = 12 AA' = C O B ⇒AI2 = OA2+OI2 = a3 I b + b4 = a2 12 ⇒ AI = A' a a C' O' V= πR = 43 π AI2 = a + 3b 12 a3 73 = a 3π 28 72 a + 3b 2 ⇒ AI = A1 = 7 πa 18 = 21 a 54 A1' B' =R V= πR = π 8.3 3 2 (4a + 3b ) = 18 3 2 (4a + 3b ) Bài 10: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đường cao h = Hãy tính diện Giải: Gọi hình chóp cho S.ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC Khi SO trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Suy : SO ⊥ (ABC) Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d cạnh SA , cắt SO I I ∈ d ⇒ IA = IS ⇒ IA = IB = IC = IS I ∈ SO ⇒ IA = IB = IC Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I bán kính R = SI Ta có OA = AE AB = = 3 SO2 + OA = + = Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên : SJ.SA SA 3 SJ.SA = SI.SO ⇒ SI = = = = Vậy bán kính SO 2.SO 2.1 R = SI = Diện tích mặt cầu : S = 4πR2 = 9π (đvdt) Vì ∆ SAO vng O nên SA = Bài 11: Cho h×nh chãp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Gii: Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO trơc cđa ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o Gäi M trung điểm SA Trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OIMA từ giác nội tiếp SI.SO = SM.SA S M I D ⇒ SI = SMSO SA O Víi AO = a , A AS = AO cos 30o = a πa = a a ⇒SI = SO = SA sin30o = ⇒ VMcÇu = C 3 = a B , a a 23 a =a a3 Bài 12 : Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh tạo với mặt đáy góc 600 1/ Tính diện tích hình xung quanh thể tích hình nón 2/ Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón, suy thể tích khối cầu 3/ Một hình trụ gọi nội tiếp hình nón đường tròn đáy nằm mặt xung quanh hình nón, đáy cịn lại nằm mặt đáy hình nón Biết bán kính hình trụ nửa bán kính đáy hình nón Tính thể tích khối trụ Giải: * Câu 1: ∆SAB ⇒ SA = R, SO = R 1 ΠR 3 S xq = ∏ R.SA = 2ΠR ; V = ΠR SO = 3 * Câu Tâm O’ mặt cầu thuộc SO Bán kính mặt cầu r = O’O R 4 3ΠR 3 ; V= r = SO = Πr = 3 27 * Câu R R ΠR 3 ; V= Π.ON IO = ⇒ NN ' = IO = SO = 2 N trung điểm OB.; ON bán kính hình trụ: ON= 10 ... r2 r ( r − = 2 Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng... = 3.3.2 = ( cm ) (1) Bài 6: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho c) Cho hai điểm... 3.π a 16 KHỐI CẦU Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy AB = a cạnh bên SA = a AC cắt BD O a/ Chứng minh O tâm mặt cầu (S) qua điểm S, A, B, C, D tính bán kính R b/ Tính thể tích khối chóp